ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa
Luentoviikko 6 Tavoitteet Sähkömagneettinen induktio Induktiokokeet Faradayn laki Lenzin laki Liikkeen tuottama smv Indusoituneet sähkökentät Pyörrevirrat Induktanssi Keskinäisinduktanssi Itseisinduktanssi ja kuristimet Magneettikentän energia Vaihtovirta Muuntajat a A B E b 2 (26)
Luentoviikko 6 Tavoitteet Tavoitteena on oppia tuntemaan kokeellista todistusaineistoa, joka osoittaa, että muuttuva magneettikenttä indusoi sähkömotorisen voiman miten Faradayn laki liittää silmukkaan indusoituvan smv:n ja silmukan läpi kulkevan magneettivuon muutoksen miten indusoituneen smv:n suunta määritetään miten lasketaan magneettikentän läpi liikkuvaan johtimeen indusoituva smv miten muuttuva magneettivuo tuottaa sähkökentän, joka on sangen toisenlainen kuin varausjoukon tuottama sähkökenttä miten aikariippuva virta yhdessä kelassa indusoi smv:n toiseen, erilliseen kelaan miten piiriin indusoituva smv liittyy virran muutosnopeuteen samassa piirissä miten lasketaan magneettikenttään varastoitunut energia miksi muuntajat ovat hyödyllisiä ja miten ne toimivat 3 (26)
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Induktiokokeet Ajatuskoe Asetetaan kela sähkömagneetin napojen väliin ja mitataan kelan virtaa 1. Sähkömagneetissa ei virtaa B = 0 mittauskelassa ei kulje virtaa 2. Sähkömagneetti kytketään päälle: kelassa kulkee hetken virta, kun B kasvaa 3. B tasoittuu vakioarvoon: kelan virta häviää 4. Kelaa vedetään pois magneettikentästä, käännellään tai sen pinta-alaa muutetaan: kelassa virta kulkee muutoksen aikana 5. Kelan kierroksia puretaan: kelassa kulkee virta muutoksen aikana 6. Magneetti sammutetaan: kelassa kulkee virta hetkellisesti 7. Mitä nopeampia muutokset ovat, sitä suurempi kelan virta on 8. Vaihdetaan kelan materiaali (kelan resistanssi R): virta 1/R indusoituva smv ei riipu kelan materiaalista [virran esiintyminen kielii smv:n lähteen olemassaolosta] Johtopäätös: kelan läpi menevän magneettivuon muutos aiheuttaa indusoituneen sähkömotorisen voiman (ja indusoi piiriin virran) 4 (26)
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Faradayn laki Faradayn (induktio)laki Taustalla Michael Faradayn ja Joseph Henryn tekemät kokeet 1830-luvulla Induktiokokeissa muuttuvana suureena on magneettivuo Φ B : Φ B = B d A = B cos φ da Silmukaan indusoitunut sähkömotorinen voima E käy ilmi Faradayn induktiolaista: E = dφ B = d [ ] B d A Suljettuun silmukkaan indusoitunut sähkömotorinen voima on silmukan läpi kulkevan magneettivuon negatiivinen aikaderivaatta 5 (26)
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Faradayn laki Indusoituneen smv:n suunta Tapa 1: 1. Kiinnitä pinta-alavektorin A (positiivinen) suunta 2. Määritä A:n ja B:n suunnista magneettivuon Φ B ja aikaderivaatan dφ B / etumerkit 3. Kasvava vuo indusoi negatiivisen smv:n (ja virran), pienenevä vuo indusoi positiivisen smv:n (ja virran) 4. Sovella oikean käden sääntöä: kun peukalo osoittaa A:n suuntaan, sormet osoittavat positiivisen smv:n suunnan Jos tarkasteltava silmukka on johtava, indusoitunut smv tuottaa siihen virran Indusoitunut virta synnyttää magneettikentän vastakkaiseen suuntaan kuin ulkoisen kentän muutos Tapa 2: Valitse A:n suunta (= peukalo), kiinnitä virran oletussuunta (= sormet) oikean käden säännöllä, laske oikein (muista Faradayn lain miinusmerkki) ja voilà virran etumerkki on automaattisesti oikein (miinus = virta meneekin toiseen suuntaan kuin valittiin) 6 (26)
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Faradayn laki Induktiolain sovelluksia Vaihtovirtageneraattori Vuo Φ B = BA cos φ, missä φ = ωt Sähkömotorinen voima A E = dφ B = ωba sin ωt B Φ B :n ja E:n välillä vaihesiirto (90 ) Φ B, E E t Φ B a E b 7 (26)
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Faradayn laki Induktiolain sovelluksia Tasavirtageneraattori Kun roottorisilmukan smv poimitaan ulos kommutaattorin vastakkaisista lohkoista, generaattori tuottaa tasajännitettä Mitä enemmän lohkoja ja silmukoita, sitä lähempänä smv on tasajännitettä A B Φ B, E E t Φ B a E b (Tasavirtamoottorissa syntyvää smv:tä kutsutaan vastasähkömotoriseksi voimaksi) 8 (26)
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Lenzin laki Lenzin laki Lenzin laki usein auttaa indusoituneen smv:n tai virran (= induktiovaikutuksen ) suunnan määrittämisessä ( tapa 3, vrt. kalvo 6) laki sisältyy Maxwellin yhtälöihin (miinusmerkki Faradayn laissa) laki myös liittyy energian säilymiseen Lenzin laki sanoo: Jokaisen magneettisen induktiovaikutuksen suunta on sellainen, että se vastustaa vaikutuksen aiheuttajaa. Vaikutuksen aiheuttaja voi olla paikoillaan olevan piirin läpi kulkevan magneettikentän aikariippuvuudesta aiheutuva vuon muutos, piirin johtimien liikkeestä aiheutuva vuon muutos tai näiden yhdistelmä Virtapiiriin indusoituneen virran suunta on sellainen, että virran luoma magneettikenttä vastustaa virtaa indusoivaa magneettivuon muutosta Magneettikentässä liikkuvaan sauvaan kohdistuu indusoituneen virran vaikutuksesta magneettinen voima, joka vastustaa sauvan liikettä Johtavan virtapiirin tapauksessa Lenzin laki antaa vain indusoituneen virran suunnan virran suuruus riippuu piirin resistanssista 9 (26)
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Liikkeen tuottama sähkömotorinen voima Magneettikentässä liikkuva sauva Johdesauva liikkuu nopeudella v kohtisuorasti magneettikentään nähden Positiiviset varaukset siirtyvät voiman F = q( v B) vaikutuksesta ylöspäin Sauvan päiden välille muodostuva sähkökenttä aiheuttaa voiman q E alaspäin Tasapainossa qe = qvb E = vb V ab = EL = vbl U:n muotoisen, paikallaan olevan johtimen varauksiin ei kohdistu magneettista voimaa Sähkökenttä aiheuttaa virran piiriin I a L b v v Liikkuva sauva on smv:n lähde 10 (26)
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Liikkeen tuottama sähkömotorinen voima Liikkeen tuottama sähkömotorinen voima Kun L ja v ovat kohtisuorassa B:tä vastaan, E = vbl Yleistettynä johdinalkiolle d l ja suljetulle virtapiirille magneettikentässä B saadaan de = ( v B) d l E = ( v B) d l (liike-smv) Kun virtapiirin johdin liikkuu, E = ( v B) dl = dφ B = d B d A, kunhan integrointipinta valitaan sopivasti (eli miten?) 11 (26)
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Liikkeen tuottama sähkömotorinen voima Energia ja työ Äsken määritettiin liukulankageneraattoriin indusoitunut smv V ab = vbl. Jos kuvan silmukan resistanssi on R, indusoitunut virta I = V ab /R ja lämpöteho P = I 2 R. Ulkoinen voima F = ILB liikuttaa johdesauvaa oikealle (eli tekee työtä). Mekaaninen teho P = Fv. Laskemalla huomaa, että mekaaninen teho = lämpöteho, eli sähkögeneraattorit muuttavat mekaanista työtä sähköenergiaksi. Tiedetään, ettei magneettikenttä voi tehdä työtä varaukselle miten magneettikenttä tekee työtä generaattorissa (virta = varausten liikettä)? Liukulankaan syntyy langan etenemissuuntainen sähkökenttä (miten?), joka tekee työtä liikkuville varauksille (ja teho on sama kuin yllä mainittu)! Pohdi myös magneettidipolin potentiaalienergiaa se syntyy virtasilmukalle tehtävästä työstä, mutta miten? I v 12 (26)
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Indusoituneet sähkökentät Mikä liikuttaa varauksia? Mikä saa varaukset liikkeelle, kun vuo paikallaan pysyvän piirin läpi muuttuu? Tarkastellaan pitkää ohutta solenoidia; solenoidin sisällä B = µ 0 ni Vuo kelanulkoisen johdinsilmukan läpi (val. A B) Φ B = BA = µ 0 nia I (t) I(t) A E Jos solenoidin virta I riippuu ajasta, silmukkaan indusoituu smv E = dφ B = µ 0nA di E E Smv:tä vastaa silmukan virta I = E/R 13 (26)
Indusoitunut sähkökenttä Johdinsilmukan kohdalla B = 0 johtimen varauksiin ei kohdistu magneettista voimaa Varausten liikuttajana on (virran tuottaa) ilmeisesti sähkökenttä Ajan myötä muuttuva magneettivuo indusoi sähkökentän Kun varaus q kulkee yhden kierroksen johdinsilmukassa, tämä sähkökenttä tekee työn W = qe 0 Indusoitunut sähkökenttä on ei-sähköstaattinen ja ei-konservatiivinen, koska E d l = E 0 ei-konservatiiviselle kentälle potentiaalin käsite ei ole mielekäs Faradayn laki voidaan kirjoittaa muotoon E d l = dφ B [kun integrointitie on liikkumaton] Huomaa: E = dφ B / toimii aina. Lisäksi F = q E pätee aina. Sähköstaattinen kenttä on aina konservatiivinen.
Sähkömagneettinen induktio (YF 29(1 6)) Pyörrevirrat Pyörrevirrat Tähän asti on tarkasteltu induktioilmiöitä ohuissa virtapiirien johtimissa Monissa sähkökojeissa on massiivisia magneettikentissä liikkuvia johdekappaleita indusoitunut virta kiertää kappaleen koko tilavuudessa kuin pyörteet koskessa: virtoja nimitetään pyörrevirroiksi Esimerkkinä olkoon pyörivä metallilevy, joka on osittain magneettikentässä Muuttuvan magneettivuon (ts. johtimen liikkeen) takia levyyn indusoituu virta magneettikentän kohdalle Paluuvirrat kiertävät pyörteenomaisesti magneettikenttäalueen ulkopuolelta takaisin Magneettikenttä kohdistaa alueellaan pyörrevirtaan voiman, joka (Lenzin lain mukaisesti) pyrkii vastustamaan kiekon liikettä pyörrevirtajarru Muita pyörrevirtojen sovelluksia ovat kiskojarru, induktioliesi, metallinpaljastimet, ainetta rikkomaton testaus &c. Pyörrevirrat aiheuttavat i 2 R-häviöitä muuntajien ja sähkökoneiden raudassa laminoituja eli kerrostettuja rakenteita käytettävä 15 (26)
Induktanssi (YF 30(1 3)) Keskinäisinduktanssi Induktio ja induktanssi Jos kelassa tai virtajohtimessa kulkee virtaa, muodostuu magneettikenttä Jos virta riippuu ajasta, magneettikenttäkin riippuu ajasta Ajasta riippuva magneettikenttä indusoi läheisiin kappaleisiin sähkömotorisen voiman, joka herättää virran, mikäli kappale (a) on johdetta ja (b) muodostaa suljetun silmukan Näiden ensiö- ja toisiovirtojen riippuvuutta toisistaan kuvataan keskinäisinduktanssilla M Muuttuva virta kelassa aiheuttaa muuttuvan magneettikentän, joka indusoi sähkömotorisen voiman myös kelaan itseensä: tämä on itseisinduktanssi L 16 (26)
Induktanssi (YF 30(1 3)) Keskinäisinduktanssi Keskinäisinduktanssi Kela 1: N 1 kierrosta, muuttuva virta i 1 [huomaa pieni kirjain] muuttuva magneettikenttä, eli kelan 2 läpi kulkee muuttuva magneettivuo Kela 2: N 2 kierrosta, virran i 1 synnyttämän magneettivuon indusoima smv kelaan 2 on E 2 = N 2 dφ B2 jos vuo yhden kierroksen läpi on Φ B2, Kela 1 i 1 Kela 2 i 2 Φ B2 Määritellään verrannollisuuskerroin keskinäisinduktanssi M 21 : N 2 Φ B2 = M 21 i 1 N 2 dφ B2 = M 21 di 1 E 2 = M 21 di 1 17 (26)
Induktanssi (YF 30(1 3)) Keskinäisinduktanssi Keskinäisinduktanssi Keskinäisinduktanssi on symmetrinen suure: M 21 = M 12 = M, joten Keskinäisinduktanssi M = N 2Φ B2 i 1 E 1 = M di 2 = N 1Φ B1 i 2 ja E 2 = M di 1 [M] = V s A = Ω s def = henry = H Keskinäisinduktanssista on haittaa sähköpiireissä, koska muuttuva virta yhdessä piirissä voi aiheuttaa ei-toivotun virran toisessa piirissä Keskinäisinduktanssin tärkeä sovelluskohde on muuntaja, jolla vaihtovirtapiireissä nostetaan ja lasketaan jännitteitä 18 (26)
Induktanssi (YF 30(1 3)) Keskinäisinduktanssi Teslan käämi Teslan käämi: sylinterimäisessä kelassa (pituus l, poikkipinta-ala A) on N 1 kierrosta, ja sitä ympäröi toinen kela, jossa on N 2 kierrosta Jos sisäkelassa on virta i 1, kelan keskiakselilla magneettikenttä Keskinäisinduktanssi B 1 = µ 0 n 1 i 1 = µ 0N 1 i 1 l M = N 2Φ B2 i 1 = N 2B 1 A i 1 = N 2 µ 0 N 1 i 1 i 1 l A = µ 0AN 1 N 2 l M riippuu vain geometriasta, ei virrasta Esim. l = 0.50 m, A = 10 cm 2, N 1 = 1000, N 2 = 10 M = 25 µh 19 (26)
Induktanssi (YF 30(1 3)) Itseisinduktanssi ja kuristimet Itseisinduktanssi Tarkastellaan yksittäistä virtapiiriä: piirissä kulkeva virta (i) synnyttää magneettivuon (Φ B ) piirin itsensä läpi; jos virta muuttuu, magneettivuo muuttuu ja piiriin syntyy itseisindusoitunut smv E N-kierroksisen kelan itseisinduktanssi eli vain induktanssi L = NΦ B i [L] = henry Määritelmästä seuraa, että N dφ B = L di, ja edelleen Faradayn lain perusteella E = N dφ B E = L di (itseisindusoitunut smv) Piirin itseisinduktanssi on itseisindusoituneen smv:n suuruus virran yksikkömuutosta kohden 20 (26)
Induktanssi (YF 30(1 3)) Itseisinduktanssi ja kuristimet Kuristin Kuristin eli kela on komponentti, jolla nimenomaisesti on induktanssia (elektroniikan peruskomponentti vastusten ja kondensaattorien kanssa) Kuristimen tehtävä on vastustaa piirin virran muutoksia (vrt. kondensaattori, joka vastustaa jännitteen muutoksia) Tarkastellaan virtapiiriin kytkettyä kelaa Jos piirissä ei olisi kelaa, piirin potentiaalierot summautuisivat nollaksi yhden kierroksen aikana (sähköstaattinen kenttä on konservatiivinen) Kelan lisääminen muuttaa tilanteen: kelassa on (myös) ei-konservatiivinen sähkökenttä E n Oletetaan (lähes) vastukseton kela häviävän pieni kokonaissähkökenttä E c + E n riittää varauksen kuljettamiseen kelan läpi E c (sähkökentän konservatiivinen osa) ei ole nolla kelassa on sähkövarausta 21 (26)
Induktanssi (YF 30(1 3)) Itseisinduktanssi ja kuristimet Kela virtapiirissä Piiriin itseisindusoitunut sähkömotorinen voima (kun virta i kulkee a b kelan induktanssissa L ja E n 0 vain kelassa) E = E n d l = L di E = b a E n d l = L di Koska kela oletettiin vastuksettomaksi, E c + E n = 0 ja E = b ( E c ) dl = (V a V b ) = V ab = L di a V ab = L di Kelan napojen välillä on sähköstaattisten voimien tuottama jännite, jota voi käsitellä vastusten tai kondensaattorien jännitteiden tapaan Itseisindusoitunut smv vastustaa virran muutosta, ei virtaa Esim. loisteputken kanssa on sarjakytkettynä kuristin, joka hillitsee putkensisäisessä plasmassa kulkevaa virtaa ja toisaalta pitää virran kulkemassa, kun vaihtojännitteen napaisuus vaihtuu 22 (26)
Induktanssi (YF 30(1 3)) Itseisinduktanssi ja kuristimet Vastus vs. kela Vastus V ab = ir Virta kulkekoon a b Potentiaaliero V ab > 0 eli potentiaali putoaa kuljettaessa a b Kela V ab = L di Virta kulkekoon a b Jos di/ > 0, potentiaaliero V ab > 0 eli potentiaali putoaa a b Jos di/ < 0, potentiaaliero V ab < 0 eli potentiaali kasvaa a b Jos i on vakio, potentiaaliero V ab = 0 eli potentiaali pysyy samana a b 23 (26)
Induktanssi (YF 30(1 3)) Magneettikentän energia Kelan magneettinen energia Jos kelan napojen välillä on jännite V ab = L di/, kun kelan läpi kulkee kasvava virta i, kelaan syötetään hetkellisteho P = V ab i = Li di/ Kelaan syötetään ajassa energia du = P = Li di Kun virta kasvaa nollasta arvoon I, kelaan syötetään kokonaisenergia I U = L 0 i di = 1 2 LI2 (kelan magneettinen energia) 24 (26)
Induktanssi (YF 30(1 3)) Magneettikentän energia Kelan magneettikentän energia Otetaan esimerkiksi tyhjiötäytteinen toroidi: L µ 0N 2 A 2πr U = 1 2 LI2 = 1 2 Kokonaisenergiaa tilavuudessa V vastaa energiatiheys u = U V U 2πr A = 1 2 µ N 2 I 2 0 (2πr ) 2 µ 0 N 2 A 2πr I2 Toroidin magneettikenttä B = µ 0 NI/(2πr ), joten magneettikentän energiatiheys u = 1 2µ 0 B 2 (vrt. u = 1 2 ε 0E 2 ) Jos kelan sisällä on magneettista ainetta (µ = K m µ 0 ), u = 1 2µ B2 25 (26)
Vaihtovirta (YF 31(6)) Muuntajat Muuntajat Muuntajilla voi nostaa ja laskea vaihtojännitteen tasoa helposti Muuntajassa on kaksi käämitystä (kelaa) yhteisen (rauta)sydämen (K m 1) ympärillä eristettyinä toisistaan Käämivirran synnyttämä magneettikenttä pysyy sydämessä, joten käämien välinen keskinäisinduktanssi maksimoituu Teho syötetään ensiökäämiin ja otetaan ulos toisiokäämistä Ensiökäämiin syötetty vaihtovirta tuottaa sydämeen muuttuvan magneettikentän, joka indusoi toisiokäämiin samantaajuisen virran Faradayn laki antaa ensiö- ja toisiokäämien napajännitteiden V 1, V 2 ja kierroslukujen N 1, N 2 yhteyden (oletetaan resistanssittomat käämit): V 2 V 1 = N 2 N 1 (ideaalimuuntaja = ei tehohäviöitä) Ideaalimuuntajan käämivirroille I 1, I 2 saadaan V 1 I 1 = V 2 I 2 (millaisena toisiokäämiin kytketty vastus R näkyy ensiöpuolella?) 26 (26)