(ω, t) W t (ω) 1 2π(t s) exp x2

Transkriptio

1 11. HILBERTIN AVARUUKSIEN SOVELLUKSIA 11 (5) Satuaismuuttujat f i :Ω R, (i I) ovatriippumattomat, mikäli iide virittämät σ -algebrat ovat riippumattomat, eli mikäli kaikille i 1,...,i I, B i1,...,b i Bpätee P(f i1 (ω) B i1,...,f i (ω) B i )=P(f i1 (ω) B i1 )...P(f i (ω) B i ). Määritelmä (Browi liike). Yksiulotteie Browi liike eli Wieeri prosessi 59 o kuvaus W :Ω [, [ R : (ω, t) W t (ω) jolla o seuraavat omiaisuudet () (Ω, F, P) todeäköisyysavaruus. (1) Jokaie osittaiskuvaus ω W t (ω) o satuaismuuttuja eli mitallie. (2) Melkei kaikki osittaiskuvaukset t W t (ω) ovat jatkuva. 6 (3) W (ω) = ω Ω. (4) Lisäykset ovat ormaalijakautueita site, että ku s<t<, ii kaikilla Borel-joukoilla B B(R) o P(W t W s B) = 1 2π(t s) B ( ) exp x2 dx. 2(t s) (5) Lisäykset ovat riippumattomia: Kaikilla luvuilla s 1 < <s [, [ ovat satuaismuuttujat W s1,w s2 W s1,...,w s W s 1 riippumattomia. Tulkita: W t (ω) o kulu ω Ω sijaiti hetkellä t. Esimmäie aksiooma saoo, että toteutuut kulku valitaa P-mielessä satuaisesti. Toie aksiooma saoo, että melkei jokaie toteutuut kulku o jatkuva ja kolmas saoo, että se aloitetaa kohdasta. Neljäs aksiooma ilmoittaa, että kiiteällä aikavälillä tapahtueet liikahdukset ovat jakautueet Gaussi jakaumalla, joka keskiarvo o (ei aitoa trediä) ja variassi o verraollie aikaa (ei aitoa dispersiota). Tämä o keskeise raja-arvolausee takia luoollie vaatimus, ku halutaa, että Browi liike o diskreeti satuaiskulu raja-arvo. 61 Riippumattomuusaksiooma ilmoittaa, että kulku jatkuu saavuttamastaa kohdasta kute origosta, siis uohtae historiasa (saavuttamaasa kohtaa lukuuottamatta). Huomautus Osoittautuu, että aksioomat (1)-(5) määrittelevät kuvaukse W eli Browi liikkee yksikäsitteisesti (Norbert Wieer 1923). Tavoitteeamme o yt määritellä Stieltjes-tyyppie itegraali fuktio t W t (ω) suhtee, siis T f(t) dw t (ω). 59 Norbert Wieer , USA-Ruotsi. 6 Riittääkö tämä takaamaa mitallisuude tuloavaruudessa? 61 Itse asiassa (4) seuraa muista aksioomista.

2 f ( ) 12 Vaikka yksittäie toteutuut satuaiskulku eli osittaiskuvaus t W t (ω) oaetulla välillä [s, t] [, [ jatkuva, ii se o itse asiassa todeäköisyydellä 1 rajoittamattomasti heilahteleva. Stieltjes-itegraali määritelmä toimii kuiteki aioastaa silloi, ku itegroiva fuktio o rajoitetusti heilahteleva. 62 Itô oivallus o, että määriteltävä itegraali riippuu mitta-avaruude pisteestä ω, ja oki syytä yrittää kostruoida joukossa Ω määritelty reaaliarvoie L 2 fuktio ω T f(t) dw t (ω) eikä se yksittäisiä arvoja. Tämä oistuu: itegraali o määrittelyssää käytettävie summie raja-arvo Lebesgue i avaruude L 2 (Ω, P) mielessä, ku jakoa tiheetää. Esitämme yt tarka määritelmä tilateessa, jossa itegroitava fuktio o muotoa f(t, ω) =u(w t (ω)), missä t [,T]jaω Ω. 63 Määritelmä (Itô stokastie itegraali). Olkoo u : R R itegroituva ja ( ) T E P u(w t ) 2 dt <, eli u W L 2 (Ω [,T], P m). Tässä o tavallisee tapaa merkitty odotusarvoa symbolilla E P, jote E P u(w t ) 2 = Ω u(w t (ω)) 2 d P(ω), kaavassa ( ) o siis itegroiti yli jouko Ω [,T] tulomita P m suhtee, missä m o Lebesgue i mitta välillä [,T]. Määritellää Itô stokastie itegraali käyttämällä Riema-Stieltjes-summissa tasavälistä jakoa ja fuktioide arvoja jakovälie alkupisteissä. 64 T u(w t ) dw t = lim ( ( i=1 u ( ) ) ( W (i 1) T W i T ) ) W (i 1) T, missä kovergessi tapahtuu avaruudessa L 2 (Ω, P). Huomautus Ei ole kovi vaikeaa todistaa, että Itô itegraali o olemassa asettamillamme ehdoi. L 2 -avaruude alkioa se o määritelty aioastaa P-melkei kaikilla ω Ω. 62 [A]. 63 Tarkastelu yleistyy kyllätilateesee, jossaf(t, ω) =u(t, W t (ω)), siis erityisesti sallitaa tavallie determiistie fuktio. 64 Jälkimmäie ehto o yllättäe oleellie; lukemalla itegroitava arvo esimerkiksi osaväli keskipisteestä saataisii erilaie itegraali.

3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN III 13 Esimerkki (1) Olkoo aluksi u vakiofuktio 1. Koska itegraali määritelmässä summa ei riipu jaosta, saadaa odotettu arvo: T 1 dw t = W T W = W T. (2) Olkoo seuraavaksi u(s) = s. Perustelemme seuraavaksi Itô kaava avulla, miksi itegraaliksi saadaa hiema yllättäe ( ) T W t dw t = 1 2 W 2 T T 2. Itô kaava o vastie tavallisesta aalyysistä tutulle itegraali ja derivaata kääteisyydelle. Lause (Itô kaava). Oletetaa, että u : R R o kahdesti jatkuvasti derivoituva. Tällöi u (W T ) u (W )= T u (W t ) dw t Itegraali T u (W t ) dw t olemassaoloehto T u (W t ) dt. ( ) T E P u (W t ) 2 dt <, toteutuu automaattisesti. Huomaa, että korjaustermi o tavallise jatkuva fuktio Riema-itegraali. Todistusidea. Kaava todistamie ei ole erityise vaikeaa. (Se keksimie o sitäki yllättävämpi suoritus.) Todistus alkaa site, että arvioidaa fuktiota u polyomilla. Esimerki kohta ( ) perustellaa valitsemalla Itô kaavassa u(t) =t 2. Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu III Harjoitustehtäviä lukuu III Näytäettä sisätulo määräämä ormi toteuttaa ormi määritelmä ehdot: λx = λ x x + y x + y. Milloi pätee x + y = x + y? Vihje: jos ja vai jos joko u = av tai v = au jolleki a. Päteekö tämä muute kaikissa ormiavaruuksissa? 8.1. Todista sisätuloavaruude keskeää ortogoaalisille alkoille Pythagoraa lause: x + y 2 = x 2 + y 2.

4 f ( ) Todista sisätuloavaruude keskeää ortogoaalisille alkioille yleistetty Pythagoraa lause: x x 2 = x x Olkoo E kompleksikertoimie sisätuloavaruus. Todista polaarikaava, joka lausuu sisätulo ormi avulla: ( (x y) = 1 4 x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2) Todista lause 8.3 eli Cauchy, Schwarzi ja Bujakovski epäyhtälö (x y) x y yleisessä sisätuloavaruudessa ja äytä, että tässä oyhtäsuu- ruus aia ja vai, ku x ja y ovat lieaarisesti riippuvia. (Reaalie esi. Voit olettaa, että x = y =1. ) 8.5. Todista, että jos reaalikertoimisessa ormiavaruudessa suuikassäätö pätee, ii ( (x y) = 1 2 x + y 2 x 2 y 2) o sisätulo, joka ataa alkuperäise ormi. Ohje: Hakaluus o lieaarisuudessa x: suhtee. Todista esi additiivisuus, siis (x y) =(x y) +(z y). Ehto (λx y) = λ(x y) palautuu tähä ja sisätulolausekkee jatkuvuutee. Vastaava tulos pätee kompleksisessaki tapauksessa, mutta tarvitaa kompleksie polaarikaava ja todistus o hiuka pitempi Näytä, että vektoriavaruus V o aliavaruuksiesa A 1 ja A 2 lieaarialgebrallie suora summa tasa silloi, ku jokaie vektori x V voidaa tasa yhdellä tavalla hajottaa summaksi x = y + z, missä y A 1 ja z A 2. Yleistä tämä myös useamma kui kahde aliavaruude suoralle summalle Tarkasta, että mikä tahasa vioki projektio kuva-avaruus ja ydi leikkaavat toisesa aioastaa origossa ja että e yhdessä virittävät koko avaruude, joka siis o projektio ytime ja kuva suora summa Todista, että ormiavaruude mikä tahasa osajouko S E virittämä suljettu aliavaruus S o suppei suljettu aliavaruus, joka sisältää jouko S. Merkitä S tarkoittaa jouko S virittämää aliavaruutta eli suppeita S: sisältävää aliavaruutta (jatkoa) a) Näytä esimerkillä, että suljetu jouko virittämä aliavaruus ei yleesä ole suljettu ja siis aiaki joskus S S. b) Osoita, että kuiteki aia S S Todista huomautus 9.15, joka mukaa, jos K ja L ovat Hilberti avaruude H suljettuja aliavaruuksia, ii H = K L K = L L = K Olkoo A E sisätuloavaruude osajoukko. Määrää {}, E, A A ja A.

5 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN III Olkoo E =(C[, 1], R) varustettu sisätulolla (f,g) = 1 fgdt. Keksi joki ollasta eroava fuktio g C[, 1], joka o kohtisuorassa fuktiota f E, f(x) =x, vastaa a) Olkoo M H Hilberti avaruude aliavaruus. Osoita, että M = {} M = H. b) Olkoo M H Hilberti avaruude osajoukko. Osoita, että ((M ) ) = M Olkoo avaruudessa l 2 x 1 =(2, 1,,,,...), x 2 =(, 2, 1,,,...), x 3 = (,, 2, 1,,,...)je.Määrää x 1,x 2,x 3, Jos (e 1,e 2,e 3,...) o joki H: ortoormaali kata, ii oko (e 2,e 3,e 4,...) H: ortoormaali kata? Etäpä ( ) (e 2 e 1 ), (e 1 + e 2 ),e 3,e 4,...? Mitkä seuraavista l 2 : joukoista ovat suljettuja? A = { 1 k e k k =1, 2, 3,...}, missä ek =(,...,, 1,...) B = { 1 k e 1 k =1, 2, 3,...} C = {x}, missä x l 2 D = Y, missä Y l a) Olkoot A ja B Hilberti avaruude H suljettuja aliavaruuksia site, että A B ja olkoot P ja Q ortogoaaliprojektiot iille. Määrää PQ ja QP. b) Etäpä, jos oletetaaki A B? Todista, että sisätuloavaruude keskeää ortogoaaliset alkiot ovat lieaarisesti riippumattomia (Zori lemma harjoittelua.) a) Aa esimerkki järjestetystä joukosta, joka ei ole ketju. b) Olkoo X =(C 1 [, 1], R) ={f :[, 1] R derivaatta f o olemassa ja jatkuva}. Oko relaatio f g f (x) g (x) x [, 1] järjestys joukossa X? Jos B X site, että idusoi B:he täydellise järjestykse, ii oko B:llä maksimaalie alkio? (Hamel-kaasta ja ON-kaasta.) Jokaisella vektoriavaruudella V o Hameli kata eli maksimaalie lieaarisesti riippumato joukko. Todistus o esitetty liitteessä ja matkii Hilberti kaa olemassolotodistusta käyttämällä Zori lemmaa. a) Todista, että Hameli kaa alkioide äärellisiä lieaarikombiaatioia saadaa kaikki vektorit, ts. V = E.

6 f ( ) 16 b) Keksi joki Hameli kata vektoriavaruudelle V = {p: R R p o polyomi ja p( t) =p(t) t}. c) ( ) Osoita, että kaikki sama vektoriavaruude V Hameli kaat ovat yhtä mahtavia joukkoja. Vektoriavaruudella o siis lieaarialgebrallie eli Hameldimesio. d) Todista, että ääretöulotteise Hilberti avaruude l 2 joki Hamel-kata o yliumeroituva. Hilbert-dimesio ja Hamel-dimesio ovat siis eri asioita. Vihje: Koeta etsiä yliumeroituva mota lieaarisesti riippumatota vektoria avaruudesta l 2. e) Osoita, että ääretöulotteise Hilbert-avaruude H ortoormaali kata eli Hilberti kata E ei voi samalla olla se Hameli kata Todista, että jokaie Hilbert-avaruude vektori a H määrittelee lieaarikuvaukse f a : H K : x (x a), joka o jatkuva, ja itse asiassa f a = a Fréchet ja Rieszi esityslause karakterisoi eli kuvailee täydellisesti kaikki jatkuvat lieaarikuvaukset H K. Mite se avulla voi karakterisoida lieaarikuvaukset H K 2?EtäH E, missä dime<? Hilberti avaruude jokaisee vektorii a H liittyy jatkuva lieaarimuoto f a H, imittäi f a : H K : x (x a). Fréchet ja Rieszi esityslause saoo, että Hilbert-avaruudessa kaikki jatkuvat lieaarimuodot ovat tyyppiä f a. Vektorie a ja vastaavie jatkuvie lieaarimuotoje välie yhteys o kuvaus, vieläpä (kompleksisessa tapauksessa kojugaattilieaarie) ormiavaruusisomorfismi H H : a f a. Näytä esimerkillä (2-ulotteie riittää), että saatu isomorfismi avaruude H = R 2 ja se duaali R 2 välillä riippuu R 2 :ssa käyttämämme sisätulo valiasta. (Tee toie sisätulo viokulmaisesta kaasta.) Filosofoitia: Jos edellä käytetää ao. sisätulo suhtee ortoormaalia kataa ja vastaavia matriiseja, ii kuvausta a f a esittää pystyvektori traspooiti vaakavektoriksi. Viokulmaisessa kaassa käy toisi. Edellise tehtävä merkitys o siiä, että se mukaa traspooii merkitys riippuu kaa oikeastaa siis kaasta saatava sisätulo valiasta. Differetiaalilaskeassa o tapaa saoa, että a o fuktio f a : K K gradietti lieaarikuvaukse kyseessä olle sama jokaisessa pisteessä. Huomaa, että gradietti siis riippuu paitsi derivoitavasta fuktiosta myös avaruude R sisätulo valiasta, mikä ei ole outoa, oha gradietti kohtisuorassa tasa-arvokäyriä vastaa ja suorat kulmat riippuvat sisätulosta Olkoo L : R 3 R : L(x 1,x 2,x 3 )=x 1 x 2.Määrää KerL ja (Ker L). Etsi sellaie a R 3,että L(x) =(x a) kaikille x R (Koordiaattie suppeemie) Todista, että C : stadardikaassa (e 1,e 2,...,e ), ja itse asiassa jokaisessa ortoormaalissa kaassa, pätee x i = x (x i e j )=(x e j ) j =1,...,. i=1 i=1

7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN III 17 Päteekö vastaava avaruudessa l 2? Ohje: epäile! (jatkoa) Aa esimerkki l 2 : joosta (x m ) m N, ts. x m =(x m k ), missä x m k 2 < ja vektorista x =(x k ) l2, joilla x m k x k k N, mutta ei x m x m avaruude l 2 metriikassa Olkoo A = {(x k ) 1 l 2 x k 1 k k N}. Osoita, että A o l2 : metriikassa kompakti. Ohje: Näytä A jookompaktiksi osoittamalla, että jos (x m ) o joo A: alkioita ja x l 2,iix m x l 2 -mielessä, jos ja vai jos x m x koordiaateittai. Lisäkysymys: Oko A : yksikköpallo kompakti? Osoita, että x = ( x k 2) 1 2 ja x 2 = ( x 2k 2 ) 1 2 ovat ekvivaletteja ormeja avaruudessa l Määritellää + ( k= x 2k+1 2 ) 1 2 K (N) = {(x ) 1 l 2 x vaiäärellise moella } Näytä, että K (N) o l 2 : aliavaruus siis itseki sisätuloavaruus mutta ei Hilberti avaruus Määrää {( 1, 2,,,...)} avaruudessa l Näytä, että Hilbert-avaruus H o äärellisulotteie, jos ja vai jos se jokaie aliavaruus o suljettu Sisätuloavaruus, jossa projektiolause pätee kaikille suljetuille aliavaruuksille, o aia täydellie, mikä huomaa soveltamalla lausetta aliavaruutee H. Tarkastapa tämä Todista, että joukko A B o yhtä mahtava kui mahtavampi joukoista A ja B, elleivät molemmat ole äärellisiä. Vihje: A ja A A ovat joko yhtä mahtavaia tai äärellisiä Osoita, että regas- ja vektoriavaruusaksioomie lisäksi operaattorialgebrassa B = B(H) pätee äitä raketeita yhdistävä yhtälöpari (1) λ(ts)=(λt )S = T (λs) ja operaattorialgebra o siis algebra. Kuvauksille tulo o tässä kuvauste yhdistämie, joka äärellisulotteisessa tilateessa vastaa matriisie kertolaskua. Saat samalla vaivalla yhtälö (1) myös siiä yleisemmässä tapauksessa, jossa S ja T ovat vektoriavaruuksie lieaarikuvauksia U T V S W Osoita, että operaattorialgebrassa B = B(H) pätee epäyhtälö, mutta ei aia yhtälö (2) ST S T,

8 f ( ) 18 jote operaattoreide tulo o jatkuva bilieaarikuvaus B B B. Saat samalla vaivalla epäyhtälö (2), kuha S ja T ovat ormiavaruukise välisiä jatkuvia lieaarikuvauksia E T F S G Kertaa [ symmetrise ] matriisi diagoalisoimise pääideat diagoalisoimalla matriisi Todista lause 1.16, joka mukaa sisätuloavaruude lieaarie surjektio U : H H: o uitaarie, jos ja vai jos ortoormaalissa kaassa E =(e i ) i I pätevät seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot (4) (Ue i Ue j )=δ ij i, j I. (5) k I a ika kj = δ ij i, j I. Tässä a ij =(Ue j e i ) Todista lause 1.22, joka mukaa operaattori T adjugaatti o olemassa ja yksikäsitteie ja sillä o seuraavat omiaisuudet: (1) (Tx y) =(x T y) kaikilla x, y H. (2) T = T (3) T = T (4) Kuvaus T T o kojugaattilieaarie, ts. (λt ) = λt ja (T + S) = T + S. (5) (TS) = S T (6) Jos T o käätyvä, ii myös T o käätyvä ja(t ) 1 =(T 1 ) Todista seuraus 1.23, joka mukaa operaattori T Bo uitaarie aia ja vai, ku T = T 1 ja hermiittie aia ja vai, ku T = T Todista, että adjugaati T yleistetty matriisi kaassa E o A t =(a ji ), missä A =(a ij )ot: matriisi Todista, että KerT = T (H) ja siis myös Ker T = T (H) Olkoo T ormaali operaattori. Osoita, että KerT = Ker T ja siis myös T (H) =T (H). Ohje: T = T. Laske (T Tx TT x x) kaikille x Oko totta, että äärellisasteise ormaali operaattori omiaisarvoista vai äärellise moi eroaa ollasta? Etä yleesä äärellisasteise operaattori? Tarkasta, että oikea ja vase siirto ovat toistesa adjugaatit Selvitä ja perustele joteki kohda 1.32 väite, joka mukaa diagoaalie operaattori o kompakti tasa silloi, ku se ollasta eroavat omiaisarvot muodostavat ollaa kohti suppeeva joo tai äärellise jouko Määrää esimerkissä esiityvie projektioide T g ja T t komplemetaarie projektio, ydi ja kuva sekä tutki erikoistapauksea, oko kuvaus t T t jatkuva R B(H) Osoita, että fuktiot u k (t) = 1 2π e ikt (k Z) muodostavat sisätulo (f g) = 2π f(t)g(t) dt mielessä ortoormaali joo. Ohje: Tämä saa aika helposti kompleksiaalyysi keioi. Voi myös vedota reaalisee tuloksee, joho palaudutaa siirtymällä reaalija imagiaariosii (jatkoa) Olkoo H = L 2 ([, 2π], C) jag(t) =t t [, 2π]. Laske g: kertoimet eli koordiaatit c k (g) kaa (u k ) k Z suhtee. Laske myös g L 2.

9 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN III (jatkoa) Olkoo H = L 2 ([, 2π], C) jag(t) =t t [, 2π]. Etsi joukosta A alkio eli fuktio f A, jolle etäisyys g:stä eli f g o mahdollisimma piei, ku a) A = {f H c 2k (f) = k Z} b) A = {f H f 1 3 } (jatkoa) Kute edellie tehtävä, mutta A o aliavaruus 1+e it,e it + e 2it, joka virittävät vektorit 1 + e it ja e it + e 2it Haari värekaasta puuttuu vakiofuktio, koska vakio ei kuulu avaruutee L 2 (R). Esitä väli [,1] karakteristie fuktio värekaassa ja selitä, kuika o mahdollista, että fuktio, joka keskiarvo o 1, voidaa esittää kombiaatioa fuktioista, joide keskiarvo o Laske esimmäiset Legedre i polyomit Gram-Schmidt-ortogoalisoimalla joo (p,p 1,p 2 ) L 2 [ 1, 1], missä p (t) =t ( ) Olkoot f ja g L 2 [, 1] site, että f(t) =e t ja g(t) =t kaikilla t. Määrää λ site, että (f + λg) g sisätulo (f g) = 1 fgdt suhtee ( ) Kompleksise vektoriavaruude kompleksie struktuuri liittyy siihe, mite kaa avulla hajotetaa vektori reaali- ja imagiaariosaksee koordiaateittai. Mieti, missä mielessä R 2 = C. Huomautuksia lukuu III. Termiologiaa. Sisätuloavaruus o toiselta imeltää pre-hilbert-avaruus. Kataa, jossa alkio esitys koordiaatteia o riippumato termie järjestyksestä saotaa ehdottomaksi kaaksi. Tässä kirjassa esiityvät kaat, siis Hameli ja Hilberti kata, ovat kumpiki ehdottomia, mutta fuktioaaliaalyysissä esiityy muitaki katakäsitteitä. Lieaarikuvauste eri lajie historiallie termiologia o aika sekavaa. Operaattori o jatkuva lieaarikuvaus Hilberti avaruudelta itsellee. Operaattori operoi avaruudessa. Vaha imi operaattorille o trasformaatio. Jääteeä tästä saasta o operaattorille yleisesti käytetty merkitä T. Kirjoituksissa sallitaa operaattori usei oleva epäjatkuva tai operoiva eri avaruuksie välillä. Operattori ei tuolloi tarvitse edes olla määritelty koko avaruudessa. Itse asiassa melkei mitä tahasa lieaarikuvauksia kuulee saottava operaattoreiksi, toisiaa epälieaarisiaki. Tässäki kirjassa, luvussa 18, puhutaa itegraalioperaattorista A : C[, 1] C[, 1], joka saotaa oleva kompakti operaattori, vaikka C[, 1] ei ole Hilbertvaa pelkkä Baachi avaruus. Yksikertaistae operaattori o kuvaus, joka liittää vektoreihi vektoreita. Lieaarie fuktioaali o lieaarikuvaus vektoriavaruudelta kerroikuallee, siis sama asia kui lieaarimuoto. Vahastaa fuktioaali liittää vektoreihi lukuja. Toisissa kirjoissa saatetaa saa fuktioaali varata lieaarisille fuktioaaleille. Toisiaa kuta-arvoisia fuktioita saotaa fuktioiksi ja kaikki muut fuktiot ovat kuvauksia. Sublieaarie kuvaus eli sublieaarie fuktioaali o muilta osi sama asia kui semiormi (Vrt. määr 6.2.), paitsi että sublieaariselta kuvaukselta vaaditaa homogeeisuus λx = λ x aioastaa positiivisille λ. Sublieaarie kuvaus o ei-egatiivie eikä siis ole lieaarie ellei ole ollakuvaus!

10 f ( ) 11 Trasformaatio o vaha imi operaattorille. (Ks. yllä.) Lieaarimuoto o sama kui lieaarie fuktioaali. (Ks. yllä.) Seuraavat adjektiivit tarkoittavat operaattorista T B(H) puhuttaessa samaa asiaa: hermiittie, itseadjugoitu, hermiittisesti kojugoitu, kojugaattisymmetrie, joissaki teoksissa harhaajohtavasti myös symmetrie. Joukko-opi historiaa. Cator-Schröder-Bersteii lausee todisti Georg Cator esi käyttäe valita-aksioomaa itse asiassa hyvijärjestyslausetta. Felix Berstei todisti 19-vuotiaaa opiskelijaa lausee ilma valita-aksioomaa. Sama teki tästä tietämättä F.W.K.E. Schröder. Sama Berstei keksi muute vakuutusmatemaatikkoa ollesssaa vuoa 1924 veriryhmie periytymismekaismi. Fréchet, Jorda ja vo Neuma keksivät suuikassääö merkitykse reaaliseesa tapauksessa; jälkimmäiset kaksi myös kompleksise versio. Ks. [Y]. l 2 ja L 2 Vo Neuma o luout abstraktie Hilbert-avaruuksie teoria kvattimekaiika matemaattiseksi perustaksi. Avaruuksie l 2 ja L 2 isomorfisuus o samalla ratkaisu tärkeää fysikaalisee ogelmaa. Klassie kvattimekaiikkaha sytyi alu peri kahdessa eri muodossa, imittäi Heisebergi 65 matriismekaiikkaa ja Schrödigeri 66 aaltomekaiikkaa. Vo Neumai lause selittää osaltaa, missä mielessä ämä ovat sama taeoria. Naali suku (Alopex). Fuktio-aali (Alopex baach), taustaaa ortogoaali (Alopex cartesii) o tämä kirja logo ja maskotti. Bra ja ket. Diraci 67 keksimä merkitätava mukaa sisätuloa merkitää väkäsulkei ja se oletetaa tällöi lieaariseksi jälkimmäise tekijäsä, ketvektori x suhtee. Näi merkittäessä esimmäistä, siis kojugaattilieaarista tekijää y saotaa bra-vektoriksi. Ku vielä käytetää Eisteii summaussäätöä, joka mukaa toistuvie ideksie yli aia summataa, o esimerkiksi separoituva Hilbert-avaruude idettie kuvaus mahdollista lausua elegatisti muodossa x e i e i x eli lyhyesti I = e i e i, missä {e i } i N o ortoormaali kata. Luvu z kompleksikojugaattia merkitää Diraci stadardissa z ja operaattori T adjugaattia T. Kääteisalkiot. Ryhmästä GL(H) puhuttaessa kääteisalkio käsite vaatii hiema taustatietoa. Periaatteessaha rekaa (B(H), +, ), käätyvie alkioide eli käätyvie operaattoreide ryhmä muodostavat vai e jatkuvat lieaaribijektiot, joide kääteieki o lieaarie ja jatkuva. Oko muita olemassa? Lieaarikuvaukse kääteiskuvaus o tieteki aia lieaarie, mutta se jatkuvuus ei ole itsestää selvää. Asia ratkaisee avoime kuvaukse lause, joka mukaa kahde Baachi avaruude välise jatkuva bijektio kääteiskuvaus todella o aia jatkuva. (Ks. luku 19.) 65 Werer Heiseberg , Saksa 66 Erwi Schrödiger , Itävalta. 67 Paul Adrie Maurice Dirac Maieikas fyysikko. Eglati ja USA.

11 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN III 111 Hermiittisyys ja jatkuvuus. Me tarkastelemme vai jatkuvia operaattoreita. Helligeri ja Toeplitzi lausee mukaa jatkuvuus kuiteki seuraa lieaarisuudesta ja hermiittisyyde määrittelevästä kaavasta(ax y) =(x Ay), jote jatkuvuude voisi jättää vaatimatta hermiittisyyde määritelmässä. Jordai ormaalimuoto. Vaikka mielivaltaie operaattori ei diagoalisoidu edes äärellisulotteisessa avaruudessa, o sillä kuiteki kompleksikertoimisessa tapauksessa Jordai ormaalimuoto. Tämä tarkoittaa, että o olemassa K : lieaarialgebrallie kata, jossa lausuttua T : matriisi o muotoa missä lohkot A j ovat muotoa Mat(T )= A 1... A A m λ j 1... λ j 1... A j = λ j 1...λ j olevia matriiseja, joilla o yksi omiaisarvo, imittäi λ j. Usei lohkot A j ovat yksiöitä (λ j ), muulloi tieteki diagoalisoitumattomia, sillä diagoalisoituvista matriiseista aioastaa homotetioilla o vai yksi omiaisarvo. O olemassa myös reaalie versio. 68 Diagoalisoiti ja projektiot. Diagoalisoii kaassa voi tulkita site, että operaattori lausutaa lieaarikombiaatioa projektioista joilleki ortoormaaleille koordiaattiakseleille, oha λ 1... λ x =... λ i=1, λ i (x e i )e i = }{{} P ei x λ i P ei x. i=1 ja yleisemmi λ i ( e i )e i = i=1 λ i P ei, i=1 missä ( e i )e i = P i o ortogoaaliprojektio e i -akselille. 69 Iteroiti ja operaattoriarvoiset alkeisfuktiot. Yhdistämällä operaattoria itsesä kassa sitä voiiteroida, silläopotessit: T = T T T. 68 Ks. [G]. Hauska kirja aiheesta Euklidise avaruude operaattorit o [H-2]. Tarkka aalyysi yleistetystä diagoalisoiista o [H-3]. 69 Ortogoaalijoo suppeemisehdo (l 2 )tiedämme!

12 f ( ) 112 Koska lausee 6.14 mukaa itseisesti suppeevat sarjat suppeevat Baachi avaruudessa, pystymme määrittelemää Baach-algebrassa B operaattoriarvoise aalyyttise fuktio potessisarjaa = α T. Esimerkiksi ekspoettifuktio e T = j= 1! T o hyvi määritelty kaikilla T Bja Carl Neumai sarja (I T ) 1 = suppeee, ku T < 1. Approksimoimalla jatkuvaa fuktiota polyomilla o mahdollista määritellä f(t ), kuha f o jatkuva. Kohdassa 1.31 käytettii meestyksellisesti tietoja operaattori P (T ) omiaisarvoista, ku P oli sopiva polyomi. Palaamme luvussa 25 tutkimaa yleisemmiki operaattoreide T ja f(t ) omiaisarvoje välistä yhteyttä, spektraalikuvauslausetta. Baach-versio yleistetystä matriisista. Operaattori yleistety matriisiesitykse lausekkeessa T = a ij ( e j )e i. (i,j) I 2 esiityvä sisätulo-osa ( e j ) o Hilberti avaruude H duaali tyypillie alkio. Lauseketta voi yrittää yleistää Baachi avaruudelle esimerkiksi muotoo T = a ij ϕ j ( )e i, (i,j) I J missä (ϕ j ) j J E. Aiaki äärelliste ideksijoukkoje I, J tapauksessa tällaie o mielekästä, vaikka ei kaasta tai ortogoaalisuudesta saoisi mitää. Baachi avaruude ja se duaali sarjateoria ei kuulu tämä kirja piirii. Viitteitä: [Di], [M], [W], Browi liikkee historiaa. Kasvitieteilijä Robert Brow huomasi vuoa 1828 siitepölyhiukkaste liikahteleva satuaisesti estepisarassa. Tämä havaio tulkita molekyylie lämpöliikkeestä johtuvaksi ilmiöksi o yksi tapa saada selville atomaariste ilmiöide mittakaava ja site tärkeä keksitö fysiika historiassa. Satuaiskulkua esityy myös arvopaperipörssissä: osakkee hitaa aja fuktioa voi tredittömässä tilateessa pitää yksiulotteisea Browi liikkeeä. Tämä asia keksi ja julkaisi L. Bachelier 7 v. 19 väitöskirjassaa Theorie de la Spéculatio, joka sisälsi myös martigaalie perusomiaisuuksia ja oli siiä määri edellä aikaasa, että sitä eiymmärretty eikä Bachelier saaut koskaa kuiaa. Albert Eistei käytti Browi liikettä laskuissaa 195, mutta ala tuustetut pioeerit ovat kuiteki Wieer (prosessi olemassaolotodistus 1923) ja Itô 71 (itegroiti Browi liikkee suhtee ). 7 Louis Bachelier , Raska. 71 Kijosi Itô Japai. = T

13 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN III 113 Erikoisfuktiot. Legedre i polyomit toteuttavat differetiaaliyhtälö (1 x 2 ) d2 f df 2x + ( +1)f =. dx2 dx Erilaisissa paiotetuissa ja paiottamattomissa ja yleisemmissäki mitta-avaruuksissa määritellyissä Lebesgue i avaruuksissa o käytössä katoja, joide alkioita saotaa erikoisfuktioiksi. Tällaisia ovat Legedre i polyomie lisäksi mm. esimerkiksi Laguerre i polyomit 72, Besseli fuktiot ja palloharmoiset fuktiot. Kute sii, kosii ja Legedre i polyomit saadaa moet muutki erikoisfuktiojoot sopivie differetiaaliyhtälöide ratkaisuia 73 ja iihi perustuvia ortogoaalikehitelmiä voidaa klassiste Fourier-sarjoje tavoi käyttää joideki differetiaaliyhtälöide ratkaisuje esittämisee edullisella tavalla. Fourier-muuokse lausekkeesta. Käytäössä lasketaa useimmite ˆf(y) = 1 lim e ixy f(x) dx. 2π Fourieri ja Plachereli operaattorilla o tosi itse asiassa itegraalilausekeki, imittäi 74 1 d e ˆf(y) ixy 1 = f(x) dx. 2π dy ix Se kääteisoperaatori o f(x) = 1 d e ixy 1 ˆf(x) dx. 2π dy ix Hyvä lukija. Kirjoita tekijälle parausehdotuksia lukuu III. 72 Edmod Nicolas Laguerre , Raska 73 Sii jakosii voi aluperi määritellä differetiaaliyhtälö y + y = ratkaisuiksi. 74 Ks. [AG], Vol. I p

14 f ( ) 114 IV ESIMERKKEJÄ NORMIAVARUUKSISTA 12. Klassisia ormiavaruuksia Esittelemme muutamia Baachi avaruuksia. Klassiset Baach-avaruudet ovat paitsi hyvä harjoituskohde ja malli muide fuktio- ja jooavaruuksie käsittelylle myös käyttökelpoisia matematiika eri aloilla ja sovelluksissa. Fuktioaaliaalyysi teoriassa ja sovelluksissa o tavallista, että tarkastellaa yhtä aikaa useita eri avaruuksia tai avaruuksie muodostamia perheitä. Seuraavassa ei teoriaa tule eroja siitä oko kerroikuaksi K valittu R vai C. Luettelo Seuraavat ovat klassisia Baachi avaruuksia: (1) K, (2) jooavaruudet l 1 = {x =(x 1,x 2,...) K N i=1 x i = x 1 < }, l p = {x =(x 1,x 2,...) K N ( i=1 x i p ) 1/p = x p < }, (1 <p< ), l = {x =(x 1,x 2,...) K N supi N x i = x < }, c = {x l lim i x i } ormia x, c = {x c lim i x i =} ormia x, (3) kohda (2) klassiste jooavaruuksie mukaa muotoillut Baach-arvoiset jooavaruudet, erityisesti äärellise moe Baachi avaruude tuloavaruus (4) fuktioavaruudet F b (X, E) ={f : X E f o rajoitettu} ormia f = sup x X f(x), ku X o joukko ja E o Baachi avaruus, esim. K, C b (X, E) ={f F b (X, E) f o jatkuva} ormia sama f, ku X o topologie avaruus ja E Baachi avaruus, C(X, E) ={f : X E f o jatkuva}, joka o sama kui C b (X, E), jos X o kompakti, B(E,F)={f C(E,F) f o lieaarie}, ormia operaattoriormi, ku E ja F ovat ormiavaruuksia, joista F täydellie, (5) Lebesgue i avaruudet L p (A), (6) Sobolevi avaruudet W k,p.

15 13. JONOAVARUUKSIA 115 Klassisiksi Baachi avaruuksiksi ovat vähitelle yletymässä myös moet muut joo- ja fuktioavaruudet, joita emme käsittele, kute Orliczi, Hardy ja Besovi 75 avaruudet sekä BMO sukulaisiee. 13. Jooavaruuksia Hölderi ja Mikowski epäyhtälöt. Vektoriavaruus K varustettua euklidisella ormilla x 2 = x x 2 o tuetusti Hilbert-avaruus ja siis myös Baachi avaruus. Olemme jo luvussa 5.2 todeeet, että avaruude K kaikki ormit ovat keskeää ekvivaletteja ja että siis äärellisulotteie ormiavaruus o täydellie valitusta ormista riippumatta. Aamme muutamia esimerkkejä ormeista avaruudessa K. Esimerkit ovat tärkeitä, sillä vastaavat ormit esiityvät myös klassisissa ääretöulotteisissa jooja fuktioavaruuksissa l p ja L p (A). Esimerkki Avaruudessa K o mm. seuraavat ormit, missä 1<p< x 1 = x k, ( ) 1/p x p = x k p, x = sup 1 k x k. Perustelu. O helppoa tarkastaa, että 1 ja ovat ormeja ja että jokaie p toteuttaa esimmäiset kolme ormi määrittelevää ehtoa. Kolmioepäyhtälö johtamie o hakalampaa. Euklidise ormi 2 tapauksessa se todistamisessa äyttelee oleellista osaa Cauchy, Schwarzi ja Bujakovski epäyhtälö (x y) x 2 y 2, jota ei tietekää ole muussa kui sisätuloavaruudessa. Se o kuiteki yleistettävissä Hölderi epäyhtälöksi 76, joka o CSB: epäyhtälö tavoi muuteki tärkeä kui pelkästää kolmioepäyhtälö todistukse osaa. Lause 13.2 (Hölderi epäyhtälö). Olkoot p ja q kaksi positiivilukua, joilla 1 p + 1 q =1, toisi saoe p>1 ja q = p p 1, ja olkoot x ja y K kaksi vektoria. Tällöi o voimassa Hölderi epäyhtälö ( ) 1/p ( ) 1/q x k y k x k p y k q, joka voi kirjoittaa lyhyesti (x y) x p y q, 75 Wladyslaw Orlicz , Puola. Godfrey Harold Hardy , Eglati. Oleg Vladimirovitš Besov 1933?. 76 Otto Ludwig Hölder , Saksa.

16 f ( ) 116 missä (x y) o vektoreide x ja y K stadardisisätulo x k y k. Todistus. Hölderi epäyhtälö todistus käyttää hyväksee sitä tietoa, että logaritmifuktio log : ], [ R kuvaaja o toise derivaata egatiivisuude vuoksi alhaalta katsoe kovera: kaikissa positiivilukuje s ja t välisissä pisteissä, siis pisteissä αs + βt, joissa α, β ja α + β =1,pätee log(αs + βt) α log t + β log s. 1 s αs+βt t Kuva 33. Logaritmifuktio o kovera. Soveltamalla tätä epäyhtälöä lukuihi s = a p ja t = b q, α = 1 p, β = 1 q, missä a ja b ovat mitä tahasa positiivilukuja, saadaa log ( 1 p ap + 1 q bq) 1 p log ap + 1 q log bq = log(ab) eli Yougi epäyhtälö ab ap p + bq q, joka pätee tietysti myös, ku a tai b o. Hölderi epäyhtälö o helppo johtaa Yougi epäyhtälö avulla valitsemalla ja summaamalla: x k y k x p y q a = x k x p, b = y k y q ( = 1 p 1 p ( ) ( ) p q ) xk x p + 1 yk q y q x k p x p p + 1 q y k q y q q = 1 p + 1 q =1. Määritelmä Positiivilukuja p ja q, joilla 1 p + 1 q = 1, saotaa toistesa duaaliekspoeteiksi. Myös 1 ja ovat toistesa duaaliekspoetit. Hölderi epäyhtälö pätee myös, ku ekspoetti p o 1 tai :

17 13. JONOAVARUUKSIA 117 Lause 13.4 (Hölderi epäyhtälö ekspoetilla p =1tai ). Olkoot x ja y K kaksi vektoria. Tällöi x k y k x k sup y k, 1 k eli erityisesti (x y) x 1 y, missä (x y) o vektoreide x ja y K stadardisisätulo x k y k. Todistus. Harjoitustehtävä. Seuraus 13.5 (Mikowski kolmioepäyhtälö) 77. Kaikille x, y K 1 p pätee x + y p x p + y p. ja Todistus. Tapaukset p = 1 ja p = ovat helppoja. Tapauksessa 1 < p < käytetää Hölderi epäyhtälöä: x + y p p = = x k + y k p x k + y k x k + y k p 1 x k x k + y k p 1 + y k x k + y k p 1 x p ( x k + y k p 1 ) q + y p ( x k + y k p 1 ) q ( ) 1/q =( x p + y p ) x k + y k (p 1)q, missä (p 1)q = p =( x p + y p ) x + y p p/q. Jakamalla puolittai luvulla x + y p p/q saadaa x + y p p/q p ( x p + y p ), joka o p ormi kolmioepäyhtälö, sillä p p q = Klassiset jooavaruudet. Esimerkki 13.6 (l p -avaruudet). Vektorilaskutoimitukset o määritelty kaikkie lukujooje avaruudessa s = K N = F(N, K) ={x =(x ) N x K} tavallisee tapaa: (x + y) = x + y ja (λx) = λx. Klassiset jooavaruudet l p, missä 1 p,ovats: vektorialiavaruuksia. Asiaomaisi ormei e ovat 77 Herma Mikowski , Eisteii opettaja, Saksa.

18 f ( ) 118 Baachi avaruuksia, ja pätee Hölderi epäyhtälö jooille x l p ja y l q, missä p ja q ovat toistesa duaaliekspoetit: x y x k y k x p y q. Tässä x y o vektoreide x l p ja y l q duaalitulo 78 x k y k, joka olemassaolo, siis sarja suppeemie perustuu Hölderi epäyhtälöö. Perustelut. Jätämme tapaukset p = 1 ja p = harjoitustehtäviksi ja oletamme, että 1 <p<. O todistettava, että osajoukko l p = {x =(x 1,x 2,...) K N x p =( i=1 x i p ) 1/p < } o vektorialiavaruus, että p o l p :ssä ormi, ja että saatu ormiavaruus o täydellie. Aliavaruusehdot ovat x + y l p x, y l p ja λx l p x l p,λ K. Jälkimmäie o välittömästi selvää, oha λx k p = λ p x k p = λ p x k p <. Summaa koskeva väite puolestaa todistetaa avaruude (K, p ) kolmioepäyhtälö avulla. Kaikilla N pätee jote ( ) 1/p ( ) 1/p ( ) 1/p x k + y k p x k p + y k p x p + y p, ( ) 1/p x k + y k p x p + y p <. Näi o samalla tullut johdetuksi l p : ormille positiivie homogeeisuus ja kolmioepäyhtälö. Muut ormi määrittelevät ehdot, positiivisuus ja defiiittisyys ovat ilmeisiä, jote l p o ormiavaruus. Se täydellisyys todistetaa yleisessäki tapauksessa samalla tavalla kui teimme kohdassa 9.26 avaruudelle l Nimi saa oikeutuksesa siitä, että tosiasiassa l p ja l q ovat toistesa duaalit, ku p ja q ovat äärelliset duaaliekspoetit. Huomaa laskiessasi erot sisätuloo: Duaalitulo o lieaarie, ei kojugaattilieaarie, kummaki muuttujasa suhtee. Muuttujat eli tekijät ovat eri avaruuksie vektoreita. Tapauksessa = 2, siis sisätuloavaruudessa l 2 o (x y) = x y, missä y saadaa y:stä kompleksikojugoimalla kaikki koordiaatit.

19 13. JONOAVARUUKSIA 119 Hölderi epäyhtälö jooille x l p ja y l q seuraa välittömästi äärellisulotteisesta erikoistapauksestaa, joka mukaa kaikille N pätee ( ) 1/p ( ) 1/q x k y k x k p y k q ( ) 1/p ( ) 1/q x k p y k q = x p y q, ja siis myös x k y k = sup N x k y k x p y q. Esimerkki 13.7 (Avaruudet c ja c ). Avaruudet c = {x l lim x i } i c = {x c lim x i =} i ja ovat ormilla x = sup k N x k varustettuia Baachi avaruuksia. Aliavaruudet c c ja c l ovat suljettuja. Perustelu. Esimerki 13.1 yhteydessä maiittii jo eakkoo, että l o -täydellie. Asia todistetaa kohdassa 14.1, vieläpä hiema yleisemmässä muodossa. Koska täydellisyys periytyy metrise avaruude suljettuihi aliavaruuksii, riittää siisäyttää, että c ja c ovat ormiavaruude l suljettuja aliavaruuksia. Näytetää malliksi, että c o suljettu. Olkoo (f ) N c joo, joka suppeee kohti vektoria f l. Osoitetaa, että f c, eli että lim t f(t) =. Olkooε>. Koska f f avaruudessa l,o olemassa ε site, että f ε f < ε 2. Koska f ε c, o olemassa t ε N site, että kaikilla t t ε o f ε (t) ε 2, jolloi f(t) = f(t) f ε (t)+f ε (t) f(t) f ε (t) + f ε (t) ε 2 + ε 2 = ε, ku t t ε. Huomautus Normiavaruude vektorialiavaruus voidaa tietysti aia varustaa alkuperäise avaruude ormilla, jolloi sitä saotaa ormialiavaruudeksi. Esimerkiksi avaruudet c, c ja l ovat siis toistesa ormialiavaruuksia. Mikää ei kuitekaa estä varustamasta ormiavaruude vektorialiavaruutta jollaki aiva muulla ormilla. Esimerkiksi (l 1, 1 )o(l 2, 2 ): vektorialiavaruus, mutta ei ormialiavaruus. Seuraavaksi tarkastamme, että äi o.

20 f ( ) 12 Lause Olkoo 1 p<s. Tällöi l p l s vektorialiavaruutea, mutta ei ormialiavaruutea eikä edes topologisea aliavaruutea. Tarkemmi saoe ikluusiokuvaus l p l s : x x o kyllä jatkuva eli rajoitettu, itse asiassa x s x p x l p, mutta ei ole olemassa vakiota C R +, jolla olisi x p C x s x l p. Todistus. Jos s =, väite o ilmeie. Yleisessä tapauksessa ikluusiokuvaukse jatkuvuude todistamie käy rajoittumalla esi yksikköpallo kuoree: Olkoo x l p site, että x p =1. Tällöi tietysti x i 1 i, jote x s s = x i s }{{} 1 i=1 x i p = x p p =1. }{{} 1 i=1 Vastaava epäyhtälö yleiselle x l p saadaa tästä skaalauksella: x s = x x p x p 1 x p. s Toisesuutaise ormiepäyhtälö kumoamie jää harjoitustehtäväksi. Ikluusioide ( aitoude voi todeta esimerkeistä (1, 1, 1,...) l l p, ku 1 p<, ja ( 1 1/r ( 2), 1 1/r ( 3), 1 ) ) 1/r 4,... l s l p, ku 1 p<r<s<. Huomautus a) Ikluusiokuvaukse l p l s ormi o tasa yksi, mikä äkee valitsemalla x =(1,,...). b) Edellä o sivutuotteea saatu helppoja esimerkkejä epäjatkuvasta lieaarikuvauksesta; esimerkiksi idettie kuvaus (l 1, ) (l 1, 1 )oepäjatkuva. Huomautus Jooavaruuksie l p, c ja c määritelmissä voidaa K korvata millä tahasa ormiavaruudella E. Näi sytyy vektoriarvoisia jooavaruuksia, joita voi merkitä vaikka l p E ja c E ja c,e. Normi määritelmät ja täydelliselle E jooavaruuksie täydellisyystodistukset toimivat sellaisiaa myös äille. Itse asiassa jokaista koordiaattia x j varte voidaa jopa valita eri avaruus E j, josta se poimitaa. Lähtemällä Hilbert-avaruuksista saadaa l 2 kostruktiolla uusi Hilbert-avaruus, muute yleesä ei, kute perusesimerkki E = K osoittaa Seuraus. Olkoo p [1, ]. Äärellise moe Baachi avaruude E i, i {1,...,} tulo E = varustettua ormilla x p = (x 1,...,x ) p = { i=1 E i ( i=1 x i p ) 1 p, ku 1 p< sup i {1,...,} x i, ku p =

21 14. JATKUVIEN FUNKTIOIDEN JA LINEAARIKUVAUSTEN AVARUUKSIA 121 o Baachi avaruus. Tuloavaruuksista o lisää tietoa luvussa 17. Perustelu. Valitse huomautuksessa E x = {} kaikille paitsi äärellise moelle avaruudelle E i. 14. Jatkuvie fuktioide ja lieaarikuvauste avaruuksia Avaruude C(X, K) täydellisyyttä käytettii jo luvussa 3 hyväksi sovellettaessa Baachi kiitopistelausetta differetiaali- ja itegraaliyhtälöide ratkomisee. Täydellisyys perustuu fuktio jatkuvuude säilymisee tasaisessa kovergessissa. Seuraavassa laajeamme sup-ormi ja se sukulaiste käyttöä hiema useammalaisii avaruuksii Jatkuvie fuktioide avaruuksia. Esimerkki (F b (X, E)). (1) Ku X o joukko ja E o Baachi avaruus, ii rajoitettuje fuktioide avaruus F b (X, E) ={f : X E f o rajoitettu} o Baachi avaruus, ku se o varustettu ormilla f = sup f(x). x X (2) Ku X o metrie avaruus ja E o Baachi avaruus, ii rajoitettuje jatkuvie fuktioide avaruus BdC(X, E) o Baach-avaruude Bd(X, E) suljettu aliavaruus ja siis itseki Baachi avaruus. Erityisesti, jos X o kompakti, ii kaikki jatkuvat fuktiot ovat rajoitettuja ja tässä tapauksessa C(X, E) = BdC(X, E) o Baachi avaruus. Todistus. Rajoitettuje fuktioide avaruus o tieteki ormiavaruus. Se täydellisyyde todistamie eteee periaatteessa samaa tapaa kui jooavaruuksie tapauksessa, imittäi pisteittäise kovergessi avulla: Olkoo (f ) N Cauchy-joo Bd(X, E):ssä. Kullaki x X joo (f (x)) N o Cauchy avaruudessa E, siis suppeeva: f (x) f(x) E. Osoitamme, että äi sytyvä fuktio f : X E o rajoitettu ja suppeemie f (x) f(x) tasaista. Olkoo ε>ja ε N site, että,m> ε = f f m ε, eli f (x) f m (x) ε x X. Kiiitetää > ε ja x ja huomataa, että lauseke f (x) f m (x) o muuttuja f m (x) jatkuva fuktio, jote epäyhtälö säilyy rajalla f m (x) f(x): f (x) f(x) ε x X, ε. Siis f = f (f f) o rajoitettu ja (f f) ε, ku > ε. Jatkuvia fuktioita koskevat väitteet seuraavat siitä, että jatkuvuus säilyy tasaisessa kovergessissa ja siitä, että kompaktissa avaruudessa jokaie jatkuva fuktio o rajoitettu, koska jatkuva kuvaus vie kompakti jouko kompaktiksi joukoksi. Sivutuotteea o todistettu:

22 f ( ) 122 Lause Jooavaruus l = Bd(N, K) o täydellie Jatkuvie lieaarikuvauste avaruuksia. Esimerkki Jatkuvie lieaarikuvauste avaruus B(E,F) o operaattoriormilla varustettua täydellie, mikäli E o ormiavaruus ja F o Baachi avaruus. Erityisesti jokaise ormiavaruude duaaliavaruus E = B(E,K) o Baachi avaruus. Todistus. Olkoo (T ) 1 Cauchy-joo avaruudessa L(E,F). Rajoittamalla kuvaukset T avaruude E yksikköpalloo B saadaa joo kuvauksia T : B F. Koska jatkuva lieaarikuvaukse T operaattoriormi o sama asia kui se yksikköpallorajoittuma sup-ormi, siis T = sup Tx, x B ii o saatu Cauchy-joo rajoitettuje kuvauste avaruudessa Bd(B,F). Koska tämä avaruus o edellise huomautukse ojalla täydellie, ii joo suppeee. O siis olemassa kuvaus T : B F site, että T (x) T (x) tasaisesti yksikköpallossa B E. Nyt T o yksikköpallossa lieaarie siiä mielessä, että jos x, y ja λx + µy B, ii T (λx + µy) =λt (x)+µt (y), sillä T : lieaarisuude takia o o T (λx + µy) =λt (x)+µt (y) ja toisaalta T (λx + µy) T (λx + µy) ja λt (x)+µt (y) λt (x)+µt (y). Tällaie T voidaa laajetaa lieaarikuvaukseksi 79 T : E F määrittelemällä kaikille x E {}: ( ) x T (x) = x T. x Koska lieaarikuvaukse operaattoriormi o se yksikköpallorajoittuma supormi, o selvää, että T B(E,F) ja että T T operaattoriormi mielessä. 15. Lebesgue i avaruudet ( ) Itegraaliormit jatkuvie fuktioide avaruudessa. Sup-ormi tekee jatkuvie fuktioide avaruudesta C[, 1] Baachi avaruude, jossa suppeemie o fuktioide tasaista kovergessia. O kuiteki muitaki luoollisia tapoja mitata fuktioide välistä etäisyyttä kui erotukse itseisarvo maksimi. Esimerkiksi kahde jatkuva fuktio f ja g :[, 1] R kuvaajie välise aluee pita-ala 1 79 Laskepa läpi, jos et muute usko. f(x) g(x) dx

23 15. LEBESGUE IN AVARUUDET ( ) 123 o luoollie tapa mitata kuvaajie erilaisuutta, varsiki tilateessa, jossa f ja g eroavat toisistaa vai pieessä joukossa, mutta siellä halutaa sallia suuriki erotus. f g 1 Kuva 35. Kuvaajie välie ala. Fourier-sarjoje suppeemistava ymmärtämiselle ovat puolestaa ratkaiseva tärkeitä itegraali 1 f(x)g(x) dx määrittelemä sisätulo ja vastaava ormi 2. Nämä seikat sekä aalogia l p - avaruuksii atavat aihee määritellä sama tie parve itegraaliormeja jatkuville fuktioille. Määritelmä Olkoo 1 p <. Kaikille fuktioille f C[, 1] asetetaa ( 1 ) 1 f p = f(x) p p dx. Osoitamme seuraavassa, että tämä o hyvä määritelmä ormiavaruusteoria kaalta; saadaa ormeja ja lisäksi vielä Hölderi epäyhtälö jatkuville fuktioille. O kuiteki heti syytä huomauttaa siitä, että avaruudet (C[, 1], p ) ovat kaikki epätäydellisiä, ku 1 p<. Lause Kuvaus f f p o ormi avaruudessa C[, 1], ku1 p<. Lisäksi duaaliekspoeteille p, q [, ] pätee Hölderi epäyhtälö itegraaleille fg 1 = 1 f(x) g(x) dx f p g q f,g C[, 1]. Erityisesti tapauksessa p = q = 2Cauchy, Schwarzi ja Bujakovski epäyhtälö o voimassa jatkuvie fuktioide itegraalisisätulolle: 1 (f g) = f(x) g(x) dx f 2 g 2 f,g C[, 1]. Todistus. Tapaukset p =1jap = ovat helppoja, jote käsitellää tilaetta 1 <p<. Voimme jäljitellä vastaavia jooavaruuksia koskevia todistuksia. Kolmioepäyhtälö todistamiseksi johdetaa ytki esi Hölderi epäyhtälö käyttäe

24 f ( ) 124 kohda 13.2 Yougi epäyhtälöä ab ap p + bq q. O tieteki vai valittava a = f(x) ja b = g(x), f p g q ja itegroitava tästä saatava pisteittäie epäyhtälö puolittai. Mikowski kolmioepäyhtälö itegraaleille seuraa Hölderi epäyhtälöstä tutulla tavalla: Olkoot 1 p, f C[, 1] ja g C[, 1]. Tietysti myös f +g o jatkuva ja f + g p p = 1 1 f(x)+g(x) p dx 1 f(x) f(x)+g(x) p 1 dx + g(x) f(x)+g(x) p 1 dx ( 1 ) 1/p ( 1 ) 1/q f(x) p dx f(x)+g(x) (p 1)q dx ( 1 ) 1/p ( 1 + g(x) p dx = f p f + g p/q p + g p f + g p/q p = ( f p + g p ) f + g p/q p. ) 1/q f(x)+g(x) (p 1)q dx Tästä kolmioepäyhtälö itegraaliormeille seuraa, sillä p p/q = p (1 1/q) =1. Jatkuvie fuktioide avaruus o täydellie sup-ormi mielessä, mutta varsiaisille itegraaliormeille pätee päivastoi seuraava lause: Lause Normiavaruus (C[, 1], f p ) o epätäydellie, ku 1 p<. Todistus. Riittää löytää suppeemato Cauchy-joo. Esimerkiksi kelpaa kaikilla p [1, [ sama fuktiojoo { max{, 1+(x 1 2 f :[, 1] R : f (x) = )}, ku x< 1 2, 1 ku x 1 2, joka suppeee jokaise itegraaliormi p mielessä kohti pisteittäistä rajafuktiotaa { ku x< 1 2 f :[, 1] K : f(x) =, 1kux 1 2. f 1 f 2 f 4 f 1 Kuva suppeemato Cauchy-joo.

25 15. LEBESGUE IN AVARUUDET ( ) 125 Rajafuktio o epäjatkuva ja lisäksi o uskottavaa ja helppo tarkastaa, että eivoi olla olemassa jatkuvaa fuktiota g :[, 1] R, jota kohti sama joo (f ) N myös suppeisi itegraaliormi p mielessä L p (A)-semiormiavaruudet. Avaruude (C[, 1], f p )(1 p< ) epätäydellisyys o mahdollista korjata upottamalla se osaksi jotaki täydellistä avaruutta, josta Cauchy-jooille sitte löytyy raja-arvot. Edellise lausee sisältämä vastaesimerkki ataa aihee arvata, että tällaie avaruus voidaa kostruoida ottamalla mukaa sopiva määrä epäjatkuvia fuktioita. Epäjatkuvie fuktioide mukaaotto ei yllätä, oha jatkuvuus melko mielekiioto omiaisuus laskettaessa itegraaleja. Tavoitteea o yt kostruoida kullaki 1 p< Baachi avaruus L p [, 1], jolla o seuraavat omiaisuudet. ( ) C[, 1] o L p [, 1]: vektorialiavaruus. ( ) C[, 1] o L p [, 1]: ormialiavaruus, ts. f p = f Lp f C[, 1]. ( ) C[, 1] o tiheä L p [, 1]:ssä, ts. L p [, 1] o C[, 1]: sulkeuma L p [, 1]:ssä. Nämä omiaisuudet saovat, että L p [, 1] o C[, 1]: täydetymä. Hahmottelemme tämä luvu huomautuksissa ja osoitamme luvussa 22 tarkasti, että millä tahasa ormiavaruudella o täydetymä. O helppo harjoitus todistaa, että täydetymä o isometrise isomorfismi tarkkuudella yksikäsitteie. Puhuessamme em. fuktioavaruuksista toivoisimme oikeastaa lisäksi, että: ( ) L p [, 1]: alkiot olisivat fuktioita [, 1] K ja ormilla olisi kaikilla f L P sama lauseke kui aikaisemmi: ( 1 1/p f Lp = f p = f(x) dx) p. Heri Lebesgue i mittateoria ratkaisee tulkitakysymykse ihmeellisellä tavalla muuttamalla hiuka fuktio käsitettä. Valmistelevaa toimepiteeä kostruoidaa seuraavassa kohdassa perhe semiormiavaruuksia, joide vektorit ovat fuktioita. Huomautus Oletamme seuraavassa yleise mita käsittee tuetuksi ja tarkastelemme mitta-avaruutta (A, Γ, µ). Mitta µ voidaa kyllä korvata tavallisella Lebesgue i mitalla m esitykse loogisuude siitä kärsimättä; sovellusesimerkkejä saadaa tällöi kuiteki paljo vähemmä. Määritelmä Olkoo 1 p. Merkitää M(A) ={f : A R f o mitallie}. Semiormiavaruus L p (A) =L p (A, µ) määritellää asettamalla missä p o L p semiormi L p (A) = { f M(A) f p < }, ( 1/p f p = f L p (A) = f dµ) p ku 1 p< A ja f = f L (A) = ess sup A f.

26 f ( ) 126 Huomautus (a) Määritelmä mukaa ess sup A f o if{λ R f(a) λ melkei kaikilla x A}. (b) Ku f L p (A), ii f(x) < µ-mk x A. (c) Todistamme seuraavaa kohtaa, että L p (A) o todella semiormiavaruus määritelmä 6.2. mielessä. (d) Lebesgue i mootoise kovergessi lause ja domioidu kovergessi lause atavat eräi ehdoi 8 tulokseksi fuktiojoo suppeemise f i f itegraali mielessä, toisi saoe suppeemise L 1 semiormi 1 suhtee eli, että lim i A f f i dµ =. Lause 15.8 (Hölderi epäyhtälö itegraalisemiormeille). Olkoot p ja q duaaliekspoetteja. Fuktioille f L p (A) ja g L q (A) o fg L 1 (A) ja fg 1 f p g q. Todistus. Tapaus p = 1 (tai p = ) o selvä, koska tällöi ja siis f(x)g(x) ( ess sup A g ) f(x) µ-mk x A, A fg dµ g A f dµ = f 1 g. Tutkimme yt tapausta 1 <p< : Jos f p =tai g q =,iiväite o selvä, koska silloi fg = µ-mk A:ssa. Olkoot f p > ja g q >. Kute aikaisemmissa vastaavissa todistuksissa käytämme taas Yougi epäyhtälöä ab ap p + bq q a, b, tutuilla valioilla Arvio a = f(x) f p ja b = g(x) g q. f(x)g(x) f p g q 1 p f(x) p f p p + 1 q g(x) q g q q saadaa yt aioastaa µ-mk x A, mutta tämä riittää sille, että puolittai itegroimalla saadaa fg L p (A) ja fg 1 f p g q 1 p f p p f p p + 1 q g q q g q q =1 eli fg 1 f p g q. 8 Mootoisessa: f i f, domioidussa f i g ja g <. Mitta- ja itegraaliteoria perustulokset!

27 15. LEBESGUE IN AVARUUDET ( ) 127 Lause 15.9 (Mikowski epäyhtälö.). Olkoo 1 p. Jos f L p (A) ja g L p (A), ii myös f + g L p (A) ja (1) f + g p f p + g p. Todistus. Tapaus p = 1 ja p = ovat triviaaleja. Tapaus 1 < p < käsitellää käyttäe Hölderi epäyhtälöä tutulla tavalla ja saadaa f + g p p ( f p + g p ) f + g p/q p. Tästä kolmioepäyhtälö (1) seuraa, sillä p p/q = p (1 1/q) = 1, kuha varmistamme, etteivät molemmat puolet laskussamme ole äärettömiä, eli että f + g L p (A): Koska f(x) K ja g(x) K µ-mk x A, ii äille x saadaa { 2 p f(x) p ku f(x) g(x) f(x)+g(x) p 2 p g(x) p ku f(x) g(x). Näi olle ja f + g L p (A), kute pitiki. f + g p 2 p f p +2 p g p µ-mk A:ssa, Avaruudet L p (A) eivät yleisessä tapauksessa ole ormiavaruuksia, eivätkä edellä esiityvät semiormit todellakaa yleesä ole ormeja. Esimerkiksi tavallise Lebesgue i mita m suhtee muodostetussa avaruudessa L p [, 1] o f p =,kuha f(x) = mk. Seuraavassa kohdassa poistetaa tämä puute L p -ormiavaruudet. Huomautus Olkoo (X, Γ, µ) mitta avaruus, A Γ { } ja 1 p. Avaruus L p (A) muodostetaa fuktioavaruudesta L p (A) samastamalla keskeää sellaiset fuktiot, jotka yhtyvät mita µ mielessä melkei kaikkialla joukossa A. Tarkemmi saomme, että fuktiot f M(A) jag M(A) ovatekvivaletteja, merkitää f g, jos f = g µ-mk A:ssa. Näi määritelty relaatio o todella ekvivalessirelaatio. f M(A) määrää eli virittää siisytekvivalessiluoka jolle f =[f] = { g M(A) g f }, Jokaie fuktio jokaie fuktio g f o edustaja ja jolle siis erityisesti f o aia edustaja. Huomautus L p (A) alkio f edustajaksi riittää valita melkei kaikkialla määritelty L p -fuktio f : A K. Lebesgue i avaruus L p (A) määritellää seuraavassa äide ekvivalessiluokkie joukkoa varustettua edustajakohtaisi laskutoimituksi ja edustajakohtaisella ormilla [f] p = f p.

28 f ( ) 128 Määritelmä L p (A) =L p (A, µ) = { f f L p (A) }. Lause Avaruus L p (A) o ormiavaruus määrittelyi (i) α f = αf kaikille f L p (A), α K, (ii) f + g = f + g kaikille f, g L p (A) ja (iii) f p = f L p (A) = f L p (A). Todistus. Luokkie laskutoimitukset ja semiormi ovat edustajie valioista riippumattomia ja L p (A) o asetetui määritelmi selvästi vektoriavaruus. Semiormiomiaisuudet periytyvät semiormiavaruudesta L p (A). Edellee p o yt myös defiiitti: f p = f p = f =µ-mk f =. Lause (Riesz ja Fischer). Avaruus L p (A) o Baachi avaruus. Todistus. Osoitamme että avaruude L p (A) jokaie itseisesti suppeeva sarja suppeee. Lausee 6.14 mukaa tämä takaa täydellisyyde. Olkoo f =1 i avaruude L p (A) itseisesti suppeeva sarja: f i p M<. =1 O osoitettava, että se suppeee. Valitaa jokaiselle i N alkio f i edustajaksi mitallie fuktio f i : A K. Aikaisempie täydellisyystodistuste tapaa ytki etsitää rajafuktiota tässä sarja summaa pisteittäi. Lisätarkastelu aiheuttaa se, että fuktiomme voivat käyttäytyä ollamittaisissa joukoissa mite tahasa. Tapaus 1 p< : Fuktiot g l : A K g l (x) = l f k (x), l =1, 2,..., ja iide pisteittäie raja arvo g : A K g(x) = f k (x) ovat mitallisia joukossa A. Kolmioepäyhtälöstä seuraa arvio g l p M jokaiselle l =1, 2,... Jos yt sovelletaa Fatou lemmaa 81 jooo (g p l ) l N ( ) 1/p ( g p = A ) 1/p ( g p dµ = A lim g p l dµ l, ii saadaa lim l A g p l dµ) 1/p M. 81 Pierre Joseph Louis Fatou , Raska. Fatou lemma o mittateoria perustuloksia: Mitallisille fuktioille f i : A [, ],i = 1, 2,... o A lim if i f i dµ lim if i A f i dµ.

29 15. LEBESGUE IN AVARUUDET ( ) 129 Näi olle g(x) < µ-mk x A, jote lukusarja f(x) = f k (x) suppeee itseisesti ja siis suppeee µ-mk x A, ts. joukossa A E, missä poikkeusjoukko E o ollamittaie: µ(e) =. Täydeetää f: määritelmää asettamalla f(x) =, ku x E. Tällöi f o mitallie ja f(x) = f k(x) µ-mk x A. Osoitetaa, että f k f avaruudessa L p (A): Olkoo ε>. Valitaa ε N site, että f k p <ε ε. Koska µ-mk x A: f(x) k=+1 f k (x) p = ii Fatou lemma mukaa f f k p p = = A A f(x) lim m lim m = lim m A k=+1 f k (x) p dµ m k=+1 m k=+1 m k=+1 f k (x) p = lim m f k (x) p dµ f k (x) p dµ f k p p lim m ( m k=+1 m k=+1 f k (x) p, f k p ) p <ε p ε. Näi o todistettu, että ja siis myös eli f ( f = f f L p (A). f k L p (A) ) f k + f k L p (A),

30 f ( ) 13 Samalla havaitsimme, että f = avaruudessa L p (A) javäite o todistettu. Tapaus p = : Todistamme suoraa, että L p (A): Cauchy-joo (f i ) i N suppeee. Aettuu ε>liittyy ε N site, että kaikille i, j ε o Asetetaa ja sekä f i f j = f i f j = ess sup x A f i (x) f j (x) <ε. E i = { x A f i (x) > f i }, i =1, 2,..., E i,j = { x A f i (x) f j (x) > f i f j }, i, j =1, 2,..., f k ( ) ( E = E i i=1 i,j=1 E i,j ). Tällöi E o ollamittaiste joukkoje umeroituvaa yhdisteeä ollamittaie. Koska yt f i (x) f j (x) <ε kaikille x A E ku i, j ε, ii joo (f i ) suppeee tasaisesti joukossa A E, ja voimme määritellä fuktio f : A K asettamalla { lim f i (x) ku x A E f(x) = i ku x E. Tällöi jokaiselle x A E o f(x) f i (x) + f(x) f i (x) f i + ε ku i ε. O siis f L (A), ja lisäksi f f i = f f i ε ku i ε. Huomautus Jos kysymyksessä o Lebesgue-mita tapaus (X, Γ, µ) =(R, M,m ), ii usei samastetaa f ja f. Alkio f sijasta käytetää se edustajaa f, jota voidaa tarvittaessa modifioida ollamittaisessa joukossa; puhe L p -fuktioista o ymmärrettävä tässä mielessä. Meettely ei yleesä aiheuta sekaausta. Yleisessä tapauksessa avaruudet L p ja L p voivat kuiteki olla hyvi erilaisia: Jos mitta-avaruutea o esimerkiksi ( R, 2 R,δ ), missä δ o Diraci mitta eli δfuktio, siis δ (A) =1,ku A ja muute δ (A) =, ii silloi f L p (R,δ ) täsmällee silloi ku f : A K jolleki A R site, että A ja f() <. Koska yt f =δ -mk tasa silloi, ku f() =, ii L p (R,δ )määräytyy yhde pistee fuktioista f : {} K. Oleaisesti siis L p (R,δ )=K. Toisaalta voi myös olla L p = L p : Jos ehdosta µ(e) = seuraa E =, ii f = {f}. Tästä tapauksesta esimerki ataa jooavaruus l p.

31 15. LEBESGUE IN AVARUUDET ( ) 131 Lause Jos µ(a) < ja 1 p<r, ii (1) L r (A) L p (A) ja (2) f p ( µ(a) ) 1/p 1/r f r kaikille f L r (A). Todistus. Osoitetaa ikluusio (1). Arvio (2) jää harjoitustehtäväksi. Tapaus r< : Olkoo f L r (A), f : A K se edustaja, ja asetetaa A 1 = { x A f(x) < 1 }. Silloi f p dµ = f p dµ + f p dµ A A 1 A A 1 µ(a)+ f r dµ <, A jote f L p (A). O siis f L p (A). Tapaus r = : Olkoo f L ja f : A K se edustaja. Silloi f p dµ ( ess sup A f ) p µ(a) = p f µ(a) <, jote f L p (A). A Vastaesimerkki Ku µ(a) =, ii L p avaruuksie ikluusio ei päde: Esimerkiksi tavallisessa Lebesgue i mitta-avaruudessa (R, M, m), pätee m.k. määritellylle fuktiolle f : x 1/x, että f L 2 (R) mutta f / L 1 (R). Avaruudet L p (A) ekspoeti p eri arvoilla eivät siis yleisesti ole sisäkkäisiä kumpaakaa suutaa. Toisaalta jooavaruudet l p ovat L p (A)-avaruuksia ja sisäkkäisiäki, mutta eri päi kui äärellismittaisessa tapauksessa! Esimerkki (Hilbert-avaruus L 2 (A)). Erikoistapaukse L p (A) avaruuksie joukossa muodostaa L 2 (A) avaruus, jossa voidaa määritellä sisätulo asettamalla ( f g) 2 = f gdµ. Tämä kuvaus ( ) 2 : L 2 (A) L 2 (A) K o hyvi määritelty, sillä oikea puoli o olemassa, koska fg L 1 (A) Hölderi epäyhtälö ojalla. O lisäksi ilmeistä, että äi määritelty ( f g) 2 ei riipu L 2 edustajie valiasta ja toteuttaa sisätulo aksioomat. Rieszi ja Fischeri lauseesta seuraa, että L 2 (A) = ( L 2 (A), ( ) 2 ) o Hilbert-avaruus. A

32 f ( ) 132 Esimerkki (Jooavaruudet l p ). Jooavaruudet l p voidaa tulkita L p avaruuksiksi, kuha mitaksi valitaa lukumäärä joukossa N, ts. (X, Γ, µ) = ( N, 2 N,µ ) mittaa lukumäärämitta µ =#. Tällöi o l p = L p (N,µ)=L p (N,µ). Selitys. Kuvaus f : N K o joo, jolle tavallisee tapaa käytetää merkitää ξ =(ξ ) =(ξ 1,ξ 2,...), ku ξ = f(). O siis ξ l, jos ja vai jos ess sup N f() =sup ξ <, N ja tapauksessa 1 p< o ξ l p jos ja vai jos f p dµ = ξ p <. N =1 Huomautus Olemme saaeet lupaamamme tulkia avaruude (C([a, b], R), p ) täydetymä alkioille, ku 1 p <. Jatkuvat fuktiot ovat Lebesgue-mitallisia ja samastetaa tietysti ekvivalessiluokkiisa, jolloi C([a, b], K) L p ([a, b]). Aliavaruude C([a, b], K) sulkeuma o yt etsitty täydetymä, sillä L p ([a, b]) o täydellie. Itse asiassa tämä sulkeuma o koko avaruus L p ([a, b]), ts. jatkuvie fuktioide avaruus o tiheä L p ([a, b]):ssä. Tämä tulokse todistamie kuuluu mittateoria alaa, mutta koska asia o tärkeä hahmottelemme kuiteki todistukse tämä luvu lopu huomautuksie yhteydessä. Tapaus p o erilaie: C([a, b], K) o jo itse täydellie ormi mielessä ja siis suljettu ormialiavaruus, ei missää tapauksessa tiheä, avaruudessa L ([a, b]). Lebesgue i avaruudet ja iide sukulaiset, mm. Sobolevi avaruudet, ovat matemaattise aalyysi tärkeitä työkaluja. Palaammeki Lebesgue i avaruuksii vielä mota kertaa; todistamme mm., että L p (A) jal q (A) ovat toistesa duaaleja, ku p ja q ]1, [ ovat duaaliekspoetit ja siis erityisesti, että L p (A) oäillä p: arvoilla refleksiivie, eli duaaliavaruutesa duaali Sobolevi avaruudet ( ). Huomautus Lebesgue i avaruudet ovat jatkuvie fuktioide avaruude C[a, b]täydetymiä p -ormie suhtee. Aalyysi tarpeisii iissäosevika, että derivaattaa ei ole määritelty edes lähtökohtaa olevassa avaruudessa C[a, b]. Tämä ataa aihee tehdä vastaava yleistykse jatkuvasti derivoituvie fuktioide avaruudelle C 1 [a, b], ormia f p,c 1 = f p + f p,

33 15. LEBESGUE IN AVARUUDET ( ) 133 missä 1 p. Huomaa, että kute Lebesgue i avaruuksie tapauksessa ytki p = o käsiteltävä eri tavalla, sillä f p,c 1 ataa tasaise suppeemise sekä fuktiolle että derivaatalle ja tekee avaruudesta C 1 täydellise täydetämättäki. 82 Tämä heijastuu myös joihiki tapaukse p = 1käsittelyssä tulevii hakaluuksii. Ylempiä derivaattoja voi ottaa huomioo lähtemällä avaruudesta C [a, b] ja ottamalla ormi lausekkeesee kaikki derivaatat. Aalyysi kirjoissa tarkastellaa sitä paitsi yleesä usea muuttuja fuktioide avaruuksia. Seuraavassa esitellää perustapauksesta C 1 [a, b] täydetämällä sytyvät Sobolevi avaruudet 83 W p = W 1,p (]a, b[) = H 1,p (]a, b[) (1 p < ). Osoittautuu, että e voi realisoida seuraavalla tavalla. Merkitää kompaktikatajaiste C 1 -fuktioide aliavaruutta Cc 1. Määritelmä Olkoo 1 p<. Määritellää W 1,p (]a, b[) = { f L p [a, b] b b } u L p [a, b] se. ϕ Cc 1 (]a, b[) : ϕu = ϕ f. a a Fuktio u L p [a, b] o fuktio f distribuutioderivaatta, heikko derivaatta eli derivaatta. Huomautus Osittaisitegroii avulla huomaa, että jatkuvasti derivoituva fuktio f distribuutioderivaataksi kelpaa se tavallie derivaatta. Tämä ataa aihee merkitä u = f yleisessäki tapauksessa, eteki ku alkio u L p [a, b] määräytyy yksikäsitteisesti derivaata määrittelevästä ehdosta ϕ Cc 1 (]a, b[) : b a ϕu = b a ϕ f. (Harjoitustehtävä.) Lause Sobolevi avaruus W 1,p o pisteittäisi laskutoimituksi vektoriavaruus. Normi f 1,p = f p + f p tekee siitä Baachi avaruude ja derivoiista f f jatkuva lieaarikuvaukse W 1,p L p. Perustelu. Ei kovikaa vaikeaa, mutta tylsää lasketoa. Huomautus W 1,p : alkiot ovat luoollise ormi mielessä likimai samoja kui jatkuvasti derivoituvat fuktiot. Päätulos o, että C 1 [a, b] oisometrise isomorfismi tarkkuudella Sobolevi avaruude W 1,p aliavaruus ja lisäksi tiheä, ts. W 1,p o se täydetymä. Tämä ei ole itsestää selvää. Historiallisesti o jopa ii, että aluperimääriteltii eriksee toisaalta avaruus W 1,p ja toisaalta täydetämällä sytyvä avaruus H 1,p ;äide samuude todistamie oli aikaaa merkittävä tutkimustulos. Hahmottelemme alla pääkohdat. Määritelmä Olkoot 1 p<. Määritellää: C 1 p(]a, b[) = { f C 1 (]a, b[) } f ja f L p [a, b] ja H 1,p (]a, b[) = C 1 p(]a, b[):täydetymä ormissa 1,p. 82 Tapauksessa p = saadaa itse asiassa Lipschitz-jatkuvie fuktioide avaruus. 83 Sergei L. Sobolev , Veäjä.

34 f ( ) 134 Lause Olkoo f L p [a, b]. Tällöi f H 1,p (]a, b[), jos ja vai jos o olemassa avaruude C 1 p(]a, b[) Cauchy-joo g j, jolla g j f p. Lause H 1,p (]a, b[) W 1,p (]a, b[) ormialiavaruutea. Perustelu. Olkooo f H 1,p (]a, b[) ja (g j ) N Cp(]a, 1 b[) Cauchy-joo, jolla g j f. Derivaattoje joo (g j ) N L p [a, b] o Cauchy-joo, siis suppeee, ja o aalyysi rutiiia todeta, että se rajafuktio kelpaa f: derivaataksi. Lause (Friedrichs, Dey ja Lios, Meyer ja Serri) 84 H 1,p (]a, b[) = W 1,p (]a, b[) ormialiavaruutea. Perustelu. Tämä lause tuli kuuluisaksi Nykyisi muutama sivu mittaie todistus löytyy reaaliaalyysi oppikirjoista. Työvaiheita ovat siirtymie kompaktikatajaisii fuktioihi, silotukset sekä reaalifuktioide perusomiaisuuksie, kute Urysohi lemma ja ykköse C -osituste käyttö. 16. Normiavaruuksie duaaleja Muistamme aluksi, että esimerki 14.3 mukaa ormiavaruude (E, ) duaali o Baachi avaruus E = B(E,K), jossa ormia o operaattoriormi. f = sup f(x) = sup x f. x 1 x 1 Tiedämme jo, että Hilberti avaruude duaali o tulkittavissa avaruudeksi itseksee ja että tämä asia o tärkeä. Muideki klassiste Baachi avaruuksie duaaleilla o samatapaisia tulkitoja. Tämä pykälä alkuu o koottu luettelo eräide klassiste Baachi avaruuksie duaaleista. Näide tulkita ja todistukset vaihtelevat vaikeusasteeltaa. Helposti ymmärrettävää ja muistettavaa o, että kup ja p p 1 q = ]1, [ ovatäärelliset duaaliekspoetit, ii Lebesgue i ormiavaruudet L p (A) jal q (A) ovat oleaisesti toistesa duaaliavaruudet. Tämä asiatila, joka todistetaa luvussa VII, o luoollisesti syyä duaaliekspoettie imee, vaikka vastaava ei päde molemmi puoli parille 1,. Luettelo (1) Hilbert-avaruude H duaali o H = H. (2) Äärellisulotteise avaruude K duaali o (K ) = K. (3) Jooavaruude l 1 duaali o l. (4) Jooavaruude l p duaali o l q, ku 1 p + 1 q =1; p, q ]1, [. (5) Jooavaruude c duaali o l 1. (6) Jooavaruude c duaali o l 1. (7) Jooavaruude l duaali muodostuu kaikista äärellisesti additiivisista mitoista luoolliste lukuje osajoukkoje joukossa. (8) Lebesgue i avaruude L p (A) duaali o L q (A), ku 1 p + 1 q =1,; p, q ]1, [. (9) Lebesgue i avaruude L 1 (A) duaali o L (A), jos mitta µ o σ-additiivie joukossa A. 84 Kurt Otto Friedrichs Saksa-USA. J.Dey,?? Raska. J.L. Lios, Raska. Keeth R. Meyer?? USA. James Serri, ca. 1926?? USA.

35 16. NORMIAVARUUKSIEN DUAALEJA 135 (1) Lebesgue i avaruude L (R ) duaali muodostuu iistä äärellisesti additiivisista joukkofuktioista τ, joilla o sellaie absoluuttie jatkuvuusomiaisuus, että jos τ(a) =, ii m(a B) = kaikille B, joille m(b) <. 85 (11) Fuktioavaruude C([, 1], K) duaali muodostuu rajoitetusti heilahtelevista fuktioista f :[, 1] K, ormia kokoaisheilahtelu ja toimitaa Stieltjesitegraali g 1 g(t)df (t). Tämä väite o alkuperäie Rieszi esityslause. 86 (12) Fuktioavaruude C(X, E) duaali muodostuu kaikista sääöllisistä K-arvoisista Borel-mitoista joukossa X, jos X o kompakti ja Hausdorff. Tämä väite o moderi Rieszi esityslause. (13) Tuloavaruude E F duaali o E F. (14) Tekijäavaruude E/F duaali samastuu F : aihilaattorii avaruudessa E eli aliavaruutee F = {x E x (f) =kaikille f F }. (15) Suljetu aliavaruude F E duaali F o vastaavasti tekijäavaruus E /F. (16) Aliavaruudella F E o sama duaali kui sulkeumallaa F. Selityksiä ja alustavia perusteluja. Kaikki väitteet ovat tosia vai isomorfismi mielessä. Hilbert-avaruuksia koskeva väite (1) o Fréchet ja Rieszi esityslause ja kohta (2) seuraa siitä, että äärellisulotteise avaruude kaikki ormit ovat ekvivaletteja euklidise, siis Hilbert-avaruudeksi tekevä ormi kassa. Tuistamme L p (A)-avaruuksie (1 p< ) duaalit vasta luvussa 27, mutta voimme jo yt äyttää, että jooavaruuksilla o vastaavat omiaisuudet, siis l p = l q, ku p ja q ovat toistesa duaaliekspoetit ja 1 < p <. Tulkitaa eli isomorfismia tässä o, että joo (a ) N tulkitaa jooavaruudessa fuktioaaliksi (b ) N a b. N Se, että l 1 : duaali o l todistetaa samaa tapaa luvussa 19.5 käyttäe lisätietoa tasaise rajoitukse periaatetta luvusta Jooavaruudet c ja c o helppo dualisoida samalla tekiikalla. Se sijaa l o jotai aiva muuta kui jooavaruus, vaikka edelliste isomorfismie mielessä kyllä oki l 1 l. Lebesgue avaruuksie osalta fuktio g samastetaa fuktioaalii f fg. Tämä johtaa välitömästi siihe ideaa, että myös mitta voidaa koettaa tulkita fuktioavaruudessa määritellyksi fuktioaaliksi, joka liittää fuktioo f luvu fdµ. Erityisesti jatkuvie fuktioide avaruude duaali alkio saadaa rajoitetusti heilahtelevasta fuktiosta g :[, 1] R muodostamalla Stieltjes-itegraali f 1 fdg. 85 [He-S] 2.27 ja 2.35, [RN] 5, [Y] IV Vuosilta Ks. esim. [W] ja[y] IV.9. ÄläsekoitaFréchet jarieszi esityslauseesee.

36 f ( ) 136 Aliavaruude ja tekijäavaruude duaalisuudessa tulkitaa varte tarvitaa tieteki tekijäavaruude määritelmä luvusta 17. Sitte alkiota ϕ (E/F) vastaa fuktioaali ϕ π, missä π o kaoie surjektio. Aliavaruude duaali alkio saadaa tekijäavaruude E /F alkiosta [x ] asettamlla [x ](x) =x F. Lause (1) Avaruude l p duaali o isomorfie avaruude l q kassa, ku p ja q ovat toistesa duaaliekspoetit ja 1 p, q <. (2) Suppeevie jooje avaruudella c ja ollaa suppeevie jooje avaruudella c o molemmilla duaaliaa l 1, isomorfismi tarkkuudella c = l 1. ja myös c = l 1. Tulkioissa eli isomorfismeissa y f y o piei ero: f y (x) = f y (x) =y x y x =(x 1,...) c,y=(y 1,...) l 1. =1 lim x + x y x =(x 1,...) c, y =(y,...) l 1. =1 Perustelu. Todistetaa, että l p : duaali o l q, ku 1 <p.hölderi epäyhtälö mukaa aiaki jokaie y l q tuottaa jatkuva lieaarikuvaukse f y : l p K : x x y = x y, =1 ja vieläpä f y (x) = x y x p y q, jote f y y q. Lisäksi kuvaus y f y o ijektio, sillä jos f y (x) = kaikille x l p, ii erityisesti f y (e ) = y = kaikille luoollisille yksikkövektoreille e = (,...,, 1,,...), jote y =(y ) N =. Ogelmaksi jää osoittaa, että kuvaus y f y o surjektio l q l p ja että f y o tasa y q. Olkoo f l p. Muodostetaa joo y =(y ) N =(f(e )) N, joka jo todetu mukaa o aioa mahdollie ehdokas etsityksi jooksi y l q.o äytettävä, että y todella kuuluu avaruutee l q,että f = f y ja että f y y q. Tarkastellaa jooa t = { y q y, ku y, ku y =, jolloi t p = y p(q 1) = y q.

37 16. NORMIAVARUUKSIEN DUAALEJA 137 Saadaa arvio N N N ( N ) y q = t y = t f(e )=f t e =1 =1 =1 =1 ( N f t p) 1/p ( N = f y q) 1/p. =1 =1 Tästä saadaa ( N y q) 1 1/p ( N = y q) 1/q f N N. =1 =1 Toisi saoe y q f ja erityisesti y l q. Tarkastetaa lopuksi, että f y = f. Aiaki f(e )=f y (e ) N. Väite seuraa siis siitä, että kummatki kuvaukset ovat lieaarisia ja jatkuvia ja että luoolliste yksikkövektorie e virittämä lieaarie aliavaruus K (N) o tiheä avaruudessa l p. Näi o selitetty tapaus, jossa sekä p että q ovat äärellisiä. Tapaus p =1,q= todistetaa luvussa 19 käyttäe apua Baachi ja Steihausi lausetta eli tasaise rajoittueisuude periaatetta. Yhteydet c = l 1 ja c = l 1 voi perustella suuillee samalla tavalla. Ks. harjoitustehtävät ja Lause 16.3 (Rieszi esityslausee alkuperäie muoto). Fuktioavaruude C([, 1], K) duaali muodostuu rajoitetusti heilahtelevista fuktioista, ormia kokoaisheilahtelu. Perustelu. Baachi keksimä todistus käyttää myöhemmi esitettävää Hahi ja Baachi lausetta 21.4, mutta hahmottelemme se kuiteki jo yt. Aluksi o todettava, että jokaie rajoitetusti heilahteleva fuktio g :[, 1] K todella määrää vastaava Stieltjes-itegraali 87 avulla lieaarikuvaukse ϕ g : C[, 1] K: f 1 fdg. Sitte tarkastetaa, että tämä kuvaukse operaattoriormi o sama kui g: kokoaisheilahtelu, joka voidaa lausua muodossa g M =sup 1 dg, i I E i missä supremum o otettu yli kaikkie väli [, 1] osituste äärellise moeksi parittai erilliseksi Borel-joukoksi E i. Pääogelmaa o kostruoida g, ku tuetaa ϕ C[, 1]. Meetellää seuraavasti: Kaikilla t [, 1] asetetaa 87 [A] g(t) =ϕ(χ [,t] ).

38 f ( ) 138 Tässä o ogelmaa, että osaväli karakteristie fuktio χ [,t] ei ole jatkuva. Hahi ja Baachi lause saoo kuiteki, että o olemassa ϕ: jatko laajempaa avaruutee L [, 1]. Voimme siis tulkita ϕ L [, 1], jolloi g(t) omääritelty. Lopuksi todistetaa, että g o rajoitetusti heilahteleva ja että kaikilla f C[, 1] todella pätee 1 ϕ(f) = fdg. Tässä o avuksi, jos huomaa, että jatkuvaa fuktiota voi approksimoida tasaisesti porrasfuktiolla, siis C[, 1] {g t t [, 1]}. 17. Tulo- ja tekijäavaruuksia Tuloavaruuksia ja suoria summia. Määritelmä Kahde ormiavaruude E ja F tuloavaruus eli tulo o joukko E F varustettua vektoriavaruuslaskutoimituksilla (a, b)+(c, d) =(a + c, b + d) λ(a, b) =(λa, λb) ja ormilla (x, y) = (x, y) = max{ x, y }. Huomautus Sovitaa tässä ormi yksikäsitteisesti äi, vaikka tuloavaruudeksi usei, mm. edellä kohdassa 13.12, saotaaki vektoriavaruutta E F varustettua millä tahasa tämä kassa ekvivaletilla ormilla. Näitä ovat ee kaikkea aalogisella tavalla muodostettavat p -ormit (1 p < ). -ormilla o kuiteki seuraava miellyttävä erityisomiaisuus: E F : avoi pallo o tulojoukko vastaavista E: ja F : avoimista palloista: B ((x, y),r)= B(x, r) B(y, r). B ( y, r ) v B((x,y),r) x B ( x, r ) Kuva 37. Palloje tulo, tulo pallo. Huomautus E: ja F : avoite, suljettuje, yhteäiste tai kompaktie joukkoje tulojoukot ovat tuloavaruudessa E F avoimia, suljettuja, yhteäisiä tai vastaavasti kompakteja 88, mutta tuloavaruudessa o rusaasti muitaki joukkoja, 88 Viimeksi maiittu tulos o hiema epätriviaali, mutta hämmästyttäväo Adrei Nikolaevitš Tihoovi ( , Veäjä.) lause 23.14, joka mukaa kompaktisuude säilymie pätee myös äärettömä moe topologise avaruude tulolle.

39 17. TULO- JA TEKIJÄAVARUUKSIA 139 joilla o kuki äistä omiaisuuksista. Erityisesti siellä ovat avoimia kaikki edellä kuvattuje avoite palloje yhdisteet, ja vai e. Huomautus Projektiokuvaukset π 1 : E F E :(x, y) x ja π 2 : E F F :(x, y) y ovat jatkuvia lieaarikuvauksia. Kummallaki o ormi 1, ku E ja F {}. Lisäksi ovat voimassa ormiyhtälöt (x, ) = x ja (,y) = y, jote E E {} ja F {} F ovat ormiavaruusisomorfismi tarkkuudella tulo aliavaruuksia. Jos tulkitsemme tällä tavalla E,F E F, ii E F = E F, oha jokaie E F : alkio tasa yhdellä tavalla esitettävissä summaa E: ja F : alkioista: (x, y) =(x, )+(,y). Tästä syystä tuloavaruutta saotaa toisiaa avaruuksie E ja F ulkoiseksi suoraksi summaksi. Huomautus Kahde täydellise ormiavaruude tulo o täydellie. Tämä o edellä saatu sivutuotteea kohdassa 13.12, mutta o helppo todistaa suoraaki. Itse asiassa yleesäki kahde metrise avaruude tulossa o vastaavasti käytettävissä metriikka d ((a, x), (b, y)) = max{d 1 (a, b),d 2 (x, y)} ja tietysti täydellisyys periytyy kahde metrise avaruude tuloo. Huomautus Äärettömä moe vektoriavaruude E i, i I tulo o joukko { f : I } E i i : f(i) Ei i I varustettua pisteittäisi laskutoimituksi. Sille ei ole käytössä mitää yleisesti vakiituutta ormia. Kaikkie lukujooje avaruudessa s = R N = i N R o kylläki harjoitustehtävä 13.1mukaie luoollie metriikka, joka ataa pisteittäise suppeemise topologia Tekijäavaruuksia ( ). Määritelmä Olkoo W vektoriavaruude V aliavaruus. Tekijäavaruus V/W määritellää ekvivalessiluokkie joukkoa 89 V/W = {[x] x V }, 89 Määritelmä saattaa olla tuttu algebra tai lieaarialgebra kurssilta. Tekijäjoukko ja tekijärakee ovat peruskäsitteitä, jotka piileksivät tavalla tai toisella lähes kaike matematiika taustalla. Yksi esimerkki tekijäavaruuksista semiormiavaruude L p (A): tekijäormiavaruus L p (A) ojotullutmääritellyksi luvussa 15. SielläaliavaruuteaW o {f L p (A) f(x) = µ-mk x A} = {f L p (A) f p =}.

40 f ( ) 14 missä ekvivalessirelaatioa x y o x y W, jolloi [x] ={y V x y} = x + W = x W. Tekijäavaruudelle V/W saadaa vektoriavaruude rakee määrittelemällä laskutoimitukset ekvivalessiluokille edustajittai, kute jo teimme Lebesgue i avaruuksia kostruoidessamme. [x]+[y] =[x + y] ja λ[x] =[λx]. O välttämätötä mutta helppoa todeta, että summa x + y ja tulo λx luokka riippuvat vai luokista [x] ja[y], eivät iide edustajista x [x] ja y [y]. Se jälkee o ikävä pitkä rutiiiasia tarkastaa vektoriavaruude aksioomat ja todeta erityisesti, että olla-alkio o =[]=W V/W. Huomautus Kaoie surjektio eli kaoie projektio π W : V V/W : x [x] o lieaarie surjektio, joka ydi o W. Määritelmä (Tekijäormi). Olkoo F ormiavaruude 9 E suljettu aliavaruus. Tekijäormiavaruus eli tekijäavaruus E/F o vektoriavaruus E/F varustettua ormilla [x] =if{ y y x} = if{ x + F } = if{ x F }. Perustelu. [x] o toisaalta origo etäisyys ekvivalessiluokasta [x] = x + F, toisaalta x: etäisyys suljetusta aliavaruudesta F. Tarkastamme yt, että äi todella saadaa ormi. Samalla huomaamme, että kolmioepäyhtälö ja homogeeisuusehto ovat voimassa riippumatta siitä oko F suljettu vai ei 91 : Ku [x] ja [y] E, ii valitaa mielivaltaiselle ε>luokkie edustajat x ε [x] jay ε [y] site, että [x] x ε [x] + ε 2 ja [y] y ε [y] + ε 2. Tällöi pätee määritelmä ja alkuperäise kolmioepäyhtälö ojalla [x]+[y] = [x ε ]+[y ε ] = [x ε + y ε ] x ε + y ε x ε + y ε [x] + ε 2 + [y] + ε 2 = [x] + [y] + ε. 9 Vastaava kostruktio tuottaa semiormiavaruudelle tekijäsemiormiavaruude. 91 Yleisessäki tapauksessa E/F siis o semiormiavaruus.

41 17. TULO- JA TEKIJÄAVARUUKSIA 141 mistä kolmioepäyhtälö seuraaki. Ehto λ[x] = λ [x] todistetaa vastaavalla tavalla. x ε x ε+yε y ε x y x+y [ x ] [ y ] [ x+y ] Kuva 38. Tekijäavaruude kolmioepäyhtälö. Defiiittisyysehdo tarkistamiseksi oletetaa [x] =. Koska pistee etäisyys suljetusta joukosta o aia ja vai ku piste kuuluu ao. joukkoo, o x F =[], eli [x] =[]. Lause Olkoo F E suljettu aliavaruus. Tällöi kaoie surjektio π F : E E/F : x [x] o jatkuva lieaarikuvaus ja sitäpaitsi myös avoi kuvaus eli kuvaa kaikki avoimet joukot avoimiksi joukoiksi. Todistus. Koska x [x], ii lieaarikuvaukse π F : E E/F : x [x] ormi o suoraa [x] : määritelmä mukaa tasa 1, paitsi tapauksessa F = E, jolloi π F =. Samaa tapaa kui vastaava jatkuvuutta koskeva lause, voidaa helposti todistaa, että ormiavaruuksie välise lieaarikuvaus o avoi, kuha avoime yksikköpallo kuva sisältää origokeskise pallo. Kaoise surjektio tapauksessa E: yksikköpallo B E kuva o täsmällee E/F: yksikköpallo B E/F,sillä [x] < 1 = x ε E :[x] =[x ε ]& x ε < 1 jote B E/F π(b E ). Lause Olkoo F Baachi avaruude E suljettu aliavaruus. Tällöi tekijäavaruus E/F o täydellie. Todistus. Lausee 6.14 mukaa riittää todistaa, että E/F: jokaie itseisesti suppeeva sarja: [x k ] suppeee. Ideaa o valita luokille [x k ] sellaiset edustajat x k [x k ], että iideki muodostama sarja suppeee. Se o helppoa, voidaaha edustajat tekijäormi määritelmä mukaa valita esimerkiksi site, että x k [x k ] k,

42 f ( ) 142 jolloi x k ( [x k ] + 12 ) k [x k ] +1<. Koska E o täydellie, ii x k :ista muodostettu sarja siis suppeee, eli o olemassa x = lim x k, jolloi kaoise surjektio π F lieaarisuus ja jatkuvuus takaavat, että lim [x k ] = lim [ x k ]=[lim x k ]=[x]. Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu IV Harjoitustehtäviä lukuu IV Todista Hölderi epäyhtälö haluamassasi avaruudessa ekspoeteilla p = 1 ja q = Todista, että ormiavaruuksie välise lieaarikuvaukse avoimeksi todistamiseksi riittää äyttää, että avoime yksikköpallo kuva sisältää origokeskise pallo Lauseea 13.9 o osoitettu, että l p l q, ku 1 p q ja että ikluusiokuvaus i : l p l q : x x o jatkuva ja se ormi o 1. Kumoa toisesuutaiset ormiepäyhtälöt l p -avaruuksie ikluusioissa eli äytä, että ikluusiokuvaukset eivät ole avoimia kuvauksia kuva-avaruudellee Osoita, että (x y) = x y i=1 o sisätulo avaruudessa l p, ku 1 p 2, mutta että vai tapauksessa p =2äi saadaa Hilbert-avaruus Todista, että suuikassäätö eipäde avaruudessa (l p, p ), ellei p ole Olkoo T : l 1 l 1 määritelty kaavalla T (x 1,x 2,x 3,...)=( x 2 2, x 3 3, x 4 4,...). Osoita, että T B(l 1,l 1 )jamääritä T Olkoo T : l 2 l 2 määritelty kaavalla T (x 1,x 2,x 3,...)=( x 2 2, x 3 3, x 4 4,...). Osoita, että T B(l 2,l 2 )jamääritä T Olkoo w > ja l 2 w = { x =(x ) 1 x 2 w < }. 1

43 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN IV 143 Osoita, että l 2 w o sisätuloavaruus, sisätuloa (x y) = 1 x y w. Aa esimerkki joosta w =(w ) 1, jolla ( log ) 1 l 2 w Osoita, että x 2 = ( x k 2) 1/2 ja ( ) 1/2 ( ) 1/2 x = x 2k 2 + x 2k+1 2 k= ovat ekvivaletteja ormeja avaruudessa l Varustetaa kaikkie lukujooje avaruus metriikalla s = K N = {x =(x k ) k N x k K} d(x, y) = 2 k x k y k 1+ x k y k. a) Osoita, että o oikeutettua saoa metriikkaa d pisteittäise suppeemise metriikaksi, sillä avaruudessa s seuravat ehdot (1) ja (2) ovat yhtäpitäviä joolle (x m ) k N, missä x m =(x m k ) k N : (1) x d x (2) x K k x k koordiaateittai eli eriksee kulleki k N. b) Osoita, että (s, d) otäydellie metrie avaruus Olkoo T : C[, 1] R lieaarikuvaus Tf = f(). Määritä T, ku avaruudessa C[, 1] o a) sup-ormi, b) L 1 ormi f 1 = 1 f(t) dt Olkoo T : C[, 1] C[, 1] lieaarikuvaus (Tf)(x) = x f(t) dt. Määritä T, ku avaruudessa C[, 1] o sup-ormi Ovatko avaruude C 1 [, 1] ormit 1 ja 2 ekvivaletit? Olkoo E = C[, 1] ja ρ E positiivie fuktio. Osoita, että (f g) = 1 f(t)g(t)ρ(t) dt o sisätulo vektoriavaruudessa E Olkoo E = C[, 1] ja ρ E eiegatiivie fuktio. Osoita, että (f g) = 1 f(t)g(t)ρ(t) dt o sisätulo vektoriavaruudessa E, jos ja vai jos joukko {x [, 1] ρ(x) =} ei sisällä yhtää avoita väliä.

44 f ( ) Olkoo A R mitallie joukko ja m(a) <. Josf i f avaruudessa L 2 (A), ii päteekö välttämättä, että f i f avaruudessa L 1 (A)? Viimeistele lausee todistus osoittamalla, että jos µ(a) < ja 1 p<r,ii f p ( µ(a) ) 1/p 1/r f r kaikille f L r (A). Vihje: Hölderöi 1 f p Osoita, että L 2 (R) L 1 (R) jal 1 (R) L 2 (R). Oko L 2 [, 1] L 1 [, 1]? Tehtävät edellyttävät mittateoria tutemista Todista, että Hölderi epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus silloi ja vai silloi, ku o olemassa (reaali)luvut λ ja µ, joista aiaki toie site, että λf(x) p = µg(x) q melkei kaikkialla Olkoo µ(a) <. Näytä, että josf : A [, 1] o mitallie ja 1 <p,q< ovat duaaliekspoetteja, ii A fdµ µ(a) 1 q ( A ) 1 f p p dp Olkoo µ(a) <. Näytä, että L p (A) L s (A), ku p s Olkoot A =], [ (!) jaµ Lebesgue i mitta R:ssa sekä s R. Jos f s (x) =x s kaikilla x>, ii oko f s L p (A) jolleki p [1, ]? Olkoot A =], 1[ (!) ja µ Lebesgue i mitta R:ssa sekä s R. Jos f s (x) =x s kaikilla x>, ii oko f s L p (A) jolleki p [1, ]? Olkoot A = I =[, 1] (!) ja µ Lebesgue i mitta R:ssa sekä (f i ) 1 joo L 1 (A):ssa ja f L 1 (A). Jos f i (x) f(x) kaikilla x I, ii voiko päätellä, että i f i f avaruudessa f L 1 (A)? Opastus: Ei. i Olkoot g L q (A), 1 <p,q< duaaliekspoetteja ja µ Lebesgue i mitta. Näytä, että kuvaus T : L p (A) R T (f) = gfdµ o jatkuva lieaarikuvaus Näytä, että f L (A) =if{m R + µ({x A f(x) >M}) =} o ormi L (A):ssa. (Merkitse A M = {x A f(x) >M}) Olkoo I =[, 1] ja µ Lebesgue i mitta I:ssä sekä 1 p<. Oko T T (f) =f() kuvaus L p (I) R? Opastus: Ei Olkoo I = [, 1] ja µ Lebesgue i mitta I:ssä sekä 1 p < ja f : I R mitallie ja rajoitettu fuktio. Määritä A ( lim p ) 1 f p p dµ.

45 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN IV Olkoo f C(R) L 1 (R) Asetetaa kaikilla r R: M(f)(x) = sup t> 1 x+t f dµ. 2t x t Näytä, että M(f) o kuvaus R R, (imeltää f: maksimaalifuktio). Oko M(f) jatkuva? Vihje: 1 x+t lim fdµ= f(t). t 2t x t ( ) Viimeistele huomautukse 15.2perustelemie etsimällä todistus sille, että jatkuvie fuktioide avaruus o tiheä L p ([a, b]):ssä. Vihje: Tämä tulos kuuluu mittateoria perustietoihi. Todistuksia o moelaisia riippue siitä, mite mittateoria o otettu käyttöö. Eräät perustuvat Lusii lauseesee 92, toiset kovoluutio käyttöö je. Ks. esim [R-1] s. 251 tai [L] Todista, että ormiavaruude täydetymä o isometrise isomorfismi tarkkuudella yksikäsitteie Derivoi fuktio f(x) =x 2 Sobolevi avaruude heiko derivaata mielessä (jatkoa) Todista yleisesti osittaisitegroii avulla, että jatkuvasti derivoituva fuktio f distribuutioderivaataksi kelpaa se tavallie derivaatta (jatkoa) Todista, että alkio u L p [a, b] määräytyy yksikäsitteisesti Sobolevi avaruude derivaata määrittelevästä ehdosta ϕ Cc 1 (]a, b[) : b a ϕu = b a ϕ f Tarkastelemme Lebesgue avaruutta L 1 (#), missä # o lukumäärämitta väli [, 1] umeroituvie osajoukkoje ja iide komplemettie muodostamassa σ-algebrassa. Osoita, että L 1 (#) L (#) äyttämällä, että fuktioaalia ϕ(f) = 1 f(t) tdt ei voi esittää muodossa ϕ(f) = 1 f(t) g(t) dt, missä g olisi #-mitallie. Ohje: aioa ehdokas olisi g(t) = t Todista huomautus 17.2, jossa väitetää, että tuloavaruude avoi pallo o avoite palloje tulo Mite määrittelisit kolme metrise avaruude tuloavaruude? Todista lause 17.4, joka mukaa kahde täydellise ormiavaruude tulo o täydellie Määritellää F = {(x ) 1 l 1 x vaiäärellise moella } Näytä, että F o aliavaruus. Olkoo x l 1. Laske x + F = if y F x + y Todista määritelmässä 17.7 tarvittava tieto, joka mukaa [x + y] ja[λx] riippuvat aioastaa luokista [x] ja[y], eivät iide edustajista x ja y Olkoo E = C[ 1, 1] ja F = {f E f() = }. Olkoo sup-ormi avaruudessa E. a) Näytä, että F o E: suljettu aliavaruus. 92 Nikolai Nikolaevitš Lusi Veäjä.

46 f ( ) 146 b) Laske [f] E/F, missä f(x) =x kaikille x [ 1, 1]. c) Laske [f] E/F,missä f(x) = cos x kaikille x [ 1, 1] Olkoo E ormiavaruus ja F E se suljettu aliavaruus. Osoita, että x + F x + F avaruudessa E/F, jos ja vai jos o olemassa joo (y ) F, jolla x + y x avaruudessa E. Huomautuksia lukuu IV. l p -avaruudet eivät ole isomorfisia, ku 1 p<q. Tämä todisti jo Baach itse klassisessa kirjassaa [B] vuodelta l p : duaali, ku < p < 1. Itse asiassa l o l p : duaali myös kaikilla <p<1, jolloi vastaava jooavaruus l p tosi ei ole ormiavaruus, vaa s. kvasiormiavaruus, jollaise yksikköpallo ei ole koveksi ja jollaise duaalista ei site voi luvussa 22 käytettävä Hahi ja Baachi lausee avulla päätellä mitää. Rieszi esityslause ja yleie itegraali. Rieszi esityslausee mukaa avaruude C(X, K) jatkuvat lieaarimuodot ovat oleaisesti sama asia kui itegraalit f f dµ. Oki mahdollista asettaa tämä yleise itegraali määritelmäksi ja määritellä vasta jälkeepäi jouko mitta vastaava karakteristise fuktio itegraalia. Tätä Daielli itegraalia tuettua ideaa käyttää mm. N. Bourbaki 93 kirjasarjassaa. Täydetymä. Yleise ormiavaruude täydetymä olemassaolo voi todistaa vetoamalla tapaa, jolla mielivaltaiselle metriselle avaruudelle kostruoidaa täydetymä. Siiä samastetaa täydetymä alkiot alkuperäise avaruude Cauchyjooje ekvivalessiluokkii ekvivalessia jooje erotukse kovergessi ollaa. Tämä omyös tuettu tapa raketaa reaaliluvut ratioaaliluvuista. Kohdassa esitämme ormiavaruude täydetymä olemassaololle duaaliavaruuksie teoriaa, viime kädessä Hahi ja Baachi lauseesee 21.4 perustuva elegati todistukse. Historiaa. Steihaus 94 v. 1919: L 1 : duaali o L. Hyvä lukija. Kirjoita tekijälle parausehdotuksia lukuu IV. 93 Nicolas Bourbaki, 19-luvullatoimiut moipäie fiktiivie matemaatikko, Nacago (yhtäaikaisesti Raska ja USA). 94 Hugo Dyoizy Steihaus , Puola.

47 18. YHTÄJATKUVAT JA PREKOMPAKTIT KUVAUSPERHEET 147 V YHTÄJATKUVAT KUVAUSPERHEET JA BAIREN KATEGORIAT Tässä luvussa todistettavat lauseet liittyvät jo Weierstrassi lausee ja Baachi kiitopistelausee yhteydessä sivuamaamme aihepiirii, jatkuvii fuktioihi täydellisessä metrisessä avaruudessa. Nyt johdettavissa lauseissa keskeie käsite o fuktioperhee yhtäjatkuvuus. 18. Yhtäjatkuvat ja prekompaktit kuvausperheet Ascoli ja Arzelá lause. Määritelmä Olkoo H F(X, Y ) joukko fuktioita eli fuktioperhe metriste avaruuksie X ja Y välillä sekä x X. Saomme, että (1) perhee H fuktiot ovat yhtäjatkuvia pisteessä x, eli että perhe H o yhtäjatkuva pisteessä x, jos kaikki fuktiot f Hovat jatkuvia pisteessä x site, että jatkuvuude stadardimääritelmässä kullaki ε voidaa δ valita ii pieeksi, että se kelpaa kaikille f H: ε > δ > x X f H : d(x, x ) δ = d(f(x),f(x )) ε. (2) perhe H o yhtäjatkuva, jos H o yhtäjatkuva jokaisessa pisteessä x X. (3) perhe H o tasaisesti yhtäjatkuva, jos kullaki ε kelpaa sama δ kaikille f Hja kaikille x X: ε > δ > x X x X f H : d(x, x ) δ = d(f(x),f(x )) ε. Rajoitetu jouko sulkeuma o äärellisulotteisessa avaruudessa K kompakti Heie ja Boreli tuetu lausee mukaa, ja Rieszi lause 6.15 kertoo meille, että ääretöulotteisessa avaruudessa asia o toisi. Tämä asiatila ataa aihee ataa ime joukolle, joka sulkeuma o kompakti. Asetamme samalla toiseki lähisukuise määritelmä. Määritelmä (1) Topologise avaruude X osajoukko K o relatiivikompakti, jos se sulkeuma K o kompakti, eli jos K sisältyy johoki kompaktii joukkoo. (2) Metrise avaruude X osajoukko K o prekompakti, jos kaikille ε > o olemassa jouko K peite äärellise moella ε säteisellä pallolla B(x, ε), missä x X.

48 f ( ) 148 Huomautus (1) Prekompaktisuude määritelmässä voi yhtä lailla vaatia, että jokaie x kuuluu joukkoo K. (2) Relatiivikompaktius ja prekompaktius periytyvät osajoukolle ja sulkeumalle. (3) Metrise avaruude osajoukolle kompaktius ja jookompaktius ovat yhtäpitäviä ehtoja. (4) Täydellise metrise avaruude osajoukolle prekompaktius ja relatiivikompaktius ovat yhtäpitäviä ehtoja. (5) Äärellisulotteise avaruude R osajoukolle rajoittueisuus, prekompaktius ja relatiivikompaktius ovat yhtäpitäviä ehtoja. Perustelu. Harjoitustehtäviä. Määritelmä Olkoo X joukko ja Y metrie avaruus. (1) Fuktioperhe H F(X, Y ) opisteittäi rajoitettu, jos jokaise pistee x X kuvie joukko H(x) ={f(x) f H} Y o rajoitettu. (2) Vastaavasti määritellää käsitteet pisteittäi prekompakti ja pisteittäi relatiivikompakti fuktioperhe. Lause 18.5 (Ascoli lause) 95. Olkoot X ja Y metrisiä avaruuksia, joista X kompakti. Tällöi joukolle jatkuvia fuktioita H C(X, Y ) seuraavat kaksi ehtoa ovat yhtäpitäviä: (1) H o avaruude C(X, Y ) sup-metriikassa d(f,g) =d (f,g) = sup d(f(x),g(x)) x X prekompakti joukko. (2) H o yhtäjatkuva ja pisteittäi prekompakti fuktioperhe. Todistus. Oletetaa esi, että H o prekompakti sup-metriikassa. O melko ilmeistä, että H o pisteittäi prekompakti eli jokaise pistee x X kuvie joukko H(x) o prekompakti. Jokaisella ε>o imittäi oletukse mukaa olemassa jouko H äärellie ε peite, siis fuktiot f 1,...,f H, joilla o se omiaisuus, että jokaisella f Ho d(f,f i ) <εjolleki i {1,...,}. Tällöi tietysti myös pisteessä x X o d(f(x),f i (x)) <ε. Etsitty jouko H(x) peite o B(f i (x),ε), i {1,...,}. Osoittaaksemme, että H o yhtäjatkuva kohdassa x X, valitsemme prekompaktille joukolle H äärellise ε 3 -peittee f 1,...,f. Koska jokaie f i o jatkuva, o kullaki i olemassa δ i site, että d(f i (x),f i (x )) ε 3, kuha d(x, x ) δ i. Olkoo δ = mi{δ 1,...,δ }. Jos yt d(x, x ) δ, ii d(f(x),f(x )) d(f(x),f i (x)) + d(f i (x),f i (x )) + d(f i (x ),f(x )) 3 ε 3 = ε. Todistukse alkupuoli oli siis helppo ja lausee varsiaie sisältö oki siiä, että yhtäjatkuvuus ja pisteittäie prekompaktius yhdessä ovat riittävä ehto prekompaktisuudelle sup-metriikassa. Olkoo ε > ja x X. Yhtäjatkuvuusoletukse mukaa o olemassa luku r x > site, että f H, y B(x, r x ): 95 Guido Ascoli , Italia.

49 18. YHTÄJATKUVAT JA PREKOMPAKTIT KUVAUSPERHEET 149 d(f(y),f(x)) ε 4. Näi saadusta kompakti jouko X avoimesta peitteestä valitaa äärellie osapeite: m X B(x i,r xi ). i=1 Jokaie joukoista H(x i ) o oletukse mukaa prekompakti, jote myös iide äärellie yhdiste m K = H(x i ) o prekompakti. O siis olemassa pisteet c 1,...,c K Y site, että K i=1 B(c j, ε 4 ). j=1 O olemassa m eri fuktiota äärellisestä joukosta {x 1,...,x m } äärellisee joukkoo {c 1,...,c }. Olkoo Φ kaikkie äide fuktioide joukko: Kullaki ϕ Φ merkitää Φ=F({x 1,...,x m }, {c 1,...,c }) L ϕ = {f H d(f(xi ),ϕ(x i )) < ε 4 x i {x 1,...,x m }}. Useimmat joukoista L ϕ voivat hyviki olla tyhjiä, mutta eivät kaikki, itse asiassaha joukkoje L ϕ yhdiste o koko H. Lause o todistettu, jos oistumme äyttämää, että kuki joukko L ϕ mahtuu johoki ε säteisee palloo avaruudessa C(X, Y ). Tämäki o melko ilmeistä, sillä keskipisteeksi käy mikä tahasa L ϕ : alkio. Jos imittäi f ja g L ϕ ja x X, ii valitaa x i site, että x B(x i,r xi ), jolloi d(f(x),f(x i )) < ε 4 d(g(x),g(x i )) < ε 4. ja Koska f ja g L ϕ, ii f(x i )jag(x i ) ovat kumpiki eitää etäisyydellä ε 4 pisteestä ϕ(x i )jasiis jote kolmioepäyhtälö ojalla d(f(x i ),g(x i )) ε 2, d(f(x),g(x)) d(f(x),f(x i )) + d(f(x i ),g(x i )) + d(g(x i ),g(x)) <ε. Ascoli lauseesta o usei käytössä erikoistapaus, jossa maalipuole avaruus Y o R (tai yhtä lailla K ). Tässä o oleellista, että maalipuolella prekompaktius yt merkitsee samaa kui relatiivie (joo-) kompaktisuus, oha R täydellie. Myös C(X, Y ) otässä tilateessa täydellie, jote sielläki prekompaktius liittyy jooje osajooihi:

50 f ( ) 15 Seuraus (Ascoli ja Arzelá 96 lemma). Olkoo H pisteittäi rajoitettu ja yhtäjatkuva perhe fuktioita X R, missä X o kompakti metrie avaruus. Tällöi jokaisella joolla (f i ) i N Ho osajoo, joka suppeee tasaisesti kohti jotaki jatkuvaa fuktiota f : X R Normaaliperhepäättely ( ). Sovellus Kompleksiaalyysissä Ascoli ja Arzelá lemmaa o tapaa saoa ormaaliperhepäättelyksi. Tarkasteltavaa o tällöi yleesä joo jossaki alueessa Ω C ei siis kompaktissa joukossa määriteltyjä aalyyttisiä fuktioita f i :Ω C. Oletuksea o, että joo o tasaisesti rajoitettu kompakteissa joukoissa, ts. että jokaisella kompaktilla K Ω o olemassa vakio M K > site, että kaikilla x K ja i N o f i (x) M K. Väitteeä o, että o olemassa aalyyttie fuktio f :Ω C, jota kohti joki osajoo (f ij ) j N suppeee tasaisesti jokaisessa kompaktissa joukossa K Ω. Päättely perustuu Ascoli ja Arzelá lemma lisäksi siihe Cauchy itegraalikaavasta saatavaa tietoo, että kompakteissa joukoissa tasaisesti rajoitettu fuktioperhe o yhtäjatkuva, ja että aalyyttisistä fuktioista koostuva joo rajaarvo o aalyyttie, jos suppeemie o tasaista kompakteissa osajoukoissa Kompakteista itegraalioperaattoreista ( ). Sovellus Jos itegraaliydi K :[, 1] 2 R o jatkuva, ii itegraalioperaattori A : C([, 1], R) C([, 1], R) Af(t) = 1 K(s, t)f(s) ds o kompakti operaattori 97, ts. avaruude C[, 1] = C([, 1], R) yksikköpallo kuva H = A(B C[,1] (, 1)) = {Af f 1}. o relatiivikompakti joukko maaliavaruudessa C([, 1], R). Todistus. Koska C([, 1], R) o täydellie, ovat se prekompaktit ja relatiivikompaktit joukot samoja. [, 1] o kompakti, R täydellie ja yksikköpallo kuva H o perhe jatkuvia fuktioita [, 1] R. Fuktioperhee H prekompaktisuus seuraa siis Ascoli ja Arzelá lemmasta, mikäli perhe o pisteittäi rajoitettu ja yhtäjatkuva. 96 Cesare Arzelá , Italia. 97 Kompaktit operaattorit ovat moi tavoi lähellä äärellisulotteisia. Palaamme asiaa. [Ri].