80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin Gaussin, tokesin ja Greenin lauseita ja niiden sovelluksia. Lauseissa tai kaavoissa on kyse jonkin alueen yli otetun integraalin ja tämän alueen reunan yli otetun integraalin välisestä yhteydestä. Vuointegraaleja käsitellessämme totesimme, että vektorikentän vuo yli suljetun pinnan kertoo jotain vektorikentästä pinnan rajoittaman alueen sisällä, nimittäin onko kentällä siellä nieluja tai lähteitä. Gaussin lause ilmaisee asian tarkemmin: vektorikentän vuo yli suljetun pinnan on sama kuin vektorikentän divergenssin tilavuusintegraali pinnan rajoittaman alueen yli eli F N d = F dv. Tässä N on pinnasta ulospäin osoittava yksikkönormaali. Matemaattisina oletuksina vaaditaan, että pinta on sileä tai koostuu sileistä osapinnoista, kenttä F on jatkuva suljetussa alueessa eli siis myös rajoitettu ja kentän derivaatat ovat jatkuvia alueen sisällä. Todistus: Oletetaan, että alue on koordinaattiakseleiden suunnassa säännöllinen eli akseleiden suuntaiset suorat 1 Venäläisissä oppikirjoissa tätä kutsutaan Ostrogradskyn lauseeksi.
81 leikkaavat alueen reunan korkeintaan kahdesti. (Jos näin ei ole, pilkotaan alue säännöllisiin osiin.) ivergenssi on F= i + j + k Fi+ F j + Fk x y z F F x y Fz = + +. x y z ( x y z ) Tarkastellaan aluksi viimeisen termin tilavuusintegraalia φ ( xy, ) Fz Fz dv = dxdy dz z z φ ( xy, ) 1 ( φ φ ) = F( xy,, ( xy, ) F( xy,, ( xy, ) dxdy, z z 1 jossa on alueen projektio xytasossa ja z= φ ( xy, ) ja z= φ ( xy, ) 1 ovat z:n ylä- ja alarajat. Ensimmäinen termi voidaan tulkita pintaintegraaliksi pinnan z= φ ( xy, ) yläpuolen yli (normaalivektori osoittaa ylös eli kasvavan z:n suuntaan) (*) Fz( x, y, φ ( x, y)) dxdy = Fzk Nd, yläpinta missä pinta-alkio d on projisioitu xy-tasoon, dxdy = k Nd = cos( k, N) d. Jälkimmäinen termi puolestaan on
8 pintaintegraali yli pinnan z = φ ( xy, ) 1 alapuolen yli (normaalivektori osoittaa alas eli pienenevän z:n suuntaan): F ( x, y, ( x, y)) dxdy = F k Nd, z φ1 alapinta koska nyt dxdy = k Nd = cos( k, N) d, sillä cos( kn, ) 0. z Olemme siis osoittaneet, että Fz dv = F z k Nd. z (1) Vastaavalla tavalla voimme käsitellä F :n kahdesta muusta komponenteista Fx ja F y riippuvia termejä. Esimerkiksi tilavuusintegraalin Fx -osa ψ ( yz, ) Fx Fx dv = dydz dx x x ψ ( yz, ) 1 ( ψ ψ ) = F( ( yz, ), yz, ) F( ( yz, ), yz, ) dydz, x x 1 jossa on nyt alueen yz-tasossa oleva projektio. Kun pintaintegraali F i Nd x esitetään pintojen x= ψ1( yz, ) ja x= ψ( yz, ) yli otettujen pintaintegraalien summana, saadaan sama tulos eli Vastaavasti Fx dv = F x i Nd. x ()
83 Fy dv = F y j Nd. y (3) Yhdistämällä tulokset (1)-(3) saamme F N d = F dv eli Gaussin lause on tullut todistetuksi. Todistuksemme ei ole yleispätevä, koska se perustui oletukseen alueen säännöllisestä muodosta. Tulos pätee kuitenkin kaikille suljetuille pinnoille. Tätä voi vakuutella itselleen fysikaalisen esimerkin avulla: ähkökentän E divergenssi E on varaustiheys ja sen tilavuusintegraali on alueessa oleva kokonaisvaraus. Pintaintegraali on sähkökentän vuo alueen pinnan läpi, ja on helppo uskoa, ettei vuo riipu pinnan muodosta: kenttäviivat tulevat pinnan läpi oli se minkä muotoinen tahansa. Huom. Gaussin lause on yhden muuttujan funktiota koskevan b tuloksen f '( x ) dx = f ( b ) f ( a ) yleistys kolmeen a ulottuvuuteen. Esimerkki: Lasketaan kentän F = bxy i + bx yj + ( x + y ) z k pintaintegraali sylinterin x + y a, 0 z b pinnan yli.
84 Gaussin lain mukaan pintaintegraali voidaan esittää tilavuusintegraalina, ja sen voimme laskea helposti sylinterikoordinaatteja käyttäen: F d = FdV = + + ( + ) by bx z x y dv = ( x + y )( b + z) dv = ρ b π a ( ) ( ) 0 0 0 4 a b π ρ = bz + z [ φ] = 0 0 4 0 = ρd ρdφdz = b + z dz dφ ρ ρdρ Esimerkki: Määritetään integraalin I = (3xi+ yj ) d πab 4. arvo, kun on pallon x + y + z = 9 pinta. Pintaintegrointi ei näytä suoraviivaiselta, joten kannattaa yrittää hyödyntää Gaussin teoreemaa. Integroitavan vektorin F = 3xi+ yj divergenssi on F = (3 x) + ( y) + (0) = 5, x y z joten I = ( F) dv = 5dV = 5 dv 4 = π = 3 π 3 5 ( 9) 180. = pallon tilavuus
85 Esimerkki: Tarkastellaan vektorikenttää r r F = m = m 3. r r e on määritelty kaikkialla muualla paitsi origossa. Lasketaan tämän kentän vuo yli mielivaltaisen säännöllisen pinnan, joka ympäröi origoa. Koska pinnasta ei tiedetä juuri mitään, pitää ottaa Gaussin kaava käyttöön. iihen tarvitaan divergenssi F. Koska ( r 0) on divergenssi F( x, y, z) = m ( xi+ yj + zk ), 3 r x y z F = m + + x r y r z r Lasketaan ensimmäinen derivaatta: 3 3 3. x x 3 = 3/ x r x ( x + y + z ) 3 ( x + y + z ) x x( x + y + z ) = 3 ( x + y + z ) 3 r 3xr =. 6 r 3/ 1/ Muut termit voi päätellä symmetrian avulla. ivergenssi on
86 3 r r F = m 3 3( x + y + z ) 6 6 r r r = 0. = euraavaksi meidän on hoidettava origo, joka on pinnan rajoittaman alueen sisällä, mutta jossa divergenssi ei ole määritelty. Asiaa hoituu seuraavalla tempulla: Piirretään origon ympärille pallopinta *, joka jää kokonaan alueen sisälle. Kentän F ulospäin suuntautuva vuo tämän pinnan läpi on mr F d r d d r = r * * π π = m dφ sinθdθ = 4 πm. 0 0 ( sinθ θ φ ) Tarkastellaan nyt pintojen ja * väliin jäävää aluetta * ja sovelletaan Gaussin kaavaa siihen. Vuo ulos alueesta * koostuu kahdesta osasta: vuo pinnan läpi ulospäin ja vuo pallon * pinnan läpi sisäänpäin. Jälkimmäinen on yllä olevan kaavan perusteella 4π m (eri merkki johtuu siitä, että pinta-alavektori osoittaa nyt pallon sisälle, ei ulos siitä). Gaussin kaavan mukaan saamme siis 0= FdV = F d 4π m eli * F d = 4 π m. Tämä on se pintaintegraali, jota alun perin kysyttiin.
87 Esimerkki: Origoon asetetun pistevarauksen q aiheuttama sähkökenttä on E = q r. 4πε r 0 Mikä on sähkökentän vuo minkä tahansa origoa ympäröivän pinnan läpi? Edellisen esimerkin tuloksen mukaan se on q q E d = 4 π =. 4πε 0 ε 0 Tätä kutsutaan sähköopissa Gaussin laiksi. Esimerkki: Jatkuvuusyhtälö. Tarkastellaan jossakin juoksevassa aineessa olevaa kuvitteelista pintaa ja sen rajoittamaa aluetta. Oletetaan, että ainetta ei synny eikä häviä tässä alueessa, aineen häviämättömyyden lain mukaan alueessa olevan aineen massan muutos voi johtua vain siitä, että ainetta virtaa sama määrä pinnan läpi. Pisteessä ( xyz,, ) olevassa tilavuusalkiossa dv hetkellä t olevan aineen massa on dm(, x y, z,) t = ρ(, x y, z,) t dv, jossa ρ (, xyzt,,) on aineen tiheys. Koko alueessa oleva massa on silloin M () t = ρdv. Massan määrä muuttuu nopeudella dm ρ = ρdv = dv. dt t t
88 Olkoon v(, xyzt,,) aineen nopeuskenttä. Aikaisemmin totesimme (vrt. s. 69), että pisteessä ( xyz,, ) olevan pinta-alkion läpi aikavälillä ( t, t + dt) virtaavan aineen massa on dm' = ρv Nddt eli koko pinnan läpi ulospäin virtaavan aineen massa aikayksikössä on dm ' = ρv Nd. dt Gaussin kaavan mukaan tämä voidaan esittää tilavuusintegraalina dm ' = ( ρv) dv. dt Koska ulosvirtaava aine pienentää massan määrää alueen sisällä, on eli dm dm ' = dt dt ρ + ( ρv) dv = 0. t Tämä pätee kaikille aineessa oleville alueille epsilonin kokoisillekin. e tarkoittaa, että integrandin pitää hävitä kaikkialla aineessa (kun oletamme, että fysikaaliset suureet ρ ja v ovat jatkuvia) eli voimassa on jatkuvuusyhtälö ρ + ( ρv) = 0. t Jos aine on kokoonpuristumatonta, silloin ρ ( xyzt,,, ) = vakio ja jatkuvuusyhtälöllä on yksinkertainen muoto:
89 v = 0. Gaussin teoreemasta voidaan johtaa seuraavat kaksi muuta teoreemaa: FdV = F Nd, φdv = φnd, jossa F on vektorikenttä ja φ skalaarikenttä, molemmat tietenkin hyvätapaisia. Nämä voidaan johtaa soveltamalla Gaussin teoreemaa vektoreihin F c ja φc, joissa c on mikä tahansa vakiovektori. Esimerkiksi ensimmäisen kaava voidaan todistaa käyttämällä identiteettejä (ks. s. 37) ( F c) = ( F) c F ( c) = ( F) c, = 0 ( F c) N = ( N F) c = ( F N ) c. Todistus: Olkoon c mikä tahansa vektori. Yllä annettuja identitteettejä käyttäen saamme
90 FdV + F Nd c = ( F) cdv ( F c) Nd = ( F c) dv ( F c) Nd = 0 Gaussin lain perusteella. Koska c on mielivaltainen vektori, yhtälö pitää paikkansa vain, jos ensimmäisen rivin sulkulauseke on nolla. Jälkimmäisen kaavan johto jätetään harjoitustehtäväksi.