= {x E x 1} {z K. z x } K = K E. B K (0, x )

23. HEIKOT TOPOLOGIAT 201 Seuraus 23.18. Olkoo E ormiavaruus ja E se duaali. Tällöi E o vektoriavaruude K E vektorialiavaruus. Lisäksi heikko topologia σ(e,e ) tekee siitä tulotopologialla varustetu topologise avaruude K E topologise aliavaruude. Todistus. Tämä voi havaita seuraukseksi edellisestä lauseesta, koska E E ja heikko topologia σ(e,e )ow -topologia σ(e,e ) idusoima aliavaruustopologia. Siirrymme todistamaa Alaoglu 119 kuuluisaa lausetta vuodelta 1940: Lause 23.19 (Alaoglu). Olkoo E ormiavaruus ja E se duaali. Tällöi E : suljettu yksikköpallo B E = {x E x 1} o w -topologiassa σ(e,e) kompakti joukko. Todistus. Totesimme edellä, että w -topologia o K E : tulotopologia idusoima. Selvästi B E x E B K (0, x ) = x E Tihoovi lausee mukaa tuloavaruus B K (0, x ) x E {z K z x } K = K E. o kompakti, jote riittää äyttää, että B E o K E : tulotopologiassa suljettu. Tämä oki sitte vai verifioiti, joka ei vaadi eikä tarjoa uusia ideoita: Olkoo f K E yksikköpallo B E sulkeumassa. Tällöi f o lieaarie, eli kaikille x, y E ja λ, µ K o f(λx + µy) =λf(x)+µf(y), sillä tulotopologia määritelmä mukaa kaikilla ε>0 o olemassa f ε B E, siis lieaarie f ε, jolle pisteissä x, y ja u = λx+µy pätee f(u) f ε (u) = p u (f f ε ) < ε, jolloi kolmioepäyhtälöä tavallisee tapaa käyttäe saadaa f(λx + µy) (λf(x)+µf(y)) f ε (λx + µy) (λf ε (x)+µf ε (y)) +3ε =3ε. Samalla tavalla todetaa, että x E : f(x) x, eli f E 1. Alaoglu lause 23.19 o perustulos moderissa aalyysissä. Harvemmi käytetty o se hämmästyttävä korollaari: x E 119 Leoidas (Leo) Alaoglu

f ( ) 202 Lause 23.20. Jokaie Baachi avaruus sisältyy johoki jatkuvie fuktioide avaruutee (C(X, K), ), missä X o topologise tuloavaruude K I kompakti osajoukko. Todistus. Olkoo E Baachi avaruus. Se upotus biduaaliisa E E o lieaarie isometria, samoi kuvaus J : E C(B E, K), joka kuvaa lieaarikuvaukse x : E K rajoittumaksee x : B E K. Jatkuvie fuktioide avaruus C(B E, K) o tavallisee tapaa varustettu sup-ormilla. Väite o melkei todistettu. Puutteea o vai B E : epäkompaktisuus. Tämä asia tulee Alaoglu lausee 23.19 mukaa kutoo vaihtamalla siihe topologiaksi w -topologia. Nyt o kyllä lopuksi todettava, että E: alkiot ovat jatkuvia myös w -mielessä. Tämä jää lukija tehtäväksi. Tällä lauseella o muute vielä jatko osa: Lause 23.21. Ei ole olemassa muita metrisiä avaruuksia kui Baach-avaruuksie metriset aliavaruudet. Todistus. Olkoo (X, d) metrie avaruus. Varustetaa kaikkie rajoitettuje reaaliarvoiste kuvauste avaruus F b (X, R) sup-ormilla, jolloi se o Baachi avaruus. Valitaa joki kiiteä a 0 X ja määritellää kaikilla a X kuvaus f a F b (X, R) asettamalla f a (x) =d(x, a) d(x, a 0 ). Kuvaus a f a o isometria X F b (X, R). 24. Refleksiiviset ormiavaruudet 24.1. Refleksiivisyys ja heikot topologiat. Määritelmä 24.1. Olkoo E ormiavaruus. Upotuskuvaus eli evaluaatiokuvaus i : E E : x i(x), missä (i(x))(f) = f(x), o isometrie lieaarikuvaus. Siksi o tapaa samastaa x ja i(x) ja siis tulkita E biduaaliisa aliavaruudeksi: E E. Normiavaruus E o refleksiivie, mikäli upotuskuvaus i : E E o surjektio, siis isomorfismi. Refleksiivisyys merkitsee, että E = E. Erityisesti refleksiivie avaruus o täydellie. Huomautus 24.2. Jos E o refleksiivie, ii (1) Myös E =(E ) o refleksiivie. (2) E : w-topologia ja w -topologia yhtyvät. Kumpiki o tällöi σ(e,e). (3) Erityisesti E : suljettu yksikköpallo o tällöi Alaoglu lausee 23.19 ojalla heikosti, eli w-kompakti. O olemassa sekä refleksiivisiä ettäepärefleksiivisiä Baachi avaruuksia. Esimerkiksi kaikki Hilbert-avaruudet ja kaikki äärellisulotteiset ormiavaruudet ovat refleksiivisiä. Itse asiassa myös melkei kaikki L p (A)-avaruudet ovat refleksiivisiä, koska L p (A) = L q (A), ku p ja q / {1, } ovat duaaliekspoetit. Sesijaa esimerkiksi avaruus C([0, 1], R) ei ole refleksiivie. Seuraava lause vaatii perusteluksee Hahi ja Baachi lausee käyttöä.

24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 203 Lause 24.3. Refleksiivise avaruude suljettu aliavaruus o refleksiivie. Todistus. Olkoo E refleksiivie ja L E se suljettu aliavaruus. Tiedetää, että upotus i E : E E o surjektio ja o todistettava, että upotus i L : L L o surjektio. Tarkastelemme lisäksi ikluusiokuvausta j : L E, se traspoosia j t : E L ja vielä tämä traspoosia j tt : L E. Kuvaukset muodostavat kaavio j L E i L L j i E E ja huomaamme, että kaikilla x E yhdistetty kuvaus x j o yksikertaisesti vai x : rajoittuma aliavaruutee L. Siksi x j tt (y ) = x y j t = j t (x ) y = x j y = x L y, jote j tt o kuvaus L E : y [ ] x y (x ). L Olkoo y L. Koska E o refleksiivie, o samastukse mielessä E = E, jote y E = E. Tarkemmi saoe o olemassa x E site, että i E (x) = j(y ). Tämä tarkoittaa, että kaikille x E o x x = x j tt (y ) = x L y. Tästä seuraa Hahi ja Baachi lausee ojalla, että ( ) x L, sillä muute olisi x E L = E L, jolloi olisi olemassa aiaki yksi x E site, että x x =1 x =0, L ja jolloi 1= x x = x j tt (y ) = x L y =0. Näi löydetylle x L pätee toivotulla tavalla i L (x) =y, eli y i L (x) = y y y L sillä toistamisee Hahi ja Baachi lausee mukaa jokaie y L o joki x E rajoittuma y = x. L

f ( ) 204 Seuraus 24.4. Baachi avaruus o refleksiivie aia ja vai, ku se duaali o refleksiivie. Todistus. Tiedämme jo, että refleksiivisyys periytyy duaaliavaruudelle E. Jos taas oletamme, että E o refleksiivie, ii se duaali E o refleksiivie ja silloi o lausee 24.3 mukaa myös suljettu aliavaruus E E refleksiivie. Heikko topologia tarjoaa toisiaa mahdollisuude tehdä biduaalia koskevia johtopäätöksiä, sillä heikossa mielessä avaruus o biduaalisa tiheä osajoukko, vaikka ei olisikaa refleksiivie. Tähä asiaa liittyy seuraava syvällie lause. Lause 24.5(w -tiheyslause). Baachi avaruude suljettu yksikköpallo o topologia σ(e,e ) eli w - mielessä tiheä biduaali E suljetussa yksikköpallossa. Todistuksesta. Esitämme tässä todistukse 120, joka o idealtaa suoraviivaie, mutta käyttää kolmea topologiste vektoriavaruuksie teoriaa kuuluvaa apulausetta, jotka todistamme vasta tämä kirjasarja kolmaessa osassa. 121 Välttääksemme kaksikertaisia ylleviivauksia merkitsemme todistuksessa Baachi avaruude E suljettua yksikköpalloa B E lyhyesti B ja biduaali suljettua yksikköpalloa B E merkillä B. Näi merkite väitämme, että B w = B. Koska B o Alaoglu lausee mukaa peräti w -kompakti o se myös w -suljettu ja B w B. Päivastaise ikluusio todistamiseksi tehdää atiteesi ja valitaa alkio x 0 B B w. Todistus perustuu siihe, että asetelma o oleaisesti Baachi erottelulausee tilae. Tavoitteea o erottaa suljetulla hypertasolla toisistaa suljettu, koveksi joukko B = B w ja siihe kuulumato piste x 0. Baachi lausee avulla erotettavista kovekseista joukoista toise pitää olla avoi, ja tähä päästääki tilateessamme korvaamalla piste x 0 joukkoa B leikkaamattomalla koveksilla ympäristöllää A. Ogelmallista o, että tilateessamme kaikki tapahtuu w -topologiassa. Oko itsestää selvää, että yksikköpallo sulkeuma B w o koveksi? Oko selvää, että w -jatkuvat lieaarimuodot ovat jatkuvia ormitopologiassa, ja ee kaikkea: päteekö Baachi erottelulause w -topologia mielessä? Vastaukset äihi kysymyksii ovat myöteisiä, mutta perustelut o mukavita esittää lokaalikoveksie topologiste vektoriavaruuksie yleise teoria yhteydessä 122. Luettelemme vastaukset kolmea apulauseea ja käytämme iitä sitte päätodistukse viimeistelyy: 120 [Be]. 121 O olemassa suora todistus, joka ei ei vaadi esitietoja, mutta o pitempi. [Hi-S]. 122 Möhemmi ilmestyvä Suoraviivaista ajattelua osa III. Ks. toistaiseksi esim. [W] luku VIII.

24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 205 Apulause 24.5.(A-1). Topologise vektoriavaruude (E,w(E,E)) duaali o E, toisi saoe aioastaa lieaarimuodot f E E ovat jatkuvia duaali w -topologiassa. Selitys. Jatkuvuus o heppo tarkastaa (Vrt. 23.7 ja harjoitustehtävät), jote w -duaali sisältää jouko E. Että siihe ei muuta kuulukaa o erikoistapaus lauseesta, joka mukaa yleesäki separoituva duaalipari (E,F) avaruutee E tuottamassa lokaalikoveksissa topologiassa σ(e,f)oe: duaali tasa F. Asiaa palataa huomautuste yhteydessä. Apulause 24.5.(A-2). Koveksi jouko w -sulkeuma o koveksi itse asiassa koveksi jouko sulkeuma o aia koveksi lokaalikoveksissa topologiassa. Selitys. Normiavaruusteoriassa esittämämme todistus koveksiude periytymisestä sulkeumaa käytti jooja, jote se ei kelpaa, ellei w -topologia ole metrisoituva. Yleisemmi toimiva todistusidea o kuiteki esitetty luvu VI huomautuksissa. Se sovittamie tähä tilateesee jää lukijalle. Apulause 24.5.(A-3). Baachi erottelulause pätee w -topologiassa itse asiassa se o voimassa missä tahasa lokaalikoveksissa topologiassa. Selitys. Luvussa 21 esittämämme todistukset Mazuri ja Baachi lauseille yleistyvät lokaalikoveksii avaruutee. Varsiaie todistus o yt lyhyt: Re(f)< α w* B B Re(f)= α A x** o Re(f)> α Kuva 66. Baachi erottelulausee käyttö. Leikkaamalla sopivat w -topologia semipallot toisillaa tuotetaa pisteelle x 0 joukkoa B = B w leikkaamato avoi, koveksi ympäristö A. Koska w -suljettu joukko B o apulausee (A-2) ojalla koveksi, o apulausee (A-3) mukaa olemassa w -jatkuva lieaarimuoto f : E K ja reaaliluku α site, että Re f(x) >α x A mutta Re f(x) α x B. Apulausee (A-1) mukaa f kuuluu avaruutee E, toisi saoe o olemassa x E site, että Re x 0 x >α ja Re x x α x B w.

f ( ) 206 Nytpä sillä tapauksessa K = C o x E α, Re x x α x B w = Re e iϕ x x α x B, ϕ [0, 2π] = x x α x B, ja tapauksessa K = R sama johtopäätös saadaa vielä vähä helpommi. O saatu ristiriita, sillä E: ormi o E : ormi rajoittuma, jote jos olisi x E α, ii saisimme α<re x 0 x x 0 x x E x 0 E α x 0 E = α. Yhdistämällä tiheyslause Alaoglu lauseesee saadaa seuraava helposti muistettava karakterisoiti refleksiivisyydelle. Lause 24.6. Baachi avaruus E o refleksiivie aia ja vai, ku se suljettu yksikköpallo B = B E o heikosti kompakti. Todistus. Jo huomautuksessa 24.2. totesimme, että ehto o Alaoglu lausee 23.19 ojalla varmasti välttämätö, oha B E = B E kompakti topologiassa σ(e,e )=σ(e,e ). Oletetaa seuraavaksi, että B E o heikosti kompakti, w-kompakti eli avaruude (E,σ(E,E )) kompakti joukko. Koska (E,σ(E,E )) o avaruude (E,σ(E,E )) topologie aliavaruus, o B E siis myös E : w -kompakti joukko, erityisesti w -suljettu. Toisaalta todistimme edelliseä lauseea, että B E : w -sulkeuma o E : yksikköpallo B E. Siis B E = B E, jote E = E. Lähes sama iformaatio o seuraavassa lauseessa. Lause 24.7. Baachi avaruus E o refleksiivie aia ja vai, ku w-topologia ja w -topologia yhtyvät se duaalissa E. Todistus. Ehto o varmasti välttämätö. Jos topologiat toisaalta yhtyvät, E : yksikköpallo o w-kompakti, koska se Alaoglu lausee mukaa joka tapauksessa o w -kompakti. E o siis edellise lausee mukaisesti refleksiivie, mikä takaa E: refleksiivisyyde lausee 24.4. ojalla. Huomautus 24.8. (Eberleii lause). Avaruus o jookompakti, mikäli se jokaisella joolla o suppeeva osajoo. Metrisoitumattomassa topologiassa, jollaie heikko topologia yleesä o, ei kompaktisuus ole aia yhtäpitävää jookompaktisuude kassa. Pätee kuiteki Eberleii lause 123, joka mukaa Baachi avaruus o refleksiivie aia ja vai, ku se suljettu yksikköpallo o w-jookompakti. Emme puutu todistuksee. 123 William Frederick Eberlei. 1925 USA?

24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 207 24.2. Refleksiivisyys ja tasaie koveksius. Määritelmä 24.9. Avaruude E ormi o aidosti koveksi, mikäli se toteuttaa seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot: (1) (2) (3) (4) (5) x + y < 1, ku x y, x =1ja y =1. 2 x + y = x + y = x ja y ovat R-lieaarisesti riippuvaiset. x + y = x + y = x ja y ovat K-lieaarisesti riippuvaiset. Yksikköpallo pita S E = {x x =1} ei sisällä yhtää jaaa. Mikää pallo pita {x x x 0 = r} ei sisällä yhtää jaaa. Sama ilmaistaa joskus saomalla, että ormiavaruus E o aidosti koveksi. Oikeastaa johdomukaisita olisi saoa, että yksikköpallo o aidosti koveksi. x O x+y 2 y Kuva 67. Aidosti koveksi pallo. Esimerkki 24.10. Normiavaruus o aidosti koveksi aia ja vai, ku se jokaie kaksiulotteie aliavaruus o sitä. Koska tieteki R 2 o aidosti koveksi euklidisella ormilla, ii jokaie sisätuloavaruus, erityisesti Hilbert-avaruus o aidosti koveksi. Itse asiassa R 2 o aidosti koveksi yleesäki p -ormilla, ku 1 <p< mutta ei ormeilla 1 eikä. Seuraava ehto o hiema aitoa koveksiutta voimakkaampi: Määritelmä 24.11. Avaruude E ormi o tasaisesti koveksi, mikäli se toteuttaa seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot: (1) ε >0 δ>0: x + y 2 1 δ, { x y ε, ku x =1ja y =1. (2) (3) ε >0 R<2: x + y R, lim (x y )=0, ku { x y ε, ku x 1ja y 1. x lim +y 2 =1, x =1 y =1.

f ( ) 208 (4) lim (x y )=0, ku x lim +y 2 =1, lim x =1ja lim y =1. x 1 >ε >δ <R/2 1 y Kuva 68. Tasaisesti koveksi yksikköpallo. Kute aido koveksiude tapauksessa saotaa ytki usei, että itse avaruus tai se yksikköpallo o tasaisesti koveksi. Perustelu yhtäpitävyydelle. Todistetaa malliksi ketju (1) = (2) = (3) = (4) = (1) hakali väite, imittäi (3) = (4). Heti aluksi o selvää, että oletuksessa esiityvä lim o vai äeäie; itse asiassa x 1ja y 1. Jos imittäi esimerkiksi joo ( x ) N ei suppeisi, ii olisi olemassa osajoo, jolle x k ρ<1. Oletuksista ja kolmioepäyhtälöstä saataisii ristiriita: 2= lim x + y lim x k + lim y k ρ +1< 2. Voimme äi olle olettaa, että mikää x tai y ei ole 0, sillä sitä ei satu aiakaa suurilla. Normitamme joot yksikkövektoreiksi ja siirrymme tarkastelemaa jooja ( ) x x N ja ( ) y. y N Näille pätevät kohda (3) oletukset, eteki x x + y y 2, koska x 1, y 1ja x + y 2. Siispä myös x x y y 0, mistä väite seuraaki, koska x 1ja y 1.

24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 209 Lause 24.12. Jokaie tasaisesti koveksi ormi o aidosti koveksi. Äärellisulotteisessa avaruudessa tasaie koveksius ja aito koveksius ovat yhtäpitäviä. Todistus. Vai jälkimmäie väite kaipaa todistukse. Seki o helppo, ku huomaa, että kuvaus x + y S E S E R + :(x, y) 2 o jatkuva ja saavuttaa siis maksimisa kompakti avaruude S E S E suljetussa, siis kompaktissa joukossa {(x, y) S E S E x y ε}, jossa oletukse mukaa kaikki arvot ovat aidosti ykköstä pieempiä. Seuraava lause yleistää Hilberti avaruuksie projektiolausee tilateesee, jossa avaruudesta oletetaa aioastaa tasaie koveksius ja suljettu aliavaruus o korvattu millä tahasa suljetulla koveksilla osajoukolla. Lause 24.13 (Koveksi projektiolause). (a) Olkoo E aidosti koveksi ormiavaruus, W E suljettu ja koveksi ja a E. Tällöi joukossa W o korkeitaa yksi piste, joka etäisyys pisteestä a o piei. (b) Jos avaruus E o suorastaa tasaisesti koveksi ja lisäksi täydellie, ii koveksissa joukossa W todella o yksi piste, joka etäisyys pisteestä a o piei. W x mi a Kuva 69. Koveksi projektiolause. Todistus. Ei merkitse rajoitusta olettaa, että a = 0. Jos olisi kaksi pistettä, x ja y W, joissa ormi o piei W :ssä, siis sama, ii iitä yhdistävällä jaalla saataisii aido koveksiude ojalla vielä pieempiä ormi arvoja, vaikka jaa sisältyy joukkoo W. Olkoo E tasaisesti koveksi ja täydellie. Merkitää I = if x. x W Jos I = 0, ii origo kelpaa etsityksi pisteeksi, koska W o suljettu. Jos taas I > 0, ii voidaa pieellä kertolaskulla palautua tilateesee, jossa I = 1. Nyt tarkastellaa sellaista jooa W : pisteitä, (x ) N,että x I =1.

f ( ) 210 Todistamme, että tällaie joo o oletetu tasaise koveksiude takia välttämättä Cauchy-joo. Jos vastoi Cauchy ehtoa olisi olemassa ε>0 site, että o olemassa mielivaltaise suuria m ja, joilla x x m >ε, ii valittaisii joot k ja m k site, että x k x mk >ε, jolloi (x k x mk ) 0jasiismääritelmä 24.11. ehto (4) takaisi, että x k + x mk 2 1. Toisaalta W o koveksi, jote jokaie 1 2 (x + x m ) W ja siis kuiteki if x =1 x + x m x W 2 x + x m 2 1, ku m ja. Joo o siis Cauchy ja suppeee äi olle Baachi avaruudessa E. Se rajapiste kuuluu suljettuu joukkoo W ja toteuttaa tietysti ehdo x = 1. Edellie todistus ataa käyttökelpoise sivutuottee. Seuraus 24.14. Tasaisesti koveksissa ormiavaruudessa voidaa joo x todistaa Cauchy-jooksi tarkastamalla molempie seuraavie ehtoje voimassaolo: (a) (b) lim x 1 lim x + x m =2.,m O aika käydä käsiksi tämä luvu päätuloksee: Lause 24.15(Milma) 124. Tasaisesti koveksi Baachi avaruus o refleksiivie. Todistus. Tarkastellaa aluksi reaalikertoimista ormiavaruutta E. x E. Osoitetaa, että x E. Voimme olettaa, että Olkoo x E =1. Koska ii voidaa valita joo (1) x E = sup f x, f B E (f i ) i N B E site, että 0 < 1 f i x < 1 i. 124 Luultavasti D. Milma, jokapojatvitali D. ja Pierre ovat myös matemaatikoita.

24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 211 Käytämme seuraavaksi kohdassa 24.5 saamaamme tietoa, että E: yksikköpallo B E o w -tiheässä E : yksikköpallossa B E. Kaikilla N voidaa valita x B E site, että (2) f i x x < 1 2 Yhdistämällä (1) ja (2) saadaa i =1, 2,...,. 1 3 2i < f i x 1, i =1, 2,...,, N. Tarkastamme edellise seuraukse ehtoje avulla, että joo (x ) o Cauchy. Avaruus E o oletettu tasaisesti koveksiksi, jote ehto (a) o voimassa pisteide x valia ojalla. Keskiarvoje ormeja koskeva arvio (b) o seki helppo: ku <m, ii 1 3 2 +1 3 2 f x + x m x + x m 2. Siis joo (x ) suppeee: x x B E. Olemme löytäeet B E :stä ehdokkaa x :ksi. O osoitettava, että (3) f x = f x f E. Aiaki kostruktiostamme seuraa heti, että (4) f i x = f i x i N, sillä ku i, ii 0 f i x f i x = lim f i x f i x 1 lim 2 =0. Todistaaksemme väittee (3) mielivaltaiselle f E voimme yksikertaisesti liittää f: ollaeksi termiksi tutkimaamme jooo (f ), joka raja-arvo-omiaisuudet eivät siitä muutu. Joo (x ) valita voidaa tehdä site, että aikaisempie ehtoje lisäksi saadaa voimaa myös f x f x < 1 N. 2 Tällöi (3) pätee. O kuiteki muistettava tarkastaa, että äi saatu rajapiste x ei riipu f: valiasta, vaikka korjattu kostruktio sisältääki fuktioaalii f liittyviä ehtoja ja ataa mahdollisesti eri joo (x ). Olkoo x f korjatulla kostruktiolla löydetty rajapiste ja x alkuperäie. Silloi vuorotteleva joo (x,x f,x,x f,...) täyttää joolle (x ) asettamamme ehdo (2) ja o siis Cauchy, mikä o mahdollista vai, ku x = x f. Näi o reaalie tapaus käsitelty. Kompleksie palautuu siihe samalla keiolla, jota käytimme todistaessamme Baachi erottelulausee kompleksista versiota 21.11. Täsmeämme käytety periaattee seuraavaksi apulauseeksi.

f ( ) 212 Lause 24.16. Olkoo E kompleksikertoimie ormiavaruus. Merkitkäämme E R :llä samaa avaruutta tulkittua R-ormiavaruudeksi. Silloi kuvaus x y : x y = x x i ix x o isometrie reaalilieaarie isomorfismi L R (E R, R) L C (E,C), eli (E R ) E. Todistus. Harjoitustehtävä. 21.5. 24.3. L p (A)-avaruuksie duaaleista. Todistamme seuraavassa s. Clarksoi epäyhtälöide 125, avulla, että avaruudet L p (A) jal q (A) ovat toistesa duaaleja, ku äärelliset p, q ]1, [ ovat toistesa duaaliekspoetit. Erityisesti avaruudet L p (A) ovat refleksiivisiä, ku 1 <p<. Lause 24.17 (Clarkso 1936). Olkoo 1 <p< ja (A, µ) mitta-avaruus. Lebesgue i avaruus L p (A) =L p (A, µ) o tasaisesti koveksi, siis myös refleksiivie. Todistus. Tapauksessa p = 2 o kyseessä Hilbert-avaruus, joka o helppo todistaa tasaisesti koveksiksi käyttämällä suuikassäätöä f + g 2 + f g 2 =2( f 2 + g 2 ), oha se mukaa f + g 2 4 ε 2 ja siis f + g R = 4 ε 2 < 2, ku f = g =1ja f g <ε. Etsimällä suuikassääölle tähä roolii riittävää vastietta esimerkiksi kaksiulotteisessa avaruudessa (R 2, p ) voi keksiä seuraavat Clarksoi epäyhtälöt. (C 1 ) (C 2 ) f + g p + f g p 2 p 1 ( f p + g p ); p [2, [ f + g q + f g q 2( f p + g p ) q 1 ; p ]1, 2]. Kumpiki äistä epäyhtälöistä o selvästiki riittävä takaamaa tasaise koveksiude määrittelevä ehdo 24.11.(3), sillä jolloi f = g =1 (C 1) = f + g p + f g p 2 p f = g =1 (C 2) = f + g q + f g q 2 q, lim f + g =2 = lim (f g )=0. Tyydymme todistamaa Clarksoi esimmäise epäyhtälö, sillä se riittää takaamaa avaruude L p (A) refleksiivisyyde, ku 2 p<. Osoittautuu imittäi, että tästä seuraa, että L p (A) jal q (A) ovat toistesa duaalit, ku 1 p + 1 q =1. Siis myös L q (A) =(L p (A)) tällöi refleksiivie. Clarksoi toie epäyhtälö o äiolle refleksiivisyystodistukse kaalta turha. 125 J.A. Clarkso: Uiformly covex spaces (1936).

24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 213 Lause 24.18.. Clarksoi esimmäie epäyhtälö pätee L p (A):ssä, ku 2 p<. Todistus. Riittää äyttää, että epäyhtälö (C 1 )pätee yksiulotteisessa avaruudessa, siis luvuille. Väite seuraa imittäi tästä valitsemalla L p (A): alkioille f ja g edustajat, soveltamalla melkei kaikkialla iide arvoihi yo. epäyhtälöä ja itegroimalla puolittai. Yksiulotteise avaruude oleaisesti aioa ormi, erityisesti p o itseisarvo: (C 1,C ) x + y p + x y p 2 p 1 ( x p + y p ) x, y C; kup [2, [. Pitää siis todistaa (C 1,C ). Todistamie oistuu kyllä suoraviivaisella laskulla 126, mutta tuloksee pääsee opeammi todistamalla väittee esi reaaliluvuille. Lausee 13.9 mukaa ikluusiokuvaus l s l p o jatkuva, ja se ormi o 1, ku 1 s < p. Soveltamalla tätä arvolla s = 2 kaksiluotteisee erikoistapauksee saa arvio ( x + y p + x y p ) 1 p ( x + y 2 + x y 2 ) 1 2 2(x2 + y 2 ). Seuraavaksi käytetää Hölderi epäyhtälö kaksiulotteista versiota kohdasta 2.2.1. vektoreihi (x 2,y 2 )ja(1, 1) toisillee duaalisilla ekspoeteilla p 2 ja x 2 + y 2 =((x 2,y 2 ) (1, 1)) (x 2,y 2 ) p (1, 1) p 2 p 2 =( x p + y p ) 2 p 2 p 2 p. p p 2 : Yhdistämällä saadut epäyhtälöt saadaa Clarksoi esimmäie epäyhtälö reaalisessa tapauksessa: ( x + y p + x y p ) 1 p 2(x2 + y 2 ) 2( x p + y p ) 2 p 2 2p 2 2p 2 p 1 p ( x p + y p ) 1 p. Kompleksie tapaus palautuu reaalisee kirjoittamalla x y = reiϕ, soveltamalla reaalista versiota lukuihi 1 ja r ja huomaamalla että fuktiolla g :[0, 2π] R g(ϕ) = 1+re iϕ p + 1 re iϕ p o maksimikohtaa ϕ = 0. Lause 24.19.. Toie Clarksoi epäyhtälö pätee L p (A):ssä, ku 1 <p 2. Todistus. Koska lause ei ole meille tarpee, o todistus sivuutettu tila säästämiseksi. Olemme saavuttamassa tavoittee: 126 [He-S].

f ( ) 214 Seuraus 24.20. Olkoo 1 <p< ja (A, µ) mitta-avaruus. Lebesgue i avaruude L p (A) =L p (A, µ) duaali o L q (A). Todistus. Osoitamme, että kuvaus j : L q (A) (L p (A)) : f j(f) = f, missä g f = gf dµ, o isometrie lieaarie bijektio. Kuvaukse olemassaolo ja isometrisyyde todistamie sujuu samaa tapaa kui jo jooavaruuksia tutkittaessa ilma tietojamme refleksiivisyydestä: Hölderi epäyhtälö takaa heti, että kaikilla f L q (A) ja g L p (A) g f = gf dµ f q g p <. g f o siis luku ja lieaarikuvaus j(f) : L p (A) K : g g f o myös jatkuva ja se ormi j(f) o eitää f q. Näi o selvää, että j o todella kuvaus L q (A) (L p (A)) lisäksi lieaarie. Jotta j olisi isometria o vielä osoitettava, että j(f) f q, eli kaikille f L q (A) jaε>0olöydettävä g L p (A) {0}, jolle j(f)(g) = fgdµ ( f q ε) g p. Tämä oistuu jopa arvolla ε = 0, ku valitsemme f:lle edustaja f ja sitte määrittelemme fuktio g site, että g p = f q ja fg > 0 µ-mk. Valitaa g = { f f f q 1 pisteissä, joissa f 0 0 pisteissä, joissa f = 0. Koska fg o positiivie, o fgdµ = fg dµ = f g dµ = f f q 1 dµ = f q dµ =( f q dµ) 1 q ( f q dµ) 1 p =( f q dµ) 1 q ( g p dµ) 1 p = f q g p Varsiaie asia o kuvaukse j surjektiivisuude todistamie. Teemme vastaoletukse: kuvajoukko j(l q (A)) ei ole koko (L p (A)),

HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN VII 215 vaa se aito aliavaruus. Baachi avaruude L q (A) kassa isometrisea j(l q (A)) kuiteki o täydellie ja siis suljettu (L p (A)) :ssä. Hahi ja Baachi lausee seuraukse 22.3 ja L p avaruude refleksiivisyyde ojalla o siis olemassa f ((L p (A)) ) =(L p (A)) = L p (A) site, että f 0,ja f x =0 x j(l q (A)), eli fgdµ =0 g L q (A). Valitsemalla g kute edellä saadaa f q q = f q dµ = fgdµ =0, joka o mahdotota, ku f 0. Erikoistapaus 24.21. (Fréchet ja Rieszi esityslause) 127. Olkoo (A, µ) mitta-avaruus. Hilbert-avaruude duaali o se itse. L 2 = L 2 (A) =L 2 (A, µ) Huomautus 24.22. Avaruudet L 1 ja L eivät ole tasaisesti kovekseja eivätkä myöskää refleksiivisiä. Itse asiassaha tiedämme, että L 1 : duaali o tosi L, mutta avaruude L duaali o aidosti suurempi kui L 1, ellei mitta-avaruus ole poikkeuksellie, esimerkiksi vai yksi piste. Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu VII Harjoitustehtäviä lukuu VII. 23.1. Todista, että topologiste avaruuksie X ja Y tulotopologiassa pätee A X, B Y : A B = A B. 23.2. Todista lause 23.8, jossa K o topologia T kata avaruudessa X ja väitetää, että K Y = {K Y K K} o aliavaruude Y X aliavaruustopologia T Y kata. 23.3. Kute edellie tehtävä, mutta olettae, että A o T : alikata ja väittäe, että A Y = {A Y A A} o T Y : alikata. 127 Olemme jo luvussa 9 todistaeet tämä lausee mielivaltaisessa Hilbert-avaruuksissa. Nyt saimme mukavasti sivutuloksea vai L 2 (A)-versio, mutta itse asiassaha jokaie Hilbert-avaruus o isomorfie L 2 (µ): kassa, missä µ o lukumäärämitta se kaassa, jote tämäki todistus o yleie.

f ( ) 216 23.4. Osoita, että topologie avaruus X o kompakti, jos peitteellä X Y = i I A i. o äärellie osapeite aia, ku joukot A i ovat tulotopologia katajoukkoja. 23.5. (jatkoa) Todista, että jos E o semiormijoukkoo N liittyvä lokaalikoveksi avaruus ja F se vektorialiavaruus, ii semiormie p N rajoittumat aliavaruutee F määrittelevät siihe aliavaruustopologia. 23.6. Viimeistele lausee 23.20 todistus perustelemalla, miksi että Baachi avaruude E alkiot ovat duaali E alkioiksi tulkittuia jatkuvia w -mielessä. 24.1. Todista lause 24.16, joka mukaa kuvaus x y : x y = x x i ix x o isometrie reaalilieaarie isomorfismi L R (E R, R) L C (E,C) eli (E R ) E, missä E o kompleksikertoimie ormiavaruus ja E R sama avaruus tulkittua R-ormiavaruudeksi. Kertaa lopuksi, mite samoje periaatteita käytettii Baachi erottelulausee 21.11 todistuksessa. 24.2. Osoita, että luvussa 22 käsitelty heikko suppeemie o sama asia kui suppeemie heiko topologia w = σ(e,e ) mielessä. 24.3. Olkoot E ja F Baachi avaruuksia. Varustamme tuloavaruude E F kohda 17.1 sopimuksesta poikete ekvivaletilla ormilla Ku (f,g ) E F, asetamme (x, y) = x E + y F. (f,g )((x, y)) = f (x)+g (y). Näytä. että (E F ) = E F yo. samastuksella ja että (E F ) : operaattoriormi o (f,g ) = max{ f, g }. 24.4. (jatkoa) Olkoot E ja F Baachi avaruuksia. Osoita, että jos E ja F ovat refleksiivisiä, ii myös E F o refleksiivie. 24.5. Olkoot E ja F ormiavaruuksia ja T lieaarikuvaus E F. Varustetaa E heikolla topologialla σ(e,e ). Osoita oikeaksi tai vääräksi, että T o jatkuva origossa, jos ja vai jos o olemassa y 1,...,y E = B(E,K) site, että T o rajoitettu joukossa B y1,...,y = {x E x y j 1 jokaiselle j =1,...}. 24.6. Todista apulause 24.5.(A-2), joka mukaa koveksi jouko w -sulkeuma o koveksi. Ohje: Sovita luvu VI huomautuksissa esiityvä todistus lausee tilateesee. Katso lopuksi tämäki luvu huomautuksia. 24.7. Todista määritelmässä 24.9 esiityvät ehdot keskeää yhtäpitäviksi. 24.8. Osoita, että l o isometrie L [0, 1]: joki suljetu aliavaruude kassa, eli o olemassa upotus J : l L [0, 1]. Vihje: valitse esimerkiksi J(e k )=χ [ 1 k+1, 1 k ], k =1, 2,... 24.9. Näytä, että vektorie e k =(0,...,0, 1, 0,...) joo (e k ) k N ei suppee heikosti avaruudessa l 1. Ohje: Testaamalla vektorilla f c 0 l = (l 1 )

HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN VII 217 huomaat, että jose k x, ii x = 0. Vertaa lopuksi myös tapauksee l p,ku 1 <p<. 24.10. Osoita, että l p o separoituva, ku 1 p<. 24.11. Osoita, että jos ormiavaruude duaali E o separoituva, ii myös itse avaruus E o separoituva. 24.12. Osoita, että l ei ole separoituva. 24.13. Millä p: arvoilla Sobolevi avaruus W 1,p (]a, b[) o tasaisesti koveksi? Huomautuksia lukuu VII. Tulotopologia vaihtoehto Käyttämämme lisäksi o olemassa toieki paljo harvemmi esiityvä luoollie topologia tuloavaruudelle. Siiä kaaksi otetaa kaikki avoimie joukkoje tulot. Lokaalikoveksi avaruude (E,w(E,E)) duaali o edellä harjoitustehtävää todistetu apulausee 24.5 (A-1) mukaa E. Lähes samalla vaivalla saa todistettua, että yleesäki s. separoituva duaalipari (E,F) avaruutee E tuottamassa lokaalikoveksissa topologiassa σ(e,f) oe: duaali tasa F. Tässä duaalipari tarkoittaa vektoriavaruusparia, jossa o määritelty bilieaarikuvaus b : E F K ja separoituvuus merkitsee, että josb(x, y) = 0 kaikille y, ii x =0. E: yleistetty heikko topologia σ(e,f)määräytyy semiormeista p y (x) = b(x, y). w -tiheyslausee 24.5 todistus Hirzebruchi ja Scharlau tyylii o kommetoitu pois, koska ole valiut toise todistukse. Koodi o tallessa. Sobolev-versio. Lebesgue avaruuksie tasaisesta koveksiudesta seuraa, että myös Sobolevi avaruudet ovat tasaisesti kovekseja ja siis refleksiivisä, ku 1 < p<. Sobolevi avaruude duaali ei kuitekaa ole Sobolevi avaruus. Heikko suppeemie Sobolevi avaruudessa o oeksi kuiteki juuri sitä mitäkäytettii heiko derivaata määritelmässä. Rado-Nikodymi lausee rooli. Mittateoriassa ja eteki todeäköisyysteoriassa tärkeä Rado-Nikodymi lauserado, Joha 128 voidaa todistaa Fréchet ja Rieszi esityslausee avulla. Rado-Nikodymi lausee avulla voi puolestaa todistaa L p -avaruuksie refleksiivisyyde (1 <p< ) vetoamatta tasaisee koveksisuutee. 129 Taustalla o syvällie yhteys. Baachi ja Tarski paradoksi. Baachi ja Tarski paradoksia tuettut ilmiöt liittyvät valita-aksioomaa, jota käsittelemme liitteessä. Selkeä ja viihdyttävä esitys paradoksista o kirjassa [SW]. Hyvä lukija. Kirjoita tekijälle muitaki parausehdotuksia lukuu VII. 128 Joha Rado 1887 1956, Itävalta. Otto Marci Nikodym 1887 1974, Ukraia ja USA 129 Kiiostuut lukija saattaa kaivella vaikka Yosida [Y], III.8 ja IV.9 tai Wereri [W] kirjaa kummaki seika selvittämiseksi.

f ( ) 218 VIII OPERAATTORITEORIAN PERUSTEET Koettaessamme yleistää hermiittise operaattori diagoalisoitimeettelyä äärellisestä äärettömää ulotteisuutee olemme huomaeet, että omiaisarvoihi perustuva teoria o riittämätö. Esimerkki 10.33 hermiittisestä operaattorista, jolla ei ole omiaisvektoreita, ataa ajattelemise aihetta. Siksi tässä luvussa otetaa omiaisarvo lisäksi käyttöö sitä yleisempi spektraaliarvo käsite, joka yhtyy omiaisarvoo äärellisulotteisessa tapauksessa. Seuraavassa K = C. 25. Normialgebrat ja spektri 25.1. Operaattori omiaisarvot ja spektraaliarvot. Määritelmä 25.1. Olkoo H Hilberti avaruus. Luku λ K o operaattori T B(H) spektraaliarvo, jos T λi ei ole rekaa B(H) käätyvä alkio, toisi saoe jos operaattorilla T λi ei ole jatkuvaa kääteiskuvausta H H. Operaattori spektraaliarvoje joukko o se spektri Sp(T ). Spektrii Sp(T ) kuulumattomia lukuja saotaa operaattori T sääöllisiksi arvoiksi. Huomautus 25.2. Avoime kuvaukse lause takaa, että jos T λi o bijektio, ii se kääteiskuvaus o paitsi tieteki lieaarie myös jatkuva, siis Baachalgebra B(H) alkio. Luvu λ kuulumie operaattori T spektrii merkitsee siis yksikertaisesti sitä, että T λi ei ole bijektio H H. Luku λ kuuluu siis spektrii Sp(T ), ku operaattorilta T λi puuttuu ijektiivisyys tai surjektiivisuus tai molemmat. Ijektiivisyyde puuttumie merkitsee, että ydi Ker(T λi) o epätriviaali, toisi saoe o olemassa x H {0} site, että Tx λx =0,eli että λ o operaattori T omiaisarvo ja x se omiaisvektori. Omiaisarvot ovat siis erikoistapauksia spektraaliarvoista. Operaattori T omiaisarvoje joukkoa saotaa toisiaa se pistespektriksi. Esimerkki 25.3. Ku Hilberti avaruus H o -ulotteie, ii lieaarialgebra dimesiolausee mukaa ijektiivisyys, surjektiivisuus ja käätyvyys ovat yhtäpitäviä asioita operaattorille T B(H), jote äärellisulotteisessa avaruudessa kaikki spektraaliarvot ovat omiaisarvoja. Esimerkki 25.4. Ääretöulotteisessa tapauksessa pistespektri ja spektri ovat eri asioita. Esimerkiksi 0 o oikeapuoleise siirto-operaattori S : l 2 l 2 : (a 1,a 2,a 3,...) (0,a 1,a 2,...) spektraaliarvo mutta ei omiaisarvo. Hiema mutkikkaama esimerki ataa operaattori T : L 2 [0, 1] L 2 [0, 1] : Tf(x) =xf(x), jolla ei ole omiaisarvoja, mutta jolle jokaie λ [0, 1] o spektraaliarvo.

25. NORMIALGEBRAT JA SPEKTRI 219 25.2. Spektri Baach-algebrassa. Operaattorialgebra B(E) alkiolle voi määritellä spektri myös silloi, ku E ei ole Hilberti avaruus, vaa esimerkiksi Baachi avaruus. Vaikka olemme esisijaisesti kiiostueita Hilberti avaruude operaattoreista, yhdemukaistamme käsittelyä määrittelemällä spektri käsittee mielivaltaise K-kertoimise ormialgebra alkiolle. Määritelmä 25.5. (1) K-Algebra eli K-Algebra (A, +,, ) o regas (A, +, ), joka samalla o vektoriavaruus (A, +, ), ja jossa kaikilla alkioilla T,S Aja luvuilla λ K pätee λ (T S) =(λ T ) S = T (λ S). O syytä huomata, että määritelmässä selvyyde vuoksi esiityeet kertolaskuje merkit ja jätetää algebroissaki yleesä merkitsemättä. (2) Normialgebra o algebra, joka samalla o ormiavaruus, ja jossa kaikilla T,S Apätee tulo jatkuvuude ilmaiseva epäyhtälö TS T S. Jos ormialgebra o varustettu ykkösalkiolla I, ii vaaditaa lisäksi, että I =1. (3) Baach-algebra o täydellie ormialgebra. (4) Ykkösellise algebra alkio o käätyvä, eli sääöllie, jos sillä o olemassa kääteisalkio rekaa mielessä. Käätyvät alkiot muodostavat kertolasku suhtee ryhmä, jota merkitää GL(A). (5) Alkiot T,S Akommutoivat keskeää, jos TS = ST. Algebra, jossa kaikki alkiot kommutoivat keskeää, o kommutatiivie algebra. Esimerkki 25.6. a) Jatkuvie fuktioide muodostamassa sup-ormilla varustetussa kommutatiivisessa, ykkösellisessä Baach-algebrassa C =(C([a, b]), C), ) käätyviä alkioita ovat kaikkialla ollasta eroavat fuktiot. Algebralla C o kaikista polyomeista muodostuva epätäydellie ormialialgebra A, joka Weierstrassi approksimatiolausee mukaa o tiheä. Algebra A aioat käätyvät alkiot ovat ollasta eroavat vakiofuktiot. b) Baachi avaruude E jatkuvat lieaarikuvaukset itsellee eli operaattorit muodostavat operaattoriormilla varustettuia ykkösellise Baach-algebra, operaattorialgebra B(E). Rekaa kertolaskutoimituksea o tässä kuvauste yhdistämie ja käätyviä alkioita ovat avoime kuvaukse lausee takia kaikki bijektiiviset operaattorit. c) Äärellisulotteie versio operaattorialgebrasta o matriisialgebra L() = M( ), joka käätyvie alkioide ryhmää merkitää GL(). (Ks. 10.05.) Voimme yleistää operaattori spektraaliarvo käsittee ykkösellä varustetu algebra alkiolle.

f ( ) 220 Määritelmä 25.7.Luku λ K o ykkösellä varustetu Baach-algebra alkio T Asääöllie arvo, jos o olemassa kääteisalkio (T λi) 1 A. Muute λ o T : spektraaliarvo. Tällöi siis T λi ei ole algebra A:ssa käätyvä. Spektraaliarvoje joukko o T : spektri Sp(T ). Vaikka merkitä eisitä kerro, spektri riippuu alkio T lisäksi algebrasta A ja tieteki kuasta K, joka seuraavissa tarkasteluissa tosi koko aja o C. 25.3. Carl Neumai sarja. Kompleksise Baach-algebra alkio spektri o epätyhjä, kompakti joukko. Tämä asia ei ole aiva välittömästi ilmeie. Äärellisulotteisessa tapauksessa spektri o tosi helppo huomata äärelliseksi joukoksi, mutta se epätyhjyys o yhtäpitävä algebra peruslausee kassa, sillä matriisi T omiaisarvo löytämie tapahtuu ratkaisemalla algebrallie yhtälö det(t λi) = 0. Joudumme siis ilmeisesti välttämättä käyttämää kompleksilukuja koskevia tietoja. Samaa suutaa viittaa seuraava yksikertaie lause, joka avulla osoitamme, että spektri o suljettu joukko. Lause 25.8 (Carl Neumai sarja). Olkoo A Baach-algebra, T Aja T < 1. Silloi I T o käätyvä. Todistus. Lause o todistettu harjoitustehtävää 6.18. Ideaa o, että tavallise geometrise lukusarja summa o muotoa =0 α = (1 α) 1, ku α < 1jaettätämä oistuu yhtä lailla Baach-algebrassa. Normialgebrassaha sarja =0 T suppeee, ku T < 1, ja Baachi avaruudessa sarja suppeee, jos se termie ormeista muodostettu sarja suppeee, toisi saoe itseie suppeemie takaa sarja suppeemise. Suora lasku osoittaa lopuksi, että (I T ) =0 T = I =( =0 T )(I T ), jote =0 T =(I T ) 1. Carl Neumai sarja suppeee avaruude B(H) avoimessa pallossa B(I,1), jote idettie kuvaus I o käätyvie alkioide ryhmä GL(A) sisäpiste. Tätä hyväksikäyttäe o vaivatota todistaa, että muutki käätyvät alkiot ovat GL(A): sisäpisteitä (vrt. harjoitustehtävä 6.19.). Tästä saadaa seuraavat seuraukset: (1) Baach-algebra käätyvie alkioide ryhmä GLA) o avoi joukko ja käätymättömie alkioide joukko o siis suljettu. (2) Jokaise alkio T Aspektri o suljettu joukko. Carl Neumai sarjaa perustuvat myös seuraavie kappaleide lauseet spektri olemuksesta. 25.4. Liouville lause. Määritelmä 25.9 (Aalyyttiset fuktiot). Kompleksifuktio aalyyttisyyde eli holomorfisuude käsittee voi helposti yleistää vektoriarvoiselle fuktiolle f : C E, missä E o kompleksikertoimie Baachi avaruus, esimerkiksi E = B(H): Fuktio f : U E o aalyyttie avoimessa joukossa U C, jos sillä o derivaatta kaikissa U: pisteissä. Derivaatta f (z 0 )määritellää aiva samalla tavalla kui kompleksiarvoisessa tapauksessa. Differetiaalilasketa voi hyvi yleistää ääretöulotteisee avaruutee, mutta pysyäksemme spektriasiassa todistamme seuravassa vai tässä välittömästi tarvittavat differetiaalilaskea kaavat.

25. NORMIALGEBRAT JA SPEKTRI 221 Lause 25.10. (Lieaarikuvaukse ketjusäätö). Jos U C o avoi, f : U E o aalyyttie ja T : E F o jatkuva ja lieaarie, ii myös T f : U F o aalyyttie ja (T f) = T f. Perustelu. T (f(z)) T (f(z 0 )) lim z z 0 z z 0 = T lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = Tf (z 0 ). Lause 25.11 (Kääteisalkio muodostamise ketjusäätö). Olkoo A Baach-algebra. (1) Kääteisalkio muodostamie k : x x 1 o homeomorfismi käätyvie alkioide ryhmältä GLA) itsellee. (2) Jos U C o avoi ja f : U Ao aalyyttie, ii myös g = k f : α f(α) 1 o aalyyttie ja se derivaatta o g (α) = g(α)f (α)g(α) = f(α) 1 f (α)f(α) 1. Perustelu. (1) Carl Neumai sarja avulla helppo todistaa. (2) Myös kääteise derivaata laskemie perustuu Carl Neumai sarja käyttöö, mutta vie muutama rivi lisää tilaa. 130 Lause 25.12 (Liouville lause) 131. Olkoo E Baachi avaruus. Aalyyttie, rajoitettu fuktio f : C E o vakio. Todistus. Lause palautuu tavallise kompleksiarvoise fuktio Liouville lauseesee tarkastelemalla kompleksiarvoisia fuktioita y f : z f(z) y, missä y E. Nämähä ovat ketjusääö 25.10. mukaa aalyyttisiä koko tasossa ja sitäpaitsi tieteki rajoitettuja, siis tavallise Liouville lausee mukaa vakioita jokaie. Kaikilla z 1,z 2 C o siis f(z 1 ) y = f(z 2 ) y. Siis f(z 1 ) f(z 2 ) y =0 kaikilla y E. Hah-Baachi lausee seurauksea tiedämme, että jokaisella ollasta eroavalla vektorilla x E o olemassa y E, jolla x y 0. Siis f(z 1 )=f(z 2 ). 25.5. Spektri perusomiaisuudet kompakti ja epätyhjä. Lause 25.13. Kompleksikertoimise Baach-algebra A alkio T spektri Sp(T ) C o epätyhjä, kompakti lukujoukko. Lisäksi Sp(T ) B(0, T ). Perustelu. Totesimme jo, että spektri o suljettu. Lisäksi (λi T ) okää- tyvä silloi ja vai silloi, ku (I 1 λt )okäätyvä, eli Carl Neumai sarja 130 Kokeile itse tai katso esim. [Di], jossa o eemmäki derivoitia Baachi avaruuksissa tai [M] jossa o s. 143 lyhyt todistus. 131 Joseph Liouville 1809 1882, Raska.

f ( ) 222 perusteella aiaki silloi, ku λ > T. Spektri epätyhjyys o hiuka syvällisempi asia ja perustuu Liouville lauseesee: Jos operaattori T spektri olisi tyhjä, ii kuvaus λ (T λi) 1 olisi määritelty ja aalyyttie koko tasossa C. Lisäksi se olisi rajoitettu, sillä λ (T λi) 1 olisi jatkuva ja ympyrä B C (0, 2 T ) ulkopuolella rajoitettu, siis rajoitettu kaikialla. Liouville mukaa se siis olisi vakio, mikä o selvästi epätosi. Spektri o siis epätyhjä imeomaa siksi, että kutaa o K = C. Jopa reaalisessa matriisialgebrassa M(2 2) o alkioita, joide spektri o tyhjä esimerkiksi melkei kaikki taso kierrot. 25.6. Spektraalikuvauslause. Lause 25.14 (Spektraalikuvauslause polyomille). Olkoo A Baachalgebra ja p tavallie C polyomi p(z) =a 0 + a 1 z +...a z. a 0, 1. Olkoo edellee T A.Tällöi alkio p(t )=a 0 + a 1 T +...a T A spektri o Sp(p(T )) = {p(λ) λ Sp(T )}. Todistus. Olkoo µ C. O osoitettava, että alkio p(t ) µi o käätyvä algebrassa A tasa silloi, ku µ = p(λ), missä λ Sp(T ). Hajotetaa algebra peruslausee avulla polyomi p(z) µ tuloksi p(z) µ = a (z z 1 )...(z z ), jolloi µ = p(λ) tasa silloi, ku λ o joki luvuista z 1,...,z. Lisäksi p(t ) µi = a (T z 1 I)...(T z I), jote riittää todistaa, että tämä tulo o käätyvä tasa silloi, ku jokaie tekijä (T z I)okäätyvä. Tämä ehdo riittävyys o selvää, sillä käätyvie alkioide tulo o aia käätyvä. Jos taas oletetaa, että tulookäätyvä, ii aiaki esimmäie tekijä okäätyvä, oha silloi a (T z 1 I)...(T z I)(p(T ) µ) 1 = I. Toisaalta tekijät (T z k I) kommutoivat keskeää, jote mikä tahasa iistä voidaa siirtää esimmäiseksi. Lause 25.15 ( ) (Spektraalikuvauslause aalyyttiselle fuktiolle). Edellise lausee väite pätee, vaikka f ei olisikaa polyomi, kuha o olemassa avoi lukujoukko Ω C, jossa f o aalyyttie ja joka sisältää T : spektri. Perustelu. Todistuksessa voi käyttää esimerkiksi Cauchy itegraalikaava Baach-algebraversiota, Dufordi itegraalia 132 f(t )= 1 2πi Ω f(λ)(λi T ) 1 dλ. 132 Nelso Duford. 1920 2000? USA. Ks. [S] tai [Y]. Cauchy kaava o mahdollie määritelmä aalyyttiselle fuktiolle!

26. PROJEKTIOIDEN JÄRJESTYS 223 Lause 25.16 ( ) (Spektraalikuvauslause jatkuvalle fuktiolle). Edellise lausee väite pätee erikoistapauksissa, vaikka f ei olisi aalyyttie, vaa aioastaa jatkuva joukossa Sp(T ). Oletukseksi riittää aiaki, että algebraa o B(H) ja T o hermiittie. 133 Perustelu. Sivuutetaa. Katso kuiteki huomautuksia luvu lopussa. 26. Projektioide järjestys 26.1. Projektiot ja suorat summat. Geometrisesti helpoite ymmärrettävä operaattorityyppi o projektio aliavaruudelle. Kertaamme perusteellisesti projektioide perusomiaisuudet kiiittäe erityistä huomiota yleisii lieaarialgebrallisii eli vioihi projektioihi. Kertaus 26.1. Vektoriavaruude V aliavaruuksie H ja F saotaa muodostava suora summa E F = E + F = E F, jos e toteuttavat seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot: (1) E F = {0} (2) Jokaise vektori v E + F hajotelma muotoo v = a + b, missä a E ja b F, o yksikäsitteie. (3) Nollavektori 0 E + F hajotelma muotoo 0 = a + b, missä a E ja b F, o yksikäsitteie, 0 = 0 + 0. Vektoriavaruude operaattori P : V V o projektio, jos P 2 = P. Seuraava jo luvussa 9 maiittu lause saoo, että projektio o projektio kuvallee ytimesä suutaa: Lause 26.2. Jos P : V V o projektio, ii V =ImP Ker P. Ker P x Px Im P Kuva 71. Projektio aliavaruudelle. Todistus. Olkoo x V. Selvästi x = a + b, missä a = Px P (V )ja b = x a Ker P. Jos x Ker P Im P, ii x = Px =0. Kertaus 26.3. Projektiolla o seuraavalaiset jatkuvuusomiaisuudet. (1) Normiavaruudessa jatkuva projektio ydi Ker P = P 1 {0} o tietysti suljettu aliavaruus, samoi siis kuvajoukko Im P = P (H), joka o komplemetaarise projektio I P ydi. 133 [La].

f ( ) 224 (2) Projektio o avoi kuvaus. (3) P ja I P ovat jatkuvia joko molemmat tai ei kumpikaa. (4) Ääretöulotteisessa avaruudessa projektio voi olla epäjatkuva, eikä edes se ytime eikä kuvajouko tarvitse olla suljettuja aliavaruuksia. (5) Edes yksiulotteiselle avaruudelle tapahtuva projektio oleellisesti lieaarimuodo ei tarvitse olla jatkuva, mutta lieaarimuoto o setää jatkuva jos se ydi o suljettu. Epäjatkuva lieaarimuodo ydi o tiheä. (6) Lieaarialgebrallise suora summa termie ei siis tarvitse olla suljettuja aliavaruuksia. Huomautus 26.4. Projektio kuva-avaruude vektorit ovat se omiaisvektoreita omiaisarvolla 1 ja ytime vektorit omiaisvektoreita omiaisarvolla 0. Projektio aioat omiaisarvot ovat 0 ja 1. Vastaavat omiaisavaruudet ovat kuvaavaruus ja ydi. 26.2. Ortoprojektioide järjestys. Määritelmä 26.5. Sisätuloavaruude H ortogoaalie projektio eli ortoprojektio o projektio P : H H, joka kuva-avaruus Im P = P (H) jaydikerp ovat toisillee ortogoaaliset, toisi saoe Im P Ker P, eli P (x) =0 = (x Py)=0 y H. Ker P x Px Im P Kuva 72. Ortoprojektio suljetulle aliavaruudelle. Huomautus 26.6. Usei ortoprojektiota saotaa lyhyesti vai projektioksi. Kahde toisiaa vastaa ortogoaalise aliavaruude suoraa summaa merkitää täydellisesti A B, jote ortoprojektiolle P pätee H =ImP Ker P. Ortoprojektio ydi ja kuva-avaruus ovat toistesa ortogoaaliset komplemetit ja site varmasti molemmat suljettuja aliavaruuksia.

26. PROJEKTIOIDEN JÄRJESTYS 225 Lause 26.7. Sisätuloavaruude H ollasta eroavalle projektiolle P seuraavat ehdot ovat keskeää yhtäpitäviä: (1) P o ortogoaaliprojektio. (2) P o hermiittie, ts. (x Py)=(Px y) x, y H. (3) P = P. (4) P =1. (5) P o ormaali, ts. PP = P P (6) P o positiivie, ts. (x Px) 0 x H. Todistus. (1) (2): Jos oletamme, että Im P Ker P, ii hajotelmista x = a + b ja y = c + d H =ImP Ker P saadaa kaikille x ja y H (x Py)=(a + b P (c + d))=(a c)+(b c) }{{} 0 =(a c) =(a c)+(a d) =(Px y). }{{} 0 (2) (1): Jos P : H H o hermiittie ja Px = 0, ii kaikilla y H o (x Py)=(Px y) =(0 y) = 0, jote Im P Ker P. (2) (3) seuraa adjugati määritelmästä. Muut kohdat jäävät harjoitustehtäväksi. Esimerkki 26.8. Kerrataa esimerkki 10.33: Olkoo H = L 2 [0, 1] ja 0 t 1. Kuvaus T t : H H : f T t f = f χ [0,t] o ortoprojektio. 1 χ [0,t] T tf f 0 t 1 Kuva 73. Projektio fuktioavaruudessa. Kertaus 26.9. (1) Hilberti avaruude projektiolause saoo, että jokaiselle suljetulle aliavaruudelle A H o olemassa ortogoaaliprojektio, joka kuvaa pistee x H lähimmäksi pisteeksee aliavaruudella A. Projektio voi kirjoittaa äkyvii valitsemalla aliavaruudelle ortoormaali kaa K A ja laajetamalla se koko avaruude ortoormaaliksi kaaksi K A K A, jolloi H = A A, eli jokaie vektori x o muotoa x = (x e)e + (x e)e, e K A e K A

f ( ) 226 ja Px saadaa yksikertaisesti jättämällä tästä esityksestä jälkimmäie termi pois. (2) Edellie esimerkki o Hilbert-avaruudessa aioa: Jokaie ortoprojektio liittää pisteesee x H kuvajouko Im P lähimmä pistee. Hilberti avaruude ortoprojektio määräytyy täysi kuva-avaruudestaa. Jokaie suljettu aliavaruus o joki ortoprojektio kuva-avaruus, jote ortoprojektiot vastaavat suljettuja aliavaruuksia yksi yhtee. Kahde suljetu aliavaruude leikkaus ja suora summa ovat suljettuja aliavaruuksia. Luettelelemme seuraavassa, mitä kuva-avaruuksie ikluusio merkitsee iitä vastaaville projektioille. Perustelut jäävät lukija mietittäväksi. Määritelmä 26.10. Olkoot P ja Q ortoprojektiot aliavaruuksille F P ja F Q. (1) O helppoa todeta, että PQ o ortoprojektio jos ja vai jos P ja Q kommutoivat, ts. PQ = QP. Tällöi Im (PQ)=Im(QP )=F P F Q. E Ker P x F Q 0 PQx F P F Q FP Px Ker Q Kuva 74. Kommutoivat ortoprojektiot. (2) Saomme, että P ja Q ovat toisillee ortogoaaliset ortoporojektiot, mikäli e toteuttavat seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot: i) F P F Q, ts. (Px Qy) =0 x H. ii) PQ =0. iii) QP =0. iv) P + Q o ortoprojektio. v) Im (P + Q) =F P FQ. x + F FP Q Qx Px (P+Q)x F P F Q Kuva 75. Ortogoaaliste projektioide summa.

27. HERMIITTISTEN OPERAATTORIEN OMINAISUUKSIA 227 (3) Merkitsemme P Q, mikäli seuraavat yhtäpitävät ehdot toteutuvat: i) F P F Q ii) PQ = P. iii) QP = P. iv) Q P o ortoprojektio. v) Px Qx x H Relaatio P Q o ortoprojektioille järjestys, joka o sama asia kui iide kuva-avaruuksie joukko-opillie ikluusio. Erityisesti jokaie ortoprojektio o suurempi kui ollaprojektio, siis tässä mielessä positiivie. Nollakuvaus o siis piei ortoprojektio ja idettie kuvaus o suuri ortoprojektio. x FQ Qx Px F P F Q-P Kuva 76. P Q. Huomautus 26.11. Projektioide järjestysrelaatio voidaa yleistää koskemaa myös muita hermiittisiä operaattoreita kui projektioita. Palaamme tähä erittäi tärkeää äkökohtaa seuraavassa luvussa. 27. Hermiittiste operaattorie omiaisuuksia 27.1. Yleisiä omiaisuuksia. Olemme määritelleet hermiittise operaattori luvussa 10. Kertaamme määritelmä ja täydeämme tietojamme. Seuraavassa kutaa o C. Kertaus 27.1. (1) Operaattori A o hermiittie, jos A = A eli (Ax y) =(x Ay) x, y H. Tämä o kompleksisessa avaruudessa yhtäpitävää se kassa, että (Ax x) R kaikilla x H. (2) Hermiittiset operaattorit muodostavat B(H): reaalise vektorialiavaruude, mutta eivät kompleksista aliavaruutta, eihä edes ii ole hermiittie operaattori. (3) Hermiittiset operaattorit eivät muodosta rekaa (B(H), +, ) aliregasta, sillä: (4) Jos A ja B ovat hermiittisiä, ii AB o hermiittie aia ja vai, ku AB = BA.

f ( ) 228 (5) Hermiittiset operaattorit muodostavat B(H): suljetu jouko, siis täydellise metrise aliavaruude, oha iide joukko pistee 0 alkukuva jatkuvassa kuvauksessa B(H) B(H) :T T T. (6) Jokaie T B(H) voidaa yksikäsitteisellä tavalla hajottaa muotoo T = A + ib, missä A ja B ovat hermiittisiä, imittäi reaaliosaasa A = 1 2 (T + T ) ja imagiaariosaasa B = i 2 (T T ). Lisäksi T o ormaali, eli TT = T T, jos ja vai jos AB = BA. Tietysti jokaie hermiittie ja myös jokaie uitaarie operaattori U o ormaali, oha UU = I = U U. Seuraava lause o periaatteessa lieaarialgebrasta tuttu. Tarkoitukseamme o pia todistaa, että koko spektri o reaalie. Lause 27.2. Olkoo A B(H) hermiittie. A: omiaisarvot ovat reaalisia ja eri omiaisarvoja vastaavat omiaisvektorit ortogoaalisia. Todistus. Perustelu voidaa kopioida äärellisulotteisesta tapauksesta. Kertaamme se. Olkoo Ax = λx, missä x 0. Nyt R (Ax x) =(λx x) =λ x 2, jote aiaki λ o reaaliluku. Olkoo lisäksi Ax = µy, missä y 0jaλ µ. O osoitettava, että (x y) = 0. Koska λ o reaalie, o (µ λ)(x y) =(µx y) (x λy) =(Ax y) (x Ay) =(Ax y) (Ax y) =0. 27.2. Hermiittise operaattori ormi kaava. Seuraavassa kohdassa esiteltävä lause o edellisiä vaikeampi todistaa, mutta tarvitsemme aiva pia sitä tietoa, että jos A o hermiittie ja (Ax x) = 0 kaikille x H, ii A =0. Lause 27.3. Olkoo A B(H) hermiittie. Tällöi A = sup (Ax x). x =1 Erityisesti A =0, jos jokaie (Ax x) o 0. Todistus. Merkitää ormiehdokasta N A = sup x =1 (Ax x), jolloi kaikilla x H: (Ax x) N A x 2 ja väite o N A = A. Millä tahasa operaattorilla o tieteki yksikköpallo vektoreille x H voimassa Cauchy, Schwarzi ja Bujakovski epäyhtälöstä saatava (Ax x) Ax x A x 2 = A, ja siis N A A. Kääteie puoli o varsiaie väite ja se todistus vaatii hermiittisyyde käyttöä. Kaikilla u, z H pätee (A(u + z) u + z) =(Au u)+ ( (Au z)+(az u) ) +(Az z) (A(u z) u z) =(Au u) ( (Au z)+(az u) ) +(Az z)

27. HERMIITTISTEN OPERAATTORIEN OMINAISUUKSIA 229 Erotuksesta ja hermiittisyysehdosta (z Au) =(Az u) saadaa (Au z)+(z Au) = 1 2( (A(u + z) u + z) (A(u z) u z) ). Oikea puoli sopii yhtee N A : määritelmä kassa, ja saamme arvio (Au z)+(z Au) = 1 2 ((A(u + z) u + z) (A(u z) u z) 1 2 ((A(u + z) u + z) + 1 2 (A(u z) u z) 1 2 N A u + z 2 + 1 2 N A u z 2 = N A 1 2 ( u + z 2 + u z 2 ) = N A ( u 2 + z 2 ), missä o lopuksi käytetty suuikassäätöä. Olkoo x H. Osoitamme, että Ax N A x. Voimme olettaa, että x 0. Epäyhtälö seuraa edelläolevasta arviosta, ku valitaa jolloi u = x Ax x ja x z = Ax Ax, (Au z)+(z Au) =2 Ax 2 ja u 2 + z 2 =2 Ax x. 27.3. Hermiittiste operaattoreide järjestys. Nyt yleistämme projektioide järjestysrelaatio koskemaa myös muita hermiittisiä operaattoreita kui projektioita: Operaattori T o positiivie, jos (Tx x) 0 x H. Vastaavasti määritellää egatiivie operaattori. Koska positiivi- ja egatiiviluvut ovat reaalisia, ii positiiviset ja egatiiviset operaattorit ovat siis hermiittisiä. Jos T ja S ovat hermiittisiä operaattoreita ja S T o positiivie, ii merkitää T S. Näi määritellää hermiittiste operaattoreide järjestys. Lause 27.5. Relaatio T S o hermiittiste operaattorie joukossa järjestysrelaatio. Erityisesti ollasta eroava operaattori T ei lausee 27.3 mukaa voi olla sekä positiivie että egatiivie. Todistus. Harjoitustehtävä. Lause 27.6. (1) Jos A, B ja C ovat hermiittisiä jaa B, ii A + C B + C. (2) Jos A, B ovat hermiittisiä, λ R + ja A B, ii λa λb. (3) Jos A o hermiittie, ii A 2 0. Todistus. Harjoitustehtävä.