Keskiarvoja ja epäyhtälöitä

Keskiarvoja ja epäyhtälöitä Markku Halmetoja A H G a b H G A Lisesiaatitutkimus Tamperee yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Kesäkuu 04

Tämä julkaisu alkuperäisyys o tarkastettu Turiti OrigialityCheck - ohjelmalla Tamperee yliopisto laatujärjestelmä mukaisesti.

Tiivistelmä Tiivistelmä Tässä kirjoituksessa tutkimme epäyhtälöitä, erityisesti eräide keskiarvoje välillä. Moet iistä voidaa todistaa tai kostruoida muutamie yleiste epäyhtälöide avulla. Tällaisia ovat mm. Jesei, Karamata, Muirheadi, Cauchy-Bujakovski-Schwarzi ja Hölderi epäyhtälöt. Tehokas mutta ei kovi laajalti tuettu meetelmä o Schur-koveksisuus. Se perustuu majoroiiksi kutsuttuu R : alkioide välisee relaatioo. Karamata ja Muirheadi epäyhtälöt perustuvat samaa relaatioo. Esitämme välttämättömä ja riittävä ehdo sille, että derivoituva, symmetrie usea muuttuja fuktio o Schur-koveksi sekä riittävä ehdo sille, että tällaie fuktio o aidosti Schur-koveksi. Todistamme maiitut yleiset epäyhtälöt yhtäsuuruusehtoiee ja sovellamme iitä sekä Schur-koveksisuutta lähteistä löytyeisii tehtävii. Kostruoimme myös muutamia mahdollisesti uusia epäyhtälöitä. Käsittelemme eräitä teoriakokoaisuuksia lähteistä poikkeavalla tavalla. Esimerkiksi johdamme Nesbitti epäyhtälö usealle muuttujalle Tšebyševi epäyhtälö seurauksea. Käsittelemme myös eräitä Yougi epäyhtälöö liittyviä ajakohtaisia tutkimustuloksia. Avaisaoja: Aritmeettie keskiarvo, geometrie keskiarvo, harmoie keskiarvo, kotraharmoie keskiarvo, koveksisuus, majoroiti, Schur-koveksisuus, Jesei epäyhtälö, Karamata epäyhtälö, Muirheadi epäyhtälö, Cauchy-Bujakovski-Schwarzi epäyhtälö, Tšebyševi epäyhtälö, Yougi epäyhtälö, Hölderi epäyhtälö, Mikowski epäyhtälö.

Abstract Abstract I this paper we study iequalities ad especially those betwee certai meas. May iequalities ca be proved or costructed by applyig geeral iequalities such as the iequalities of Jese, Karamata, Muirhead, Cauchy- Buyakovsky-Schwarz ad Hölder. A effective but ot widely kow method is Schur covexity. It is based o a relatio i R called majorizatio. Iequalities of Karamata ad Muirhead are based o the same relatio. A ecessary ad sufficiet coditio for a symmetric fuctio of several variables to be Schur covex are give ad also sufficiet coditio for such a fuctio to be strictly Schur covex are give. We prove the geeral iequalities amed above ad we apply them ad Schur covexity i solutios of problems foud i sources. We also preset some possibly ew iequalities. Some parts of the theory are writte idepedetly of the sources. We prove Nesbitt s iequality for several variables as a cosequece of Chebyshev s iequality. We also discuss some curret results cocerig Youg s iequality. Key words: Arithmetical mea, geometric mea, harmoic mea, cotraharmoic mea, covexity, majorizatio, Schur covexity, Jese s iequality, Karamata s iequality, Muirhead s iequality, Cauchy-Buyakovsky-Schwarz iequality, Chebyshev s iequality, Youg s iequality, Hölder s iequality, Mikowski s iequality.

Sisältö Sisältö Johdato Keskiarvoista 3. Eräitä keskiarvoja......................... 3. Keskiarvo määritelmä...................... 6 3 Kovekseista fuktioista 9 3. Koveksisuude määritelmä ja omiaisuuksia......... 9 3. Koveksisuus ja jatkuvuus.................... 5 3.3 Koveksisuus ja derivoituvuus.................. 8 3.4 Jesei epäyhtälö........................ 3.5 Petrovići epäyhtälö....................... 3 3.6 Koveksisuus ja puolisuuikassäätö.............. 3 4 Paiotetuista keskiarvoista 34 4. Keskiarvoepäyhtälöitä...................... 34 4. Kotraharmoisesta keskiarvosta................ 38 5 Majoroiista 40 5. Majoroiista........................... 40 5. Karamata epäyhtälö....................... 4 5.3 Schuri epäyhtälö ja Muirheadi lause............. 47 5.4 Geometrisia sovelluksia...................... 55 6 Schur-koveksisuudesta 60 6. Schur-koveksisuudesta...................... 60 6. Schlömilchi epäyhtälö...................... 66 6.3 Muirheadi lause tapauksessa = 3............... 69 7 Eräitä klassisia epäyhtälöitä 70 7. CBS-epäyhtälö.......................... 70 7. CBS-epäyhtälö sovelluksia................... 74 7.3 Tšebyševi epäyhtälö....................... 84 7.4 Yougi epäyhtälö........................ 87 7.5 Hölderi epäyhtälö........................ 89 7.6 Mikowski epäyhtälö...................... 94 7.7 Kääteie Yougi epäyhtälö.................. 95 Lähdeluettelo 98

Johdato Johdato Toimittajie kysyessä Michelsoilta vuoa 88 miksi hä mittaa valo opeutta, Michelso vastasi: Because it is such great fu. Ku viisikymmetä vuotta myöhemmi Eistei kysyi miksi hä edellee mittaa valo opeutta, Michelso vastasi: Because it is such great fu. Voisi milloi tahasa vastata samalla tavalla matematiika harrastamista koskevii kysymyksii. Matematiikka o todella mielekiitoista. Itsekuki voi harrastaa sitä omalla tasollaa ja saada elämyksiä oistumisista. V. I. Arold, jota alakoulu opettaja oli pitäyt kertotaulua oppimaa kykeemättömää idioottia, o kertout [5] ratkaisseesa kaksitoistavuotiaaa myöhemmältä opettajaltaa saamasa vaikea tehtävä [, teht. ] mietittyää sitä kokoaise päivä ja kokeeesa se johdosta samalaista mielihyvää kui myöhemmi oistuessaa selvittämää syvällisiä matemaattisia ogelmia. Matematiikassa oistumise tuottama ilo o absoluuttista. Oma kiiostuksei matematiikkaa heräsi keskikoulussa saatuai käsiii Väisälä kuuluisat oppikirjat. Iostavalla opettajallaki oli osuutesa asiaa. Kouluaikaa oli tapaa pohtia ylimääräisiäki tehtäviä harjoituskirjoista ja keskustella iistä samahekiste kavereide kassa. Matematiikasta tuli harrastus. Opiskeluaikaa aloiti kotimaise ja osi ulkomaiseki) matemaattise kirjallisuude keräily. Vahoje tekstie lukemie ja perehtymie matematiika historiaa atoi perspektiiviä tulevaa opettaja työhö. Opettaja toimessa o ollut luoollista pyrkiä tutkimaa hiema laajemmi opettamiaa asioita. Eräs tällaie o Pythagoraa koulukua määrittelemät erilaiset keskiarvot. Useimmissa lukio oppikirjoissa lieee harjoitustehtävää kahde positiivise luvu aritmeettise, geometrise ja harmoise keskiarvo suuruusjärjestykse todistamie. Kysymys o algeb- A H G a b rallisesti melko triviaali, mutta se voidaa ratkaista myös geometrisesti, mikä tekee siitä opetukse kaalta mielekiitoise. Se, että sama ogelma ratkeaa äi perusteellisesti toisistaa poikkeavilla tavoilla, ataa oppilaille käsitykse matematiika todellisesta luoteesta. Tällaiset tehtävät saattavat herättää kiiostukse matematiikkaa kohtaa.

Johdato Jos lukuja o eemmä kui kaksi, keskiarvo-ogelma muuttuu vaikeammaksi. Cauchy lieee esimmäiseä todistaut aritmeettise ja geometrise keskiarvo suuruusjärjestykse yleisessä tapauksessa. Häe ovela alaspäi kulkeva iduktiotodistuksesa o liia hakala lukiossa läpikäytäväksi varsiki, ku iduktiokaa ei kuulu lukio opetussuuitelmaa. Cauchy todistus löytyy mm. Aigeri ja Ziegleri kirjasta []. Siiä o myös hieo, lukiolaiselleki ymmärrettävä tapa todistaa tämä epäyhtälö. Se ioitti miua laatimaa kirjoitukset [0] ja [], joissa käsitellää epäyhtälöitä lukiolaiselle sopivassa muodossa. Näide kirjoituste myötä osoittautui, että keskiarvoje välisistä epäyhtälöistä ja epäyhtälöistä yleisemmiki olisi mahdollista tehdä laajempiki tutkielma. Muutamia melko yleispäteviä meetelmiä tuetaa iide kostruoimiseksi. Fuktio pieimmä ja suurimma arvo määrittämise ohella ehkä tuetui iistä o kolmosluvussa esiteltävä kovekseille fuktioille voimassa oleva Jesei epäyhtälö. Neljäessä luvussa tarkastelemme paiotettuje keskiarvoje välisiä epäyhtälöitä sitä soveltae. Vähemmä tuettuja matemaatikoideki keskuudessa ovat majoroitii perustuvat meetelmät. Niissä R : vektoreille määritellää majoroiiksi kutsuttu järjestysrelaatio. Viideessä luvussa käsitellää majoroitia ja siihe perustuvat Karamata ja Muirheadi epäyhtälöt. Sovelluksia kostruoidaa eräitä eemmä tai vähemmä tuettuja epäyhtälöitä. Esimerkit, joissa ei ole lähdeviitettä, ovat kirjoittaja keksimiä joskaa eivät ehkä aikaisemmi tutemattomia. O osoittautuut, että tietyt symmetriset fuktiot f : R R toteuttavat implikaatio u v fu) fv). ) Tällöi fuktio saotaa oleva Schur-koveksi. Implikaatio ) avulla o mahdollista todistaa lukuisa joukko eri tyyppisiä epäyhtälöitä. Schurkoveksisuude alkeita käsitellää kuudeessa luvussa. Seitsemäessä luvussa todistetaa mm. Cauchy-Bujakovski-Schwarzi, Tšebyševi, Yougi, Hölderi ja Mikowski epäyhtälöt sekä käsitellää lyhyesti eräitä Yougi epäyhtälöö liittyviä ajakohtaisia tutkimustuloksia. Vahaa opettajaa rohkee toivoa oistueei tekemää kirjoituksestai ii selkeä, että se avulla o asiaa vihkiytymättömä mahdollista päästä jyvälle sekä tavaomaisesta että Schur-koveksisuudesta ja eräistä klassisista epäyhtälöistä. Tietämystää hä voi sitte syvetää ja laajetaa Marshalli ja Olkii [] ja Steele [6] kirjoje avulla, joita työi ohjaajaa toimiut emeritusprofessori Jorma Merikoski suositteli luettavaksei. Häelle osoita suure kiitokse asiatutevista euvoista ja ohjauksesta.

Keskiarvoista Keskiarvoista. Eräitä keskiarvoja Pythagoraa koulukuta määritteli suhdeopissaa [3, s. 96] kahde positiivise luvu u ja v keskiarvoja verraoilla, mm. m u v m = m m m u v m = u m m u v m = u v m u v m = v u aritmeettie keskiarvo A), geometrie keskiarvo G), harmoie keskiarvo H), kotraharmoie keskiarvo C), missä m o kyseie keskiarvo. Verraoista seuraa H = +, G = uv, A = u + v u v Keskiarvoje suuruusjärjestys ja C = u + v u + v. ) H G A C ) todistetaa äyttämällä, että kuki epäyhtälö oikea ja vasemma puole erotus o erää luvu eliö. Siiä yhteydessä ähdää, että yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u = v. Keskiarvot ) yleistyvät useammalle positiiviselle luvulle yhtälöillä H = u +... +, u G = u... u, A = u +... + u ja C = u +... + u u +... + u. Ne ovat lukuje u, u,..., u symmetrisiä fuktioita, ja jokaie iistä sijaitsee pieimmä ja suurimma u-luvu välissä. Todistamme, että ) yhtäsuuruusehtoiee o voimassa myös äille yleistetyille keskiarvoille. Teemme se kolmessa erillisessä vaiheessa. 3

Keskiarvoista Vaihe. G A. Voimme rajoituksetta olettaa, että u u... u. Koska G sijaitsee pieimmä ja suurimma u-luvu välissä, o olemassa k, jolle u k G u k+. Koska k u ı G t ) dt + G ı=k+ Guı G t ) dt 0, 3) ja koska itegroitavat ovat ei-egatiivisia, o yhtäsuuruus voimassa, jos ja vai jos u ı = G kaikilla ı {,,... }. Suorittamalla itegroiit ja summaukset epäyhtälö 3) sieveee yhtäpitävästi epäyhtälöksi G A. Vaihe. H G. Soveltamalla edellistä epäyhtälöä u-lukuje kääteislukuihi saamme u... +... + u, u u mistä väite yhtäsuuruusehtoiee seuraa. Vaihe 3. Soveltamalla Cauchy-Bujakovski-Schwarzi epäyhtälöä lukuihi u, u,..., u ja,,..., saadaa epäyhtälö A C yhtäsuuruusehtoiee. Olemme siis todistaeet seuraava lausee. Lause. Positiiviste lukuje u, u,..., u harmoise, geometrise, aritmeettise ja kotraharmoise keskiarvo välillä vallitsee epäyhtälöketju H G A C, missä yhtäsuuruudet ovat voimassa, jos ja vai jos u = u =... = u. Todistus perustui oivalluksii, joita olisi vaikea keksiä tyhjästä. Vaikei vaihe, G A, o Aigeri ja Ziegleri kirjasta [, s. 0]. Se voidaa todistaa moella muullaki tavalla, esimerkiksi sidottua ääriarvotehtävää [0, s. 4], tai kute jo johdaossa maiittii, iduktiolla. Cauchy keksimä iduktiotodistus löytyy myös kirjasta []. Ehkä kaikkei yksikertaisi ja lyhi todistus tälle epäyhtälölle saadaa Muirheadi lausee avulla s. 5, esim ). Lausee. epäyhtälöitä, varsiki AG-epäyhtälöä, sovelletaa usei matematiikkakilpailuissa. Seuraavassa esimerkissä ratkaistaa vuode 0 matematiikkaolympialaisissa esiityyt tehtävä. Ratkaisu oudattaa artikkelissa [8] aettuja suutaviivoja. 4

Keskiarvoista Esim. Olkoo kokoaisluku 3. Todistettava, että jos a, a 3,..., a R + ja a a 3... a =, ii + a ) + a 3 ) 3... + a ) >. Todistus perustuu AG-epäyhtälöö. Jos k {, 3,..., }, ii + a k = k ) mistä AG-epäyhtälöä käyttäe seuraa ja edellee k + a k = k + k +... + k + a k, k k + k +... + ) k + a k + a k ) k Kertomalla epäyhtälöt 4) keskeää saadaa a k ) /k, k ) k k k k ) k a k. 4) + a ) + a 3 ) 3... + a ) a a 3... a, ja koska a a 3... a =, edellee + a ) + a 3 ) 3... + a ). 5) AG-epäyhtälö yhtäsuuruusehdo mukaa yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos k = a k kaikilla k {, 3,..., }, mutta tällöi a a 3... a = )! <, mikä o vastoi oletusta. Epäyhtälössä 5) vallitsee siis pelkästää erisuuruus, jote väite o todistettu. Seuraavassa osaluvussa pohdimme, mitkä omiaisuudet ovat useimmille keskiarvoille yhteisiä ja mitä omiaisuuksia useamma muuttuja reaaliarvoisella fuktiolla tulee olla, jotta se määrittäisi keskiarvoksi kutsutu luvu. Se jälkee keskitymme teoriaa, joka avulla keskiarvoje väliset ja moet muutki epäyhtälöt todistuvat edellä ähtyä helpommi yleisempie lauseide seurauksia. 5

Keskiarvoista. Keskiarvo määritelmä Mitä lukuje u,..., u keskiarvolla tarkoitetaa? Keskiarvoja käsittelevässä kirjallisuudessa esitellää moia jatkuvia fuktioita, joide arvoja kutsutaa u-lukuje keskiarvoiksi. Niillä o eemmä tai vähemmä yhteisiä omiaisuuksia, mutta kaikille yhteistä äyttäisi oleva se, että keskiarvo sijaitsee lukujouko pieimmä ja suurimma luvu välissä ja o riippumato lukuje keskiäisestä järjestyksestä. Voimme siis asettaa seuraava määritelmä. Olkoo f joukossa R tai jossaki se osajoukossa määritelty jatkuva ja symmetrie reaaliarvoie fuktio. Se arvoa fu,..., u ) kutsutaa lukuje u,..., u keskiarvoksi, jos u mi fu,..., u ) u max. Määritelmästä seuraa välittömästi, että fu, u,..., u) = u. Osoitamme, että keskiarvot H, G, A ja C ovat aetu määritelmä mukaisia. Ne ovat selvästi jatkuvia ja symmetrisiä : muuttuja reaaliarvoisia fuktioita. Olkoot m ja M piei ja suuri positiivisista luvuista u,..., u. Saamme suoraviivaiset arviot H = H = u +... + u u +... + u +... + M M +... + m m = M = m = M, = m, G = u u... u M M... M = M = M, G = u u... u m m... m = m = m, A = u +... + u A = u +... + u C = u +... + u u +... + u C = u +... + u u +... + u M +... + M m +... + m = M = M, = m = m, Mu +... + Mu u +... u = M, mu +... + mu u +... u = m. 6

Keskiarvoista Lisäksi ämä keskiarvot ovat lukuje u,..., u homogeeisia ja mootoisia fuktioita. Bulle ataa viitteitä lähteisii, joissa tarkastellaa mahdollisuuksia aksiomatisoida keskiarvo käsite, ks. [5, s. 435]. Tällöi pohdia kohteea o, voisivatko muutamat sopivasti valitut omiaisuudet määrätä joki keskiarvo yksikäsitteisesti. Tämä vaikea kysymys johtaa fuktioaaliyhtälöide teoriaa, emmekä käsittele asiaa tässä työssä. Kahde muuttuja tapauksessa eräät fuktiot geeroivat väliarvolausee kautta keskiarvoja. Jos esimerkiksi f o toise astee polyomifuktio, ii yhtälöstä fb) fa) = f ξ)b a) seuraa yksikäsitteisesti ξ = a + b. Yleisemmi, jos f o fuktio, joka derivaatalla g o kääteisfuktio g, ii väliarvolausee mukaa o olemassa yksikäsitteisesti määrätty ξ ]a,b[ site, että ) b ξ = g gt) dt. ) b a a Lukua ξ voidaa pitää fuktio f geeroimaa lukuje a ja b keskiarvoa, ku sovitaa, että jos a = b, ii ξ = a. Artikkelissa [] pohditaa yhtälö ) määräämä keskiarvo omiaisuuksia sekä sitä, voidaako eräitä tuettuja keskiarvoja saada aikaa tällä tavalla. Kahde positiivise luvu keskiarvoja voidaa määritellä myös jatkuva, aidosti mootoise reaaliarvoise fuktio avulla. Olkoo f : R + R aidosti mootoie, jatkuva fuktio ja a, b > 0. Tällöi lukuje a ja b välissä o täsmällee yksi luku m, jolle fm) = fa) + fb)). Luku m o aetu määritelmä mukaa lukuje a ja b keskiarvo. Se saadaa eksplisiittisesti yhtälöstä m = f fa) + fb)) ). ) Tällöi esimerkiksi fx) = x geeroi lukuje aritmeettise keskiarvo ja gx) = harmoise keskiarvo. x Tämä ajatus voidaa yleistää mielivaltaiselle määrälle positiivisia lukuja. Olkoot u,..., u > 0, ja fx) = x p, missä p 0. Fuktio f o positiivisille 7

Keskiarvoista reaaliluvuille määritelty aidosti mootoie, jatkuva reaaliarvoie fuktio. Välillä [u mi, u max ] o yksikäsitteisesti määrätty luku m, jolle fm) = fu ) + fu ) +... + fu ) mistä seuraa m = mp) = u p = up + u p +... + u p + u p +... + u p ) p. = m p, Lukua mp) kutsutaa lukuje u,..., u potessikeskiarvoksi. Näemme välittömästi, että m) = A ja m ) = H. Potessikeskiarvoa tutkitaa tarkemmi osaluvussa 6., jossa mm. osoitetaa, että lim p 0 mp) = u u... u = G. Yhtälössä ) o lähtökohtaa fuktio f arvoje aritmeettie keskiarvo, mutta se voidaa luoollisesti korvata muillaki keskiarvoilla. Jos esimerkiksi fx) = e x ja ii fm) = fu )fu )... fu ), m = l fu )fu )... fu ) = u + u +... + u. Eri fuktiot voivat määrätä sama keskiarvo. Esimerkiksi mootoiset, jatkuvat fuktiot fx) = x + x ja gx) = + x, missä x R +, määrittelevät aritmeettise keskiarvo kautta sama kahta lukua koskeva keskiarvo. Jos imittäi a, b R +, fm) = a + a + b ) + b ja gm ) = + a + ), + b ii m = m = a + b + ab + a + b. Luku m toteuttaa keskiarvolle asetetut vaatimukset, sillä se o a: ja b: symmetrie fuktio ja sijaitsee äide lukuje välissä. 8

3 Kovekseista fuktioista 3 Kovekseista fuktioista 3. Koveksisuude määritelmä ja omiaisuuksia Tässä luvussa I tarkoittaa reaalilukuväliä ja f yhde reaalimuuttuja reaalifuktiota. Välillä I määritelty fuktio f o koveksi, jos epäyhtälö f λx + λ)y ) λfx) + λ)fy) ) toteutuu kaikilla x, y I ja λ ]0,[. Fuktio o aidosti koveksi, jos f λx + λ)y ) < λfx) + λ)fy) ) kaikilla λ ]0,[ ja kaikilla keskeää erisuurilla x, y I. Esim. Fuktio ux) = x o koveksi, sillä kolmioepäyhtälöstä seuraa kaikilla x, y R ja λ ]0,[. λx + λ)y λ x + λ) y Esim. Fuktio fx) = x o aidosti koveksi, sillä koveksisuusehto ) pelkistyy epäyhtälöksi x y) > 0. Esim. 3 Fuktio gx) = x, x > 0, o aidosti koveksi, sillä koveksisuusehto ) pelkistyy positiiviste lukuje x ja y väliseksi epäyhtälöksi x y + y x > tai x y) > 0 käsittelytavasta riippue. Fuktio f o kokaavi aidosti kokaavi) välillä I, jos erisuuruus epäyhtälöissä ) tai ) o vastakkaisee suutaa. Selvästi fuktio f o aidosti) kokaavi, jos ja vai jos f o aidosti) koveksi. Täte kokaavisuutta koskevat tulokset seuraavat välittömästi koveksisuutta koskevista. Voimme siis keskittyä tutkimaa aitoa) koveksisuutta. Jos f o koveksi, ii piste t,ft)) ei ylitä pisteide x, fx)) ja y, fy)) määräämää jaaa millää t [x,y] I. Lisäksi kuvio suorie kulmakertoi- y, fy)) x, fx)) t, ft)) 9

3 Kovekseista fuktioista mie välillä vallitsee kaksoisepäyhtälö ft) fx) t x fy) fx) y x fy) ft). y t Nämä epäyhtälöt osoitetaa koveksisuudelle välttämättömiksi ehdoiksi viitteissä [4, s. 79], [6, s. 04] ja [8, s. ]. Kuiteki e ovat myös riittäviä. Lause 3. Fuktio f : I R o koveksi, jos ja vai jos kaikille ehdo x < t < y toteuttaville väli I luvuille o voimassa ft) fx) t x fy) fx). 3) y x Todistus Olkoo f koveksi. Olkoot x, t, y I ja x < t < y. Tällöi o olemassa λ ]0,[ site, että t = λ)x + λy. Koska f o koveksi, o ft) λ)fx) + λfy) eli ft) fx) λ fy) fx) ). 4) Koska λ = t x)/y x), seuraa 4):stä 3). Oletetaa kääteisesti, että 3) o voimassa. Olkoot x,y I, x < y ja λ ]0,[. Olkoo edellee t = λx + λ)y ]x,y[, jolloi t x = λ)y x) > 0, ja siis eli Tästä seuraa ft) fx) λ)y x) fy) fx) y x ft) fx) λ)fy) fx)). jote f o koveksi. f λx + λ)y ) = ft) λfx) + λ)fy), Lause 3. Fuktio f : I R o koveksi, jos ja vai jos kaikille ehdo x < t < y toteuttaville väli I luvuille o voimassa fy) fx) y x fy) ft). 5) y t 0

3 Kovekseista fuktioista Todistus Olkoo f koveksi. Olkoot x, t, y I ja x < t < y. Tällöi o olemassa λ ]0,[ site, että t = λx + λ)y. Koska f o koveksi, o ft) λfx) + λ)fy) eli λ fy) fx) ) fy) ft). 6) Koska λ = y t)/y x), seuraa 6):sta 5). Oletetaa kääteisesti, että 5) o voimassa. Olkoot x,y I, x < y ja λ ]0,[. Tällöi t = λx + λ)y ]x,y[ ja y t = λy x) > 0, jote epäyhtälö 5) saadaa muotoo ja edellee mistä seuraa fy) fx) y x fy) ft) λy x), λfy) λfx) fy) ft), f λx + λ)y ) = ft) λfx) + λ)fy). Siis f o koveksi, ja lause o todistettu. Lause 3.3 Fuktio f : I R o koveksi, jos ja vai jos kaikille ehdo x < t < y toteuttaville väli I luvuille o voimassa ft) fx) t x fy) ft). 7) y t Todistus Jos f o koveksi, ii epäyhtälöistä 3) ja 5) seuraa 7). Oletetaa kääteisesti, että 7) o voimassa. Olkoot x,y I, x < y ja λ ]0,[. Tällöi t = λx + λ)y ]x,y[, jote t x = λ)y x) > 0 ja y t = λy x) > 0. 8) Epäyhtälö 7) sieveee muotoo ja edellee 8): avulla y t) ft) fx) ) t x) fy) ft) ), y x)ft) λy x)fx) + λ)y x)fy). Tästä seuraa f λx + λ)y ) λfx) + λ)fy), jote f o koveksi.

3 Kovekseista fuktioista Lauseet 3.4 3.6 todistuvat samalla tavalla kui lauseet 3. 3.3. Lause 3.4 Fuktio f : I R o aidosti koveksi, jos ja vai jos kaikille ehdo x < t < y toteuttaville väli I luvuille o voimassa ft) fx) t x < fy) fx). 9) y x Lause 3.5 Fuktio f : I R o aidosti koveksi, jos ja vai jos kaikille ehdo x < t < y toteuttaville väli I luvuille o voimassa fy) fx) y x < fy) ft). 0) y t Lause 3.6 Fuktio f : I R o aidosti koveksi, jos ja vai jos kaikille ehdo x < t < y toteuttaville väli I luvuille o voimassa ft) fx) t x < fy) ft). ) y t Vastaavat kokaavisuutta koskevat tulokset saadaa käätämällä lauseide 3. 3.6 epäyhtälöt vastakkaisii suutii. Lauseide 3. 3.6 sisältö voidaa kiteyttää seuraaviksi koveksisuude luoehdioiksi. Lause 3.7 Fuktio f : I R o aidosti) koveksi, jos ja vai jos fuktio I \ {a} x fx) fa) x a o aidosti) kasvava kaikilla a I. Fuktio f : I R o aidosti) koveksi, jos ja vai jos fuktio gx,y) = fx) fy), x, y I, x y) x y o aidosti) kasvava kummaki muuttuja suhtee. Esim. 4 Fuktiot fx) = x ja gx) = x x > 0) ähdää aidosti kovekseiksi helposti lausee 3.6 avulla. Jos imittäi x < t < y, ii ft) fx) t x < fy) ft) y t t x t x < y t y t x < y,

3 Kovekseista fuktioista ja jos 0 < x < t < y, ii gt) gx) t x < gy) gt) y t t x t x < y t y t x < y. Esim. 5 Fuktio hx) = x o aidosti kokaavi, sillä jos 0 x < t < y, ii ht) hx) hy) ht) > x < y. t x y t Eräitä koveksie fuktioide yleisiä omiaisuuksia voidaa todistaa lauseide 3. 3.3 avulla. Lause 3.8 [8], s. 8, teht. 5) Rajoitettu koveksi fuktio f : R R o vakio. Todistus Olkoot u, v R ja u < v. Tehdää vastaoletus fu) fv). Voimme olettaa, että fu) < fv). Tapaus fu) > fv) käsitellää samalla tavalla. Määritellää fuktio Jos x > v, ii fx) gx) = gx) = fv) + fx) fv) x v fv) fu) x v). v u ) fv) fu) x v) 0 v u lausee 3.3 perusteella. Siis fx) gx), ku x > v. Ku x, ii gx), jote myös fx), eli f ei ole rajoitettu. Vastaoletus fu) fv) siis johtaa ristiriitaa, jote fu) = fv) kaikilla u, v R. Tutkimme seuraavassa, mite koveksisuus ja kokaavisuus säilyvät fuktioita yhdistettäessä. Oletamme aluksi, että f o välillä I määritelty koveksi fuktio. Jos g o joukossa fi) määritelty kasvava ja koveksi fuktio, ii g f)λx + λ)y) = g fλx + λy)) ) jote g f o koveksi. g λfx) + λ)y ) λg fx) ) + λ)g fx) ), 3

3 Kovekseista fuktioista Jos g o väheevä ja kokaavi fuktio, ii g f)λx + λ)y) = g fλx + λy)) ) jote g f o kokaavi. g λfx) + λ)y ) λg fx) ) + λ)g fx) ), Olkoo f yt välillä I määritelty kokaavi fuktio. Jos g o joukossa fi) määritelty kasvava ja kokaavi fuktio, ii g f)λx + λ)y) = g fλx + λy)) ) jote g f o kokaavi. g λfx) + λ)y ) Jos g o väheevä ja koveksi fuktio, ii λg fx) ) + λ)g fx) ), g f)λx + λ)y) = g fλx + λy)) ) jote g f o koveksi. Kokoamme tulokset lauseeksi. g λfx) + λ)y ) λg fx) ) + λ)g fx) ), Lause 3.9 Oletetaa, että f o välillä I ja g o joukossa fi) määritelty fuktio. i) Jos f o koveksi ja g o kasvava sekä koveksi, ii g f o koveksi. ii) Jos f o koveksi ja g o väheevä sekä kokaavi, ii g f o kokaavi. iii) Jos f o kokaavi ja g o kasvava sekä kokaavi, ii g f o kokaavi. iv) Jos f o kokaavi ja g o väheevä sekä koveksi, ii g f o koveksi. Esim. 6 Fuktio gx) = x x > 0) o väheevä ja koveksi, jote jos f o ei-egatiivie kokaavi fuktio, ii g f)x) = fx) o koveksi. Fuktio hx) = x o kasvava ja kokaavi, jote jos f o ei-egatiivie kokaavi fuktio, ii h f)x) = fx) o kokaavi. 4

3 Kovekseista fuktioista 3. Koveksisuus ja jatkuvuus Suljetulla välillä määritelty koveksi fuktio voi olla jatkuva tai epäjatkuva. Esimerkiksi fuktio {, ku x = 0, fx) = x, ku 0 < x, o koveksi mutta ei jatkuva. Se sijaa avoimella välillä määritelty koveksi fuktio o aia jatkuva. Lause 3.0 Avoimella välillä määritelty koveksi fuktio o jatkuva. Todistus Olkoo ]a,b[ koveksi fuktio f määrittelyväli ja t ]a,b[. Osoitamme, että f o jatkuva pisteessä t. Olkoot c, d, x, y ]a,b[ site, että c < x < t < y < d. Lauseita 3. ja 3.3 soveltae saadaa kaksoisepäyhtälö ft) fc) ft) fx) fd) ft). t c t x d t Esimmäie ja kolmas lauseke ovat x:stä riippumattomia, jote merkitsemme e vakioiksi m ja m. Siis mistä seuraa m ft) fx) t x m, mt x) ft) fx) m t x). Ku x t, ii t x 0, jote fx) ft). Siis, lim fx) = ft). ) x t Lauseide. ja.3 avulla saatavasta kaksoisepäyhtälöstä seuraa samalla tavalla ft) fc) t c jote f o jatkuva pisteessä t. fy) ft) y t fd) ft) d t lim fy) = ft), ) y t+ Jatkuvuus o siis välttämätö ehto avoimella välillä määritelly fuktio koveksisuudelle. Esitämme riittävä ehdo seuraavassa lauseessa, joka o harjoitustehtävää Rudii kirjassa [5, s. 73, teht. 3]. 5

3 Kovekseista fuktioista Lause 3. Jos fuktio f :]a,b[ R o jatkuva ja toteuttaa epäyhtälö ) x + y f kaikilla x,y ]a,b[, ii f o koveksi. fx) + fy) Todistus Vrt. [8, s. 7]) Olkoot x,y ]a,b[, { } k S = Z +, k {0,,..., } Todistamme aluksi iduktiolla, että jos p S, ii ja S = Z + S. 3) f p x + p)y ) p fx) + p) fy). Väite o tosi, ku p S. Oletetaa yt että se o tosi, ku p S, ja olkoo q S +. Luvu q osoittaja h voidaa esittää summaa h = u + v, missä u, v {0,,, 3,... }, jote qx + q)y = u + v x + u + v ) y = + + = u x + u ) ) y + Niipä 3): ja iduktio-oletukse mukaa f qx + q)y ) f jote u + v fx) + f qx + q)y ) u x + u ) ) y u + v Iduktioperiaattee mukaa v x + v ) y + f ). v x + v ) ) y ) fy) = h fx) + h ) fy), h fx) + h ) fy) = qfx) + q)fy). + + f p x + p)y ) p fx) + p) fy) kaikilla p S ja Z +, siis kaikilla p S. Koska S o väli [0,] tiheä osajoukko ja koska f o jatkuva, o epäyhtälö f λx + λ)y ) λ fx) + λ) fy) voimassa kaikilla λ ]0,[, jote f o koveksi. 6

3 Kovekseista fuktioista Rudi toteaa maiitu tehtävä yhteydessä, että fuktio jatkuvuus o ehdo 3) lisäksi välttämätötä fuktio koveksisuudelle. Mutta oko olemassa ehdo 3) toteuttavaa epäjatkuvaa fuktiota? Näytämme, että o. Lause 3. O olemassa epäjatkuva fuktio f, joka toteuttaa yhtälö kaikilla x, y R. fx) = fx + y) + fx y) Todistus Reaalilukuje joukko R voidaa ajatella vektoriavaruudeksi, joka skalaarikuta o Q. Olkoo H = {e ı ı I} tämä avaruude kata. Mielivaltaisesti valittu x R voidaa esittää yksikäsitteisesti lieaarikombiaatioa x = ı I λ ı e ı, 4) missä kertoimet λ ı ovat ratioaalilukuja, ja eitää äärellie määrä iistä o ollasta eroavia. Kiiitetää yksi katavektori e ı0 H, ja asetetaa fuktio f arvoksi kulleki reaaliluvulle x esityksessä 4) oleva λ ı0. Siis, jos x = λ ı0 e ı0 + ı ı 0 λ ı e ı ja y = µ ı0 e ı0 + ı ı 0 µ ı e ı ovat mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja, ii fx) = λ ı0 ja fy) = µ ı0. Nyt mistä seuraa fx) = λ ı0, fx + y) = λ ı0 + µ ı0 ja fx y) = λ ı0 µ ı0, fx) = λ ı0 = λ ı0 + µ ı0 + λ ı0 µ ı0 = fx + y) + fx y). Fuktio ei ole jatkuva, sillä se ei ole vakio f0) = 0 ja fe ı0 ) = ), ja se arvojoukko sisältyy ratioaalilukuje joukkoo. Muuttujavaihdoilla x + y = t ja x y = s äemme, että f toteuttaa lausee 3. ehdo 3). Huomautus Kata H ähdää yliumeroituvaksi epäsuorasti. Jos imittäi se olisi umeroituva, ii tulojouko Q H äärelliste osajoukkoje muodostama joukko P olisi myös umeroituva. Luvu x R esitys kaassa H määrää bijektio j : P R, jote myös R olisi umeroituva. 7

3 Kovekseista fuktioista Lause 3.3 Jos f ja g ovat välillä I määriteltyjä kovekseja fuktioita ja a, b 0, ii fuktio af + bg o koveksi. Todistus Olkoot x, y I sekä λ ]0,[ mielivaltaisesti valittuja. Tällöi, koska f ja g ovat kovekseja ja a, b 0, o af + bg)λx + λ)y) = afλx + λ)y) + bfλx + λ)y) aλfx) + a λ)fy) + bλgx) + b λ)gy) jote af + bg o koveksi. = λaf + bg)x) + λ)af + bg)y), Avoimella välillä I määriteltyje jatkuvie reaalifuktioide joukko o vektoriavaruus, jota merkitää CI). Välillä I määriteltyje koveksie fuktioide joukko o CI): osajoukko, mutta ei aliavaruus, sillä f ei yleesä ole koveksi vaikka f o. Lausee 3.3 mukaa kuiteki kaikki koveksie fuktioide lieaarikombiaatiot, joide kertoimet ovat ei-egatiivisia, ovat kovekseja. Myös ollafuktio o koveksi, jote koveksie fuktioide joukko muodostaa origohuippuise kartio vektoriavaruudessa CI). 3.3 Koveksisuus ja derivoituvuus Avoimella välillä määritelty koveksi fuktio o jatkuva, jote herää kysymys oko se myös derivoituva. Esimerkki fx) = x osoittaa, että äi ei aia ole. Tämä fuktio o kuiteki kaikkialla sekä vasemmalta että oikealta derivoituva, mikä osoittautuu avoimella välillä määriteltyje koveksie fuktioide yleiseksi omiaisuudeksi. Käsittelemme asiaa lauseissa 3.4 3.7 kirja [4] mukaa. Lause 3.4 Olkoo f avoimella välillä I määritelty koveksi fuktio. Tällöi f x) ja f +x) ovat olemassa kaikilla x I. Jos lisäksi a,b I, a < b ja x ]a,b[, ii f +a) f x) f +x) f b). ) Todistus Olkoo x I. Olkoo edellee α ) kohti lukua x suppeeva kasvava joo väli ]a,x[ alkioita, ja β ) ii ikää kohti lukua x suppeeva väheevä joo väli ]x,b[ alkioita. Tarkastellaa erotusosamääristä γ = fα ) fx) α x ja δ = fβ ) fx) β x muodostuvia jooja γ ) ja δ ). Lausee 3.7 mukaa joo γ ) o kasvava ja joo δ ) väheevä. Edellee γ δ ja δ γ kaikilla : arvoilla. 8

3 Kovekseista fuktioista Täte joot γ ) ja δ ) suppeevat mootoise joo suppeemislausee perusteella. Koska α ) ja β ) ovat mielivaltaisia, o lim γ = f x) ja lim δ = f +x). Täte f o vasemmalta ja oikealta derivoituva kaikissa pisteissä x I. Lausee 3.7 mukaa γ δ m kaikilla, m Z +, jote epäyhtälö säilymisperiaattee perusteella f x) f +x). Edellä saotusta seuraa, että toispuoliset derivaatat ovat olemassa myös pisteissä a ja b. Olkoo a ) kohti lukua a suppeeva väheevä joo väli ]a,x[ alkioita. O olemassa 0 site, että jos > 0, ii a < a < α < x. Tällöi myös ε = fa) fa ) a a fa ) fα ) a α fx) fα ) x α f x). Joo ε ) raja-arvo o f +a), jote epäyhtälö f +a) f x) toteutuu. Samalla tavalla todistetaa, että f +x) f b). Siis ) o voimassa. Lause 3.5 Avoimella välillä määritelty koveksi fuktio o derivoituva väli melkei jokaisessa pisteessä. Todistus Olkoo f välillä avoimella välillä I määritelty koveksi fuktio ja S = {x I f x) ei olemassa}. Edellise lausee mukaa f o vasemmalta ja oikealta derivoituva kaikilla x I ja f x) f +x). Jos x S, o siis f x) < f +x), ja o olemassa ratioaaliluku q x ]f x),f +x)[. Jos x, y S ja x < y, ii epäyhtälöketjua ) soveltae saamme f x) < f +x) f y) < f +y), mistä seuraa q x < q y. Täte fuktio S x q x o ijektio. Koska tämä fuktio arvojoukko o umeroituva, o myös se määrittelyjoukko S umeroituva ja site ollamittaie. Olkoo f avoimella välillä I koveksi fuktio. Lauseide 3.7 ja 3. mukaa kaikilla x, c, y I, x < c < y, o voimassa fx) fc) x c f c) f +c) fy) fc). y c Tästä epäyhtälöketjusta saadaa välittömästi seuraava lause. Lause 3.6 Olkoo f avoimella välillä I määritelty koveksi fuktio ja c I. Tällöi kaikilla m [f c),f +c)] ja kaikilla x I o voimassa fx) fc) + mx c). 9

3 Kovekseista fuktioista Siis käyrä y = fx) jokaise pistee c, fc)), c I, kautta kulkee suora y = fc) + mx c), joka ei ylitä käyrää. Tällaista suoraa kutsutaa f: tukisuoraksi supportig lie). Jos f c) < f +c), ii c,fc)): kautta kulkevia tukisuoria o useita. Jos f o derivoituva pisteessä c, ii m = f c), ja tukisuora o käyrä tagetti. y = fx) c, fc)) Derivoituva fuktio koveksisuudelle saamme helpohko kriteeri. Lause 3.7 Olkoo f : I R derivoituva. Jos ja vai jos f o aidosti) kasvava, ii f o aidosti) koveksi. Todistus Olkoot x, t ja y ehdo x < t < y toteuttavia I: lukuja ja f aidosti) kasvava. Väliarvolausee mukaa o olemassa ξ ]x, t[ ja ξ ]t, y[ site, että ft) fx) t x = f ξ ) ja fy) ft) y t = f ξ ). Koska ξ < ξ ja f o kasvava, o f ξ ) f ξ ), jote ft) fx) t x = f ξ ) f ξ ) = fy) ft), y t ja o f koveksi lausee 3.3 perusteella. Jos f o aidosti kasvava, ii epäyhtälöstä ξ < ξ seuraa f ξ ) < f ξ ), jote ft) fx) t x = f ξ ) < f ξ ) = fy) ft), y t ja f o aidosti koveksi lausee 3.6 perusteella. Olkoo yt f : I R koveksi ja derivoituva, sekä x, t, c, s ja y väli I lukuja, joille x < t < c < s < y. Tällöi lauseide 3. - 3.3 perusteella ft) fx) t x fx) fc) x c fy) fc) y c fs) fy), s y mistä epäyhtälö säilymisperiaattee mukaa seuraa f x) f y). Täte f o kasvava. Samalla tavalla todistetaa lauseide 3.4-3.6 avulla), että jos f o aidosti koveksi, ii f o aidosti kasvava. 0

3 Kovekseista fuktioista Seuraus 3.8 Olkoo f : I R derivoituva. Jos ja vai jos f o aidosti) väheevä, ii f o aidosti) kokaavi. Seuraus 3.9 Jos f o kahdesti derivoituva ja jos f o ei-egatiivie, ii f o koveksi. Jos f o ei-egatiivie ja sillä o vai erillisiä ollakohtia, ii f o aidosti koveksi. Jos f o ei-positiivie ja sillä o vai erillisiä ollakohtia, ii f o aidosti kokaavi. Esim. 3 Fuktiot fx) = e x ja gx) = l x ovat aidosti kovekseja, sillä f x) = e x > 0 kaikilla x R ja g x) = x > 0 kaikilla x R +. Esim. 4 Fuktiot f x) = x, Z +, ovat aidosti kovekseja. Fuktiot g x) = x +, Z +, ovat aidosti kovekseja välillä [0, [ ja aidosti kokaaveja välillä ], 0]. Esim. 5 Fuktio f : R + R, o aidosti koveksi, sillä f x) = x > 0. Esim. 6 Fuktio fx) = o aidosti kokaavi välillä ], [, sillä e fx) = x l x l x + l x ku x > e. f x) = x + l x) + + l x) 3) < 0 3.4 Jesei epäyhtälö Koveksisuude määritelmä voidaa kirjoittaa seuraavasti: Fuktio f : I R o koveksi, jos fλ x + λ x ) λ fx ) + λ fx ) kaikilla x, x I ja kaikilla λ, λ ]0, [, joille λ + λ =. Jesei epäyhtälö yleistää määritelmässä oleva epäyhtälö useammalle λ: ja x: arvolle.

3 Kovekseista fuktioista Lause 3.0 Olkoo f : I R koveksi fuktio ja olkoot λ, λ,..., λ positiivisia lukuja, joide summa o. Tällöi kaikilla x, x,..., x I fλ x +... + λ x ) λ fx ) +... + λ fx ). ) Todistus Vrt. [6, s. 87-89]) Koveksisuude määritelmä mukaa väite o tosi ku =. Jos se o tosi ):lle luvulle, ii, koska λ x +... + λ x + λ x = o λ ) λ x +... + λ ) x λ λ + λ x, fλ x +... + λ x + λ x ) λ λ )f x +... + λ ) x + λ fx ) λ λ λ λ ) fx ) +... + λ ) fx ) + λ fx ) λ λ = λ fx ) +... + λ fx ) + λ fx ). Valitsemalla kaikki λ:t yhtä suuriksi saamme moessa yhteydessä käyttökelpoise seurauslausee. Seuraus 3. Jos f : I R o koveksi ja x, x,..., x I, ii ) x + x +... + x f fx ) + fx ) +... + fx ). ) Milloi epäyhtälöissä ) ja ) vallitsee yhtäsuuruus? Saamme yksikertaise välttämättömä ja riittävä ehdo, mikäli koveksisuus o aito. Lause 3. Olkoo f : I R aidosti koveksi, x,..., x I ja λ..., λ positiivisia lukuja, joide summa o. Tällöi fλ x +... + λ x ) = λ fx ) +... + λ fx ) 3) jos ja vai jos x =... = x.

3 Kovekseista fuktioista Todistus Vrt. [6, s. 89-90]) Selvästi 3) o voimassa, jos x =... = x. Oletetaa yt, että 3) o voimassa, ja tehdää vastaoletus, että luvut x,..., x eivät ole kaikki yhtä suuria. Voimme rajoituksetta olettaa, että e ovat pieimmästä alkae suuruusjärjestyksessä. Tällöi x o iistä piei. Olkoo x k esimmäie siitä poikkeava luku. Siis x =... = x k < x k... x. Merkitää vielä µ = λ +... + λ k, jolloi λ k +... + λ = µ. Koska f o aidosti koveksi ja x < λ k µ x k +... + λ µ x, saamme f ) λ x +... + λ x = λk f µx + µ) µ x k +... + λ )) µ x < λk µfx ) + µ)f µ x k +... + λ ) µ x λ +... + λ k )fx ) + λ k fx k ) +... + λ fx ) = λ fx ) + λ fx ) +... + λ fx ), mikä o ristiriidassa oletukse 3) kassa. Siis ei ole esimmäistäkää lukua x k, joka poikkeaisi pieimmästä luvusta x, jote x =... = x. Yleisessä tapauksessa o helppo osoittaa, että 3) o voimassa, jos ja vai jos x =... = x tai ämä luvut kuuluvat sellaisee välii, jossa f o asteluvultaa eitää oleva polyomi. Seuraavassa o vielä yksi käyttökelpoie muoto lausee 3.0 välitö seuraus) Jesei epäyhtälöstä. Lause 3.3 Jos w,..., w > 0 ja f o välillä I määritelty koveksi fuktio, ii ) w x + w x +... + w x f w fx ) + w fx ) +... + w fx ) w + w +... + w w + w +... + w kaikilla x, x,..., x I. Huomautus Kokaaveille fuktioille saadaa lauseita 3.0 ja 3.3 vastaavat tulokset käätämällä iissä erisuuruusmerkit vastakkaisii suutii. Lausee 3. yhtäsuuruusehto o voimassa myös iille. 3

3 Kovekseista fuktioista Käsittelemme seuraavissa esimerkeissä eräitä Jesei epäyhtälö sovelluksia. Esim Fuktio fx) = x o aidosti koveksi, jote seurauslausetta 3. soveltae saadaa kaikilla x, x,... x R voimassa oleva epäyhtälö x + x +... + x ) x + x +... + x ). Yhtäsuuruus vallitsee, jos ja vai jos x = x =... = x. Näi saadaa uusi todistus AC-epäyhtälölle lause.). Esim. Vrt. [6, teht. 6.], jossa = 3) Jos u +... + u = ja luvut u ı ovat positiivisia, ii + ) + )... + ) + ). u u u Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u = u =... = u =. Väittee todistamiseksi tutkitaa fuktiota f : R + R, fx) = l + ). x Se o aidosti koveksi, sillä f x) = x + x) > 0. Jesei epäyhtälö ) u + u +... + u f fu ) + fu ) +... + fu ) mukaa ) l + ) )) l + u u +... + u +... + l + u. Koska u +... + u =, saadaa l + ) l + u )... + u ) ), mistä väite seuraa. Yhtäsuuruusehto o voimassa, koska f o aidosti koveksi. Huomautus Jos erityisesti u +... + u =, ii + ) + )... + ) u u3 u. Tämä epäyhtälö muistuttaa sivulla 5 ähtyä olympiatehtävä epäyhtälöä. 4

3 Kovekseista fuktioista Seuraava esimerkki käsitellää eri tavalla kui lähteessä [5, s. ]. Esim. 3 Jos u,..., u > 0, ii + u u... u + u ) + u )... + u ). Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u = u =... = u. Väittee todistamiseksi tutkitaa fuktiota fx) = l + e x ). Se o aidosti koveksi, sillä f e x x) = + e x ) > 0 kaikilla x R. Soveltamalla Jesei epäyhtälöä lukuje u ı logaritmeihi saadaa ) l u + l u +... + l u f fl u ) + fl u ) +... + fl u ), mikä sievetyy muotoo l + e ) l u...u ) l + e l u )... + e l u ) ) ja edellee l + ) u... u ) l + u )... + u ), mistä väite seuraa. Yhtäsuuruusehto o voimassa, koska f o aidosti koveksi. Seuraavassa esimerkissä todistetaa useita epäyhtälöitä sama fuktio avulla Jesei epäyhtälöä soveltae. Esim. 4 Jos u, u,..., u, ii ja u + u + u + u +... + u + u G u + G u, 4) + u + + u +... + + u + G u, 5) missä G u o äide lukuje geometrie keskiarvo. Yhtäsuuruudet ovat voimassa, jos ja vai jos u =... = u. 5

3 Kovekseista fuktioista ja Jos 0 < v, v,..., v, ii v + v + v + v +... + v + v G v + G v, 6) + +... + + v + v + v + G v, 7) missä G v o äide lukuje geometrie keskiarvo. Yhtäsuuruudet ovat voimassa, jos ja vai jos v =... = v. Epäyhtälöide 4) 7) todistamiseksi tutkitaa fuktiota fx) = ex + e x. Se o aidosti koveksi välillä ], 0] ja aidosti kokaavi välillä [0, [, sillä se toie derivaatta f x) = ex e x ) + e x ) 3 o positiivie välillä ], 0[ ja egatiivie välillä ]0, [. Soveltamalla Jesei epäyhtälöä lukuje u,..., u logaritmeihi saadaa e l u +...+l u ) + e l u +...+l u ) ) e l u + e +... + el u, l u + el u mistä 4) yhtäsuuruusehtoiee seuraa. Jos 0 < v, v,..., v, saadaa samalla tavalla epäyhtälö 6). Soveltamalla epäyhtälöä 6) lukuje u,..., u kääteislukuihi saadaa epäyhtälö 5). Soveltamalla epäyhtälöä 4) lukuje v,..., v kääteislukuihi saadaa epäyhtälö 7). Yhtäsuuruusehtoje voimassaolo seuraa epäyhtälöide 4) ja 6) yhtäsuuruusehdoista. Esim. 5 [6, teht. 9.6] Olkoot p > ja u,..., u, v,..., v pätee Mikowski epäyhtälö > 0. Tällöi ) u ı + v ı ) p p u p ı ) p + vı p ) p. Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos o olemassa positiivie vakio k site, että v ı = ku ı kaikilla ı {,,..., }. Väite todistuu fuktio f :]0, [ R, fx) = ) + x p p 6

3 Kovekseista fuktioista avulla. Se o aidosti kokaavi, sillä f x) = p p x + p + x p ) p < 0 kaikilla x ]0, [ ja p ], [. Lausetta 3.3 vastaava kokaavia fuktiota käsittelevä lausee mukaa ) w +...+w ) p + w x +...+w x ) p p w +x p ) p +...+w +x p ) p kaikilla x,..., x R + ja kaikilla w,..., w R +. Olkoot u,..., u ja v,..., v positiivisia reaalilukuja. Sijoittamalla viimeksi saatuu epäyhtälöö ) w ı = u p vı p ı ja x ı = kaikilla ı {,,..., } u ı saadaa ) u p +... + u p ) p + v p +... + v) p p p u + v ) p +... + u + v ) p ja edellee ) u ı + v ı ) p p u p ı ) p + vı p ) p. Koska f o aidosti kokaavi, o yhtäsuuruus voimassa, jos ja vai jos x ı = vı u ı ) p = k p = vakio kaikilla ı {,,..., } eli jos ja vai jos v ı = ku ı kaikilla ı {,,..., }. Käsittelemme Mikowski epäyhtälöä perusteellisemmi luvussa 7.6. Seuraava esimerki tehtävä o Leigradi ykyisi Pietari) matematiikkaolympialaisista vuodelta 988. Esim. 6 [9, teht. 53] Olkoot a, b, c, d positiivisia reaalilukuja. Osoitettava, että a + b + 4 c + 6 d 64 a + b + c + d. Väite todistuu Jesei epäyhtälö avulla, mutta ratkaisu ei ole aiva suoraviivaie. Fuktio gt) = 8t, t > 0, o aidosti koveksi. Soveltamalla Jesei epäyhtälöä lukuihi a, b, c, 4 d paioilla 8, 8, 4, saadaa g 8 a + 8 b + 4 c + 4 d) 8 ga) + 8 gb) + 4 g c) + g 4 d), 7

3 Kovekseista fuktioista mikä sievetyy muotoo 64 a + b + c + d a + b + 4 c + 6 d. Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos a = b = c = d. Yhtäsuuruusehto 4 sieveee muotoo d = 4a, c = a, b = a. Seuraava esimerkki juotuu epäoistueesta yrityksestä todistaa edellise esimerki epäyhtälö AG-epäyhtälö avulla. Esim. 7 Osoitettava, että jos a, b, c > 0, ii AG epäyhtälö avulla saadaa 3 a + b + 8 c a + b + 8 c > 8 a + b + c. 8) ) 3 8 abc eli a + b + 8 c 3 6 9) abc ja 3 a + b + c abc, 0) 3 jote a + b + 8 c 3 3 6 abc a + b + c) = 8 a + b + c. 3 Siis a + b + 8 c 8 a + b + c. Yhtäsuuruus sulkeutuu pois, sillä se ei voi olla voimassa AG-epäyhtälöissä 9) ja 0) samaaikaisesti. Edellie esimerkki herättää kysymykse, millä vakio α arvolla epäyhtälö a + b + 8 c α a + b + c o voimassa kaikilla a, b, c > 0 site, että myös yhtäsuuruus o voimassa joillaki muuttujie arvoilla. Tämä ratkaistaa seuraavassa esimerkissä. Esim. 8 Jos a, b, c > 0, ii a + b + 8 c 4 + ) a + b + c. ) Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos b = a ja c = a. 8

3 Kovekseista fuktioista Epäyhtälö ) todistuu aidosti koveksi fuktio gt) = t, t > 0, avulla soveltamalla Jesei epäyhtälöä lukuihi missä a, b ja c 4 paioilla λ, λ ja λ, λ = ). Fuktio g aido koveksisuude takia yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos a = b = 4 c, mikä pelkistyy muotoo b = a, c = a. Lähtee [9] mukaa seuraavaa potessikeskiarvoepäyhtälöä tarvitaa toisiaa vaikeammissa kilpailutehtävissä. Esim. 9 [9, teht. 5] Jos 0 < s < t, p,..., p > 0, x,..., x > 0 ja p +... + p =, ii p k x s k k= ) s ) p k x t t k. k= Väittee todistamiseksi tutkimme fuktiota gu) = u t s, u > 0. Se o aidosti koveksi, koska t > s > 0. Soveltamalla Jesei epäyhtälöä lukuihi x s,..., x s saadaa mikä sieveee muotoo ja edellee gp x s +... + p x s ) p gx s ) +... + p gx s ), p x s +... + p x s ) t s p x s ) t s +... + p x s ) t s, p x s +... + p x s ) t s p x t +... + p x t. Korottamalla viimeksi saatu epäyhtälö potessii saadaa todistettava t epäyhtälö. Koska fuktio g o aidosti koveksi, o yhtäsuuruus voimassa, jos ja vai jos x s =... = x s eli x =... = x. Seuraava esimerkki o tavallaa esimerkkie 6 ja 8 yleistys mielivaltaiselle muuttujamäärälle. 9

3 Kovekseista fuktioista Esim. 0 Jos u,..., u > 0 ja v,..., v > 0, ii v + v +... + v ) u + u +... + u v u + v u +... + v u. ) Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos vektorit ovat samasuutaiset. u = u, u,..., u ) ja v = v, v,..., v ) Tämäki epäyhtälö todistuu aidosti koveksi fuktio gt) = t, t > 0, ja Jesei epäyhtälö avulla. Olkoot s = v +... + v, λ k = v k s ja α k = u k λ k, missä k =,,...,. Tällöi λ +λ +...+λ =, jote Jesei epäyhtälö mukaa gλ α + λ α +... + λ α ) λ gα ) + λ gα ) +... + λ gα ), mikä sieveee muotoo ja edellee u + u +... + u λ u + λ u +... + λ u v ) + v +... + v, u + u +... + u s u u u mistä ) seuraa. Koska g o aidosti koveksi, o yhtäsuuruus voimassa, jos ja vai jos α = α =... = α. Yhtäsuuruusehto sieveee muotoo u = u =... = u, v v v mikä o yhtäpitävää vektorie samasuutaisuude kassa. u = u, u,..., u ) ja v = v, v,..., v ) Esim. Olkoo x diskreetti, äärellie satuaismuuttuja, joka arvojoukko {x, x,..., x } sisältyy koveksi fuktio f määrittelyvälii I. Jos P x = x k ) = p k, ii p + p +... + p =. Jesei epäyhtälö mukaa fp x + p x +... p x ) p fx ) + p fx ) +... + p fx ), eli fex) Efx). 30

3 Kovekseista fuktioista 3.5 Petrovići epäyhtälö Lause 3.4 Petrovići epäyhtälö) Jos f : [0, [ R o koveksi fuktio, ii fx ) + fx ) +... + fx ) fx + x +... + x ) + )f0) ) kaikilla x, x,..., x > 0. Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos f o eitää astetta oleva polyomi. Todistus [4, s. 36 37] Merkitää s = x ı ja λ ı = x ı s. Tällöi λ ı = ja x ı = λ ı s + λ ı ) 0 kaikilla ı =,.... Fuktio koveksisuudesta seuraa fx ı ) λ ı fs) + λ ı )f0), ı =,...,. Laskemalla yhtee ämä epäyhtälöt saadaa ). Yhtäsuuruusehto o selvästi voimassa. Huomautus Jos f : [0, [ R o kokaavi, ii epäyhtälössä ) o vastakkaissuutaie erisuuruus. Jos f o aidosti koveksi tai kokaavi, ii epäyhtälössä vallitsee pelkästää erisuuruus. Petrovići epäyhtälö avulla o helppo kostruoida epäyhtälöitä, joide todistamie olisi muute työlästä.. Esim. Fuktiot f : [0, [ R, fx) = x + x sekä gx) = fx) ovat aidosti kokaaveja ja f0) = g0) = 0. Jos a, b, c > 0, ii ja a + a + b + b + c + c > a + b + c + a + b + c a b c a + b + c + a + + b + + c > + a + b + c. Nämä epäyhtälöt yleistyvät välittömästi useammalleki positiiviselle luvulle. 3

3 Kovekseista fuktioista 3.6 Koveksisuus ja puolisuuikassäätö Jos fuktio f o aidosti koveksi välillä I ja [a, b] I, ii puolisuuikassääöllä saadaa itegraali ylälikiarvo. Jos siis b a fx) dx o väli [a, b] tasavälie jako, ii mistä seuraa a = x 0 < x <... < x < x = b b a fx0 ) + fx ) +... + fx ) + fx ) ) > fx 0 ) + fx ) +... + fx ) > fa) + fb) + b a Jos f o aidosti kokaavi, ii saadaa vastaavasti epäyhtälö b a b a fx) dx, ) fx) dx. ) fx 0 ) + fx ) +... + fx ) < fa) + fb) + b a b a fx) dx. 3) Esim. Fuktio fx) = x, x > 0, o aidosti koveksi, jote epäyhtälöä ) soveltae saamme harmoise sarja :elle osasummalle s,, alaraja s > + + x dx = + + l, mikä osoittaa, että sarja hajaatuu. Tästä epäyhtälöstä seuraa myös, että γ = s l > + >, ku, jote joo γ ) = o alhaalta rajoitettu. Se o myös aidosti väheevä, sillä γ γ + = + dx x + + > dx + + = 0. Mootoise joo suppeemislausee perusteella joo γ ) = o siis suppeeva. Tuetusti se raja-arvo o Euleri vakio γ. 3

3 Kovekseista fuktioista Esim. Fuktio fx) = x, x > 0, o aidosti koveksi, jote epäyhtälöstä ) seuraa mikä sieveee muotoo + +... + > + + x dx, + +... + > + 3. 4) Oikea puoli o varsi hyvä likiarvo summalle + +... +. Esimerkiksi arvolla = 00 tämä summa o kahdella desimaalilla) 8,59 ja kaava 4) atama arvo o 8,55. Esim. 3 Fuktio fx) = x, x 0, o aidosti kokaavi, jote epäyhtälöä 3) soveltae saadaa + +... + < + + x dx, mikä sieveee muotoo + +... + < + 3 6. 5) Oikea puoli o tässäki tapauksessa hyvä likiarvo summalle + +... +. Esimerkiksi arvolla = 00 tämä summa o 67,46 ja kaava 5) atama arvo o 67,50. Esim. 4 Olkoo p >. Fuktio fx) = x p, x > 0, o aidosti koveksi, jote samalla tavalla kui esimerkissä saadaa epäyhtälö + p +... + p > + p p + p p. Esimerkiksi arvoilla = 00 ja p =, epäyhtälö vase puoli o 3,60 ja oikea puoli o 3,5. Atamalla p saadaa harmoise sarja osasummalle esimerkissä ähtyä heikompi arvio s + + l. 33

4 Paiotetuista keskiarvoista 4 Paiotetuista keskiarvoista 4. Keskiarvoepäyhtälöitä Paiotetut keskiarvot H λ = λ u, +... + λ u G λ = u λ... u λ, A λ = λ u +... + λ u ja C λ = λ u +... + λ u λ u +... + λ u, missä u,..., u > 0, λ... λ > 0 ja λ +... + λ =, eivät ole määritelmä mukaisia keskiarvoja koska e eivät ole muuttujiesa symmetrisiä fuktioita. Lause. voidaa kuiteki yleistää iitäki koskevaksi. Lause 4. Positiiviste lukuje u,..., u paiotettuje keskiarvoje välillä vallitsee epäyhtälöketju H λ G λ A λ C λ, ) missä yhtäsuuruudet ovat voimassa, jos ja vai jos u =... = u. Todistus Vaihe. G λ A λ. O olemassa luvut x,..., x site, että u ı = e xı kaikilla ı {,,..., }. Koska fuktio fx) = e x o aidosti koveksi, o Jesei epäyhtälö mukaa e λ x +...+λ x λ e x +... + λ e xx. Yhtälöide u k = e x k avulla tämä sieveee muotoo G λ = u λ u λ... u λ λ u + λ u +... + λ u = A λ. Vaihe. H λ G λ. Soveltamalla edellistä epäyhtälöä lukuihi u,..., u saamme u λ mistä välittömästi seuraa H λ = λ u... u λ λ u +... + λ u 34 +... + λ u, u λ... u λ = G λ.

4 Paiotetuista keskiarvoista Vaihe 3. Fuktio gx) = x epäyhtälöä soveltae o aidosti koveksi, jote saamme Jesei λ u +... + λ u ) λ u +... + λ u, mistä seuraa A λ = λ u +... + λ u λ u +... + λ u λ u +... + λ u = C λ. Siis ) o voimassa. Koska fuktiot fx) = e x ja gx) = x ovat aidosti kovekseja, vallitsee lausee 3. perusteella tässä ketjussa yhtäsuuruus, jos ja vai jos luvut u ı ovat kaikki keskeää yhtäsuuria. Sijoittamalla λ-lukuje paikalle saamme tavaomaisia keskiarvoja koskeva epäyhtälöketju. Huomautus Helposti ähdää, että ) o voimassa vaikka joki λ ı = 0. Seuraavassa käsitellää muutamia esimerkkejä tavaomaise ja paiotetu AG-epäyhtälö avulla todistuvista epäyhtälöistä. Aloitamme kuiteki Jesei epäyhtälö sovelluksella. Esim. Olkoot u,..., u > 0 ja A iide aritmeettie keskiarvo. Tällöi A A u u u u... u u, ) missä yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u =... = u. Fuktio fx) = x l x o aidosti koveksi, jote Jesei epäyhtälö mukaa ) ) u +... + u u +... + u l u l u +... + u l u, mistä ) yhtäsuuruusehtoiee seuraa. Esim. Jos positiiviste lukuje u,..., u aritmeettie keskiarvo o, ii edellise esimerki epäyhtälöstä ) ja AG-epäyhtälöstä seuraa välittömästi, että u u... u u u u u... u u. 3) Yhtäsuuruudet ovat voimassa, jos ja vai jos u k = kaikilla k {,..., }. Tapauksessa = epäyhtälö 3) vase puoli o triviaali, mutta se oikea puoli sopii lukioo harjoitustehtäväksi. Käsittelemme se seuraavassa esimerkissä. 35

4 Paiotetuista keskiarvoista Esim. 3 Osoitettava, että x) x + x) +x > kaikilla x ]0,[. Ogelma ratkeaa tutkimalla vasemma puole logaritmia. Fuktio ku 0 x <, jote se logaritmi fx) = x) x + x) +x > 0, gx) = x) l x) + + x) l + x) o äillä x: arvoilla määritelty. Fuktio g derivaatta sieveee muotoo ) + x g x) = l. x Derivaatta o positiivie ku 0 < x <, jote g o aidosti kasvava. Koska g0) = 0 ja g o jatkuva välillä [0, [, o gx) > 0, ku 0 < x <. Koska fx) = l gx), o fx) >, ku 0 < x <. Edeltävissä esimerkeissä oletimme, että positiiviste lukuje aritmeettie keskiarvo o. Katsomme yt mitä AG-epäyhtälöstä seuraa, jos lukuje geometrie keskiarvo o. Esim. 4 Jos u, u,..., u > 0 ja äide lukuje geometrie keskiarvo o, ii AG-epäyhtälö tulee muotoo mistä seuraa u + u +... + u Erityisesti jos u, u,..., u > 0, ii, u + u +... + u. u + u +... + u + u. 4) u u 3 u u AG-epäyhtälö yhtäsuuruusehdo perusteella yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos u = u =... = u = u, u u 3 u u mikä puolestaa toteutuu, jos ja vai jos u =... = u. Epäyhtälö 4) o yleistys koulumatematiikassaki tuetusta positiivisia lukuja a, b koskevasta epäyhtälöstä a b + b a. Se todistamie ilma AG-epäyhtälöä tutuu hakalalta. 36

4 Paiotetuista keskiarvoista Keskiarvoje välisistä epäyhtälöistä saadaa helposti muitaki äyttäviä harjoitustehtäviä. Esim. 5 Ei-egatiiviset luvut x, y, z toteuttavat epäyhtälö sillä se voidaa kirjoittaa muotoo x + y x + y)y + z)z + x) 8xyz, y + z z + x xy yz zx, mistä väite seuraa AG-epäyhtälö perusteella. Tämä epäyhtälö yleistyy välittömästi useampaa lukua koskevaksi. Jos a, a,..., a 0, ii a ı a ı. j= ı j Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos a =... = a. Esim. 6 Olkoot a, b, c > 0 ja s = a + b + c. Paiotettua AG-epäyhtälöä soveltae saamme epäyhtälöt a s a + b s b + c s c c s a + a s b + b s c b s a + c s b + a s c ) a/s ) b/s ) c/s, a b c ) c/s ) a/s ) b/s, a b c ) b/s ) c/s ) a/s, a b c joide tulo sieveee epäyhtälöksi a b + b c + c ) b a a + c b + a ) c a + b + c)3. 3abc Tämäki yleistyy useammalle luvulle. Olkoot a,..., a > 0 ja σ k permutaatio, joka permutoi joo,,..., ) jooksi k, k +,...,,,... k ). Tällöi a ) σk ı) a k a ı. 5) k= a ı Yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos a =... = a. 37