Antti Majaniemi MATEMATIIKKA II. Differentiaali- ja integraalilaskentaa sekä differentiaaliyhtälöitä. t = 0 U C. i = i (t) u 3 ISBN

Transkriptio

1 Ani Majaniemi MATEMATIIKKA II Differeniaali- ja inegraalilaskenaa sekä differeniaaliyhälöiä = u R U C L u i = i () u 6 ISBN

2 Tämä eos on lisensoiu Creaive Commons Nimeä-EiKaupallinen Kansainvälinen -lisenssillä Tarkasele lisenssiä osoieessa hp://creaivecommonsorg/licenses/by-nc//deedfi Ani Majaniemen perikuna on päääny anaa ämän eoksen käyeäväksi yllä olevalla lisenssillä Painaus ei ollu enää kannaavaa alhaisen kysynnän vuoksi, mua ällä avalla oppimaeriaali on edelleen opiskelijoiden ja oppilaiosen käyeävissä Tämä eos on ladaavissa osoieessa hp://animajaniemifi Turussa 6 Jari Majaniemi animajaniemifi

3 i SISÄLLYS Differeniaaliyhälöisä Peruskäsieiä Mekaniikan ja lujuusopin esimerkki Muuujien eroaminen Lineaarinen keraluvun DY 7 5 Virapiirisovellus Toisen keraluvun DY 6 Vakiokeroiminen lineaarinen oisen keraluvun DY 6 Esimerkkejä 7 Sovelluksia Trigonomerisen funkioiden kääneisfunkio Kääneisfunkio ja sen derivaaa Arkusfunkio Inegroimismeneelmiä Areafunkio Murofunkion inegroini 9 Perusapauksia 9 Osamuroihin jako 5 Trigonomerisen funkioiden inegroini 5 5 Perusapauksia 5 5 Tulo sin a cos b, sin a sin b, cos a cos b 5 5 Poenssilausekkeen sinm cosn inegroini 6 5 Sijoiuksia 7 6 Irraionaalifunkioiden inegroini 9 7 Eksponeni-, logarimi- ja hyperbelifunkio 5 7 Eksponenifunkioiden inegroiniapoja 5 7 Logarimifunkioiden inegroiniapoja 5 7 Hyperbelifunkio 5 8 Lisää inegraalien sovelluksia 57 8 Funkion keskiarvo välillä [a,b] 57 8 Kaaren piuus 58 *8 Pyöräyspinnan ala 58 8 Työinegraali Epäolennainen inegraali 6 9 Käyriä koskevia uloksia 6 9 Keraus 6 *9 Kaaren painopise 6 9 Rakaisemaoman funkion derivoini 6

4 ii 9 Paramerimuooisen funkion derivoini Paramerikäyrän kaaren piuus ja vasaavan alueen ala Käyrän kaarevuus Käyrä napakoordinaaisossa 7 *98 Kaaren piuus ja pina-ala napakoordinaaisossa 7 * Inegraalin derivoini paramerin suheen 76 Parameri inegroimisrajoissa 76 Parameri inegroiavassa funkiossa 77 Numeerisia meneelmiä 79 Haarukoini ja ieroini (keraus) 79 Newonin meneelmä (angenimeneelmä) 8 Numeerinen derivoini 8 Numeerinen inegroini suorakulmiomeneelmällä 8 5 Puolisuunnikasmeneelmä 8 6 Simpsonin säänö 85 Vasauksia 89 Moniseen ässä osassa käsiellään differeniaaliyhälöiä (luvu ja ), arkusfunkioia (luku ), inegroimisekniikkaa (luvu 7) sekä erilaisia derivoiniin ja inegroiniin liiyviä kysymyksiä, joia voidaan opeaa valikoiden, linjakohaisesi Inegroiniekniikan osuua voidaan kevenää ja korvaa paikoiellen maemaaisen ieokoneohjelmien käyöllä sen mukaan, miä ohjelmia on käyeävissä ja minkä opinosuunnan opeus on kyseessä Opinosuunnan ulisi vaikuaa myös diff yhälöiden sovellusen valinaan Diff yhälöiä käsiellään moniseen seuraavan osan loppupuolella jonkin verran numeerisesi ja Laplace-muunnoksilla Tässä painoksessa olen jakanu moniseen muokkaamisa ja korjailua Lähinnä olen yriäny paranaa kuvien ulkoasua muuamalla kuvissa viivoja paksummiksi ja kirjaimia lihavoiduiksi ja kursiiviksi Toivon eä moniseen kaikenlaisen puueiden paikallisamisessa saan muiden opeajien apua kuen ähänkin asi Turussa Ani Majaniemi Olen päiviäny monisea korjaen siä ämän päivän ilaneeseen paremmin sopivaksi Turussa 78 Jari Majaniemi

5 Differeniaaliyhälöisä Peruskäsieiä Yhälöä, jossa esiinyy unemaoman funkion ainakin yksi derivaaa, sanoaan, esim y + y= sin, y + y y= + Jakossa käyeään lyheneiä diffyhälö ai DY Esim Rakaise DY y = Tehävä on sama kuin kaikkien sellaisen funkioiden esiminen, joiden derivaaa on Näin yksinkerainen DY rakeaa suoraan inegroimalla: y = inegroidaan y= d= + C Koska C voi olla mikä reaaliluku ahansa, ällä DY:llä on ääreömän mona rakaisua Rakaisufunkio y= + C muodosava yhdessä DY:n, joka on geomerisesi eräs paraabeliparvi DY:ssä voi olla mukana myös jokin, esim eho y( ) = eli = y= (lue:"") Tämä alkueho määrää inegroimisvakion suuruuden s valisee rakaisuparvesa yhden funkion (paraabelin): y C alkueho = = + y= = + C C= y= Rakaisu y= on ämän DY:n eräs

6 Esim Eräässä suoraviivaisessa liikkeessä nopeus v muuuu ajan funkiona seuraavan lain mukaisesi: ( + ) v( ) =, Laske makan s() lauseke, kun hekellä = kappale on kohdassa s=, s s() = Aikaisemman mukaan = (): + v= s ( ) = inegr + + s( ) = d suor jako jakokulmassa ai seuraavasi: + ( + ) = d= ( ) d== ln + + C + + Iseisarvo ova arpeeoma, koska Alkueho: = s= = ln + C C= + ln s( ) = ln( + ) + + ln Mekaniikan ja lujuusopin esimerkki Esim Kummasakin pääsään ueun palkin piuus on (m) ja siä kuormiaa kuvan mukainen paraabelikuorma Paraabelin yhälö on muooa q() (,) y = a( ) (, ) oeuaa = a( ) a= paraabeli on y= ( ) Kuormiusiheys q() (kuorma/piuusyks) on siis q( ) = ( ) (esim q( ) = ) ) Mekaniikan mukaan () kohdassa on sellainen, eä sen derivaaa on q() Täsä ulee aivuusmomenille keraluvun DY, jonka rakaiseminen vaaii kaksi

7 inegroinia Sien yleiseen rakaisuun ulee kaksi inegroimisvakioa Lasku ova seuraava: M () = q() = + ( ) M ( ) = ( + ( ) ) d= + ( ) + C inegr inegr M ( ) = + ( ) + C + C 8 Koska inegroimisvakioia on kappalea, arviaan alkuehoa, joa niille määräyyisivä jokin arvo Alkuehdo: Kummassakin päässä aivuusmomeni on =, s = M M eli ja = ( ) = ( ) = M = M = Kun alkueho sijoieaan M = + ( ) + + C C = 8 Sien alkueho anaa yhälön = + + C C = 8 ( ) :n lausekkeeseen, saadaan () = + ( ) + 8 ) Lujuusopin mukaan, jos aipuma on pieni, palkin = () oinen derivaaa on yheydessä aivuusmomeniin seuraavan DY:n mukaisesi: () =, missä E ja I ova vakioia (E = aineen kimmovakio ja I on palkin poikkileikkauksen neliömomeni poikkileikkauksen painopiseen kaua kulkevan vaakasuoran akselin (z) suheen) y q() aipumaviiva y = y() z Jos ähän aipumaviivan diffyhälöön sijoieaisiin edellä laskeu aivuusmomenin lauseke ja suorieaisiin kaksi

8 inegroinia sekä käyeäisiin alkuehoja: y( ) = y( ) = (s ukien kohdala palkki ei aivu), saaaisiin aipumaviivan lauseke y() Maksimiaipuma saaaisiin ässä esimerkissä palkin keskellä, s laskemalla y() Muuujien eroaminen Edellä käsielly DY: oliva sellaisia, eä ne voiiin muuaa muooon y = u( ), y = u( ), y = u( ), eli muooon, jossa jonkin keraluvun derivaaa = ainoasaan :n lauseke Mikäli ämä lauseke sisälää myös unemaoman funkion y, suora inegroini ei käy Jos ällainen DY on keralukua s korkein derivaaa on y', DY saaaa rakea Tässä meneelmässä käyeään lähökohana ieoa = Esim y = y = dy = y d dy y dy = d y (= differeniaalien osamäärä) = d inegroidaan kumpikin puoli ( y ) + C y = e z = a z=± a eroeaan muuuja ( y: vasemmalle, : oikealle) ln y = + C yleisesi ln z= a z= e + C a+ b a b b a y=± e e = e e = e e a C = ( ± e ) e = ± e C kulkee kaikki pos ja neg luvu voidaan merkiä ± e = C (myös rakaisu y = on mukana) C Huomaa, eä edellisellä DY:llä inegroinivakio ei ullu rakaisun perään lisäermiksi: y= e + C, vaan keroimeksi eeen: y= Ce Näiden kahden funkioparven kuvaaja eivä ole samanlaisia Edellisessä parvessa on

9 funkio y= e, joa siirreään C:n arvon avulla ylös- ja alaspäin Jälkimmäisen parven funkio nouseva siä jyrkemmin, miä suurempi C- kerroin on Esim 5 y y= dy = y d dy d = y ln y = ln + C = ln + C ln + C C ln ln a y=± e =± e e yleisesi e = a = suora inegroini ei käy Kokeillaan muuujien eroamisa eroeaan muuuja ja inegroidaan Aina ei edellisen apaisa inegroimisvakion vaihamisa arvia: Esim 6 y + y = dy = y d dy = d y = + C y= y + C Muuujien eroaminen onnisuu, jos DY voidaan muuaa ulo- ai osamäärämuooon, esim u( ) dy = v( y) Sen sijaan esim DY:ssä dy = + y d d muuujia ei pysyä eroamaan (yriä!) Usea eksponeni- ai logarimilai ova peräisin Esimerkin apaisisa DY:isä Tällaisia ova esim aineen radioakiivisuuden ai mikrobien määrän väheneminen, bakeerikannan kasvu ai solujen määrän lisäänyminen solun jakauumisessa, lämmön asaanuminen kappaleen ja ympärisön välillä jne Seuraavasa näkyy, mien ällaisissa apauksissa jouduaan diffyhälöihin 5 Esim 7 Tarkasellaan ainea, joa alussa on määrä m o, mua joka vähenee vähiellen (esim muuuu oiseksi aineeksi ai "väsyy" ai radioakiivisuus häviää, mikrobi häviävä ms)

10 6 Hekellä ainea on jäljellä enää määrä m() Jos äsä hekesä mennään pieni aika eeenpäin hekeen +, niin ainemäärän muuos m(joka on negaiivinen) on verrannollinen ) aikavälin piuueen, jos aikaväli on hyvin pieni (esimerkiksi, jos ainea häviää millisekunnissa iey määrä, niin ms:ssa siä häviää kaksinkerainen määrä), ) jäljellä olevaan ainemäärään (jos esim g:sa häviää iey määrä, niin g:sa häviää kaksinkerainen määrä) Siis m= k m Koska m<, mua m> ja>, niin verrannollisuuskerroin k< Merkiään k= λ, jolloin λ> m= λ m, m = λ m Kun, ämä yhälö muuuu diffyhälöksi ( ) dm = λ m eroeaan muuuja ja inegroidaan d dm = λ d m ln m= λ+ C (iseisarvoja ei arvia, koska m > ) Alussa ainea oli jäljellä määrä m o, s alkuehona on = m= m o ln m = + C C= ln m o ln m= λ + ln m o eli ln m ln mo = λ ln m m = λ = m o m e λ = o o λ Edellä mainiun kahden verrannollisuuskohdan ) ja ) sijaan olisi voiu läheä liikkeelle suoraan diffyhälösä () Sen mukaan ainemäärän muuumisnopeus on verrannollinen jäljellä olevaan ainemäärään

11 Lineaarinen keraluvun DY 7 Lineaarisen, keraluvun DY:n yleinen muoo on () + ( ) = ( ) Lineaarisuus merkisee ässä yheydessä, eä diffyhälö on asea muuujiin y ja y' nähden Esim diffyhälö y + y= +, y ( + ) y= sin, y = y / ova lineaarisia, mua seuraava DY: eivä ole: y + y =, yy + y=, y = / y Vasaavassa homogeenisessa DY:ssä on v():n ilalla : () + ( ) = Lineaarisen DY:n () rakaiseminen apahuu kolmessa vaiheessa: Vaihe : Vasaavan homogeenisen DY:n () yleisen rakaisun y= yh( ) määriäminen (rakaisukaavalla), Vaihe : Lineaarisen DY:n () jonkin yksiyisrakaisun y= yo( ) esiminen (yrieellä ms) Vaihe : Lineaarisen DY:n () yleinen rakaisu on näiden kahden rakaisun summa: y= y ( ) + y ( ) h! Johdeaan " DY:n () yleiselle rakaisulle # Se käy eroamalla muuuja: dy = u( ) y d dy = u( ) d y ln y = U( ) + C U ( ) + C C U ( ) U ( ) y=± e =± e e = C e o merkiään u( ): n inegraalifunkioa U( ):llä

12 8 Saau ulos esieään yleensä muodossa, jossa inegraalifunkion U() ilalle merkiään u( ) d Kun ämän inegraalin arvo laskeaan, siihen ei ule enää mukaan inegroimisvakioa, sillä inegroimisvakio siiryi johamisessa lausekkeen eeen Siis Lause Homogeenisen DY:n + ( ) = yleinen rakaisu on () = ( ), missä u( ) d on u():n inegraalifunkio ilman yleisä inegroimisvakioa Esim 8 y + (sin ) y= sin d y= C e = C e cos ei in vakioa ähän! Myös esimerkkien, 5 ja 7 DY: ova muooa (), joen ne voidaan rakaisa rakaisukaavalla () seuraavasi: ) y = y (Esim ) y y= ( u( ) = ) y= C e = C e y= C e d d ei in vakioa! ) y y = (Esim 5) y y = d ln ln y= C e = C e = C e = C dm ) = λ m m + λ m= (Esim 7) m λ d λ m= C e = C e Sen sijaan esimerkin 6 DY y + y = ei ole muooa () (sillä vp ei ole lineaarinen), joen siihen rakaisukaava ei käy

13 Lineaarisen DY:n y + u( ) y= v( ) jonkin yksiyisrakaisun esiminen Seuraavassa rajoiuaan siihen apaukseen, eä u():nä on jokin vakio a, s eä kyseessä on ns lineaarinen DY () + = () Kun esiään ämän joakin yksiyisrakaisua, esiään sellaisa :n lausekea y(), eä jos se kerroaan a:lla ja lisäään derivaaaansa y'(), uloksena on lauseke v(): y ( ) + a y( ) = v( ) Kun y():n kerroin on vakio a () $%& seuraavasi: Jos esim v() on aseen polynomi, niin y():nkin äyyy olla polynomi, joa lausekkeesa y ( ) + a y( ) ulisi polynomi Koska y'() on alempiaseinen kun y(), ei lausekkeesa y ( ) + a y( ) ule aseen polynomia, ellei y():n ase ole arkalleen Vasaavasi jos v() on esim e, äyyy y():n olla sama e:n poenssi sopivalla vakiolla A kerrouna, joa lausekkeesa y ( ) + a y( ) e voisi ulla e Esiävää funkioa y= y( ) sanoaan Seuraavaan aulukkoon on koou eräiä esimerkkejä sopivisa yriefunkioisa 9 DY: + = () () Yrie: = () + y= A+ B + y= A + B+ C (ei riiä y= A + C ) 5sin + cos y= Asin + Bcos sin y= Asin + Bcos (ei y= Asin ) e y= Ae 5 ai joskus y= Ae + e 5 5 y= A+ B+ Ce (joskus :llä kerrou)

14 Esim 9 Esim Vaiheiden ja ulosen yhdisäminen Voidaan odisaa, eä lineaarisen DY:n yleinen rakaisu on homogeenisen yhälön yleisen rakaisun ja koko lineaarisen DY:n rakaisujen summa y + y= 8 Homog diff yhälön y + y = yleinen rakaisu: o + o = Ce = o y= A+ B y = y + y= A+ ( B+ A) 8 o - d A Joa DY:n vp ja op olisiva idenisesi eli kaikilla :n # A= 8 A = 6 B+ A= B= = + ' Koko DY:n yksiyisrakaisu Yrie: arvoilla sama, äyyy vasinpoenssien keroimien olla sama Täen saadaan yhälöpari yksiyisrakaisu on = 6 + : Koko DY:n yleinen rakaisu on summa - y y= cos y= Ce = Ce o o Yrie: B= B=, A= y= sin cos o o + : y = Ce + sin cos y= Asin + B cos ( ) y = Bsin + Acos ( A B)sin + ( A B)cos cos d + A B = A B= Seuraavan esimerkin a)-kohdassa on käyeävä "avallisa" eksponenifunkio-yrieä ja b)-kohdassa :llä kerroua yrieä

15 Esim a) y y= 9e y= Ce o o + y= Ae y = 5Ae ( edellä) ( ) 5 5 Ae 9e A= 9 A= y= e o o 5 + : y= Ce + e 5 o b) y y= e y= Ce o Yrie y= Ae ei käy, sillä ää muooa oleva funkio oeuava homogeenisen DY:n y y= (kohdan nojalla, jossa on juuri sama eksponeni ja A:n paikalla vain C) Toisin sanouna: jokainen funkioisa y= Ae ekee DY:n vp:n :ksi, eikä mikään ee siä e :ksi Se, eä yrie y= Ae ei käy, näkyisi laskuissa sien, eä jouduaisiin mahdoomaan yhälöön e (kokeile) Tällaisessa apauksessa äyyy kokeilla :llä kerroua yrieä: + y= Ae y = Ae + Ae ( ) Ae + Ae + Ae = Ae e A= y= e o o + : y= Ce + e = e (C + ) 5 Virapiirisovellus Esim (RL-piiri) Johdeaan virranvoimakkuudelle = ( ) lauseke oheisessa virapiirissä Kakaisija suljeaan hekellä =, jolloin vira alkaa kasvaa arvosa Vira ei saavua hei lopullisa arvoaan i, sillä käämi vasusaa virran kasvua U = i = i() u R L u

16 Käämin vasusava vaikuus virran muuumiseen voidaan esiää seuraavana säänönä: käämissä apahuva jänniehäviö on verrannollinen virran muuumisnopeueen, s = ( (verrannollisuuskerroin L on ) (Alussa, jolloin vira pyrkii kasvamaan nopeasi, käämi vasusaa ehokkaasi virran kasvua Myöhemmin, kun vira ei enää paljon kasva, s em derivaaa, käämin vaikuus on lähes olemaon) i() Vasuksen aiheuama jänniehäviö aas on (Ohmin lain mukaan) verrannollinen virran voimakkuueen: = ) (verrannollisuuskerroin R on ) Koska kokonaisjännie U on jänniehäviöiden summa (Kirchhoff), saadaan DY ( +) = * Tämä on vakiokeroiminen, lineaarinen keraluvun DY (jossa oikealla puolella on vakiopolynomi) Rakaisaan se: o o o Homog DY on L i + R i= eli R i i i Ce L d + = = = Ce L L Koska op on vakiopolynomi U, niin yrie on o i = A + i = R L + : i = Ce Alkueho: AR U A= U i= R R L + U R U R = U Ce i R C U = + = = R R R U i R e U U = L + R R kun *, = ) R

17 HARJOITUKSIA = Rakaise DY y =, alkuehona y( ) = eli y= A Määriä DY:n y = sin yleinen rakaisu sekä sellainen yksiyisrakaisu, eä se äyää alkuehdon y( ) = a) + y = = =,, b) y =, y= y= y = Rakaise eroamalla muuuja a) y y=, b) y + (sin ) y= 5 Rakaise DY a) dy+yd=, = y=, b) dy y d = + =, y= 6 Rakaise rakaisukaavalla: a) y y=, b) y + (sin ) y= 7 Rakaise a) eroamalla muuuja, b) rakaisukaavalla y y = 8 Rakaise a) y + y=, b) y + y= e 9 Mikä DY:n y + y= sin rakaisukäyrisä kulkee origon kaua? Rakaise DY y = B, alkuehoina y( ) = y( ) = Määriä DY:n y = e yleinen rakaisu Pysysuorassa heioliikkeessä kiihyvyys a oeuaa ehdon a= g ( g= 9, 8 m/ s, a= s ( ) ) Määriä makan s = s() lauseke, kun hekellä = kappaleella on alkunopeus v o ja alkukorkeus s o Rakaise seuraava DY eroamalla muuuja sekä piirrä rakaisukäyrä yy =, y= = a) y + y=, b) y + y = (vihje: eri meneelmä a)- ja b) kohdissa)

18 5 Rakaise DY y y= 6 a) eroamalla muuuja, b) käsielemällä DY:ä lineaarisena DY:nä 6 Kappaleen lämpöila hekellä on T ja ympärisön on (koko ajan) T ymp Lyhyenä aikavälinä lämpöilan muuos on verrannollinen aikavälin piuueen sekä kappaleen ja ympärisön väliseen lämpöilaeroon a) Johda näiden ieojen avulla lämpöilalle T = T( ) DY ja b) rakaise se, kun kappaleen alkulämpöila (hekellä =) on o C ja ympärisön 5 o C (eroa muuuja) 7 Edellisen harjoiuksen mukaisen kappaleen lämpöila on unnin kuluua (hekellä =) 5 o Mikä se on kahden unnin kuluua? 8 Rakaise a) y y= e, b) y + y= e 9 Vaihovirapiirissä jännie u= sin, R= ( ) ja L= ( H) (arvo ova laskujen yksinkeraisamiseksi ekaisuja) Johda virranvoimakkuudelle i= i( ) DY ja rakaise se, kun i( ) = / ( A) C Kummasakin pääsään ueun palkin piuus on L ja siä kuormiaa asainen kuorma, kuormiuskorkeuena q (= vakio) Laske diffyhälöillä aivuusmomenin ja aipumaviivan lausekkee Laske ulokekannaajan, jonka piuus on L ja joa kuormiaa asainen kuorma, aipumaviivan yhälö ja maksimiaipuma (Ohje: alkuehdo ova y( ) = ja y () = miksi?) Vaihovirapiirissä on u= sin( π ), R=, L= H ja i( ) = (käämin oikosulkumooori) Määriä i():n lauseke Eräs bakeerikana lisäänyy sien, eä lyhyenä aikavälinä lisäys on verrannollinen bakeerimäärään ja aikavälin piuueen Tukimus alkoi klo 9 ja klo odeiin bakeerimäärän lisäänyneen 7% a) Monako % määrä on lisäänyny kokeen alusa hekeen mennessä? b) Milloin bakeerimäärä ulee kolminkeraiseksi alkuilaneeseen verrauna? c) Monako % määrä lisäänyy aikavälillä klo 6 klo 6?

19 Vakion varioini Jos keraluvun lineaarinen DY ei ole vakiokeroiminen, sen yksiyisrakaisua ei löydeä yleensä edellä esieyllä yriemeneelmällä, vaan sopiva yrie saadaan muunamalla (varioimalla) homogeenisen diffyhälön yleisä rakaisua seuraavasi Korvaa homogeenisen diff-yhälön rakaisussa vakio C funkiolla C() ja yriä löyää älle funkiolle jokin sellainen lauseke, eä näin muunneu homogeenisen DY:n rakaisu oeuaa lineaarisen DY:n Esimerkiksi y + y= sin, > o HomogDY:n yl rak on y= C (laske!) o C( ) y= C ( ) C( ) y = o o C ( ) sin C ( ) sin C( ) = sin cos C sin + : y= + cos a) Suoria edellise lasku yksiyiskohaisesi b) Rakaise DY y + y an= sin 5 5 Laske vira i() viereisessä piirissä: u = sin π 6 Osoia, eä funkio ( C) + ( y C) + z = a oeuava osiaisdiffereniaaliyhälön z z z ( ) = y y = L = 7 (H) (Vihje: ermin z z osiaisderivaaa esim :n suheen on z )

20 6 Toisen keraluvun DY Vakiokeroiminen lineaarinen oisen keraluvun DY Osikon mukainen DY on muooa () + + = ( ) Se rakaisaan kolmessa vaiheessa, joisa kaksi viimeisä ova lähes samanlaisia kuin edellä (mua joskus arviaan :lla kerrou yrie) Ensimmäinen vaihe, vasaavan homogeenisen DY:n () + + = yleisen rakaisun määriäminen, on erilainen Rakaiseminen perusuu ns käyämiseen ja seuraavaan lauseeseen (joka esieään odisuksea): Lause Jos homogeeniselle DY:lle () löydeään kaksi yksiyisrakaisua y( ) ja y( ), joiden suhde ei ole vakio, niin on = ( ) + ( ) Näiden kahden yksiyisrakaisun y( ) ja y( ) määriämisavan johamiseen käyeään eksponenimuooisa yrieä y= e r (joka on samanapainen kuin vasaavan keraluvun DY:n y + ay= rakaisu y= Ce a ) y= e r y = re r y = r e r r b a y + ay + by= e( r + ar+ b) r + ar+ b= > Funkio y= e r on siis homogeenisen diffyhälön () yksiyisrakaisu, mikäli r:llä on sellainen arvo, eä

21 Tää avallisa oisen aseen yhälöä sanoaan DY:n () Huomaa, eä sen keroime ova sama kuin DY:n keroime Sen mukaan, millaisia karakerisisen yhälön juure (eli rakaisu) ova, käsiely jakauuu kolmeen osaan: ) Karakerisisella yhälöllä on r ja r Tällöin em yrieellä saadaan yksiyisrakaisu y e r r = ja y= e r r ( r r ) Näiden suhde e : e = e vakio, joen Lauseen mukaan homogeenisen DY:n () yleinen rakaisu on = + ) Karakerisisen yhälön juure ova sama eli yhälöllä on, Tällöin em yrieellä saadaan vain yksi yksiyisrakaisu y= e r, Voidaan odisaa, eä ällöin myös :llä kerrou funkio y e r, = oeuaa homogeenisen DY:n Lauseen mukaan homogeenisen DY:n () yleinen rakaisu on ny r r # = C e + C e =! + ",, ) Karakerisisen yhälön juure ova : = ±, a ab, R Voidaan odisaa, eä ässä apauksessa y= e sin b ja a y= e cos b oeuava homogeenisen DY:n Koska näiden kahden yksiyisrakaisun suhde ei ole vakio (vaan = an b ), niin homogeenisen DY:n () yleinen rakaisu on = ( sin + cos ) 7 Esimerkkejä Esim Rakaisaan kaksi vakiokeroimisa, homogeenisa diffyhälöä: ) + + = karakerisinen yhälö r + r+ = = ( + ) =

22 8 ) y + y + y= r + r+ = = ( sin + cos ) r= ± = ± 9= ± i Seuraava DY ei ole enää homogeeninen vaan lineaarinen, joen siinä on käyeävä kaikkia em vaiheia, ja Huomaa, eä mukana oleva alkuehdo ova koko DY:n alkuehoja, joen niiä on käyeävä kohaan + eikä kohdan jälkeen Esim + + = = y y y 8, alkuehoina y y o o r + r + = juure r =, r = = ja = = Homog DY: n yleinen rakaisu Karak yhälö on y= C e + C e Koko DY:n yksiyisrakaisu Yrie: y = A + B y = A y = A= 8 A+ ( A+ B) 8 A+ B= A 6 = y= 6 8 B= 8 o + o = Alkuehdo: = = Ce + Ce 8 C + C = 9 y= y = Ce Ce + 6 = = C C + 6 C + C = y = + C + C = 9 ( ) C + C = C = 6 C =, C = = + 6 8

23 *Seuraavasa DY:sä puuuu y-ermi, mikä aiheuaa ässä esimerkissä (mua ei aina) sen, eä äyyy käyää :llä kerroua yrieä (yksiyiskohda harj) 9 * Esim y + y = + o r + r= r( r+ ) = r =, r = o y= C e + C e = C + C e Yrie y = A + B johaa risiriiaan A + Yrie y = ( A + B) eli y = A + B sensijaan käy Suoria lasku Vasaus on = + + vakio ei ole vakio *Seuraavassakin esimerkissä yriee ova poikkeuksellisia (harj) * Esim a) y + 9 y= sin r + 9= r=± i o y= e ( C sin + C cos ) = C sin + C cos o Yrie y= Asin+ Bcos ei käy, sillä nämä funkio ova juuri sama kuin homogeenisen DY:n rakaisu Siksi arviaan :llä kerrou yrie (Käyä derivaaoja laskiessasi ulon derivoimissäänöä) b) y + y + y= 6e Homog DY:n rakaisu on Esim mukaan y= e ( C + C ) = C e + C e Yriefunkioksi ei käy y= Ae eikä myöskään y= Ae, sillä nämä funkio ova mukana homog DY:n rakaisuissa (kun valiaan C = ai vasaavasi C = ) Siksi ässä esimerkissä on käyeävä :lla kerroua yrieä y= A e *Jos edellisen DY:n oikealla puolella olisi ollu esim 6e (siis eri eksponeni kuin homogeenisen DY:n rakaisussa), niin normaali yrie y= Ae olisi ollu oikea yrie

24 Sovelluksia Esim 5 $ Kappale, jonka massa m =, liikkuu pikin s-akselia edesakaisin voiman F = 6 s vaikuuksesa Muodosa liikkeelle s= s( ) DY ja rakaise se, kun s hekellä = kappale on kohdassa s s= ja sillä on nopeus v= Nopeudella on näin erikoinen arvo, joa ampliudiksi saaaisiin kokonaisluku Luonnollisempi arvo olisi esim ämän nopeuden likiarvo Miayksikö on jäey pois, joa perusidea ulisi paremmin esiin Lähökohana on liikelaki % =, missä % Tässä esimerkissä mukana on vain "harmoninen" voima F = 6 s Diffyhälöön jouduaan sen kaua, eä kiihyvyys on makan oinen derivaaa: = ( ) = % m=, =, % = % = 6s s = 6s : + = Kyseessä on homogeeninen vakiokeroiminen keraluvun DY Se rakeaa siis karakerisisen yhälön avulla seuraavasi: r + = r=± i s= e ( C sin + C cos ) = = C sin + C cos v= s = C cos C sin = = C sin + C cos C = s= = = = = C C = v= = sin + cos Harmoninen liike muodosuu siis sini- ja kosinikomponeneisa, joilla kummallakin on sama jakso π / = π Yleisesi funkion y= sinω jakso on T =π / ω, sillä sin ω= ω= n π = n π / ω, josa saadaan peräkkäisiä -kohia, π / ω, π / ω, π/ω π/ω

25 *Koska komponeniaalloilla on sama jakso, ne voidaan arviaessa (esim piirämisä varen) yhdisää yhdeksi siniaalloksi seuraavasi: s= sin + cos & sin( + ϕ) A, ϕ=? + Acosϕ = Asinϕ= A (cos ϕ+ sin ϕ) = + A= Jaeaan alempi yhälö ylemmällä Asinϕ Acosϕ ( ) ( ) A(sin cosϕ+ cos sin ϕ) ( A cos ϕ)sin + ( A sin ϕ) cos = an ϕ =, neljännes, koska Peruskulma ϕ o = π / 6 ϕ= π π / 6= 5π / 6 = sin( + 5 π / 6) Käyrä on viereisen kuvan mukainen Koha 5π / saadaan, kun ukiaan milloin s= eli milloin sin( + 5π / 6) = Tämän yksi rakaisu on + 5π / 6= = 5π / 5π/ sini pos kosini neg Yhälössä :n kerroin on värähelyn kulmaaajuus, joa merkiään yleensä ω :lla Siis ässä esimerkissä π kulmaaajuus ω =, jakso (jaksonaika) T = = ω π, frekvenssi eli aajuus f = = T π Seuraavassa esimerkissä heikenneään harmonisa voimaa F = 6 s, korvaamalla se voimalla F = s Samalla lisäään syseemiin vaimennus, jonka suuruus on valiu sellaiseksi, eä loppuuloksena on värähely (ny vaimenneuna), jonka kulmaaajuus ω on edelleenkin s π π Esim 6 $ Kappaleeseen, jonka massa on, vaikuaa harmoninen voima F = s ja vaimenava voima, joka on verrannollinen nopeueen: F = v (ns 6

26 ) Johda liikkeelle DY ja rakaise se, kun hekellä = kappale on kohdassa s= ja sillä on nopeus v= Tilannea voidaan havainnollisaa oheisella kuvalla, jossa syseemiin on lisäy jokin vaimennin (esim vajaaehoinen iskunvaimennin) = % m=, a= s, F = F = s 6v= s 6s s = s 6s s + 6s + s= homoglin DY Kar yhälö: r + 6r+ = r= ± 9 = ± i = = ( sin + cos ) = ( + C ) = s= v= s = e ( C sin + C cos ) + e ( C cos C sin ) i = = C + C = + C = v= = (sin + cos ) s s *Yhdiseään vielä sini-ja kosinikomponeni: sin + cos Koska niillä on paisi sama jakso ( π / = π ) myös sama ampliudi, yhdisäminen käy edellisä esimerkkiä helpommin rigonomerian uloksen sinα± cosα = sin( α± π / ) avulla Näin saadaan ulos = sin( + π / ) Kyseessä on vaimeneva, sinimuooinen värähely, jonka ampliudi on e Vaimennusekijä e pienenee hyvin voimakkaasi :n kasvaessa Käyrä on viereisen kuvan apainen, mua nopeammin vaimeneva (b:n arvo on piirämisä ajaellen liian suuri jos s- ja -aseikoilla haluaan käyää yhä pikää miayksikköä) s s = Ae - b s = -Ae -b s = Ae -b sin(ω +ϕ) Edellisessä esimerkissä harmonisen voiman % = ja vaimenavan voiman % = β = β keroimien k ja β suhde oli sellainen, eä uloksena oli ns Tämä näkyi laskuissa sien, eä

27 karakerisisen yhälön juure oliva imaginaarise ja siksi värähelysä uli sinimuooinen Jos suhdea β/k suurenneaan (joko kasvaamalla vaimennusa ai heikenämällä harmonisa voimaa), karakerisisen yhälön juure muuuva reaalisiksi ja rakaisu on eksponenimuooa: s= Ce + Ce ( a, b> ) Kyseessä on ns (vr auon jousius ja kunnossa oleva a b iskunvaimenime) ja käyrä on esimerkiksi seuraavan kuvan apainen Harj A m=, F = 5s, F = 6v, s( ) = v( ) = Näiden välimuoo on ns kriiinen vaimennus, joka vasaa kaksoisjuuri-apausa Rakaisu on a muooa s= e ( C + C ) ja käyrä ei eroa kovin paljoa edellisesä Harj B m=, F = 9s, F = 6v, s( ) = v( ) = s s = C e -a + C e -b Esim 7 Lisäään edellisen esimerkin apaiseen syseemiin F = a sinω F= -ks F = -βv vielä värähe- s lyä "häirisevä" pakkovoima (joka voi olla s esim sinimuooinen) Jos esimerkiksi m=, F = 5s, F = v ja pakkovoima on F = sin, niin DY:n rakaisuksi saadaan o o (kohien + avulla, arkemmin harj) s= e ( C sin + C cos ) + ( sin cos ) Ensimmäisen ermin edessä oleva e aiheuaa sen, eä ämä ermi, kun kasvaa Sien jonkin ajan kuluua 5 5 s ( sin cos ) sin(, 6) 5 s syseemi värähelee pakkovoiman kulmaaajuudella ω =, mua ässä esimerkissä pakkovoimaa pienemmällä ampliudilla Pakkovoimaan sin nähden s:ssä on ( ),6 5

28 Esim 8 '( )* Lisäään aikaisemmin käsielyyn RL-piiriin kondensaaori, jonka kapasianssi on C ja joka on hekellä = varaukseon Uusi jänniehäviö on verrannollinen varaukseen q (verrannollisuuskeroimena /C): U = i = i() u R C L u = + u Kirchhoffin lain mukaan jänniehäviöiden summa on = U, s di () L + Ri+ q= U d C Tässä yhälössä on kaksi unemaona funkioa = ( ) ja + = + ( ) Niiä sioo kuienkin oisiinsa se, eä lyhyenä aikavälinä d kondensaaori saa varauksen dq= i( ) d s eä,+, ()= Sien i ( ) = saadaan, +, () ( + ' + + = - d q d Kun nämä sijoieaan yhälöön (),,+, Täsä saadaan rakaisua varaus q, alkuehoina q( ) = ja i( ) = eli q ( ) = Sen jälkeen i saadaan q:n derivaaana *Yhälösä () saaaisiin myös i:lle DY seuraavasi Koska dq= i( ) d, niin hekeen mennessä kondensaaori on saanu varauksen = q i ( ) d (sillä koko varaus on osavarausen summa) Kun ämä sijoieaan yhälöön (), i():lle saadaan differeniaaliinegraaliyhälö, ( + '+ (),= -, Täsä yhälösä seuraa derivoimalla i():lle keraluvun DY,, () ( + ' + () =, sillä d d,, d d f ( ) d= F( ) = F( ) F( ) = F ( ) = f ( ) d d

29 *Yhälön () oinen alkueho on i( ) = Toinen i ( ) =? äyyy laskea vasaavan RL-piirin i( ): n lausekkeesa (s ajaelemalla, eä alussa kondensaaori on yhjä, joen se ei vaikua silloin virran kasvusuunaan) 5 *Esim 9, piuus heilahduskulmalle ϕ = ϕ( ) DY ma= F a= lϕ, F = mg sinϕ mlϕ = mg sinϕ lϕ + g sinϕ= g l ϕ + sin ϕ= l, massa m Johdeaan ϕ Tämä ei ole lineaarinen DY Jos oleeaan, eä heilahduskulman suurin arvo ϕ ma on aika pieni, esim alle π /8 rad (= o ), niin sinϕ ϕ ϕ sin ϕ ϕ ( sillä lim = ) Näin DY saadaan linearisoiduksi: ϕ + ϕ = Merkiään = k ϕ + k ϕ = r + k = r=± k =± ki ϕ = e ( C sin k+ C cos k) g l kar yhälö: = = C = ϕ = C sin k ϕ= g l F mg Toisen inegroinivakion C määriäminen ei käy alkuehdon avulla aivan avanomaisesi, vaan seuraavalla pääelyllä Koska sinin suurin arvo on ja ϕ :n suurin arvo on ϕ ma, niin äyyy olla C =ϕ ma Siis ϕ = ϕ ma sin k Täsä saadaan avallinen heilahdusajan T laskukaava seuraavasi:

30 6 = T ϕ= ϕ ma T T ϕ = ϕ sin k sin k = ma ma T π l k = ( + n π ) T = π = π k g *Esim /, perusapaus Taivuusmomeni kohdassa on M = F y Sijoieaan ämä aipumaviivan diffyhälöön: F F y = = y= k y ( k= ) y + k y= r + k = r=± ki y= C sin k+ C cos k M EI EI = C = y= C sin k y= = l C sin kl = y= EI F y + y Täsä lähien käsiely ei ole "avanomaisa" vaan apahuu seuraavasi Koska C sin kl=, niin ) Joko C = aipumaviivan yhälö on y = ei nurjahdusa ) Tai: sin kl= kl= n π ( n=, ±, ±, ) F EI l= n π F n π EI = l Sien pienin voima, jolla nurjahdus apahuu, saadaan kun n=: F EI = π l Nurjahdus eroaa palkin aivuuksesa mm sien, eä jos vaikuava voima on niin suuri, eä nurjahdus apahuu, palkki "aipuu alas asi" s niin paljon, eä alku- ja loppupää yhyvä

31 7 HARJOITUKSIA a) y + 6y + 6y=, b) y + y= c) y + y + y= e y y= e, = y= y = / a) y y= e, b) y + y= sin A Kappaleeseen, jonka massa m=, vaikuaa harmoninen voima F = s a) Johda liikkeelle s= s( ) DY ja rakaise se, kun hekellä = kappale on kohdassa s= ja sillä on nopeus v= b) Yhdisä sini- ja kosinikomponeni yhdeksi siniaalloksi Ohje: Koska komponeneilla on sama ampliudikin, yhdisäminen käy helposi kaavan sinα+ cosα = sin( α+ π / ) avulla c) Piirrä kuvaaja 5 Rakaise Esimerkin 7 edellä mainiu kaksi vaimenneun värähdysliikkeen harjoiusa a) Harj A ja b) Harj B sekä kolmanena c) m=, F = 5s, F = v, s( ) = v( ) = 6 a) y + y= 6sin cos, alkuehoina b) y + y = 8sin, y( ) =, y ( ) = B = y= ja = y = 6, 7 Rakaise Esimerkin DY (vasaus esimerkin yheydessä) 8 Seuraavisa DY:isä ainakin yksi vaaii "vajauensa" vuoksi :llä kerroun yrieen Rakaise nämä DY: a) y y= +, b) y y = 8, c) y + y = sin Huom Ole yleisesi arkkana, kun muodosa "vajaalle" DY:lle kar yhälön Esim c)-kohdassa väärä kar yhälö r + = anaisi homog DY:lle rakaisun C sin + C cos ja sien olisi loogisa käyää :llä kerroua yrieä (joka kuienkin johaa risiriiaan)

32 8 9 Määriä DY:n y + 8y + 7y= sellainen rakaisukäyrä, joka leikkaa -akselin origossa 5 o kulmassa Määriä DY:n y y= a) yleinen rakaisu, b) sellainen yksiyisrakaisu, joka sivuaa suoraa y = origossa Rakaise y y + y= +, alkuehoina y( ) =, y ( ) = Kappaleeseen, jonka massa m =, vaikuava voima F = 8s ja F = 6sin cos Johda funkiolle s= s( ) DY ja rakaise se, kun s( ) = ja v( ) = Kappaleeseen, jonka massa =, vaikuaa harmoninen voima 9s, vaimenava voima 6v ja pakkovoima e Muodosa ja rakaise liikkeen DY Kappaleeseen, jonka massa m =, vaikuava voima F = v ja F = sin Muodosa makalle s= s( ) DY ja määriä sen yleinen rakaisu 5 Kappaleeseen, jonka massa =, vaikuava voima F = v ja F= 8sin Muodosa makalle s= s( ) DY ja rakaise se, kun s( ) = ja v( ) = 6 Rakaise Esimerkin diffyhälö a) ja b) C 7 Kappaleeseen vaikuaa a) vain harmoninen voima F = ks, b) myös vaimenava voima F = β v, c) näiden lisäksi pakkovoima Fo sinω Merkiään k =ω m o, = δ ja F o m m apauksen diffyhälö β = K Muodosa näiden kolmen o 8 Viereisen kuvan mukaisessa RC-piirissä kakaisija suljeaan hekellä =, jolloin vira i kasvaa hei ohmin lain mukaiseen arvoon ja kondensaaori alkaa varauua a) Muodosa i:lle DY ja rakaise se b) Laske varauksen q lauseke (inegroi i():n lauseke) U R C

33 9 Rakaise RCL-piiri eriyisarvoilla U = V, R=, C= F, 5 L= H Kakaisija suljeaan hekellä =, jolloin kondensaaori on varaukseon RCL-piirissä R= 6 ( ), L=, ( H), C= ( F ), U = ( V ) a) Muodosa varauksen yleinen lauseke b) laske i:n lauseke, kun q( ) = i( ) = Myöhemmin virapiirejä käsiellään ns Laplacemuunnosen avulla Rakaise y y + y = e kahdella eri avalla: a) käyämällä karakerisisa yhälöä ja yrieä samaan apaan kuin edellä, b) merkisemällä y = u, jolloin saa u:lle keraluvun diff yhälön Rakaise y + y =, > merkisemällä y = u ja käyämällä vakion varioinia (joka esieliin edellisen luvun C-ehävissä) Todisa, eä DY:llä y y + y= on muooa y= r oleva rakaisu ja määriä r + + = Rakaise DY-ryhmä y z y y z + z= +, missä y= y( ), z= z( ) 5 Seuraavassa ehävässä saadaan liikkeelle keraluvun DY, joka muodoseaan samanapaisesi kuin harmonisessa liikkeessä: Puoavaan kappaleeseen vaikuaa maan veovoima F = mg ja ilmanvasus, joka on verrannollinen nopeuden johonkin poenssiin: F = kv r a) Muodosa nopeudelle v DY b) Rakaise DY siinä apauksessa, eä r= c) Laske apauksessa r = rajanopeus v s nopeuden raja-arvo, kun Ohje: Rajanopeus saadaan selville DY:sä rakaisemaa diff yhälöä, sillä kun, niin nopeuskäyrän angenin kulmakerroin eli v' lähenee nollaa (koska nopeus vakioiuu) 6 Kanooi (massa m) yönneään liikkeelle nopeudella 5 (m/s) a) Johda kanooin kulkemalle makalle s = s() diffyhälö ja rakaise se, kun oleeaan, eä kanooiin vaikuaa vain väliaineen vasus, joka on on suoraan verrannollinen nopeueen (F = kv) b) Minkä muodon rakaisu saa, jos iedeään, eä kanooi pysähyy 5 m päähän? 9

34 Trigonomerisen funkioiden kääneisfunkio Kääneisfunkio ja sen derivaaa Funkion f perusominaisuus on se, eä jokaisa :n arvoa, joka kuuluu määrielyjoukkoon, vasaa yksikäsieinen y:n arvo Nämä y:n arvo eivä aina ole eri suuria Esim paraabelilla y= y :n arvoja + ja vasaa sama y:n arvo Jos funkio kasvaa ai vähenee aidosi, niin eri :n arvo kuvauuva erisuurille y:n arvoille Sien ällaisilla funkioilla y= f( ) jokaisa y:n arvoakin vasaa yksikäsieinen :n arvo = g( y) s g y=f() eli y =g(y) äyää funkion perusominaisuuden Yhälön = g( y) määrielemää funkioa g sanoaan f- funkion ja sen merkkinä on (eoreeisissa arkaseluissa) f Tässä yheydessä ei arkoia avallisa negaiivisa eksponenia Esim funkio kääneisfunkio y= + y = y= = y y= ln = e y Koska esim y= ln = e y, s kyseessä on sama yhälö vain kahdessa eri muodossa, niin näiden funkioiden kuvaaja y-koordinaaisossa ova sama Jos jälkimmäisessä yhälössä vaihdeaan ja y keskenään, jolloin ulee riippumaoman muuujan (eli argumenin) ja y funkion merkiksi, niin uuden yhälön y= e kuvaaja on eniselle kuvaajalle symmerinen suoran y = suheen (,e) y = e y = ln eli = e y (e,)

35 Lause Esim Kääneisfunkioiden derivaaa ova oisensa kääneislukuja: = Jos logarimifunkion derivoimissäänö unneaan, sen avulla voidaan johaa eksponenifunkion derivoimissäänö seuraavasi Koska y= e = ln y, niin D e = = = y= e D ln y y Joskus funkio saadaan, s aidosi kasvavaksi ai väheneväksi, kun rajoieaan funkion määrielyjoukkoa Sien funkiolle saadaan kääneisfunkio Esimerkiksi funkiolla y = rajoieuna :n posiiivisiin arvoihin on kääneisfunkio: y=, > = y Vasaavasi funkiolla y = sin rajoieuna väliin π / π / (vr seuraava kuva) on kääneisfunkio = arcsin y (lue: arkussini y) y =, > eli = y Ohjelmisoissa on usein lyheneen arcsin ilalla asin ai asn (Ehkä maemaiikassakin olisi syyä siiryä näihin) Arkusfunkio π/ y = sin, -π/ < <π/ eli = arcsiny π/ Arkussini Edellisen mukaan y= sin, π / π / = arcsiny π/ y = arcsin Kun ässä vaihdeaan ja y keskenään ja lueaan pääely oikeala vasemmalle, saadaan ulos ()= arcsin = sin, π / π / - Täen käyrä y= arcsin on sama käyrä kuin = sin y, π / y π /, s kyseessä on π/

36 päkä y-akselin ympärillä aaloilevasa sinikäyräsä Tuloksen () mukaan y eli arcsin oeuaa ehdo siny=, π / y π /, s π / π / Sien esim arcsin = sellainen kulma välilä [ π, π ], eä sen sini on Tällainen kulma on π 6 Siis Esim arcsin = 6 π arcsin( ) = π (kuva), arcsin ei ole määriely, sillä ei ole olemassa kulmaa, jonka sini olisi, arcsin(, ), 6 (laskimessa ehkä sin ai inv sin), α α = arcsin (α on kulma, jonka sini on ) - *Yleisesi π 6 arcsin( ) = () arcsin( ) = arcsin, sillä viereisessä kuvassa kulma, jonka sini on, on α ja kulma, jonka sini on, on α, s arcsin=α ja arcsin( ) = α *Yhälön () mukaan arcsin on parion funkio α α - Koska y= arcsin = sin y, π / y π /, niin lauseen nojalla D arcsin = = = = Dsin y cos y + sin y > Siis () arcsin = Esim D arcsin = ( ) = (sisäfunkiona )

37 Esim 5 / d / π π π == arcsin = = / / 6 *Arkuskosini Kun kosinifunkio rajoieaan välille π, se on monoonisesi vähenevä ja saa (keraalleen) kaikki arvonsa Täen voidaan määriellä y = arccos = cos y, y π Siis arccos on sellainen kulma välilä [, π ], eä sen kosini on π π π Esim 6 arccos =, arccos( ) = π = Yleisesi (vr kuva) () arccos( ) = π arccos Arkuskosini ei siis ole parillinen funkio kuen kosini Arkuskosini voidaan esiää arkussinin avulla seuraavasi (vr viereinen kuva): π (5) arccos= arcsin Täsä seuraa, eä arccos= arcsin= Arkusangeni Tangeifunkiolla rajoieuna avoimelle välille π π on kääneisfunkio: y= arcan = an y, π < y< π Siis arcan on sellainen kulma välilä π π, eä sen angeni on y = an β α - α = arccos β = arccos(-) α α = arcsin β = arccos β=π/ α π β Esim 7 arcan = π, arcan( ) = π *Yleisesi: arcan on parion funkio y = arcan

38 *Seuraavalla uloksella voi olla käyöä mm ohjelmoinnissa: (6) arcsin= arcan α *sillä viereisessä kuvassa α on sekä kulma, jonka sini on eä kulma, jonka angeni on / (Funkioiden pariomuuden akia voidaan oleaa, eä > ) π π Koska y= arcan = an y, < y<, niin Siis Darcan = D an y = + an y = + (7) arcan = + - Esim 8 ) Darcan( + ) = = + ( + ) d π π π ) = arcan = ( ) = + Inegroimismeneelmiä Areafunkio Arkussinin ja arkusangenin derivoimiskaavoilla on inegroinnissa merkiysä laajemmalikin, sillä erää inegraali palauuva näihin, kun käyeään apuna sijoiusa ja neliöiniä Esim 9 * Esim = = d d sij = d= d = arcsin + C= arcsin + C d d + + = ( + ) + sij + = d= d d arcan C arcan( ) C + = + = + +

39 Esim Siis = d sij = a + a d= ad ad = a + a a d C C + = arcan a + = arcan a a + 5 = arcan + ja vasaavasi + = arcsin + Kaavasossa on kolme lähes samannäköisä inegraalia, mua niiden ulokse ova eräiä logarimifunkioia: = ln +, + = ln + +, = ln( + + ) + + Esim ln (ln ln ) d d = = + = ln = ln ( sillä ln = ln ln a= ln a) a = Edellise ulokse voidaan perusella esim derivoimalla oikea puole Varsinaisesi ne ova peräisin hyperbelifunkioiden kääneisfunkioiden eli ns derivoimiskaavoisa *Koska hyperbelifunkio ova eksponenifunkioyhdelmiä, on luonnollisa, eä niiden kääneisfunkio ova eräiä logarimifunkioia Esim e e y= sinh = = arsinh y= ln( y+ y + ) *Tod Rakaisaan yhälösä e e = y : e e = y e ( e ) ye = e = y± y + ei käy, sillä e > = ln( y+ y + )

40 6 HARJOITUKSIA A Jos mahdollisa, laske seuraava arvo ilman laskina, aulukkoja ms (erikoiskolmion ai rigympyrän avulla) ja arkisa ulokse laskimen avulla Tulokse radiaaneina a) arcsin, b) arcsin, c) arcsin, d) arcsin( ) e) arcsin( ) + arcsin( ), f) arcsin g) arcsin 5, 5 h) arcsin( ) +arcsin( ) Kuen edellinen, mua arkussinin ilalla arkuskosini Kuen, mua a) arcan, b) arcan( ), c) arcan, d) arcan ( ), e) arcan( ) Derivoi a) arcsin, b) ln arcsin, c) arcsin, d) arcsin 5 Derivoi a) arcan, b) arcan c) arcane 6 a) / d, b) d, c) / d / 7 a) d, b) + d, c) + ds s + 8 Laske sopivan sijoiuksen avulla / d a) d, b) +9 ds, c) s 9 d Laske neliöinnin ja sopivan sijoiuksen avulla d + 6+ d Laske neliöinnin ja sopivan sijoiuksen avulla +

41 B 7 Johda lauseen avulla funkion y= derivaaan lauseke a) D arcsin, b) D arcsin( ), c) D arccos + Laske D arcan + 5 Laske sijoiuksen = sin avulla kaavasosa löyyvän kaavan d ja arkisa ulos a a d= a + arcsin + C a avulla (Tämä kaava johdeaisiin samanapaisesi) 6 Laske arcsin( ) ja arccos( ), jos iedeään, eä arcsin = π b 7 a) d, b) + d + +, c) du u 8 a) + + d (suoria jako) b) + d, c) d + 9 C 9 Esiä yhälön sin = a rakaisu arkusfunkioia (lukua arcsin a ) käyäen siinä apauksessa, eä a) a, b) a< (Vihje: mikä on peruskulma?) Kuen edellinen, mua arkussinin sijalla ) arkuskosini, ) arkusangeni Osoia, eä jos a >, niin d sign a = arcsin + C, missä sign on :n a a jos eumerkkifunkio (signum), s sign =,, jos <

42 8 Esiä arccos arkusangenin avulla π Tulos arccos= arcsin peruseliin vain kolmion avulla, s oleamalla, eä on posiiivinen Todisa se siinä apauksessa, eä on negaiivinen Tulos sin(arcsin ) = piää paikkansa aina kun arcsin on määriely (s kun ), sillä aina "sini kulmasa, jonka sini on, on " π a) Määriä ämän avulla funkion y= arcsin kääneisfunkio Sen sijaan arcsin(sin ) ei aina ole =, koska arkussinin arvon äyyy olla aina välillä π π, mua voi olla minkä kokoinen kulma ahansa Ainoasaan, jos rajoieaan välille π π, niin arcsin(sin ) = π π Niinpä esim arcsin(sin ) = (sillä kulma, jonka sini on muuen sama kuin kulman π sini, mua joka on välillä π π, on π Laske vasaavasi seuraava arvo ja arkisa ulokse laskimella: b) arcsin(sin ), c) arcsin(sin ), d)arcsin(sin 6 ) e) arcsin(cos ) 5 π 6 5 Laske yleisesi arcsin(cos ), kun on a) välillä π π, b) välillä π π Ohje: Merkise arcsin(cos ) = y, jolloin sinα = sinβ α = β+ n π π π sin y= cos, y aiα = π β+ n π π sin( ) Rakaise äsä kaikki y:n arvo ja valise niisä oikea

43 9 Murofunkion inegroini Perusapauksia ova muooa a ( ), missä a() ja b() ova polynomeja b( ) Aikaisemmissa luvuissa on esiinyny lähinnä sellaisen murofunkioiden inegroinia, joiden nimiäjissä on vain yksi jaoon ekijä ai ällaisen ekijän poenssi Seuraavassa esimerkissä on ällaisia "perusapauksia" Esim d d a) ln C, + = + = + + d b) = ( + ) d ( + ) = ( + ) C= ( + ) c) d d = = ln( + ) + C, + + d d ) arcan C, + = + d e) ln C, = + + f ) = = ( + ) + d d + C, sij + = d= d d arcan C arcan C + = + = + joko jakokulmassa ai esim seuraavalla avalla: Esim d + = d= d = ( + ) d= ( + ln ) + C Jos suoria jaon jakokulmassa, polynomien ermien äyyy olla jakokulmassa :n alenevien poenssien mukaisessa järjesyksessä Kokeile esim

44 + 7 7 = Yleisesi yllä olevan esimerkin apaisen jaon ulos on muooa a( ) r( ) = q( ) +, b( ) b( ) missä q() on osamääräpolynomi ja r() jakojäännöspolynomi, jonka ase on alempi kuin jakajapolynomin b() ase Koska polynomi q() on helppo inegroida, ehäväksi jää sellaisen murofunkion inegroini, jossa osoiaja on alempiaseinen kuin nimiäjä Osamuroihin jako on meneelmä, jolla sellainen supiseussa muodossa oleva murofunkio, jonka osoiaja on nimiäjää alempiaseinen ja jonka nimiäjässä on vähinään kaksi jaoona ekijää, voidaan "paloiella osiin" (osamuroihin) Esim I + 7 = d + (Vaihoehoinen esim d Se vaaii ensin jaon) + + Nimiäjän -kohda ova ja, joen sen ekijöihin jako on + = ( )( + ) = ( )( + ) Yrieään jakaa inegroiava funkio kaheen osaan, kahden osamurron summaksi seuraavasi: + 7 A + + B ( )( ) + Keroimien A ja B määriämisä varen kerroaan ämä yhälö vasemman puolen nimiäjällä: + 7 A + + B ( )( ) A( + ) + B( ) ( )( + ) Kun, saadaan A:n ja B:n määriämiseksi seuraava yhälöpari:

45 + I = A+ B= A B= 7 ( :n keroime) (vakioermi) 5A= A=, B= ( ) d= ln ln + + C + Yleisesi voidaan odisaa, eä ) jokainen reaalikeroiminen polynomi jakauuu :ssä jaoomiin ekijöihin, joka ova lineaarisia ai asea, ) jokainen (reaalikeroiminen, supiseu) murofunkio, jonka osoiaja on alempiaseinen kuin nimiäjä, voidaan jakaa osamuroihin Osamurokehielmän muoo riippuu nimiäjän ekijöisä seuraavan neljän esimerkin mukaisesi: ) : + 7 A + + B ( )( ) + (Esim edellä), ) Nimiäjässä on : A B C + + ( ) - ( ) ) Nimiäjässä on : D + ( ) + A B +C + ( )( + + ) + + jaoon ( diskr < ) *) Nimiäjässä on : + + A B+ C D E ( ) ( + ) jaoon (Murofunkioiden ) - ) keroime ova seuraava: ) A=, B=, C=, D=, ) A=, B=, C= ) A=, B=, C=, D=, E= )

46 Esim on - kerainen lineaarinen ekijä d ( + ) + on jaoon aseen ekijä A B C+ D + + ( + ) + ( + ) A( + ) + B( + ) + ( C+ D) Kun verraaan vasinpoenssien keroimia, saadaan seuraava yhälöryhmä: A+ C= ( : n keroime) B+ D= ( : n keroime) A= ( : n keroime) B = (vakioermi) A B =, = C=, D= = + + I ( ) d= (ln + + d ) + + Jäljellä olevan inegraalin laskeminen: d = + + d d + = arcan ln( + ) + C Vasaus voidaan kirjoiaa esim muooon I = 8 (ln C arcan ) + Kokeile, missä muodossa valmisohjelma (MahCad, Malab, Mahemaica, Maple ms) anava edellisen vasauksen Esim Mahemaica-ohjelma laskee osamurokehielmän Apar-käskyllä Kehielmän saa akaisin yhdeksi murofunkioksi Facor-käskyllä Jos nimiäjä muodosuu ainoasaan yhden lineaarisen ekijän poenssisa ja osoiajassakin on :ää, vaaii sekin osamuroihin jaon, mua kehielmä saadaan joskus helpommin kuin edellisellä avalla seuraavasi: ( ) ( ) ( ) ( )

47 A+ B *Esim muooa oleva osamuroermi inegroidaan neliöimällä nimiäjä ja käyämällä sijoiusa sillä avoin kuin arkusfunkioia koskevan luvun loppuosassa on esiey A+ B *Neliöinnin ja sijoiuksen avulla esim funkion ( + + 5) inegroini johaa inegraaliin d, jolle löyyy kaavasosa palauuskaava ( + ) *Osamurokehielmiä arviaan paisi inegroinnissa myös esim Laplacemuunnosen yheydessä *Esieään vielä muuama ekijöihinjakoesimerkki: + 5 6= ( + )( + 6) = ( + )( )( + ), = ( )( + ) = ( ) ( + + ), jaoon, D= 6< 5= (, 95)( + ) (haarukoini ms ja jakokulma), + = + + = ( + ) = ( + )( + + ) HARJOITUKSIA A a) d, b) d, c) d + a) d b) + + d + Muodosa osamurokehielmä: a), b) + s Muodosa osamurokehielmä ja inegroi a) + d, b) 5 d 7+ 5 Mikä on funkion s s s + s + s osamurokehielmä?

48 6 Laske + d osamuro- a + b 7 Esiä funkion a) ( + ), b) a + b ( + ) kehielmän muoo (keroimien arvoja ei arvise laskea)? B a) d, b) d + ( + )( + 9 ) d 9 Laske a) käyämällä osamuroihin jakoa, b) neliöinnin d ja sijoiuksen avulla, c) kaavason kaavalla a + b+ c s + s Muodosa funkion osamurokehielmä ( s + )( s+ ) 5 a) + + d 8, b) + d a) + d +, b) d ( + )( + ) d + C + d + 5 Voidaan odisaa, eä (reaali-ai kompleksikeroiminen) polynomi jakauuu kompleksilukualueella lineaarisiin ekijöihin, ja jos a+ bi on polynomin nollakoha, niin samoin on a bi Tekijöiden ( a+ bi) ja ( a bi) ulo anaa reaalikeroimisen oisen aseen ekijän, joka on reaalilukujoukossa jaoon (koska sen nollakohda eivä ole reaalise) Millaisia ova näiden ulosen peruseella a) kolmannen, b) neljännen aseen reaalikeroimisen polynomin jaooma ekijä reaalilukualueella?

49 5 5 Trigonomerisen funkioiden inegroini 5 Perusapauksia Esim ) sin( a+ b) d= cos( a+ b) + C, ) anω d= a sinω ω d= ln cosω + C ω cosω, ω Eräs päämeneelmä rigonomerisen funkioiden inegroinnissa on Keraa se, elle hallise siä hyvin (I osa, luku 7)! Inegraalien sin d ja cos d laskemiseen on aikaisemmin käyey yleensä palauuskaavaa Eksponenisa pääsään eroon myös kaavoilla cosα = cos α = sin α sin α = ( cos α ), cos α = (+ cos α ) π / / / π π sin 6 Esim sin d= ( cos 6) d= ( ) 6 π π π π = ( sin ) = ( ) = *Palauuskaavan käyäminen olisi vaainu ensin sijoiuksen = u *Inegraalin an d laskemisessa voidaan käyää palauuskaavan sijasa ieoa D an = + an seuraavasi: Esim an 5 d= ( + an 5 ) d= an 5 + C 5 5 Tulo sin cos, sin sin, cos cos Jos =, niin osikon mukaisen ulojen inegroinnissa voidaan käyää apuna kaavaa sinα = sinα cosα (vr Esim 5 jäljempänä) Jos aas a b, nämä ulolausekkee inegroidaan sien, eä muueaan "ulo summiksi" seuraavien rigonomerisen kaavojen avulla:

50 6 sinα sinβ= cos( α β) cos( α+ β) cosα cosβ = cos( α β ) + cos( α+ β ) sinα cosβ= sin( α β) + sin( α+ β) Esim sin cos d= sin( ) + sin 5 d = sin + sin 5 d= (cos cos 5 ) + C * Esim 5 sinω cosω d= sin ω d= cosω T / T / T / ω T ω = (cos ) π ω π ω ω T jakso T = = = (cos π ) = ( ) = ω ω ω 5 Poenssilausekkeen sinm cosn inegroini Esim 6 sin cos d= sin ( sin ) cos d 6 sin sin = sin cos d sin cos d= + C Jos siis ainakin oinen eksponeni on parion, jäeään äsä poenssisa yksi funkio muuamaa (sisäfunkion derivaaaksi) ja muu osa muueaan oiseksi rig funkioksi kaavan sin α+ cos α = avulla 6 Esim 7 sin cos d= ( cos ) cos d = cos d cos d= (palauuskaava) Jos siis kumpikin eksponeni on parillinen, jouduaan muuamaan koko oisen funkion poenssi (pienempi) oiseksi kaavan sin α+ cos α = avulla ja käyämään palauuskaavaa Jälkimmäinen apa kävisi myös Esimerkkiin 6, mua se johaisi oleellisesi pidempiin laskuihin (ja vasaus olisi aivan erinäköinen)

51 7 5 Sijoiuksia * = sin d cos d d = ln = sij cos = sin d= d C ln cos C + + = cos + + *Tässä esimerkissä sijoiuksella pääsiin kosinifunkiosa eroon Sijoius johi helpompaan inegraaliin, koska osoiajassa oli eumerkkiä vaille kosinin differeniaali Sijoius muui "rigonomerisen murofunkion" inegroinnin avallisen murofunkion inegroinniksi *Esim inegraaliin d +cos ei käy edellinen sijoius sillä = arccos ja sien d:lle ulee hankala lauseke: d= / d On olemassa eräs rigonomerinen erikoissijoius, joka muuaa sinin, kosinin, angenin ja d:n :n murofunkioiksi Tämä sijoius on an = anα an *Tää ja kaavoja sin α = ja cosα = + an α + an saadaan sin, cos, an esieyä :n murofunkioina: α α käyäen an an sin = =, cos = + an + + an = + sin an = = cos Lisäksi * Esim 9 = arcan = arcan, d= d (vr kaavaso) + d + cos d = sij an d = cos =, d= + + d = d = = d= + C= an C + *Tuki, mien maemaiikkaohjelma (MahCad, Malab ms) pysyvä inegroimaan edellä olevan apaisia funkioia ja millaisessa muodossa ne esiävä vasauksen

52 8 HARJOITUKSIA A T / ω d (T = π ω 5 π / a) sin( π / 6) d, b) cos 5 a) an udu, b) / (sin + cos ) d 5 π a) sin cos d, b) cos sin d π 5 π / sin cos d / ) *55 Laske (sij an = ) a) sin d, b) cos d π 56 a) ( + )sin d, b) sin 5 d B 57 a) π / cos sin d, b) + π / sin + sin d T / 58 ( + ) sin( ω + π / ) d (T = π / ω ) *59 a) π / d sin, b) π / d + sin (sij an = ) C 5 a) d sin, b) ω d sin cos d 5 Lyhyenä aikavälinä d vaihovira ekee yön dw = u( )( i ) d (vr asavirran yö W = P= UI ) Laske inegroimalla äsä yö yhden jakson T aikana, jos u( ) = uɵsin ω ja i( ) = iɵ sin( ω ϕ )

53 9 6 Irraionaalifunkioiden inegroini Irraionaalifunkioissa muuuja esiinyy juuren alla Tällaisia inegraaleja on laskeu aikaisemmin esim yhdiseyn funkion poenssin yheydessä ja arkus- ja areafunkioiden yheydessä Esim / ( + ) d= ( + ) d= + / = + + C / + C Irraionaalifunkioisa suuri osa on sellaisia, eä niillä ei ole olemassa miään avallisen muooisa inegraalifunkioa (kuen on voiu odisaa) Niinpä esimerkiksi inegraalien + d ja d arvoja ei pysyä avalli- sessa mielessä laskemaan Myöhemmin opiaan esiämään näiden inegraalien arvo ääreömän pikinä sarjoina Seuraavassa esieään eräiä funkioyyppejä, joiden inegroini onnisuu sopivan sijoiuksen (ai sijoiusmeneelyllä johdeun valmiskaavan) avulla *Jos juuren alla oleva lauseke on lineaarinen, voidaan koko juurilauseke valia uudeksi muuujaksi: * Esim d sij = = d= d + = + + d= + + d= ( + ) d + = ( + ln + ) + C, missä = Tässä esimerkissä on ehkä arpeeona suoriaa sievennys pidemmälle *Jos inegroiavassa funkiossa esiinyy muooa a oleva juurilauseke, niin sopiva sijoius on = sin ( π / π /, a > ) Tällöin nimiäin a = a a sin = a sin = a cos, d= a cos d s inegraalisa häviää juurilauseke ja inegraali muuuu rigonomeriseksi Tyyppiesimerkki on seuraava:

54 5 * Esim - d sij sin, d cos d = sin cos d = sin cos d = = = cos d = + sin cos+ C sin =, cos = ( ) = = arcsin + + C *Jos inegroiavassa funkiossa esiinyy muooa a + ai a oleva juurilauseke, niin erää mahdollise sijoiukse ova = a an ja a = sin Yleensä näiden sijoiusen käyö vaaii kuienkin aika hyvää rigonomerisen lausekkeien käsielyaioa Kaavasosa löyyy muiakin sopivia sijoiuksia ja seuraava kuusi valmisa "perusinegraalia": Esim a d= a + arcsin + C, a + d= a + + ln( + a + ) + C, a d= a ln + a + C, d a d a + d a a a a = arcsin + C, a a = ln( + a + ) + C, = ln + a + C d d = arcsin + C, = ln + + C *Jos inegroiavassa funkiossa on esim muooa a + b oleva lauseke, niin sijoiuksella b= inegroini muuuu edellisen kohdan mukaiseksi *Jos inegroiavassa funkiossa on muooa a b c + +, oleva osa, niin neliöini ja neliöosan sijoius :ksi poisaa juuren ala aseen ermin ja inegroini palauuu edellisiin kohiin kuen seuraava esimerkki osoiaa