1 Lbortoriokokeess keveen kierrejouseen ripustettiin eri mssisi punnuksi. Punnust vedettiin lspäin j sntneen hrmonisen värähteln jksonik mitttiin. Värähtelijän tjus f = 2π 1 k mp. Oheisess tulukoss on esitett kokeen tulokset. Mss m p (kg) 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 Jksonik T (s) 0,890 1,09 1,26 1,43 1,55 ) Piirrä jksonjn neliö T 2 punnuksen mssn m p funktion, eli T 2 (m p ). b) Määritä jousen jousivkio k kuvj pun kättäen. ) (mx 3p) Lsketn jksonjn neliö: m p (kg) 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 T 2 (s 2 ) 0,792 1,188 1,588 2,045 2,403 Jksonjn neliö lskettu j lukurvot oikein, ksiköitä ei vdit. Tulukon rvot sijoitetn (m p, T 2 )-koordintistoon. T 2 s 2 2.5 2.0 b) (mx 3p) Värähtelijän jksonjn j tjuuden välinen htes on T = 1/ f, eli T = 2π mp k, (+) missä k on jousen jousivkio. Neliöimällä llä olev htälö sdn T 2 = 4π2 k m p. (m p, T 2 )-kuvjn kulmkerroin on siis kääntäen verrnnollinen jousen jousivkioon. Kuvjn piirretstä suorst lsketn kulmkerroin: T 2 m p = 2,034 s 2 /kg. Täst sdn rtkistu jousen jousivkio k: ( T k = 4π 2 2 ) 1 = 19,4 kg m p s 2. Tehtävän trkkuus on kksi ti kolme numero. Lopputuloksess pörists 19,5-20,4 = 20 OK. Lopputuloksen ksikkö N/m OK. 1.5 T 2 1.0 m p 0.5 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 kg m p Kuvj (2p). Pisteet muodostvt suorn T 2 = m p + b, missä b on kuvjn perusteell likimin noll.
2 Kiekko A, jonk mss on 0,15 kg, liukuu tsisell kitkttomll pinnll osuen levoss olevn kiekkoon B, jonk mss ei tunnet. Törmäksen jälkeen kiekko A liikkuu nopeudell u A = 5,0 m/s suuntn α = 32 j kiekko B nopeudell u B = 5,5 m/s suuntn β = 45 (kuv). ) Määritä kiekon A nopeus ennen törmästä. b) Kuink pljon ssteemin mekninen energi pienenee törmäksessä? m A u A u B α β (kg) (m/s) (m/s) ( ) ( ) A 0,15 5,0 5,5 32 45 B 0,15 5,5 4,5 32 45 C 0,15 7,0 7,5 32 45 D 0,15 6,0 6,5 32 45 A v A x A B α Tehtävän 2 kuv. ) (mx 3p) Kosk kiekkojen törmäksessä vikutt vin sisäisiä voimi, niin liikemäärä säil. eli komponenttimuodoss p i A + pi B = p f A + p f B x : m A v A = m A u A,x + m B u B,x = m A u A cos α + m B u B cos β : 0 = m A u A, + m B u B, = m A u A sin α m B u B sin β. -suunnn htälöstä voidn rtkist kiekon B mss: β u A u B b) (mx 3p) Aluss vin kiekoll A on liike-energi: E AB,i = 1 2 m Av 2 A = 1 2 m Au 2 A ( cos α + sin α ) 2 = 3,6 J. tn β Törmäksen jälkeen ssteemillä on liike-energi E AB, f = 1 2 m Au 2 A + 1 2 m Bu 2 B = 1 ( ) 2 m A u 2 A + u sin α Au B = 3,4 J. sin β Ssteemin meknisen energin muutos on siis Oikest vstuksest : E = E AB, f E AB,i = 0,14 J E trk+1 E AB,i E AB, f (J) (J) (J) (J) A: -0,14-0,140 3,56 3,42 B: -0,65-0,648 4,31 3,66 C: -0,35-0,352 6,98 6,63 D: -0,23-0,235 5,13 4,89 Tehtävän trkkuus on kksi numero. b)-kohtn hväkstään mös 1 numero. )-koht lskettu energin säilmisellä )-kohdst mx 2p, b)-kohdst 0p. m B = m Au A sin α u B sin β. Sijoittmll llä olev htälö x-suunnn htälöön sdn rtkistu kiekon A lkunopeus: sin α v A = u A cos α + u A = 6,9 m/s. tn β Oikest vstuksest : v A trk+1 m B (m/s) (m/s) (kg) A: 6,9 6,89 0,102 B: 7,6 7,58 0,137 C: 9,6 9,65 0,105 D: 8,3 8,27 0,104
3 Levkondensttorin vrus on 83 pc j jännite 12 V. Levkondensttorin levjen välinen etäiss on d (kuv ). ) Kuink suuri on kondensttorin kpsitnssi? b) Piirrä levjen väliin sähkökenttä E. (2p) c) Vrukseton tspksu metllilev, jonk pksuus on d/2, on tuotu levkondensttorin levjen väliin. Metllilev on htä etäällä molemmist kondensttorilevistä (kuv b). Kuink suuri on kondensttorin kpsitnssi metllilevn knss? (3p) Q U (pc) (V) A 83 12 B 67 12 C 73 12 D 97 12 Oikest vstuksest (+): b) (mx 2p) +Q -Q b d d/2 Tehtävän 3 kuv. ) (mx 1p) Kondensttorin kpsitnssi sdn lskettu kondensttorin vruksen Q j jännitteen U vull C trk+1 (pf) (pf) A: 6,9 6,92 B: 5,6 5,58 C: 6,1 6,08 D: 8,1 8,08 Homogeeninen kenttä levjen välissä. Kikki kenttäviivt lkvt toisest levstä (+), kikki kenttäviivt loppuvt toiseen levn (+), homogeeninen kenttä (+). Kentän suunt oikein. C = Q = 6,9 pf. {{ U +Q -Q Tp I: Kondensttorilevjen välinen jännite on summ eri lueiden jännitteistä U = E d 4 + 0 d 2 + E d 4 = 1 2 Ed = 1 U = 6,0 V. 2 Levjen vrus säil (Q = Q), joten kondensttorin kpsitnssi metllilevn knss on C = Q U = 2 Q = 2C. U Tp II: Kondensttorissteemi on kuten kksi srjss olev levkondensttori, joiden kpsitnssi on C A = ε 0 d/4 = 4ε A 0 d = 4C. Ekvivlentti kpsitnssi, kun kondensttorit ovt srjss, on C = Oikest vstuksest : ( 1 C + 1 ) 1 ( 1 C = 4C + 1 ) 1 = 2C. 4C ngh+1 (pf) (pf) A: 14 13,8 B: 11 11,2 C: 12 12,2 D: 16 16,2 C Tehtävän trkkuus on kksi numero. )-kohdn ksiköksi kelp C/V. Kondensttori ktkett jännitelähteeseen j jännite säil, mx 2p c)-kohdst. c) (mx 3p) Sähkökentässä olevn vruksetomn metllilevn pinnoille snt influenssin vikutuksest pintvrukset, jotk kumovt sähkökentän johteen sisällä. Kosk vrus säil (ti), niin roiss olev sähkökenttä E ps smn (ti) sähkökenttä metllilevssä 0.
4 J. J. Thomson osoitti kokeellisesti vuonn 1897 elektronin olemssolon. Kokeess vrtut hiukkset (vrus q, mss m) tulevt smll vkionopeudell v khden vrtun levn väliin (pituus L = 0,109 m). Tullessn levjen väliin hiukksten nopeus on kohtisuorss sekä sähkö- että mgneettikentän knss. v B L E Tehtävän 4 kuv. Kokeess mgneettikenttä säädetään ensin nolln j mittn hiukksten poikkem (kuv). Poikkemlle pätee = qel2 2mv 2. Tämän jälkeen mgneettikenttää ksvtetn kunnes = 0. ) Hiukknen kulkee suorviivisesti levjen välissä, kun mgneettivuon tihes on 3,28 10 4 T j sähkökentän voimkkuus 3,05 kv/m. Määritä hiukksten mssn j vruksen suhde m/q, kun hiukksten poikkem on 3,71 cm mgneettikentän olless 0 T. b) Johd poikkemn luseke mgneettikentän olless 0 T. ) (mx 3p) Hiukksen liikkuess sähkö- j mgneettikentässä siihen vikuttvt voimt ovt tspinoss ti Newton II ti NII ti dnmiikn perushtälö (+), eli FE + FB = 0 ti F E F B = 0 ti F E = F B. Tästä voidn rtkist hiukksen nopeus qe qvb = 0 = v = E B. x F E F B v Voimkuvio (+). Sijoittmll tämä nnettuun poikkemn kvn voidn rtkist hiukksen mssn j vruksen suhde: m q = B2 L 2 2E = 5,65 10 12 kg C. + _ + _ b) (mx 3p) Hiukksen tulless levjen väliin, hiukksen liike on x-suunnss tsist ti v vkio ti v ei muutu (+) j -suunnss tsisesti kiihtvää (+). Kun hiukknen on kulkenut levjen välin läpi, sen pikkkoordinteille pätee: L = vt (+) = 1 2 t 2 (+). -suunnss hiukkst kiihdttää sähköinen voim, eli Newton II:st seur F E = m = qe = = F E m = qe. {{ m Rtkisemll x-suuntisen liikkeen kvst ik t t = L v j sijoittmll jn t j kiihtvden lusekkeet -suuntisen liikeen kvn = 1 2 t 2 = 1 2 qe m ( ) L 2 v sdn hiukksen -suuntinen poikkem levjen jälkeen : = qel2 2mv 2. Tehtävän trkkuus on kolme numero. )-kohdss hväkstään vstukseksi q/m. trk+1: 5,648 10 12 kg/c,
5 Trkstelln kuvn kuutiot ( = 2,90 m) sähkökentässä E = { 621 (V/m) i (x < 2 ) 621 (V/m) i (x > 2 ). ) Määritä sähkökentän vuo kuution jokisen sivun läpi. (4p) b) Kuink suuri on kuution sisällä olev kokonisvrus? (2p) E (m) (V/m) A 2,90 621 B 3,30 321 C 3,20 471 D 3,50 361 S 1 (x = 0) S 3 ( = 0) z S 6 (z = ) x S 2 (x = ) S5 (z = 0) Tehtävän 5 kuv. ) (mx 4p) Suurimmlle oslle kuution sivuist sähkökentän vuo on noll, sillä A E: Φ 3 = Φ 4 = Φ 5 = Φ 6 = 0 (1+) Sivulle S 1 pätee Sivulle S 2 pätee Φ 1 = E1 A1 = ( E i) ( 2 i) = E 2 = 5220 Vm. (1+) S 4 ( = ) b) (mx 2p) Kokonisvuo kuution läpi on Φ E = 6 Φ i = Φ 1 + Φ 2. i=1 Gussin lin mukn sähkökentän vuo suljetun pinnn läpi on verrnnollinen suljetun pinnn sisällä olevn kokonisvrukseen, eli Järkevästä vstuksest : Φ E = q = ε 0 q = ε 0 Φ E. {{ q trk+1 (nc) (nc) A: 92,5 92,48 B: 61,9 61,90 C: 85,4 85,41 D: 78,3 78,31 Tehtävän trkkuus on kolme numero. )-kohdn vstuspisteet: Φ 3 6 (+) oikest vstuksest (ei vdit ksikköä), Φ 1 j Φ 2 oikest lukurvost j oikest vstuksen merkistä. Perusteluj ei vdit. Φ 2 = E2 A2 = (E i) ( 2 i) = E 2 = 5220 Vm. (1+) Oiket vstukset: Φ trk+1 (Vm) (Vm) A: 5220 5223 B: 3500 3496 C: 4820 4823 D: 4420 4422
6 Oheisess kuvss johtvn kuoren keskipisteessä on tsisesti vrttu eristepllo (r = R 1, = +4,0 nc). Kuoren kokonisvrus on q 2 = +2,0 nc. ) Johd Gussin lki pun kättäen sähkökentän luseke johtvn kuoren sisäpuolell lueess R 1 < r < R 2. b) Miten vrus on jkutunut johtvn kuoren sisä- j ulkopintojen välillä? Perustele. q 2 (µc) (µc) A 4,0 2,0 B 3,0 1,0 C 6,0 1,0 D 5,0 3,0 ) (mx 3p) Kosk vrusjkum on pllosmmetrinen, on sähkökentän vuo kuvn Gussin pinnn läpi: Φ E = E da = E da = E da = E4πr {{ 2. Gussin pinnn mpäröimä kokonisvrus on q =. q 2 R 1 R 2 Tehtävän 6 kuv. q 2 r Gussin pint R 3 E da Gussin pinnn vlint. b) (mx 3p) Sähköstttisess tilnteess johteen sisällä sähkökenttä on noll. Kentän olless noll on sähkökentän vuo kuvn Gussin pinnn läpi mös noll Gussin list seur silloin, että Gussin pinnn mpäröimä kokonisvrus on noll. +q 2 - Gussin pint Gussin pinnn vlint (+). Johtvn pllokuoren sisäpinnn vrus on näin ollen q sp = j ulkopinnn vrus q up = + q 2, kosk vrus säil. Oikeist vstuksist j : q sp q up (nc) (nc) A: -4,0 6,0 B: -3,0 4,0 C: -6,0 7,0 D: -5,0 8,0 Tehtävän trkkuus on kksi numero. Sekä )- että b)-kohdiss Gussin pinnn vlint voidn mös selittää snllisesti. )-kohdn vstust ei trvitse nt vektorimuodoss, mutt sähkökentän suunt tät kädä ilmi vstuksest. Sijoittmll vuon luseke j kokonisvrus Gussin lkiin, kvn (5), sdn sähkökentän voimkkuudelle lueess R 1 < r < R 2 : E4πr 2 = = E = ε 0 4πε 0 r {{ 2. Vektorimuodoss: 1 q E = 1 ˆr. (+) 4πε 0 r2