Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio
Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko (mihin joukkoon x kuuluu?) B on maalijoukko (mihin joukkoon y kuuluu? V f B on arvojoukko (mille B:n osajoukolle f kuvaa A:n?) Funktio f kuvaa jokaisen lähtöjoukon A alkion yksikäsitteisesti maalijoukkoon B Polynomifunktio on muotoa f: R R, f x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n 2
Tällä luennolla Tarkastelemme muita tavallisia funktiotyyppejä Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio 3
Potenssifunktio Funktiot x 1, x 2, x 3,, x n ovat polynomifunktioita f: R R, f x = x n, n N Tulkinta: x n = x x x eli x kerrotaan itsensä kanssa n kertaa. n kpl Potenssifunktio on edellä kuvatun kaltaisen polynomifunktion yleistys tilanteeseen, jossa eksponentti ei välttämättä ole positiivinen kokonaisluku: f: R R, f x = x n, n R Esim. x 1/2, x 5/2, x 2, x 3, x π Ei samanlaista tulkintaa kuin tapauksessa n N 4
Potenssifunktion kuvaaja Esimerkkejä, kun n > 1: Kasvava marginaalihyöty Kasvava marginaalikustannus ( Diseconomies of scale ) Esimerkkejä, kun 0 < n < 1: Laskeva marginaalihöyty Laskeva marginaalikustannus ( Economies of scale ) 5
Potenssifunktion kuvaaja Esimerkkejä, kun n < 0: Tuotannon arvon kasvunopeus työvoimapanoksen funktiona Monet fysikaaliset ilmiöt (esim. gravitaatiovoima tai lampun valaisuteho etäisyyden funktiona) 6
Potenssifunktion laskusääntöjä 1. x n x m = x n+m, Esim. x 2 x 3 = x 5 2. x n x m = xnm, Esim. x5 x 2 = x3 3. (x n ) m = x nm, Esim. (x 2 ) 2 = x 2 4. (xy) n = x n y n, Esim. (xy) 2 2 2 3 = x 3 y 3 x n = x n 3 = x 3 5. Esim. x y y n y 6. x 0 = 1 Esim. 2 0 = 1 y 3 Lisäksi käytetään merkintöjä 1. x n = 1 x n. Esim. x2 = 1 x 2 2. x 1 n = n x. Esim. x 1 2 = 2 x = x 7
Sovellus tasapainohinnoitteluun Esim. Ekonomisti tutki kultakalakaviaarin kysynnän ja tarjonnan (kg) riippuvuutta yksikköhinnasta x ( /kg): Kysyntä f: R + R +, f x = 13262x 1.14 Tarjonta g: R + R +, g x = 1.16x 1.52 Markkinat ovat tasapainossa kysyntä- ja tarjontakäyrien leikkauspisteessä, eli kun kysyntä = tarjonta: f x = g x 13262x 1.14 = 1.16x 1.52 13262 1.16 = x1.52 x 1.14 = x1.52+1.14 = x 2.66 13262 1.16 1 2.66 = x 2.66 1 2.66 = x x 33.54 /kg 8
Eksponenttifunktio Eksponenttifunktio on muotoa f: R R ++, f x = a x, missä kantaluku a > 0, a 1 on vakio Eksponenttifunktio sopii malliksi tilanteessa, jossa muuttujan suhteellinen muutos on vakio (vrt. geometrinen jono). Esim. Geenimuunneltujen bakteerien avulla tuotetaan lääkkeen L erästä raaka-ainetta. Käytetystä bakteerikannasta tiedetään, että sen koko kaksinkertaistuu tunnissa 20 C lämpötilassa. Jos bakteeriviljelmässä on tällä hetkellä n. 10 000 bakteeria, kuinka suuri määrä on x tunnin kuluttua? Tasatunneittain x N kyseessä on geometrinen lukujono a x = 10 000 2 x Sama tulos voidaan yleistää myös tilanteeseen, jossa x R bakteerikannan kehitystä ajan suhteen kuvaa eksponenttifunktio f: R R +, f x = 10 000 2 x Esim. 1.5 tuntia aiemmin bakteereja oli 10 000 2 1.5 3 500 Esim. 2.5 tunnin kuluttua bakteereja on 10 000 2 2.5 56 600 9
Eksponenttifunktion kuvaaja, kun a > 1 Eksponenttifunktio f x = a x on kasvava, jos a > 1. Esim. Kun alkupääoma on K ja korkokanta 5%, kertynyt pääoma ajan t funktiona on f t = K 1.05 t. Funktion arvo kasvavat nopeasti hyvin suuriksi eksponentiaalinen räjähdys Esim. Pena on ryhtynyt verkostomarkkinointiyrityksen myyjäksi. Hänen on itse rekrytoitava 5 uutta myyjää, joiden tulee taas kunkin rekrytoida 5 uutta myyjää jne. Gold-tasolle päästäkseen (vuosiansio n. 15 000 ) Penan tulee saada alleen 5 myyjätasoa. Royal Diamond tasolle päästäkseen (vuosiansio n. 600 000 ) Penan tulee saada alleen 10 myyjätasoa. Kuinka monta myyjää Gold- ja Royal Diamond tasoille pääsemiseksi tarvitaan yhteensä? Ratkaisu: Myyjien määrä tasojen lukumäärän x funktiona on f x = 5 x. Gold-tasolle tarvitaan siis 5 5 = 3125 myyjää ja Royal Diamond tasolle 5 10 = 9 765 625 myyjää. 10
Eksponenttifunktio e x Tärkeä erikoistapaus f x = e x = lim n 1 + x n Esim. Kun alkupääoma on K, vuosikorko on 5% ja korkoa lisätään jatkuvasti, kertynyt pääoma ajan t funktiona on f t = K e 0.05t. Funktio e x esiintyy myös monien todennäköisyysjakaumien tiheysfunktiossa, esim: n. Normaalijakauma: f x = 1 σ 2π e1 2 Eksponenttijakauma: f x = λe λx xμ σ 2 Funktion e x derivointi ja integrointi on helppoa (tästä lisää myöhemmin) Kompleksilukujen maailmassa funktio e x on myös kiinteässä yhteydessä trigonometrisiin funktioihin: e x+yi = e x (cos y + i sin y), missä i = 1 e πi + 1 = 0. 11
Eksponenttifunktion kuvaaja, kun a < 1 Eksponenttifunktion f x = a x on vähenevä, jos a < 1. Esim. Kun auton arvo ostettaessa on K ja se alenee vuosittain 15%, on arvo ajan x funktiona f x = K 0.85 x. Esim. Monet fysikaaliset ilmiöt, kuten radioaktiivisen aineen määrä ajan funktiona Koska a 0 = 1 kaikilla a R, kaikki eksponenttifunktiot kulkevat pisteen (0,1) kautta (ks. myös kalvon 10 kuva). 12
Potenssifunktion laskusäännöt pätevät myös eksponenttifunktiolle 1. a x a y = a x+y, Esim. 2 x 2 y = 2 x+y a x 2. = a y axy, Esim. 3x 3y = 3xy 3. (a x ) y = a xy, Esim.(2 x ) y = 2 xy 4. (ab) x = a x b x, Esim. 6 x = (2 3) x = 2 x 3 x 5. a b x = a x b x Esim. 2 x = 4 2 x = 4 x 2 x 13
Presemo-kysymys Sievennä x3.5 x 2 x 0.5 2. 1. x 0.5 2. x 2 3. x 4 14
Logaritmifunktio Esim. Lääkeen L valmistuksessa käytettävän bakteerikannan suuruutta ajan y suhteen kuvaa funktio f: R R +, f y = 10 000 2 y. Kauanko kestää, että bakteereja on 80 000 kpl? Eli mikä on y:n arvo, kun 10 000 2 y = 80 000 2 y = 8? 80 000 bakteeria Logaritmifunktio f: R ++ R, y = f x = log a x, a > 0, a 1 vastaa kysymykseen: Mihin lukuun y kantaluku a pitää korottaa, jotta saadaan x? Edellä kantaluku 2 pitää korottaan 3. potenssiin, jotta saadaan 8 y = log 2 8 = 3. 15
Logaritmifunktio Yleisesti: Bakteerikannan suuruutta ajan y suhteen kuvaa funktio f y = 10 000 2 y. Kauanko kestää, että bakteereja on x kpl? Mihin lukuun 2 pitää korottaa, jotta saadaan x = 10 000 2 y 2 y x = 10 000 x y = f(x) = log 2 10 000 x 10 000? 16
Logaritmifunktion ominaisuuksia Logaritmifunktio on Kasvava x:n suhteen, kun kantaluku a > 1 Vähenevä x:n suhteen, kun kantaluku a < 1 1. log a 1 = 0, koska 2. log a a = 1, koska 3. log a a x = x, koska Kuvalähde: https://www.cs.helsinki.fi/u/jhasa/kurssit/y100_s12/materiaali _osa6_y100_s12.pdf 17
Logaritmifunktion laskusäännöt Tulon logaritmi on logaritmien summa: log a xy = log a x + log a y Esim. log 2 32 = log 2 8 4 = log 2 8 + log 2 4 = 3 + 2 = 5. Osamäärän logaritmi on logaritmien erotus: log a x y = log a x log a y Esim. log 2 8 = log a 32 4 = log 2 32 log 2 4 = 5 2 = 3. 18
Logaritmifunktion laskusäännöt Eksponentti hyppää kertoimeksi: log a x d = d log a x Esim. log 2 16 = log 2 4 2 = 2 log 2 4 = 2 2 = 4. Kantaluvun vaihto: log a x = log b x log b a Esim. log 4 16 = log 2 16 log 2 4 = 4 2 = 2. 19
Logaritmi- ja eksponenttifunktion yhteys Laskusäännöistä seuraa, että x = a y log a x = log a a y log a x = y log a a log a x = y Logaritmi- ja eksponenttifunktiot ovat toistensa käänteisfunktioita (tästä lisää ensi luennolla) 20
Luonnollinen ja 10-kantainen logaritmi Tavallisesti käytetään lähinnä e-kantaista eli luonnollista logaritmia ln x = log e x 10-kantaista eli Briggsin logaritmia lg x = log 10 x Muu-kantaiset logaritmit saadaan helposti muutettua jompaankumpaan muotoon. Esim. log 2 x = ln x ln 2 = lg x lg 2 21
Luonnollinen ja 10-kantainen logaritmi Esim. Henkilö on ottanut 10 000 euron jatkuvakorkoisen lainan 5% nimellisellä vuosikorolla. Kuinka pitkän ajan y kuluttua lainapääoma x on 12 000 euroa? x = 10000 e 0.05y = 12 000 e 0.05y = 1.2 ln e 0.05y = ln 1.2 0.05y ln e = ln 1.2 y = ln 1.2 0.05 3.6 vuotta Esim. Äänenpaineen kymmenkertaistuminen tuntuu aina yhtä suurelta muutokselta ihmiskorvassa. Tästä syytä äänen mittaamiseen käytetään 10-kantaiseen logaritmiin perustuvaa desibeli-asteikkoa: Kuvalähde: Wikipedia db = 10 lg Mitattu teho Vertailuteho 22
Yhteenveto yleisimmistä funktiotyypeistä Potenssifunktio f: R R, f x = x n, n R on yksinkertaisen polynomifunktion yleistys tilanteeseen, jossa eksponentti ei välttämättä ole positiivinen kokonaisluku. Eksponenttifunktio f: R R ++, f x = a x, missä kantaluku a > 0, a 1 on vakio Funktio kasvaa kiihtyvästi, jos a > 1 Funktio vaimenee nollaan, jos 0 < a < 1 Logaritmifunktio f: R ++ R, f x = log a x vastaa kysymykseen: Mihin lukuun a pitää korottaa, jotta saadaan x? Funktio kasvaa vaimenevalla nopeudella, jos a > 1 Funktio vähenee vaimenevalla nopeudella, jos 0 < a < 1 23
Yhteenveto yleisimmistä funktiotyypeistä Logaritmifunktion laskusäännöt: 1. log a xy = log a x + log a y, 2. x log a y a x log a y, 3. log a x d = d log a x 4. log a x = log b x log b a 24
Presemo-kysymys Mikä vaihtoehdoista on ekvivalentti lausekkeen ln e 2 + ln 2e kanssa? 1. 1 + ln 2 2. 2 ln 2 3. 3 + ln 2 25