( ) N z ( RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ. B.1 Radioaktiivisten ytimien hajoamislaki. P( z) =

Transkriptio

1 B RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ B.1 Radioakiivisen yimien hajoamislaki Miaaessa radioakiivisen yimien hajoamisessa synyvän säeilyn inensieeiä havaiaan, eä ilmaisimeen aikayksikössä saapuvien kvanien ai hiukkasen lukumäärä vaihelee. Tämä vaihelu on osoius siiä, eä radioakiivisa hajoamisa kuvaava lai ova odennäköisyyslakeja. Olkoon λ odennäköisyys sille, eä radioakiivinen ydin hajoaa aikayksikössä. Oleeaan, eä λ on ajasa riippumaon vakio. Jos ajanhekellä radioakiivisessa läheessä on N() radioakiivisa ydinä, aikavälillä [, +d] hajoaa λn()d ydinä, eli dn( ) = λn( ). d (1) Jos yimien lukumäärä ajanhekellä =0 on N 0, saadaan inegroimalla yhälö (1) yimien lukumääräksi ajanhekellä N( )= N 0 e λ. (2) Yhälö (2) on nimelään hajoamislaki, ja vakioa λ kusuaan hajoamisvakioksi. B.2 Radioakiivisen yimien hajoamisen odennäköisyys Johdeaan odennäköisyyslaskenaa apuna käyäen odennäköisyys P(z) sille, eä ajassa hajoaa äsmälleen z ydinä. Radioakiivisen yimien lukumäärä aikavälin alkaessa olkoon N. Hajoamislain (2) peruseella odennäköisyys sille, eä yksiäinen ydin ei hajoa ajassa on e -λ, joen hajoamisen odennäköisyys on 1-e -λ. Todennäköisyys sille, eä määräy z ydinä hajoava ajassa, on odennäköisyyslaskennan kerosäännön peruseella (e -λ ) N-z (1-e -λ ) z. Todennäköisyys sille, eä hajonneiden yimien lukumäärä on z, on kuienkin suurempi, koska on samanekevää, mikä z ydinä hajoava. Koska z ydinä voidaan valia N yimen joukosa N! ( N z)! (3) avalla, saadaan haeuksi odennäköisyydeksi P(z) P( z) = N! ( ( ) N z ( N z)! e λ 1 e λ ) z. (4) B.3 Poissonin jakauma Tavallisesi radioakiivisessa läheessä on hyvin suuri joukko yimiä, s. N>>1. Yleensä lisäksi miausaika on paljon pienempi kuin radioakiivisen aineen puoliinumisaika, eli z<<n ja λ<<1.

2 Nämä ehdo merkisevä siä, eä yimien määrää N ja sien läheen akiivisuua A=λN (hajoamisa aikayksikössä) voidaan piää miausaikana vakiona. Kirjoieaan odennäköisyys P(z) muooon P( z) = ( N z +1) N z + 2 ( )...N e λn ( e λ 1) z. (5) Koska z<<n, voidaan osamäärän osoiajaa arvioida luvulla N z. Koska lisäksi λ<<1, voidaan eksponenifunkio e -λ kehiää sarjaksi, josa oeaan huomioon vain ensimmäise ermi. Tällöin saadaan ( )z P( z) N z e λn( 1 + λ 1 ) z = λn e λn. (6) Kirjoiamalla ämä akiivisuuden A=λN avulla ja arkaselemalla odennäköisyyä P(z) myös miausaikana hajonneiden yimien lukumäärän A funkiona saadaan ( )z P( z,a) = A e A. (7) Tapauksessa λ<<1 voidaan yhälösä (7) laskea ajassa hajoavien yimien keskimääräinen lukumäärä m painoeuna keskiarvona: m = P( z, A)z P( z,a) = e A A z=1 e A ( A) z 1 ( z 1)! ( A) z = A. (8) Osoiajan arvoksi ulee A ja nimiäjän arvoksi 1 (kaikkien odennäköisyyksien summa) eksponenifunkion sarjakehielmän e y = n= 0 y n n! (9) peruseella. Yhälön (8) peruseella odennäköisyys P(z,A) voidaan lausua keskiarvon m avulla muodossa P( z,m)= mz e m. (10) Todennäköisyysjakaumaa P(z,m) kusuaan Poissonin jakaumaksi. Se keroo, millä odennäköisyydellä valiuna ajanjaksona apahuu z saunnaisilmiöä, jos niiä ämänpiuisena aikavälinä apahuu keskimäärin m kappalea. Jos siis miausaika on paljon pienempi kuin läheen puoliinumisaika, miausulosen käsiely perusuu Poissonin jakaumaan.

3 B.3.1 Poissonin jakauman hajona Tärkeä odennäköisyysjakaumaa kuvaava suure on hajona eli sandardipoikkeama σ, joka määriellään yleisesi σ 2 = i n x i 2 = i ( z i m) 2, n (11) missä x i =z i -m on poikkeama keskiarvosa. Laskeaan hajona Poissonin jakauman apauksessa yhdisämällä hajonnan neliön lausekkeessa (11) yhäsuuria z-arvoja vasaava neliöermi. Kun miaus on oiseu n keraa, missä n on suuri kokonaisluku, iey mielivalaisesi valiu z- arvo esiinyy ässä miaussarjassa n P(z,m) keraa. Kun huomioidaan, eä ΣzP(z,m)=m ja ΣP(z,m)=1, saadaan yhälöiden (8) ja (10) peruseella σ 2 = ( z m) 2 P( z,m) = z 2 P( z, m) 2m zp( z,m) + m 2 P( z,m) = z( z 1)P ( z,m) + m m 2 = m 2 e m m z 2 ( z 2)! + m m2 = m. z=2 (12) Hajona on siis σ = m, (13) eli Poissonin jakauman hajona määräyyy yksikäsieisesi keskiarvosa. B.3.2 Poissonin jakauman laskeminen suurilla argumenien arvoilla Jakaumafunkion (10) arvon laskeminen on vaikeaa, jos m>>1 ja z>>1. Näissä apauksissa Poissonin jakaumafunkio, joka osin on määriely vain kokonaislukuarvoilla z, voidaan korvaa normieulla Gaussin jakaumafunkiolla, jonka sandardipoikkeamaksi on aseeu σ = m. Normieu Gaussin jakaumafunkio on muooa G( z, h) = h x 2 π e h2, (14) missä x on poikkeama keskiarvosa ja h on parameri, joka oeuaa yhälön hσ = 1 2, (15) joen Poissonin jakauman likiarvoksi suurilla argumenien arvoilla saadaan

4 P( z,m) ( z m) 2 1 2πm e 2m, (16) kun m>>1 ja z>>1. Likiarvokaavaa (10) voi käyännössä sovelaa, jos m=100 ja z ei ole aivan pieni. Kuen kuvasa 1 nähdään, on yheensopivuus Gaussin ja Poissonin jakaumafunkioiden välillä melko hyvä jo, kun m=4. Taulukkoon 1 on laskeu Gaussin jakauumafunkioa käyäen muuamia odennäköisyyksiä sille, eä yksiäisen miausuloksen poikkeama keskiarvosa on korkeinaan x. Taulukko 1: Todennäköisyys sille, eä yksiäisen miauksen poikkeama keskiarvosa on iseisarvolaan korkeinaan x x Todennäköisyys 0,67σ 0,50 1,00σ 0,68 1,64σ 0,90 1,98σ 0,95 Kuva 1: Gaussin ja Poissonin jakaumafunkioiden verailu B.4 Säeilyn havaisemiseen liiyvä ilasollinen virhearvioini Tässä kappaleessa rajoiuaan arkaselemaan ilasollisa virhearvioinia sellaisissa meneelmissä, joilla voidaan havaia yksiäisiä aomihiukkasia ai kvaneja. Kuen edellä on esiey, radioakiivinen hajoaminen noudaaa odennäköisyyslakeja. Tämä merkisee siä, eä radioak-

5 iivisen läheen synnyämän hiukkasvuon vaihelu on läheen fysikaalinen ominaisuus, joa voidaan kuvaa vain odennäköisyyslaskennan keinoin. Vaihelulla ei ässä arkoiea siä, eä keskimääräinen hiukkasvuo pienenee akiivisuuden pienenyessä. Seuraavassa käsiellään säeilymiauksen uloksia oleaen miaussarja Poisson-jakauuneeksi. Kokeellisesi määrieävä suure on pulssiaajuus (pulsseja aikayksikössä) J=X/. Keskimääräinen pulssimäärä X poikkeaa havaiusa pulssimääräsä X aulukon 1 peruseella korkeinaan X :n verran 68%:n odennäköisyydellä (suuree z ja m korvaaan pulssimäärillä X ja X). Suureen X ilalla voidaan käyää suurea X, jos X on riiävän suuri (X=100), joen 68%:n odennäköisyydellä on voimassa X X X X + X. (17) Pulssiaajuuksille päee siis 68%:n odennäköisyydellä J ± J = X ± X, (18) missä J on yksiyisen havainnon hajonnan likiarvo, kun aika oleeaan virheeömäksi. Edelleen huomaaan, eä pulssiaajuuden suheellinen hajona on J J = X X = 1 X, (19) eli suheellinen hajona riippuu vain pulssimääräsä. Mikäli ehdään n havainoa X, keskiarvon hajonnaksi saadaan σ n X i n n = X i n, (20) missä on yheen miaukseen kuluva aika. Saavueava arkkuus on siis sama kuin suorieaessa yksi miaus ajassa n. Taulukko 2: Pulssiaajuuden suheellinen virhe laskeun pulssimäärän funkiona J Pulssimäärä X J (% ) , , , , , , ,32

6 Kokeiden lukumäärällä on merkiysä vain, jos haluaan suoriaa miauslaieison ilasollinen arkisaminen. Havainoja kannaaa osin aina oisaa karkeiden sysemaaisen virheiden ja lukemavirheiden välämiseksi. Kaavan (12) avulla odeaan, eä suheellinen arkkuus on siä parempi miä enemmän pulsseja laskeaan (aulukko 2). B.4.1 Tausasäeilyn osuus ilasollisessa virhearvioinnissa Radioakiivisen läheen säeilyä miaaessa on oeava huomioon ympärisön radioakiivisuuden ja kosmisen säeilyn synnyämä ausasäeily. Tausasäeily miaaan viemällä lähde riiävän eäälle miauspaikala, ja se vähenneään varsinaisesa läheesä saaduisa miausuloksisa. Lopullinen pulssiaajuus J 0 on siis erous J 0 = X 1 1 X 2 2, (21) missä X 1 on ajassa 1 havaiu kokonaispulssimäärä ja X 2 on ajassa 2 havaiu ausasäeilysä aiheuuva pulssimäärä. Koska sandardipoikkeama summauuva neliöllisesi, eli σ 2 =σ 12 +σ 12, loppuuloksen J 0 hajona J 0 on J 0 = X X (22) Kaikki edellä esiey havainouloksia koskeva kaava liiyvä miauslaieisoihin, joissa ilmaisimeen kykey laskuri rekiseröi ilmaisimessa synyvä pulssi yksiellen. Lisäksi on oleeu pulssiaajuus niin pieneksi, eä laieen äärellisä laskena-aikaa ei arvise oaa huomioon. B.4.2 Hajona laskenaaajuusmiarin yheydessä Ilmaisimien yhdeydessä käyeään myös laskenaaajuusmiareia, joka anava uloksen suoraan pulsseina aikayksikössä. Laskenaaajuusmiari oimii periaaeessa sien, eä ilmaisimessa synyvillä jännieimpulsseilla varaaan kondensaaori C, joka purkauuu vasuksen R kaua. Miaavana suureena on purkausvira, joka on verrannollinen aikayksikössä synyvään keskimääräiseen pulssimäärään. Laskenaaajuusmiarin lukemaan liiyvä suheellinen hajona on J J = 1 2JT, (23) missä J on miarin lukema (pulsseja aikayksikössä) ja T=RC on kondensaaorin ja vasuksen muodosaman piirin aikavakio. B.4.3 Hajonnan esiäminen graafisesi Graafisessa esiyksessä on edullisa kuvaa hajona janoilla. Jos miau pulssiaajuus J 0 esieään graafisesi jonkin muuujan funkiona, kunkin miauspiseen kaua piirreään jana, jonka pääepisee vasaava arvoja J 0 ± J 0. Näin saadaan havainnollinen kuva miaun käyrän luoe-

7 avuudesa ja voidaan mahdollisesi arvioida määrieävien suureiden virheiä (esim. kulmakeroimen virhe, jos miauspisee aseuva suoralle). Usein jouduaan pulssimäärän J 0 sijasa esiämään graafisesi jokin J 0 :n funkio, esim. ln(j 0 ). Miauspiseiden kaua piirreään ässä apauksessa jana, joiden pääepisee vasaava arvoja f( J 0 )± f( J) J J=J 0 J 0. (24) B.5 Miauslaieison ilasollinen arkisaminen Miauslaieison on oiseava radioakiivisen läheen läheämän säeilyvuon ilasollinen vaihelu virheeömäsi. Tukimalla säeilyä radioakiivisesa läheesä, jonka puoliinumisaika on pikä, ja miaamalla moneen keraan säeilyn ieyssä ajassa synnyämien pulssien lukumäärä X, havainosarjan ulee olla Poisson-jakauunu. Miauslaieison ilasollinen arkisaminen perusuu ällaiseen miaukseen. Mikäli miausulos ei ole Poisson-jakauunu, laieiso ei havaise virheeömäsi ilmaisimeen saapuvia hiukkasia ai kvaneja. Syynä voi olla esimerkiksi laskuriin uleva elekroniikan aiheuama hajapulssi, ai ulokse voiva väärisyä ilmaisimen hukka-ajan vuoksi (ks. luku A.4).