Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1
Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (007)
Satuaisotata ja satuaisotokset Tilastollie aieisto Tilastollie aieisto koostuu tutkimukse kohteita kuvaavie muuttujie havaituista arvoista. Tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaitoarvoihi liittyy aia epävarmuutta ja satuaisuutta. Seurauksia: (i) Tilastollisissa tutkimusasetelmissa ajatellaa, että havaitoarvot o geeroiut joki satuaisilmiö. (ii) Tilastollise tutkimukse kohteita kuvaavat muuttujat tulkitaa tilastollisissa tutkimusasetelmissa satuaismuuttujiksi ja havaitoarvot tulkitaa äide satuaismuuttujie realisoitueiksi arvoiksi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 3
Satuaisotata ja satuaisotokset Tilastollise aieisto tilastollie malli Tilastollise aieisto tilastollie malli tarkoittaa tutkimukse kohteita kuvaavie satuaismuuttujie todeäköisyysjakaumaa, joka ajatellaa geeroiee ko. satuaismuuttujie havaitut arvot. Havaitoarvoje ajatellaa sytyee arpomalla tilastollisea mallia käytetystä todeäköisyysjakaumasta saatavi todeäköisyyksi. Huomautus: Todeäköisyysjakaumat riippuvat tavallisesti parametreista eli vakioista, joide arvoja ei yleesä tueta. TKK (c) Ilkka Melli (007) 4
Satuaisotata ja satuaisotokset Tilastolliset mallit ja tilastollie päättely Ku tilastollista mallia sovelletaa jotaki reaalimaailma ilmiötä kuvaava havaitoaieisto aalysoitii, kohdataa tavallisesti seuraavat malli parametreja koskevat ogelmat: (i) Parametrie arvoja ei tueta ja e o estimoitava eli arvioitava havaitoaieistosta. (ii) Parametrie arvoista o esitetty oletuksia tai väitteitä, joita halutaa testata eli asettaa koetteelle havaitoaieistosta saatua iformaatiota vastaa. Tilastolliste mallie parametrie estimoiti ja testaus muodostavat keskeise osa tilastollista päättelyä. TKK (c) Ilkka Melli (007) 5
Satuaisotata ja satuaisotokset Satuaisotata ja satuaisotokset Satuaisotos poimitaa perusjoukosta arpomalla tutkittavat havaitoyksiköt perusjoukosta otoksee. Arvoassa käytettävää meetelmää kutsutaa satuaisotaaksi. Satuaisotaassa sattuma määrää mitkä perusjouko alkioista tulevat poimituiksi otoksee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 6
Satuaisotata ja satuaisotokset Satuaisotata: Kommetteja Jos havaitoyksiköt poimitaa perusjoukosta satuaisotaalla, pätee seuraava: (i) Havaitoyksiköitä kuvaavie muuttujie havaitut arvot ovat satuaisia siiä mielessä, että e vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. (ii) Kaikki havaitoyksiköitä kuvaavie muuttujie havaituista arvoista lasketut tuusluvut ovat satuaisia siiä mielessä, että e vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 7
Satuaisotata ja satuaisotokset Yksikertaie satuaisotata Olkoot X 1, X,, X riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x) Tällöi satuaismuuttujat X 1, X,, X muodostavat (yksikertaise) satuaisotokse jakaumasta f(x). TKK (c) Ilkka Melli (007) 8
Satuaisotata ja satuaisotokset Havaiot ja havaitoarvot Olkoo X 1, X,, X satuaisotos jakaumasta f(x). Kutsumme satuaismuuttujia X 1, X,, X tavallisesti havaioiksi. Otokse poimimise jälkee satuaismuuttujat X 1, X,, X saavat havaituiksi arvoiksee havaitoarvot x 1, x,, x Merkitää: X 1 = x 1, X = x,, X = x TKK (c) Ilkka Melli (007) 9
Satuaisotata ja satuaisotokset Yksikertaie satuaisotata: Kommetteja 1/ Olkoo X 1, X,, X satuaisotos jakaumasta f(x). Tällöi havaitoarvot x 1, x,, x o saatu toistamalla arvotaa toisistaa riippumattomi toistoi kertaa samoi, jakaumasta f(x) saatavi todeäköisyyksi. Havaitoarvot x 1, x,, x ovat kiiteitä eli eisatuaisia, mutta e vaihtelevat toisistaa riippumatta ja satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 10
Satuaisotata ja satuaisotokset Yksikertaie satuaisotata: Kommetteja / Satuaisuus liittyy yksikertaisessa satuaisotaassa siihe, että havaitoarvot vaihtelevat toisistaa riippumatta ja satuaisesti otoksesta toisee. Satuaisuus ei siis liity otaa tuloksea saatuihi havaitoarvoihi, vaa otokse poimitatapaa. TKK (c) Ilkka Melli (007) 11
Satuaisotata ja satuaisotokset Tilastollie malli yksikertaiselle satuaisotaalle 1/ Olkoo X 1, X,, X satuaisotos jakaumasta f(x). Satuaismuuttujie X 1, X,, X yhteisjakauma muodostaa tilastollise malli havaitoarvoje satuaiselle vaihtelulle otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 1
Satuaisotata ja satuaisotokset Tilastollie malli yksikertaiselle satuaisotaalle / Koska satuaismuuttujat X 1, X,, X o oletettu riippumattomiksi, ii satuaismuuttujie X 1, X,, X yhteisjakauma o muotoa f( x1, x,, x) = f( x1) f( x) f( x) jossa X f( x ), i = 1,,, i i TKK (c) Ilkka Melli (007) 13
Otokset ja otosjakaumat Satuaisotata ja satuaisotokset >> Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (007) 14
Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut 1/3 Olkoo X 1, X,, X (yksikertaie) satuaisotos jakaumasta, joka pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio o f(x). Tällöi havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia, idettisesti jakautueita satuaismuuttujia, joilla o sama pistetodeäköisyys- tai tiheysfuktio f(x): X1, X,, X X f( x), i = 1,,, i TKK (c) Ilkka Melli (007) 15
Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut /3 Olkoo T = g(x 1, X,, X ) joki satuaismuuttujie X 1, X,, X (mitallie) fuktio. Satuaismuuttujaa T kutsutaa (otos-) tuusluvuksi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 16
Otostuusluvut ja otosjakaumat Otostuusluvut 3/3 Oletetaa, että otokse poimimise jälkee satuaismuuttujat X 1, X,, X saavat havaituiksi arvoiksee havaitoarvot x 1, x,, x : X 1 = x 1, X = x,, X = x Tällöi tuusluku T = g(x 1, X,, X ) saa havaituksi arvoksee t fuktio g arvo pisteessä (x 1, x,, x ): t = g(x 1, x,, x ) TKK (c) Ilkka Melli (007) 17
Otostuusluvut ja otosjakaumat Otosjakauma Oletetaa, että satuaismuuttujat X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse jakaumasta f(x) ja olkoo fuktio T = g(x 1, X,, X ) joki otostuusluku. Tuusluvu T jakaumaa kutsutaa tuusluvu T otosjakaumaksi. Tuusluvu T otosjakauma muodostaa tilastollise malli tuusluvu T arvoje satuaiselle vaihtelulle otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 18
Otostuusluvut ja otosjakaumat Eräide tavalliste tuuslukuje otosjakaumat Olkoo X 1, X,, X satuaisotos jakaumasta f(x). Jatkossa tarkastellaa seuraavie tuuslukuje (ks. lukua Tilastolliste aieistoje kuvaamie) otosjakaumia: Aritmeettie keskiarvo Otosvariassi Suhteellie frekvessi TKK (c) Ilkka Melli (007) 19
Otokset ja otosjakaumat Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut ja otosjakaumat >> Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (007) 0
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettie keskiarvo: Määritelmä 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ Var( X ) = σ Tällöi kaikilla satuaismuuttujilla X i, i = 1,,, o sama odotusarvo µ ja sama variassi σ. TKK (c) Ilkka Melli (007) 1
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettie keskiarvo: Määritelmä / Olkoo 1 X1+ X + + X X = Xi = i= 1 havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo. Aritmeettie keskiarvo X kuvaa havaitoje keskimääräistä arvoa. Aritmeettie keskiarvo X o satuaismuuttuja, joka saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007)
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Odotusarvo ja variassi Aritmeettise keskiarvo X odotusarvo ja variassi: E( X ) = µ σ Var( X) = D ( X) = Aritmeettise keskiarvo X stadardipoikkeamaa D( X) = σ kutsutaa tavallisesti keskiarvo keskivirheeksi ja se kuvaa aritmeettise keskiarvo otosvaihtelua oma odotusarvosa µ ympärillä. TKK (c) Ilkka Melli (007) 3
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Odotusarvo johto Olkoot X 1, X,, X riippumattomia satuaismuuttujia, joille E( X i ) = µ, i= 1,,, Var( X i ) = σ, i= 1,,, Odotusarvo yleiste omiaisuuksie perusteella pätee (myös ilma riippumattomuusoletusta): 1 E( X ) = E X i i= 1 1 = E( X i ) i= 1 1 = µ i= 1 1 = µ = µ TKK (c) Ilkka Melli (007) 4
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Variassi johto Olkoot X 1, X,, X riippumattomia satuaismuuttujia, joille E( X i ) = µ, i= 1,,, Var( X i ) = σ, i= 1,,, Variassi yleiste omiaisuuksie perusteella pätee (koska satuaismuuttujat X 1, X,, X o oletettu riippumattomiksi): 1 Var( X) = Var Xi i= 1 1 = Var( ) riippumattomuude takia X i i= 1 1 = σ i= 1 1 σ = σ = TKK (c) Ilkka Melli (007) 5
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Jakauma käyttäytymie otoskoo kasvaessa Koska aritmeettise keskiarvo X odotusarvo o E( X ) = µ ja variassi o Var( X) = σ ii aritmeettise keskiarvo otosjakauma keskittyy yhä voimakkaammi havaitoje yhteise odotusarvo µ ympärille, ku otoskoko kasvaa. TKK (c) Ilkka Melli (007) 6
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Normaalijakautuut otos Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi havaitoje aritmeettie keskiarvo oudattaa eksaktisti (eli myös äärellisissä otoksissa) ormaalijakaumaa: X X σ ~N µ, TKK (c) Ilkka Melli (007) 7
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 1/ Olkoo X 1, X,, X satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Koska oletukse mukaa havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia, ii ja i= 1 X X i N( µ, σ ) 1 σ = Xi N µ, i= 1 TKK (c) Ilkka Melli (007) 8
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut / Perustelu: Ks. todistusta ormaalijakautuee otokse aritmeettise keskiarvo X ja otosvariassi s riippumattomuudelle > sekä moistee Todeäköisyyslasketa lukuja Jatkuvia jakaumia, Moiulotteiset satuaismuuttujat ja jakaumat sekä Satuaismuuttujie muuoste jakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (007) 9
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Asymptoottie jakauma Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi o σ. Tällöi havaitoje aritmeettie keskiarvo oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti X ormaalijakaumaa joka odotusarvo o µ ja variassi o σ / : X σ ~ a N µ, TKK (c) Ilkka Melli (007) 30
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Kommetteja 1/ Oletukset havaitoje riippumattomuudesta, samasta jakaumasta ja ormaalisuudesta ovat välttämättömiä aritmeettise keskiarvo eksaktia eli tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle. Aritmeettise keskiarvo otosjakaumaa koskeva asymptoottie tulos seuraa keskeisestä raja-arvolauseesta; ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Jatkuvia jakaumia tai lukua Stokastiika kovergessikäsitteet ja rajaarvolauseet. TKK (c) Ilkka Melli (007) 31
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Kommetteja / Aritmeettise keskiarvo otosjakaumaa koskeva asymptoottie tulos pätee tietyi lisäehdoi myös moissa sellaisissa tilateissa, joissa havaitoje riippumattomuutta ja samaa jakaumaa koskevat oletukset eivät päde. TKK (c) Ilkka Melli (007) 3
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Stadardoidu aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Odotusarvo ja variassi Koska E( X ) = µ Var( X) = σ ii stadardoidu satuaismuuttuja X µ Z = σ odotusarvo ja variassi ovat E(Z) = 0 Var(Z) = 1 TKK (c) Ilkka Melli (007) 33
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Stadardoidu aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Normaalijakautuut otos Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja Z σ oudattaa eksaktisti (eli myös äärellisissä otoksissa) stadardoitua ormaalijakaumaa: Z = X µ ~N( 0,1) TKK (c) Ilkka Melli (007) 34
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Stadardoidu aritmeettise keskiarvo otosjakauma: Asymptoottie jakauma Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo o µ ja variassi o σ. Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja X µ Z = σ oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Z ~ a N(0,1) TKK (c) Ilkka Melli (007) 35
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi: Määritelmä 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse satuaismuuttuja X jakaumasta, joka odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ Var( X ) = σ Tällöi kaikilla satuaismuuttujilla X i, i = 1,,, o sama odotusarvo µ ja sama variassi σ. TKK (c) Ilkka Melli (007) 36
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi: Määritelmä / Olkoo s 1 X X = ( i ) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X otosvariassi, jossa X 1 Xi i = 1 = o havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo. Otosvariassi s kuvaa havaitoarvoje vaihtelua iide aritmeettise keskiarvo ympärillä. Otosvariassi s o satuaismuuttuja, joka saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 37
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Odotusarvo ja variassi Otosvariassi s odotusarvo: E( s ) = σ Jos lisäksi voidaa olettaa, että havaiot X 1, X,, X oudattavat ormaalijakaumaa N( µ, σ ), ii otosvariassi s variassi o 4 Var( s ) = D ( s ) = σ 1 Site otosvariassi s stadardipoikkeama o ormaalise otokse tapauksessa D( s ) = σ 1 TKK (c) Ilkka Melli (007) 38
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Normaalijakautuut otos 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi satuaismuuttuja X i µ Y = i= 1 σ oudattaa χ -jakaumaa vapausastei : Y χ ( ) TKK (c) Ilkka Melli (007) 39
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Normaalijakautuut otos / Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Tällöi satuaismuuttuja ( 1) s Xi X V = = σ i= 1 σ oudattaa χ -jakaumaa vapausastei ( 1): V χ ( 1) TKK (c) Ilkka Melli (007) 40
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 1/6 Olkoo X 1, X,, X satuaisotos ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 41
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut /6 Määritellää satuaismuuttuja Y kaavalla X i µ Y = i= 1 σ Koska havaiot X 1, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat ormaalijakaumaa N( µ, σ ): X i N( µ, σ ), i = 1,,, ii stadardoidut satuaismuuttujat X i µ Yi =, i = 1,,, σ ovat riippumattomia ja oudattavat stadardoitua ormaalijakaumaa N(0,1): Y N(0,1), i = 1,,, i TKK (c) Ilkka Melli (007) 4
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 3/6 Edellä esitetystä seuraa, että satuaismuuttuja Y o riippumattomie, stadardoitua ormaalijakaumaa N(0,1) oudattavie satuaismuuttujie Y i, i = 1,,, eliösumma: Y = Y i= 1 i Suoraa χ -jakauma määritelmästä seuraa, että satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa vapausastei : Y χ ( ) Ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (007) 43
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 4/6 Määritellää yt satuaismuuttuja V kaavalla X i X V = i= 1 σ Satuaismuuttuja V saadaa satuaismuuttujasta X i µ Y = i= 1 σ korvaamalla odotusarvo µ harhattomalla estimaattorillaa X. Satuaismuuttuja V määritelmässä esiityvä summa termit Xi X Ui =, i = 1,,, σ eivät ole riippumattomia. TKK (c) Ilkka Melli (007) 44
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 5/6 Voidaa kuiteki osoittaa, että V voidaa esittää riippumattomie, stadardoitua ormaalijakaumaa N(0,1) oudattavie satuaismuuttujie V i, i = 1,,, 1 eliösummaa (ks. todistusta ormaalijakautuee otokse aritmeettise keskiarvo X ja otosvariassi s riippumattomuudelle >): V 1 = V i= 1 i Site suoraa χ -jakauma määritelmästä seuraa, että satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa vapausastei ( 1): V χ ( 1) Ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (007) 45
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Perustelu, ku otos o ormaalijakautuut 6/6 Huomautuksia: (i) Satuaismuuttuja Y oudattaa χ -jakaumaa, joka vapausasteide lukumäärä o sama kui havaitoje lukumäärä. (ii) Ku satuaismuuttujasta Y siirrytää satuaismuuttujaa V meetetää yksi vapausaste. (iii) Yhde vapausastee meetys o seurausta siitä, että parametri µ korvaamie estimaattorillaa X riippumattomissa satuaismuuttujissa X i µ Yi =, i= 1,,, σ luo yhde (lieaarise) side-ehdo satuaismuuttujie Xi X Ui =, i = 1,,, σ välille. TKK (c) Ilkka Melli (007) 46
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Otosvariassi otosjakauma: Kommetteja Oletukset havaitoje riippumattomuudesta ja samasta jakaumasta ovat välttämättömiä otosvariassi eksaktia eli tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle. TKK (c) Ilkka Melli (007) 47
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 Xi i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 48
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus / Tällöi X ja s ovat riippumattomia: X s Lisäksi σ X N µ, ( 1) s χ ( 1) σ TKK (c) Ilkka Melli (007) 49
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 1/8 Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat yksikertaise satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 50
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu /8 Otokse yhteisjakauma tiheysfuktio voidaa kirjoittaa havaitoje riippumattomuude ja ormaalisuude takia seuraavaa muotoo: 1 1 f( x1, x,, x) = ( π) σ exp ( x ) i µ σ i= 1 Määritellää lieaarie muuos 1 1 1 1 Y1 = X1+ X + X3 + + X 1 1 Y = X 1 X 1 1 Y3 = X 6 1+ X 6 X 6 3 1 1 1 1 Y = X ( 1) 1+ X ( 1) + X ( 1) 3 + X ( 1) TKK (c) Ilkka Melli (007) 51
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 3/8 Muuos voidaa esittää matriisei muodossa Y= BX jossa Y = ( Y1, Y,, Y ) X = ( X1, X,, X) ja -matriisi 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 B = 0 6 6 6 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) o ortogoaalie (B B = BB = I). TKK (c) Ilkka Melli (007) 5
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 4/8 Matriisi B ähdää ortogoaaliseksi alla esitettävällä tavalla. Määritellää -matriisi 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 C = 1 1 1 3 0 0 1 1 1 1 ( ) 0 1 1 1 1 1 ( 1) O helppo ähdä, että matriisi C rivit ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa. Matriisi B saadaa matriisista C ormeeraamalla se rivit ii, että iide pituudeksi tulee 1. TKK (c) Ilkka Melli (007) 53
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 5/8 Koska muuos Y= BX o ortogoaalie, ii muuosta vastaava Jacobi determiati itseisarvo = 1. Koska 1 Y1 = ( X1+ X + + X) = X ja Y + Y + + Y = YY = XBBX = XX = X + X + + X ii 1 1 = ( Xi X) + X i= 1 + + = ( i ) = ( 1) i= 1 Y Y X X s TKK (c) Ilkka Melli (007) 54
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 6/8 Koska ( Xi µ ) = ( Xi X) + ( X µ ) i= 1 i= 1 = ( Xi i= 1 X) + ( X µ ) i= 1 = Y + + Y + ( Y µ ) 1 ii satuaismuuttujie Y 1, Y,, Y tiheysfuktioksi saadaa 1 f( y1, y,, y) = 1 e ( π) σ = yhteisjakauma 1 ( Y ) + Y + + Y σ 1 µ 1 1 1 σ σ σ 1 1 1 e e e πσ πσ πσ ( Y 1 µ ) Y Y TKK (c) Ilkka Melli (007) 55
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 7/8 Edellä esitetystä seuraa, että satuaismuuttujat Y 1, Y,, Y ovat riippumattomia ja ormaalijakautueita: Y, Y,, Y 1 Y = X 1 i N( µ, σ ) Y N(0, σ ), i =,, Lisäksi 1 σ Y ( Y ) s = Y + + Y = + + 1 1 σ σ jossa Y i σ N(0,1), i =,, TKK (c) Ilkka Melli (007) 56
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi riippumattomuus: Perustelu 8/8 Site olemme todistaeet, että X s σ X N µ, ( 1) s χ ( 1) σ Huomautus: Todistuksessa o sovellettu moistee Todeäköisyyslasketa luvu Satuaismuuttujie muuoste jakaumat teoriaa sekä luvussa Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia esitettyä χ - jakauma määritelmää. TKK (c) Ilkka Melli (007) 57
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Seuraus 1/ Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 Xi i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 58
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Seuraus / Tällöi t X µ = t( 1) s/ TKK (c) Ilkka Melli (007) 59
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Todistus 1/3 Oletetaa, että havaiot X 1, X,, X muodostavat satuaisotokse ormaalijakaumasta N( µ, σ ) Olkoo X 1 X i i = 1 = havaitoje X 1, X,, X aritmeettie keskiarvo ja 1 s = ( Xi X) 1 i= 1 havaitoje X 1, X,, X (harhato) otosvariassi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 60
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Todistus /3 Aikaisemmi o todettu, että σ X N µ, ( 1) s χ ( 1) σ ja lisäksi X s Aritmeettista keskiarvoa X koskevasta jakaumatuloksesta seuraa, että X µ N(0,1) σ / TKK (c) Ilkka Melli (007) 61
Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat: Todistus 3/3 Site suoraa t-jakauma määritelmästä seuraa, että X µ X µ t = = σ / t( 1) s/ 1 ( 1) s 1 σ Ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Melli (007) 6
Otokset ja otosjakaumat Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat >> Suhteellise frekvessi otosjakauma TKK (c) Ilkka Melli (007) 63
Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi: Määritelmät 1/3 Olkoo P joki otosavaruude S alkioide omiaisuus. Jos otosavaruude S alkiolla x o omiaisuus P, merkitää P(x) Olkoo A = { x S P( x) } iide otosavaruude S alkioide osajoukko, joilla o omiaisuus P. Oletetaa, että tapahtuma A todeäköisyys o Pr(A) = p TKK (c) Ilkka Melli (007) 64
Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi: Määritelmät /3 Poimitaa otosavaruudesta S satuaisotos, joka koko o. Olkoo f iide havaitoyksiköide frekvessi, joilla o omiaisuus P ja olkoo ˆp = f vastaava suhteellie frekvessi. TKK (c) Ilkka Melli (007) 65
Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi ja suhteellie frekvessi: Määritelmät 3/3 Frekvessi f kuvaa A-tyyppiste alkioide lukumäärää otoksessa ja vastaava suhteellie frekvessi ˆp = f kuvaa A-tyyppiste alkioide suhteellista osuutta otoksessa. Frekvessi f ja vastaava suhteellie frekvessi ˆp ovat satuaismuuttujia, joide saamat arvot vaihtelevat satuaisesti otoksesta toisee. TKK (c) Ilkka Melli (007) 66
Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi: Odotusarvo, variassi ja jakauma 1/ Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma: A S Poimitaa otosavaruudesta S satuaisotos, joka koko o. Olkoo f A-tyyppiste alkioide lukumäärä eli frekvessi otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (007) 67
Suhteellise frekvessi otosjakauma Frekvessi: Odotusarvo, variassi ja jakauma / Frekvessi f odotusarvo ja variassi: E( f ) = p Var( f ) = pq jossa q = 1 p. Frekvessi f oudattaa eksaktisti biomijakaumaa parametrei ja Pr(A) = p: f ~Bi(, p) Ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Diskreettejä jakaumia tai lukua Satuaismuuttujie muuoste jakaumat. TKK (c) Ilkka Melli (007) 68
Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellie frekvessi: Odotusarvo ja variassi 1/ Olkoo A joki otosavaruude S tapahtuma: A S Poimitaa otosavaruudesta S satuaisotos, joka koko o. Olkoo ˆp = f A-tyyppiste alkioide suhteellie osuus eli frekvessi otoksessa. TKK (c) Ilkka Melli (007) 69
Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellie frekvessi: Odotusarvo ja variassi / Suhteellise frekvessi ˆp odotusarvo ja variassi: E( pˆ ) = p pq Var( pˆ) = D ( pˆ) = jossa q = 1 p. Suhteellise frekvessi ˆp stadardipoikkeamaa pq D( pˆ ) = kutsutaa tavallisesti suhteellise frekvessi keskivirheeksi ja se kuvaa suhteellise frekvessi f otosvaihtelua oma odotusarvosa p ympärillä. TKK (c) Ilkka Melli (007) 70
Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma: Jakauma käyttäytymie otoskoo kasvaessa Koska suhteellise frekvessi ˆp odotusarvo E( pˆ ) = p ja variassi o Var( pˆ ) = pq, q = 1 p ii suhteellise frekvessi otosjakauma keskittyy yhä voimakkaammi tapahtuma A todeäköisyyde p ympärille, ku otoskoko kasvaa. TKK (c) Ilkka Melli (007) 71
Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma: Asymptoottie jakauma Suhteellie frekvessi ˆp oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti ormaalijakaumaa: pq pˆ~ N a p, Site stadardoitu satuaismuuttuja ˆp p Z = pq oudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti stadardoitua ormaalijakaumaa: Z ~ a N(0,1) TKK (c) Ilkka Melli (007) 7
Suhteellise frekvessi otosjakauma Suhteellise frekvessi otosjakauma: Kommetti Suhteellise frekvessi otosjakaumaa koskeva asymptoottie tulos seuraa keskeisestä raja-arvolauseesta; ks. moistee Todeäköisyyslasketa lukua Jatkuvia jakaumia tai lukua Stokastiika kovergessikäsitteet ja rajaarvolauseet. TKK (c) Ilkka Melli (007) 73