Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1
Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (005)
Otos ja otosjakaumat: Mitä opimme? 1/3 Tilastollie aieisto koostuu tutkimukse kohteita kuvaavie muuttujie havaituista arvoista. Tilastollisissa tutkimusasetelmissa ajatellaa, että joki satuaisilmiö o geeroiut havaitoarvot. Site tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaitoarvoihi liittyy aia epävarmuutta ja satuaisuutta. Havaitoaieisto tilastollisella mallilla tarkoitetaa aieisto geeroide satuaismuuttujie todeäköisyysjakaumaa. Yksikertaisissa tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaitoaieisto keräämisessä käytetää yksikertaista satuaisotataa. TKK (c) Ilkka Melli (005) 3
Otos ja otosjakaumat: Mitä opimme? /3 Koska tilastollise aieisto havaitoarvot ovat joki satuaisilmiö geeroimia, myös kaikki havaioista laskettavat suureet ovat satuaisia. Tämä merkitsee sitä, että esimerkiksi havaitoaieistoa kuvaavat tuusluvut vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. Tuusluvu otosvaihtelua eli tuusluvu satuaista vaihtelua otoksesta toisee voidaa kuvata tuusluvu otosjakaumalla. Otosjakaumie teoria muodostaa teoreettise perusta sekä todeäköisyysjakaumie parametrie estimaattoreide omiaisuuksia että parametreja koskevie hypoteesie testauksessa käytettävie testisuureide omiaisuuksia koskevalle tilastolliselle tutkimukselle. TKK (c) Ilkka Melli (005) 4
Otos ja otosjakaumat: Mitä opimme? 3/3 Esimerkkeiä tarkastellaa seuraavie otostuuslukuje otosjakaumia: Aritmeettie keskiarvo Otosvariassi Suhteellie frekvessi Tarkastelu kohteea ovat sekä ym. otostuuslukuje odotusarvot ja variassit että iide otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (005) 5
Otos ja otosjakaumat: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Tilastolliste aieistoje keräämie ja mittaamie Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tarvitset esitietoja myös seuraavista kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa luvuista: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Jakaumie tuusluvut Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Moiulotteiset satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Ks. myös lukuja: Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (005) 6
Otos ja otosjakaumat: Lisätiedot Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoitia käsitellää luvuissa Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Todeäköisyysjakaumie parametreja koskevie tilastolliste hypoteesie testaamista käsitellää yleisesti luvussa Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Melli (005) 7
Otos ja otosjakaumat >> Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (005) 8
Yksikertaie satuaisotos Avaisaat Havaito Havaitoarvo Tilastollie aieisto Tilastollie malli Todeäköisyysjakauma Yksikertaie satuaisotos TKK (c) Ilkka Melli (005) 9
Yksikertaie satuaisotos Tilastollie aieisto Tilastollie aieisto koostuu tutkimukse kohteita kuvaavie muuttujie havaituista arvoista. Tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaitoarvoihi liittyy aia epävarmuutta ja satuaisuutta. Seurauksia: (i) Tilastollisissa tutkimusasetelmissa ajatellaa, että havaitoarvot o geeroiut ilmiö, joka o luoteeltaa satuaie. (ii) Tilastollise tutkimukse kohteita kuvaavat muuttujat tulkitaa tilastollisissa tutkimusasetelmissa satuaismuuttujiksi ja havaitoarvot tulkitaa äide satuaismuuttujie realisoitueiksi arvoiksi. TKK (c) Ilkka Melli (005) 10
Yksikertaie satuaisotos Tilastollie malli Tilastollisella mallilla tarkoitetaa tutkimukse kohteita kuvaavie satuaismuuttujie todeäköisyysjakaumaa, joka ajatellaa geeroiee ko. satuaismuuttujie havaitut arvot. Havaitoarvoje ajatellaa sytyee arpomalla tilastollisea mallia käytetystä todeäköisyysjakaumasta saatavi todeäköisyyksi. Huomautus: Todeäköisyysjakaumat riippuvat tavallisesti parametreista eli vakioista, joide arvoja ei yleesä tueta. TKK (c) Ilkka Melli (005) 11
Yksikertaie satuaisotos Tilastolliset mallit ja tilastollie päättely Ku tilastollista mallia sovelletaa jotaki reaalimaailma ilmiötä kuvaava havaitoaieisto aalysoitii, kohdataa tavallisesti seuraavat malli parametreja koskevat ogelmat: (i) Parametrie arvoja ei tueta ja e o estimoitava eli arvioitava havaitoaieistosta. (ii) Parametrie arvoista o esitetty oletuksia tai väitteitä, joita halutaa testata eli asettaa koetteelle havaitoaieistosta saatua iformaatiota vastaa. Tilastolliste mallie parametrie estimoiti ja testaus muodostavat keskeise osa tilastollista päättelyä. TKK (c) Ilkka Melli (005) 1
Yksikertaie satuaisotos Satuaisotos ja satuaisotata Satuaisotos poimitaa arpomalla havaitoyksiköt perusjoukosta otoksee. Arpomisessa käytettävää meetelmää kutsutaa satuaisotaaksi. Satuaisotaassa sattuma määrää mitkä perusjouko alkioista tulevat otoksee. TKK (c) Ilkka Melli (005) 13
Yksikertaie satuaisotos Satuaisotata: Kommetteja Jos havaitoyksiköt poimitaa perusjoukosta satuaisotaalla, pätee seuraava: (i) Havaitoyksiköitä kuvaavie muuttujie havaitut arvot ovat satuaisia siiä mielessä, että e vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. (ii) Kaikki havaitoyksiköitä kuvaavie muuttujie havaituista arvoista lasketut tuusluvut ovat satuaisia siiä mielessä, että e vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (005) 14
Yksikertaie satuaisotos Yksikertaie satuaisotos Olkoot X 1, X,, X riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x) Tällöi satuaismuuttujat X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse jakaumasta f(x). TKK (c) Ilkka Melli (005) 15
Yksikertaie satuaisotos Havaiot ja havaitoarvot Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x). Kutsumme satuaismuuttujia X 1, X,, X tavallisesti havaioiksi. Otokse poimimise jälkee satuaismuuttujat X 1, X,, X saavat havaituiksi arvoiksee havaitoarvot x 1, x,, x Merkitää: X 1 = x 1, X = x,, X = x TKK (c) Ilkka Melli (005) 16
Yksikertaie satuaisotos Yksikertaie satuaisotos: Kommetteja 1/ Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x). Tällöi havaitoarvot x 1, x,, x o saatu toistamalla arvotaa toisistaa riippumattomi toistoi kertaa samoi, jakaumasta f(x) saatavi todeäköisyyksi. Havaitoarvot x 1, x,, x ovat kiiteitä eli eisatuaisia, mutta e vaihtelevat toisistaa riippumatta ja satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (005) 17
Yksikertaie satuaisotos Yksikertaie satuaisotos: Kommetteja / Satuaisuus liittyy yksikertaisessa satuaisotaassa siihe, että havaitoarvot vaihtelevat toisistaa riippumatta ja satuaisesti otoksesta toisee. Satuaisuus ei siis liity otaa tuloksea saatuihi havaitoarvoihi, vaa otokse poimitatapaa. TKK (c) Ilkka Melli (005) 18
Yksikertaie satuaisotos Tilastollie malli yksikertaiselle satuaisotokselle 1/ Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x). Satuaismuuttujie X 1, X,, X yhteisjakauma muodostaa tilastollise malli havaitoarvoje satuaiselle vaihtelulle otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (005) 19
Yksikertaie satuaisotos Tilastollie malli yksikertaiselle satuaisotokselle / Koska satuaismuuttujat X 1, X,, X o oletettu riippumattomiksi, ii satuaismuuttujie X 1, X,, X yhteisjakauma o muotoa f ( x1, x,, x) = f( x1) f( x) f( x) jossa X f( x ), i = 1,,, i i TKK (c) Ilkka Melli (005) 0
Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos >> Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (005) 1
Otostuusluvut ja otosjakaumat Avaisaat Otosjakauma Otostuusluvut Tilastollie malli Yksikertaie satuaisotos TKK (c) Ilkka Melli (005)
Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut 1/3 Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta, joka pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio o f(x). Tällöi havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x): X1, X,, X X f( x), i = 1,,, i TKK (c) Ilkka Melli (005) 3
Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut /3 Olkoo T = g(x 1, X,, X ) joki satuaismuuttujie X 1, X,, X (mitallie) fuktio. Satuaismuuttujaa T kutsutaa (otos-) tuusluvuksi. TKK (c) Ilkka Melli (005) 4
Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut 3/3 Oletetaa, että otokse poimimise jälkee satuaismuuttujat X 1, X,, X saavat havaituiksi arvoiksee havaitoarvot x 1, x,, x : X 1 = x 1, X = x,, X = x Tällöi tuusluku T = g(x 1, X,, X ) saa havaituksi arvoksee t fuktio g arvo pisteessä (x 1, x,, x ): t = g(x 1, x,, x ) TKK (c) Ilkka Melli (005) 5
Otostuusluvut ja otosjakaumat Otosjakauma Oletetaa, että satuaismuuttujat X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse jakaumasta f(x) ja olkoo fuktio T = g(x 1, X,, X ) joki otostuusluku. Tuusluvu T jakaumaa kutsutaa tuusluvu T otosjakaumaksi. Tuusluvu T otosjakauma muodostaa tilastollise malli tuusluvu T arvoje satuaiselle vaihtelulle otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (005) 6
Otostuusluvut ja otosjakaumat Eräide tavalliste tuuslukuje otosjakaumat Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos jakaumasta f(x). Jatkossa tarkastellaa seuraavie tuuslukuje (ks. lukua Tilastolliste aieistoje kuvaamie) otosjakaumia: Aritmeettie keskiarvo Otosvariassi Suhteellie frekvessi TKK (c) Ilkka Melli (005) 7
Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat >> Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (005) 8
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Avaisaat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Keskeie raja-arvolause χ -jakauma Normaalijakauma Otosjakauma Otostuusluvut Otosvariassi otosjakauma Riippumattomuus Suhteellise frekvessi otosjakauma Tilastollie malli t-jakauma Yksikertaie satuaisotos TKK (c) Ilkka Melli (005) 9
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettie keskiarvo: Määritelmä 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ Var( X ) = σ Tällöi kaikilla satuaismuuttujilla X i, i = 1,,, o sama odotusarvo µ ja sama variassi σ. TKK (c) Ilkka Melli (005) 30
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettie keskiarvo: Määritelmä / Olkoo 1 X1+ X + + X X = Xi = i= 1 havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo. Aritmeettie keskiarvo X kuvaa havaitoje keskimääräistä arvoa. Aritmeettie keskiarvo X o satuaismuuttuja, joka saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (005) 31
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Odotusarvo ja variassi Aritmeettise keskiarvo X odotusarvo ja variassi: E( X ) = µ σ Var( X) = D ( X) = Aritmeettise keskiarvo X stadardipoikkeamaa D( X ) = σ kutsutaa tavallisesti keskiarvo keskivirheeksi ja se kuvaa aritmeettise keskiarvo otosvaihtelua oma odotusarvosa µ ympärillä. TKK (c) Ilkka Melli (005) 3
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Odotusarvo johto OlkootX 1, X,, X riippumattomia satuaismuuttujia, joille E( X i ) = µ, i = 1,,, Var( X i ) = σ, i= 1,,, Odotusarvo yleiste omiaisuuksie perusteella pätee (myös ilma riippumattomuusoletusta): 1 E( X ) = E X i i= 1 1 = E( X i ) i= 1 1 = µ i= 1 1 = µ = µ TKK (c) Ilkka Melli (005) 33
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Variassi johto OlkootX 1, X,, X riippumattomia satuaismuuttujia, joille E( X i ) = µ, i = 1,,, Var( X i ) = σ, i= 1,,, Variassi yleiste omiaisuuksie perusteella pätee (koska satuaismuuttujat X 1, X,, X o oletettu riippumattomiksi): 1 Var( X ) = Var X i i= 1 1 = Var( ) X i i= 1 1 = σ i= 1 1 σ = σ = TKK (c) Ilkka Melli (005) 34
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Jakauma käyttäytymie otoskoo kasvaessa Koska aritmeettise keskiarvo X odotusarvo o E( X ) = µ ja variassi o Var( X ) = σ ii aritmeettise keskiarvo otosjakauma keskittyy yhä voimakkaammi havaitoje yhteise odotusarvo µ ympärille, ku otoskoko kasvaa. TKK (c) Ilkka Melli (005) 35
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Normaalijakautuut otos Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi havaitoje aritmeettie keskiarvo X oudattaa eksaktisti (eli myös äärellisissä otoksissa) ormaalijakaumaa: σ X ~N µ, TKK (c) Ilkka Melli (005) 36
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 1/ Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Koska oletukse mukaa havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia, ii ja i= 1 X X i N( µ, σ ) 1 σ = Xi N µ, i= 1 TKK (c) Ilkka Melli (005) 37
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut / Perustelu: Ks. todistusta ormaalijakautuee otokse aritmeettise keskiarvo X ja otosvariassi s riippumattomuudelle > sekä kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukuja Jatkuvia jakaumia, Moiulotteiset satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat sekä Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (005) 38
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Asymptoottie jakauma Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi o σ. Tällöi havaitoje aritmeettie keskiarvo X oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakaumaa joka odotusarvo o µ ja variassi o σ / : σ X ~ a N µ, TKK (c) Ilkka Melli (005) 39
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Kommetteja 1/ Oletukset havaitoje riippumattomuudesta, samasta jakaumasta ja ormaalisuudesta ovat välttämättömiä aritmeettise keskiarvo eksaktia eli tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle. Aritmeettise keskiarvo otosjakaumaa koskeva asymptoottie tulos seuraa keskeisestä raja-arvolauseesta; ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukua Jatkuvia jakaumia tai lukua Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Melli (005) 40
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Kommetteja / Aritmeettise keskiarvo otosjakaumaa koskeva asymptoottie tulos pätee tietyi lisäehdoi myös moissa sellaisissa tilateissa, joissa havaitoje riippumattomuutta ja samaa jakaumaa koskevat oletukset eivät päde. TKK (c) Ilkka Melli (005) 41
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Stadardoidu aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Odotusarvo ja variassi Koska E( X ) = µ Var( X ) = σ ii stadardoidu satuaismuuttuja X µ Z = σ odotusarvo ja variassi ovat E(Z) = 0 Var(Z) = 1 TKK (c) Ilkka Melli (005) 4
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Stadardoidu aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Normaalijakautuut otos Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja Z σ oudattaa eksaktisti (eli myös äärellisissä otoksissa) stadardoitua ormaalijakaumaa: Z = X µ ~N( 0,1) TKK (c) Ilkka Melli (005) 43
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Stadardoidu aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Asymptoottie jakauma Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi o σ. Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja X µ Z = σ oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Z ~ a N(0,1) TKK (c) Ilkka Melli (005) 44
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi: Määritelmä 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ Var( X ) = σ Tällöi kaikilla satuaismuuttujilla X i, i = 1,,, o sama odotusarvo µ ja sama variassi σ. TKK (c) Ilkka Melli (005) 45
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi: Määritelmä / Olkoo s 1 X X = ( i ) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X otosvariassi, jossa X 1 X i i = 1 = o havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo. Otosvariassi s kuvaa havaitoarvoje vaihtelua iide aritmeettise keskiarvo ympärillä. Otosvariassi s o satuaismuuttuja, joka saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (005) 46
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Odotusarvo ja variassi Otosvariassi s odotusarvo: E( s ) = σ Jos lisäksi voidaa olettaa, että havaiot X 1, X,, X oudattavat ormaalijakaumaa N( µ, σ ), ii otosvariassi s variassi o 4 Var( s ) = D ( s ) = σ 1 Site otosvariassi s stadardipoikkeama o ormaalise otokse tapauksessa D( s ) = σ 1 TKK (c) Ilkka Melli (005) 47
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Normaalijakautuut otos 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi satuaismuuttuja X i µ Y = i= 1 σ oudattaa χ -jakaumaa vapausastei : Y χ ( ) TKK (c) Ilkka Melli (005) 48
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Normaalijakautuut otos / Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi satuaismuuttuja ( 1) s X i X V = = σ i= 1 σ oudattaa χ -jakaumaa vapausastei ( 1): V χ ( 1) TKK (c) Ilkka Melli (005) 49
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 1/6 Olkoo X 1, X,, X yksikertaie satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (005) 50
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut /6 Määritellää satuaismuuttuja Y kaavalla X i µ Y = i= 1 σ Koska havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat ormaalijakaumaa N( µ, σ ) : X i N( µ, σ ), i = 1,,, ii stadardoidut satuaismuuttujat X i µ Yi =, i = 1,,, σ ovat riippumattomia ja oudattavat stadardoitua ormaalijakaumaa N(0, 1): Y N(0,1), i = 1,,, i TKK (c) Ilkka Melli (005) 51
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 3/6 Edellä esitetystä seuraa, että satuaismuuttuja Y o riippumattomie, stadardoitua ormaalijakaumaa N(0, 1) oudattavie satuaismuuttujie Y i, i = 1,,, eliösumma: Y = Y i= 1 i Suoraa χ -jakauma määritelmästä seuraa, että satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa vapausastei : Y χ ( ) Ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (005) 5
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 4/6 Määritellää yt satuaismuuttuja V kaavalla X i X V = i= 1 σ Satuaismuuttuja V saadaa satuaismuuttujasta X i µ Y = i= 1 σ korvaamalla odotusarvo µ harhattomalla estimaattorillaa X. Satuaismuuttuja V määritelmässä esiityvä summa termit Xi X Ui =, i = 1,,, σ eivät ole riippumattomia. TKK (c) Ilkka Melli (005) 53
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 5/6 Voidaa kuiteki osoittaa, että V voidaa esittää riippumattomie, stadardoitua ormaalijakaumaa N(0, 1) oudattavie satuaismuuttujie V i, i = 1,,, 1 eliösummaa (ks. todistusta ormaalijakautuee otokse aritmeettise keskiarvo X ja otosvariassi s riippumattomuudelle >): V 1 = V i= 1 i Site suoraa χ -jakauma määritelmästä seuraa, että satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa vapausastei ( 1): V χ ( 1) Ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (005) 54
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 6/6 Huomautuksia: (i) Satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa, joka vapausasteide lukumäärä o sama kui havaitoje lukumäärä. (ii) Ku satuaismuuttujasta Y siirrytää satuaismuuttujaa V meetetää yksi vapausaste. (iii) Yhde vapausastee meetys o seurausta siitä, että parametri µ korvaamie estimaattorillaa X riippumattomissa satuaismuuttujissa X i µ Yi =, i = 1,,, σ luo yhde (lieaarise) side-ehdo satuaismuuttujie Xi X Ui =, i = 1,,, σ välille. TKK (c) Ilkka Melli (005) 55
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Kommetteja Oletukset havaitoje riippumattomuudesta ja samasta jakaumasta ovat välttämättömiä otosvariassi eksaktia eli tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle. TKK (c) Ilkka Melli (005) 56
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (005) 57
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus / Tällöi X ja s ovat riippumattomia: X s Lisäksi σ X N µ, ( 1) s χ ( 1) σ TKK (c) Ilkka Melli (005) 58
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 1/8 Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (005) 59
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu /8 Otokse yhteisjakauma tiheysfuktio voidaa kirjoittaa havaitoje riippumattomuude ja ormaalisuude takia seuraavaa muotoo: 1 1 f( x1, x,, x) = ( π) σ exp ( x ) i µ σ i= 1 Määritellää lieaarie muuos 1 1 1 1 Y1 = X1+ X + X3 + + X 1 1 Y = X 1 X 1 1 Y3 = X 6 1+ X 6 X 6 3 1 1 1 1 Y = X ( 1) 1+ X ( 1) + X ( 1) 3 + X ( 1) TKK (c) Ilkka Melli (005) 60
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 3/8 Muuos voidaa esittää matriisei muodossa Y = BX jossa Y = ( Y1, Y,, Y ) X = ( X1, X,, X) ja -matriisi 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 B = 0 6 6 6 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) o ortogoaalie (B B = BB = I). TKK (c) Ilkka Melli (005) 61
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 4/8 Matriisi B ähdää ortogoaaliseksi alla esitettävällä tavalla. Määritellää -matriisi 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 C = 1 1 1 3 0 0 1 1 1 1 ( ) 0 1 1 1 1 1 ( 1) O helppo ähdä, että matriisi C rivit ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa. Matriisi B saadaa matriisista C ormeeraamalla se rivit ii, että iide pituudeksi tulee 1. TKK (c) Ilkka Melli (005) 6
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 5/8 Koska muuos Y= BX o ortogoaalie, ii muuosta vastaava Jacobi determiati itseisarvo = 1. Koska 1 Y1 = ( X1+ X + + X) = X ja Y + Y + + Y = YY = XBBX = XX = X + X + + X ii 1 1 = ( Xi X) + X i= 1 + + = ( i ) = ( 1) i= 1 Y Y X X s TKK (c) Ilkka Melli (005) 63
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 6/8 Koska ( Xi µ ) = ( Xi X) + ( X µ ) i= 1 i= 1 = ( Xi i= 1 X) + ( X µ ) i= 1 = Y + + Y + ( Y µ ) 1 ii satuaismuuttujie Y 1, Y,, Y tiheysfuktioksi saadaa 1 f( y1, y,, y) = 1 e ( π) σ = yhteisjakauma 1 ( Y ) + Y + + Y σ 1 µ 1 1 1 σ σ σ 1 1 1 e e e πσ πσ πσ ( Y 1 µ ) Y Y TKK (c) Ilkka Melli (005) 64
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 7/8 Edellä esitetystä seuraa, että satuaismuuttujat Y 1, Y,, Y ovat riippumattomia ja ormaalijakautueita: Y, Y,, Y 1 Y = X 1 i N( µ, σ ) Y N(0, σ ), i =,, Lisäksi 1 σ Y ( Y ) s = Y + + Y = + + 1 1 σ σ jossa Y i σ N(0,1), i =,, TKK (c) Ilkka Melli (005) 65
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 8/8 Site olemme todistaeet, että X s σ X N µ, ( 1) s χ ( 1) σ Huomautus: Todistuksessa o sovellettu kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa luvu Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat teoriaa sekä luvussa Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia esitettyä χ -jakauma määritelmää. TKK (c) Ilkka Melli (005) 66
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Seuraus 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (005) 67
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Seuraus / Tällöi t X µ = t( 1) s/ TKK (c) Ilkka Melli (005) 68
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Todistus 1/3 Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (005) 69
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Todistus /3 Aikaisemmi o todettu, että σ X N µ, ( 1) s χ ( 1) σ ja lisäksi X s Aritmeettista keskiarvoa X koskevasta jakaumatuloksesta seuraa, että X µ N(0,1) σ / TKK (c) Ilkka Melli (005) 70
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Todistus 3/3 Site suoraa t-jakauma määritelmästä seuraa, että X µ X µ t = = σ / t( 1) s/ 1 ( 1) s 1 σ Ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (005) 71
Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat >> Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (005) 7
Suhteellise frekvessi otosjakauma Avaisaat Keskeie raja-arvolause Normaalijakauma Otosjakauma Otostuusluvut Suhteellise frekvessi otosjakauma Tilastollie malli Yksikertaie satuaisotos TKK (c) Ilkka Melli (005) 73
Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi: Määritelmät 1/3 Olkoo P joki otosavaruude S alkioide omiaisuus. Jos otosavaruude S alkiolla x o omiaisuus P, merkitää P(x) Olkoo A= { x S P( x) } iide otosavaruude S alkioide osajoukko, joilla o omiaisuus P. Oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A) = p TKK (c) Ilkka Melli (005) 74
Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi: Määritelmät /3 Poimitaa otosavaruudesta S yksikertaie satuaisotos, joka koko o. Olkoo f iide havaitoyksiköide frekvessi, joilla o omiaisuus P ja olkoo ˆp = f vastaava suhteellie frekvessi. TKK (c) Ilkka Melli (005) 75
Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi: Määritelmät 3/3 Frekvessi f kuvaa A-tyyppiste alkioide lukumäärää otoksessa ja vastaava suhteellie frekvessi ˆp = f kuvaa A-tyyppiste alkioide suhteellista osuutta otoksessa. Frekvessi f ja vastaava suhteellie frekvessi ˆp ovat satuaismuuttujia, joide saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (005) 76
Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi: Odotusarvo, variassi ja jakauma 1/ Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma: A S Poimitaa otosavaruudesta S yksikertaie satuaisotos, joka koko o. Olkoo f A-tyyppiste alkioide lukumäärä eli frekvessi otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (005) 77
Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi: Odotusarvo, variassi ja jakauma / Frekvessi f odotusarvo ja variassi: E( f ) = p Var( f ) = pq jossa q = 1 p. Frekvessi f oudattaa eksaktisti biomijakaumaa parametrei ja Pr(A) = p: f ~Bi( p, ) Ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukua Diskreettejä jakaumia tai lukua Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (005) 78
Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellie frekvessi: Odotusarvo ja variassi 1/ Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma: A S Poimitaa otosavaruudesta S yksikertaie satuaisotos, joka koko o. Olkoo ˆp = f A-tyyppiste alkioide suhteellie osuus eli frekvessi otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (005) 79
Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellie frekvessi: Odotusarvo ja variassi / Suhteellise frekvessi ˆp odotusarvo ja variassi: E( pˆ ) = p pq Var( pˆ) = D ( pˆ) = jossa q = 1 p. Suhteellise frekvessi ˆp stadardipoikkeamaa pq D( pˆ ) = kutsutaa tavallisesti suhteellise frekvessi keskivirheeksi ja se kuvaa suhteellise frekvessi f otosvaihtelua oma odotusarvosa p ympärillä. TKK (c) Ilkka Melli (005) 80
Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma: Jakauma käyttäytymie otoskoo kasvaessa Koska suhteellise frekvessi ˆp odotusarvo E( pˆ ) = p ja variassi o Var( pˆ ) = pq, q = 1 p ii suhteellise frekvessi otosjakauma keskittyy yhä voimakkaammi tapahtuma A todeäköisyyde p ympärille, ku otoskoko kasvaa. TKK (c) Ilkka Melli (005) 81
Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma: Asymptoottie jakauma Suhteellie frekvessi ˆp oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakaumaa: pq pˆ~ a N p, Site stadardoitu satuaismuuttuja ˆp p Z = pq oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Z ~ a N(0,1) TKK (c) Ilkka Melli (005) 8
Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma: Kommetti Suhteellise frekvessi otosjakaumaa koskeva asymptoottie tulos seuraa keskeisestä raja-arvolauseesta; ks. kalvokokoelma Johdatus todeäköisyyslasketaa lukua Jatkuvia jakaumia tai lukua Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Melli (005) 83