KJR-C2003 Virtausmekaniikan perusteet, K2017 Tentti, perjantai 26.5.2017 8:00-12:00 Lue tehtävät huolellisesti. Selitä tehtävissä eri vaiheet. Pelkät kaavat ja ratkaisu eivät riitä täysiin pisteisiin. Arvioinnin pääpiirteet on kuvattu kunkin tehtävän osalta alla. Pienten virheiden osalta olen käyttänyt ns. miinusperiaatetta, jossa pieni virhe (tyypillisesti laskuvirhe) tuottaa yhden miinuksen. Jos saman päätehtävän alla (1-5) on useampi miinus, lähtee tehtävästä puoli pistettä jokaista kahta miinusta kohden (kahdesta puoli pistettä, neljästä piste jne.). 1. Vastaa lyhyesti (enintään muutama virke) seuraaviin kysymyksiin. Jokaisesta kohdasta 1p. a) Mitä ominaisuutta fluidin viskositeetti kuvaa? Viskositeetti liittyy fluidin juoksevuuteen eli sen kykyyn vastustaa muodonmuutosta. Jos tämä ajatus on tuotu järjellisesti esille, tulee tästä yksi piste. b) Mitä eroa on kontrollitilavuudella ja systeemillä? Kontrollitilavuus on valittu kuvitteellinen tilavuus, jonka läpi voi tapahtua virtausta. Systeemi on valittu osa virtaavaa ainetta. Pisteen vastaus edellyttää, että on tuotu selvästi esille se, että systeemi liittyy materiaaliin ja kontrollitilavuus on tästä riippumaton, vapaasti valittava tilavuus. c) Selitä, mistä termeistä Navier-Stokes yhtälöt koostuvat eli mitä eri termit kuvaavat. Navier-Stokes yhtälöt kuvaavat nestealkion liikemäärän tasetta eli Newtonin toista lakia eli nestealkion kiihtyvyyden ja siihen vaikuttavien voimien yhteyttä. Yhtälöissä on tyypillisesti toisella puolella nestealkion kiihtyvyys, joka Eulerin kuvaustavalla koostuu lokaali- ja konvektiokiihtyvyydestä. Toisella puolella on nestealkioon vaikuttavat voimat, joita ovat jännitysten (paine ja leikkausjännitykset) ja kenttävoiman (tyypillisesti painovoima) aiheuttamat voimat. Puoli pistettä saa yhtälön fysikaalisesta merkityksestä ja puoli pistettä oikeista termeistä. d) Miten virtausta kuvaavat yhtälöt ovat yksinkertaistettavissa, jos virtaus oletetaan pyörteettömäksi? Tässä on oleellista se, että virtausta kuvaava yhtälö on pyörteettömässä tapauksessa Laplacen yhtälö. Laplacen yhtälö seuraa potentiaalifunktion tapauksessa jatkuvuusyhtälöstä ja virtafunktion tapauksessa pyörteettömyysehdosta. Liikemäärän (tai energian) säilymistä kuvaa tällöin Bernoullin yhtälö, joka on pyörteettömässä tapauksessa sovellettavissa minkä tahansa kahden pisteen välillä. Pisteen vastaus edellyttää, että molemmat yhtälöt on huomioitu vastauksessa. e) Miten virtaviivaisen ja tylpän kappaleen vastukset eroavat paine- ja kitkavastusosuuksien osalta ja miksi? Tylpän kappaleen tapauksessa suuri osa vastuksesta muodostuu painevastuksesta, joka liittyy virtauksen irtoamiseen. Virtaviivaisen kappaleen tapauksessa painevastuksen merkitys on vähäisempi ja vastukseen vaikuttaa pääasiassa rajakerroksen aiheuttama kitkavastus. Tylpän ja virtaviivaisen kappaleen vastuksen kuvauksesta tulee puoli pistettä kummastakin. f) Miten rajakerros vaikuttaa virtaviivoihin rajakerroksen ulkopuolella? Rajakerros työntää virtaviivoja kauemmas kappaleen pinnasta siirtymäpaksuuden verran. Pisteen vastaukseen riittää, että virtaviivojen siirtyminen ulospäin on tuotu jotenkin järjellisesti esille.
2. Oletetaan, että putkessa virtaavan nesteen synnyttämä leikkausjännitys seinällä t riippuu putken halkaisijasta D, tilavuusvirrasta Q, fluidin tiheydestä r ja kinemaattisesta viskositeetista u. Laboratoriokokeet halkaisijaltaan 6 cm putkella antoivat kuvan mukaiset tiedot. a) Määritä dimensioton riippuvuus tässä tapauksessa käyttäen toistuvien muuttujien menetelmää. (4p) Tehtävä ratkeaa suoraan käymällä läpi toistuvien muuttujien menetelmän eri vaiheet. Oleellista on määrittää ensiksi muuttujien yksiköt oikein (1 piste) ja valita oikea määrä toistuvia muuttujia siten, että ne ovat riippumattomia ja että leikkausjännitystä ei valita toistuvaksi muuttujaksi (1 piste). Huomaa esimerkiksi, että halkaisija, tilavuusvirta ja kinemaattinen viskositeetti eivät ole riippumattomia. Tämän jälkeen tehdään ei-toistuvat muuttujat dimensiottomiksi. Tästä tulee yksi piste, jos periaate on oikein eli määritetty dimensiottomat muuttujat ei-toistuvien ja toistuvien muuttujien tulona, jossa on tuntemattomat potenssit. Oikeasta tuloksesta eli dimensiottomista muuttujista ja riippuvuudesta tulee yksi piste. b) Määritä dimensioanalyysin ja mallidatan avulla leikkausjännitys virtaukselle, jossa putken halkaisija on 9,1cm ja tilavuusvirta on 0,042 m³/s. Virtaava neste on molemmissa tapauksissa vettä. (2p) Tässä on kyse similaarisuudesta ja siitä, miten dimensiottomia suureita voidaan käyttää tulosten skaalaamiseen kahden mittakaavan välillä. Jos dimensioton tilavuusvirta on molemmissa tapauksissa sama, on myös dimensioton leikkausjännitys sama. Nämä ehdot antavat skaalauslait. Mallidatasta täytyy siis löytää ensiksi tilavuusvirta, joka vastaa kysyttyä tilannetta (0,5 pistettä), katsoa käyrästä tätä vastaava mallidatan leikkausjännitys (0,5 pistettä) ja skaalata tämä leikkausjännitys dimensiottoman leikkausjännityksen avulla kysytylle putkelle (1 piste). Leikkausjännityksen tulisi olla noin 0,6 Pa. Kuva 1: Tehtävä 2 (Young et al, 2012)
3. Keskipakopumpun impelleri pyörii nopeudella 1200 rpm kuvan mukaisesti. Fluidi tulee pumppuun pyörimisakselin suuntaisesti ja lähtee pumpusta 30 o asteen kulmassa säteeseen nähden. Absoluuttinen nopeus V 2 ulosvirtauksessa on 30 m/s. a) Piirrä nopeuskolmio ulosvirtauksessa ja arvioi, mikä on pumpun siiven kulma ulosvirtauksessa suhteessa kehän tangenttiin. (2p) Oikein piirretystä nopeuskolmiosta tulee yksi piste. Siiven kulma voidaan arvioida suhteellisen nopeuden suunnan avulla, koska voidaan olettaa, että virtaus suhteessa impelleriin on suurin piirtein siiven suuntainen. Tämän periaatteesta tulee puoli pistettä ja oikeasta vastauksesta puoli pistettä. Kulma on noin 82 tai 98 astetta. b) Laske pumpun momentti, jos fluidin tiheys on 1000 kg/m 3? (2p) Pumpun momentti voidaan määrittää kulmaliikemäärän säilymisen perusteella. Momentti on yhtä suuri kuin kulmaliikemäärävuon erotus ulos- ja sisäänvirtauksien välillä. Kulmaliikemäärävuo riippuu absoluuttisen nopeuden tangentiaalikomponenteista sekä massavirrasta, jotka tunnetaan. Kulmaliikemäärän taseen käyttämisestä, nopeuskomponenttien määrittämisestä, massavirran määrittämisestä ja oikeasta ratkaisusta tulee kustakin puoli pistettä. Momentti on noin 1,38 knm. c) Laske pumpun teho ja vastaava nostokorkeus? (2p) Pumpun teho saadaan kertomalla momentti kulmanopeudella. Nostokorkeus voidaan määrittää käyttäen energiayhtälöä, koska nostokorkeus kuvaa pumpun systeemiin tuomaa energiaa. Tämän perusteella nostokorkeus saadaan tehon ja tilavuusvirran avulla. Tehon laskennan ja nostokorkeuden laskennan periaatteesta saa kummastakin puoli pistettä ja oikeasta tehosta ja nostokorkeudesta kummastakin puoli pistettä. Pumpun teho on noin 173 kw ja nostokorkeus noin 28,8 m. Kuva 2: Tehtävä 3 (Young et al, 2012)
4. Vesi virtaa kuvan mukaisesti kahtena vapaana suihkuna putkeen kiinnitetyn t-liittimen kautta. Oletetaan, että viskositeetin ja painovoiman vaikutus on merkityksetön. Tehtävänäsi on ratkaista putken kohdistama tukivoima liittimeen. a) Piirrä kontrollitilavuus, jota voit käyttää voimien ratkaisemiseen. (1p) Tässä riittää, että kontrollitilavuus on järkevästi valittu. Tämä edellyttää, että kontrollitilavuus kulkee putken ja liittimen välistä. Liitin voi sisältyä kontrollitilavuuteen tai olla sisältymättä. Tämä valinta pitää kuitenkin osata ottaa huomioon kohdassa b tai tästä sakotetaan. b) Kuvaa kaikki valitsemaasi kontrollitilavuuteen vaikuttavat voimat. (1p) Jos kontrollitilavuudeksi on valittu fluidi ja liitin, vaikuttaa siihen ainoastaan painevoima sisäänvirtauksessa ja putken liittimeen kohdistama tukivoima. Jos kontrollitilavuudeksi on valittu pelkkä fluidi, vaikuttaa siihen sama painevoima sisäänvirtauksessa sekä liittimen fluidiin kohdistama voima. c) Määritä tukivoiman x- ja y-komponentit. (4p) Ratkaisu riippuu valitusta kontrollitilavuudesta. Jos liitin sisältyy kontrollitilavuuteen, on ratkaisu suoraviivainen ja liikemäärätase kontrollitilavuudelle antaa suoraan kysytyn tukivoiman. Jos kontrollitilavuus sisältää pelkän fluidin, pitää tämän lisäksi kirjoittaa liittimelle oma tasapainoyhtälö, jossa on fluidin liittimeen kohdistama voima ja putken liittimeen kohdistama kysytty tukivoima. Ratkaisu y- suunnassa on suoraviivainen, koska kaikki tarvittavat suureet on annettu tehtävänannossa. Tämän osalta puoli pistettä tulee oikeista voimakomponenteista, puoli pistettä oikeasta liikemäärävuosta ja puoli pistettä oikeasta ratkaisusta. Riippumatta lähestymistavasta, pitää x-suuntaista komponenttia varten tuntematon nopeus sisäänvirtauksessa osata ratkaista jatkuvuusyhtälöstä ja tuntematon paine sisäänvirtauksessa Bernoullin yhtälöstä. Molemmista saa puoli pistettä. Oikeista voimista tulee puoli pistettä, oikeista liikemäärävuotermeistä puoli pistettä ja oikeasta ratkaisusta puoli pistettä. Tukivoima on 72 kn vasemmalle ja 68 kn ylöspäin. Kuva 3: Tehtävä 4 (Young et al, 2012)
5. Vettä (tiheys 1000 kg/m 3 ) pumpataan suuresta tankista (kuva). Painehäviöiden tiedetään olevan 4rV 2 /2 ja pumpun nostokorkeus on h p = 20 40Q 2, jossa h p :n yksikkö on m ja Q:n m 3 /s. Tehtävänäsi on määrittää tilavuusvirta ja pumpun teho. a) Kuvaa tunnetut suureet ja yhtälöt, joita tarvitset tehtävän ratkaisemiseksi. (2p) Tunnettuja suureita ovat paine tankin pinnalla (ilmanpaine tai nolla), paine suihkussa (ilmanpaine tai nolla; vapaa suihku), nopeus tankin pinnalla, joka voidaan olettaa nollaksi, koska tankki on suuri, sekä asemakorkeudet. Ratkaisemiseen tarvitaan laajennettua Bernoullin yhtälöä sekä jatkuvuusyhtälöä. Suureista tulee piste ja yhtälöistä toinen piste. b) Määritä tilavuusvirta. (2p) Ratkaisu perustuu laajennetun Bernoullin yhtälön soveltamiseen. Periaatteen osalta on oleellista, että on osattu käyttää oikeaa muotoa laajennetusta Bernoullin yhtälöstä, asettaa oikeat termit nolliksi, käyttää häviötä ja nousukorkeutta oikein siten, että yksiköt täsmäävät yhtälön muiden termien kanssa sekä hyödyntää jatkuvuusyhtälöä tilavuusvirran sijoittamiseksi yhtälöön. Oikea tilavuusvirta on noin 0,087 m 3 /s. Puoli pistettä tulee siitä, että on osattu käyttää tunnettuja suureita laajennetussa Bernoullin yhtälössä, puoli pistettä tulee häviöiden ja puoli pistettä pumpun nostokorkeuden yhdistämisestä yhtälöön oikeassa muodossa yhden tuntemattoman funktiona ja oikeasta vastauksesta tulee vielä puoli pistettä. c) Määritä pumpun teho. (2p) Teho saadaan suoraviivaisesti nostokorkeuden ja massavirran avulla, kun tilavuusvirta tunnetaan. Teho on noin 16,8 kw. Tehon ja nostokorkeuden välisestä yhteydestä tulee yksi piste, nostokorkeuden laskemisesta tilavuusvirrasta tulee puoli pistettä ja oikeasta tehosta puoli pistettä. Kuva 4: Tehtävä 5 (Young et al, 2012)