MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina opia, eä jo kappaleen paikkakoordinaai kavaa, en vauhi on poiiivia. Olkoon ajanhekellä kappale paikaa () ja ajanhekellä + h (h voi olla negaiivinenkin) paikaa ( + h). Laueke ( + h) () h anaa kappaleen kekimääräien vauhdin aikavälillä [, + h] ja raja-arvo ( + h) () lim h h anaa puoleaan kappaleen hekellien vauhdin kellon ollea ämälleen. Voidaan ii ukoa, ehkäpä ymmärääkin, eä kappaleen vauhi on en paikkaa ilmaievan funkion () derivaaa. Niin anoua korkeammaa maemaiikaa (fyiikaa), miä oeaan nopeuden vekoriluonne paremmin huomioon, anoaan nopeuden olevan kappaleen paikkavekorin r aikaderivaaa v = r () Kun ryhdyään ajaelemaan aiaa oiin päin, voidaan analogiei pina-alaaioiden kana pääyä iihen ulokeen, eä jo kappaleen nopeu ajan funkiona unneaan, niin kappaleen paikkakoordinaai liiyy varmai nopeuden inegraali-funkioon. Kappaleen nopeuden (vauhdin, liike yhdeä dimenioa) muuumia luonnehdiaan anomalla, eä kappaleella on kiihyvyyä (acceleraion). Lauekkeia v( + h) v() v( + h) v() ja lim h h h edellinen anaa kappaleen kekimääräien kiihyvyyden ajaa h ja jälkimmäinen hekellien kiihyvyyden, kun kello on aan. Sien kiihyvyy on nopeuden aika-derivaaa ja amalla paikkakoordinaain derivaaan derivaaa (8)
MAA. Arkiia ovellukia a () = v = (). Ykiuloeiea liikkeeä anou yhälö voidaan eiää ilman vekorimerkkejä. Jo kappaleen kiihyvyy unneaan, niin on ilmeiä, eä en vauhi on likeieä yheydeä kiihyvyyden inegraalifunkioon. Oleellia näiä liikeaioia on e, eä äyyy unea jonkin uureen aikariippuvuu maemaaien ämälliei. Käyeäänkö käyännön lakuehäviä ny ien inegraalifunkioa vai määräyä inegraalia, on paljoli amanekevää. Oin aia elvinnee euraavaa eimerkiä. Eim. 7. Kappale on ajanhekellä = [] -akelin pieeä [m], en vauhi on v -akelin poiiivieen uunaan ja kappaleen kiihyvyy on vakio a >. Määriä kappaleen vauhi ja paikkakoordinaai ajanhekellä. v Kiihyvyyden kuvaaja on ien oheien näköinen a a Koka kiihyvyy on vauhdin (nopeuden) derivaaa, niin v () = ad = a + C Inegroimivakio kiinniyy ny iiä ehdoa, eä v() = v v() = a + C C = v v() = v + a v ja ien v (8)
MAA. Arkiia ovellukia Koka vauhi (nopeu) on paikan derivaaa, niin a () = (v()d = (v + a)d = v + + C. Inegroimivakio kiinniyy ny iiä ehdoa, eä () = eli ijoiu anaa, joa C = ja a () = + v + Saadu kaava ova fyyikoille uuja, ja oveluva aaiei kiihyvän liikkeen probleemoiden rakaiemieen. Eim. 8. Kappale on ajanhekellä = [] -akelin pieeä 6 [m], en vauhi v() =.5 m/, ii -akelin negaiivieen uunaan. Kappaleen kiihyvyy noudaaa euraavaa funkioa: m m, < a() = 4, Määriä kappaleen vauhi ja paikkakoordinaai ajanhekellä. Piirrä kaikia niiä kuvaaja ja piirrä myö kiihyvyyfunkion kuvaaja. Kiihyvyy ajan funkiona,5,5,5 4 5 6 -,5 (8)
MAA. Arkiia ovellukia v () = ad < + = m m ( )d, m m C v() 4 = 4 C, C,, < Inegroimivakio C kiinniyy ny iiä ehdoa, eä v() =.5 m/. Huomaaan hei, eä C =.5 m/. Tämä ieo ioo ny vauhdin aika-välillä, ja eriyiei m () v( ) = () 4 m.5 = m / ja ämä ieo puoleaan määrää hei en, eä C = m/, koka vauhdin v() ulee olla jakuva funkio. m m.5m, < 4 v() = m, Kappaleen vauhi ajan funkiona,5,5,5 -,5 - -,5 - -,5-4 5 6 Kuvaajaa ei ole jakeu (ilan ääämieki) ekuniin aakka, mua jo piirreäiiin, vaakauorana e jakuii, ja en arvo olii v = m/. 4(8)
MAA. Arkiia ovellukia () = (v() d = m m ( 4 m,.5m )d, < = 4 m m.5 m 4 = m + C4, + C, < Inegroimivakio C kiinniyy iiä ehdoa, eä () = 6 m. Huomaaan aa helpoi, eä C =6 m. Tämä ieo ioo kappaleen paikan aikavälillä, ja eriyiei 4 m () m ().5 m () = + 6m = 5.5m. 4 Funkion () ulee olla jakuva, ja äen (vaikka ei ämälliiä rajaarvoarkaeluja uorieaiikaan), m + C4 = 5.5 m C4 = 9.5 m 4 m m.5 m + 6 m, 4 () = m + 9.5 m, < Tää kaikki dimenioarkaelu (ii uureiden laadu, ykikö) on käiely varin perueelliei. Paikkakoordinaain aikariippuvuu euraavalla ivulla. 5(8)
MAA. Arkiia ovellukia 5 5 5 5 4 6 8 Eim. 9. Funkio f määriellään yhälöllä f() = d. Piirrä funkion f kuvaaja ja eiä en laueke inegroidua muodoa. Tää ehävää ilanne on ellainen, eä inegroimimuuuja juokee aina välin. Inegroiavaa funkioa on käielävä erikeen kolmea oaa en mukaan, onko <, ai onko e > aikka kuuluuko e välille [, ]. Normaali ieiarvojen poiaminen äyyy aina ehdä hei aluki:, kun =, kun <. Olkoon <. Tällöin koko inegroimivälillä > ja f () = d = ( )d = /( ) = 6(8)
MAA. Arkiia ovellukia Olkoon < <. Tällä välillä on pieeeen aakka < ja ää kakkoeen aakka on > : f () = d = ( )d + ( )d = = /( ) + / ( ) = + Olkoon >. Tällöin koko inegroimivälillä on > ja f () = d = ( )d = /( ) =. 7 6 5 4 - - - 4 5 Eim. 4. Funkio f määriellään yhälöllä f() = g ()d, miä g on kaikkialla derivoiuva funkio. Määriä f () ja f (). Kyeeä on hivenen eoreeinen apau, joka vaaii ymmärryä iiä, eä kun määräy inegraali käieynä ylärajana (ykinkeraieki) funkioki derivoidaan, aadaan aia ilmaiua eimerkin avulla euraavai: 7(8)
MAA. Arkiia ovellukia h () = r()d h () = r() a Tämä aia on eoreeiei johdeu ekä pina-alanfunkion yheydeä, eä yleiemminkin. Tehävän eimerkiä f() = g ()d inegroimimuuuja juokee välin, mua koka muuuja eiinyy myö ie inegraalia, funkioa h() kokevaa uloa ei voi käyää uoraan. Inegroinnin kannala ny kuienkin muuuja on vakio ja e voidaan uoda inegraalimerkin eeen (niin uein kuin on varoieukin, eei :n lauekea miään apaukea aa kuljeella akaa eeen eikä edeä aake). On angen uuri ero iinä, pääyykö inegroinikäky ymboliin d vai d. Sii f () = g()d = g()d. Kyeeä on ii muuujan ja inegraalin ulo, joka derivoidaan normaalii ulon derivoinikaavaa käyäen: f ( ) = g( ) d f ( ) = g( ) d + g( ) f ( ) = g( ) + g ( ) + g( ) = g( ) + g ( ) ja 8(8)