6 Joitain erityisfunktioita

Transkriptio

1 6 Joitain eritisfunktioita Tässä luvussa tutustutaan joihinkin luonnontieteissä tarpeellisiin funktioihin. Aluksi esitellään funktioiden matemaattiset ominaisuudet ja sen jälkeen tarkastellaan esimerkkejä niiden kätöstä. 6. Eksponenttifunktiot Potenssifunktioksi kutsutaan sellaista funktiota, jossa lähtöarvo korotetaan johonkin vakiopotenssiin. Esimerkiksi f() = on potenssifunktio. Kun jokin vakio korotetaan lähtöarvon ilmaisemaan potenssiin, puhutaan eksponenttifunktiosta. Eksponenttifunktioita ovat esimerkiksi ( ) f() =, g() =, h() = 0. 5 Kuhunkin eksponenttifunktioon liitt vakio, joka korotetaan potenssiin. Tätä lukua nimitetään kantaluvuksi. Kantaluku on aina positiivinen, koska negatiivisia lukuja ei voi korottaa mihin tahansa potenssiin. Eksponenttifunktiota, jonka kantaluku on a, nimitetään a-kantaiseksi eksponenttifunktioksi. Jokainen eksponenttifunktio on määritelt ja jatkuva kaikilla reaaliluvuilla. Eksponenttifunktioiden arvot ovat lisäksi aina positiivisia, joten eksponenttifunktioilla ei ole nollakohtia. Eksponenttifunktioiden kasvavuus riippuu kantaluvusta: jos kantaluku on suurempi kuin, eksponenttifunktio on kaikkialla aidosti kasvava, ja jos kantaluku on pienempi kuin, eksponenttifunktio on aidosti vähenevä. Seuraavaan kuvaan on piirrett eksponenttifunktioiden kuvaajia eri kantaluvuilla. 5 f() = 3 4 f() = 0,5 3 f() = Eksponenttifunktioita käsiteltäessä potenssien laskusäännöt ovat kättökelpoisia. Ainakin seuraavat on stä palauttaa mieleen: ) a + = a a 3) a = a ) (a ) = a 4) a 0 =. 43

2 Kaavat seuraavat potenssilaskun määritelmistä leistämällä. Koska a 0 = kaikilla nollasta poikkeavilla luvuilla a, tiedetään, että jokaisen eksponenttifunktion arvo lähtöarvolla 0 on. Tämä nähtiin mös edellä esitetistä kuvaajista. Kun kantaluvuksi valitaan ns. Neperin luku e, jonka likiarvo on,788..., saadaan aivan eritinen eksponenttifunktio, jota nimitetään luonnolliseksi eksponenttifunktioksi. Sen lauseke on siis f() = e. Koska e on kköstä suurempi, luonnollinen eksponenttifunktio on kasvava. Toisinaan luonnolliselle eksponenttifunktiolle kätetään mös eritismerkintää ep. Tällöin kirjoitettaisiin f() = ep tai f() = ep(). Esimerkiksi laskimissa ja tietokoneohjelmissa merkintä ep() on leinen. Se siis tarkoittaa aivan samaa kuin e eli luku, korotettuna potenssiin. Tavallisen eksponenttifunktion tärkein ominaisuus on, että sen derivaattafunktio on sama kuin funktio itse. Toisin sanoen D e = e. Möhemmin nähdään, miten tämä ominaisuus liitt niin sanottuun eksponentiaaliseen kasvuun. Koska eksponenttifunktio ei muutu derivoitaessa, ei se muutu möskään integroitaessa: e d = e + C. Integroimisvakio on toki lisättävä. Esimerkki 6.. Luonnollinen eksponenttifunktio esiint usein hdistetssä muodossa, jossa eksponentissa on jonkin toisen funktion lauseke. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota h() = e +. Tässä sisäfunktiona on g() = + ja ulkofunktiona eksponenttifunktio f() = e. Tällainen funktio on suoraviivaista derivoida hdistetn funktion derivoimissäännöllä. Sisäfunktion derivaatta on g () = ja ulkofunktion f () = e, joten h () = f ( g() ) g () = f ( + ) g () = e + = e +. Eksponenttifunktioiden htedessä mös tulon derivointikaavasta on todellista hötä. Esimerkiksi funktio k() = e on tulo potenssifunktiosta f() = ja eksponenttifunktiosta g() = e. Tulon derivoimissäännön nojalla saadaan k () = f ()g() + f()g () = e + e. Huomaa, miten luonnollinen eksponenttifunktio ei tosiaan muutu derivoitaessa miksikään. 44

3 Esimerkki 6.. Eksponenttifunktion hdistelmien integrointi toisinaan onnistuu, toisinaan ei. Esimerkiksi funktion h() = e 3 tppiset funktiot, joissa eksponenttiin on hdistett jokin ensimmäisen asteen polnomifunktio, voidaan aina integroida hdistetn funktion integroimissäännöllä. Sisäfunktioksi valitaan g() = 3 ja ulkofunktioksi f() = e. Sisäfunktio derivaatta olisi g () = 3. Koska sisäfunktion derivaatta on vakio, se voidaan järjestää lausekkeeseen kertomalla ja jakamalla luvulla 3. Tällöin päästään kättämään hdistetn funktion integroimissääntöä. Lasku etenee seuraavasti: e 3 d = 3 e3 3 d = 3 f ( g() ) g () d = 3 f ( g() ) + C = 3 e3 + C. Lopputulosta tarkasteltaessa huomataan, että luonnollinen eksponenttifunktio ei muuttunut integroitaessa mihinkään, ei möskään sen sisäfunktio. Eteen vain ilmesti sisäfunktion derivaatan käänteisluku. Integroimisvakiota ei möskään ole stä unohtaa. 6. Logaritmifunktiot Luvun logaritmi jonkin kantaluvun suhteen kertoo sen, mihin potenssiin kantaluku tulisi korottaa, jotta tuloksena olisi kseinen luku. Esimerkiksi -kantainen logaritmi luvusta 8 on 3, sillä 3 = 8. Tätä logaritmia merkitään log 8. Totesimme siis juuri, että log 8 = 3. Sellaista funktiota, jonka arvot ovat logaritmeja kantaluvun a suhteen, nimitetään a-kantaiseksi logaritmifunktioksi. Esimerkiksi funktio f() = log on -kantainen logaritmifunktio. Logaritmifunktiot on määritelt ainoastaan positiivisilla lähtöarvoilla. Ne ovat kaikkialla jatkuvia, ja niiden kasvavuus riippuu kantaluvusta samalla tavoin kuin eksponenttifunktioilla: jos kantaluku on suurempi kuin, logaritmifunktio on kasvava, ja jos kantaluku on pienempi kuin, logaritmifunktio on vähenevä. Jokainen logaritmifunktio saa lähtöarvolla arvon nolla, ja tämä on logaritmifunktion ainoa nollakohta. Seuraavassa kuvassa on logaritmifunktioiden kuvaajia eri kantaluvun arvoilla. f() = log e f() = log f() = log 0,5 45

4 Logaritmi palauttaa aina kantaluvun eksponentin: jos = 5, niin log 5 =. Täten logaritmeja voidaan kättää ratkaistaessa eksponenttifunktion lähtöarvoja samaan tapaan kuin juuria kätetään ratkaistaessa potenssifunktioiden lähtöarvoja. Logaritmifunktiota kutsutaankin eksponenttifunktion käänteisfunktioksi. Esimerkki 6.3. Selvitetään, milloin funktio f() = 3 + saa arvon 60. Tätä varten on ratkaistava htälö 3 + = 60. Logaritmin määritelmän mukaan 3-kantainen logaritmi luvusta 60 kertoo eksponentin, johon korotettuna luvusta 3 tulee 60. Kun tätä sovelletaan llä olevaan htälöön, saadaan log 3 60 = +, josta edelleen = log 3 60,73. Sama toimii mös toisinpäin: jos etsitään logaritmifunktion lähtöarvoja, voidaan turvautua eksponenttifunktioon. Tarkastellaan esimerkiksi htälöä log = 7. Logaritmin määritelmän nojalla -kantainen logaritmi luvusta kertoo, mihin potenssiin luku on korotettava, jotta saataisiin. Yhtälöön sovellettuna tästä seuraa, että Siispä = 7 = 8. 7 =. Logaritmeja käsiteltäessä on hötä logaritmien laskusäännöistä. Ne on mahdollista johtaa vastaavista eksponenttien laskusäännöistä. Huomionarvoisia ovat eritisesti seuraavat: ) log a () = log a + log a 3) log a (/) = log a ) log a = log a 4) log a = 0. Joidenkin kantalukujen tapauksissa on tapana kättää omaa merkintää. Esimerkiksi log 0 = lg ja log e = ln. Usein näkee mös kätettävän merkintää log ilman kantalukua. Tällöin tarkoitetaan leensä joko 0-kantaista tai e-kantaista logaritmia. Erikantaisista logaritmeista matematiikassa tärkein on e-kantainen eli luonnollinen logaritmi. Sille kätetään leensä merkintää ln (tai joskus log). Luonnollinen logaritmifunktio on luonnollisen eksponenttifunktion käänteisfunktio. Luonnollisen logaritmifunktion derivaatalle pätee D ln =. 46

5 Tämä derivointikaava mahdollistaa lopultakin lausekkeen / eli integroimisen. On kuitenkin huomattava, että edellisen kaavan sekä hdistetn funktion derivointisäännön nojalla pätee D ln( ) = ( ) =. Tämän vuoksi funktion f() = / integraalifunktiolla on kaksi mahdollisuutta: joko ln + C tai ln( ) + C. Se, kumpi valitaan, selviää asiahtedestä. Integroimiskaavassa molemmat vaihtoehdot voidaan ottaa huomioon kättämällä itseisarvomerkkejä: d = ln + C. Esimerkki 6.4. Integroidaan funktiota f() = välillä [, e]. Funktion f integraalifunktio on ln. (Integroimisvakiota ei nt tarvitse huomioida, koska kse on määrätstä integraalista.) Koska integroimisvälillä kaikki lähtöarvot ovat positiivia, integraalifunktio on itse asiassa ln. Täten e / e d = ln = ln e ln = 0 =. Integroidaan sitten samaa funktiota välillä [, ]. Koska nt lähtöarvot ovat negatiivisia, oikea integraalifunktio on ln( ). Siispä / d = ln( ) = ln ln = 0 ln = ln. Entä jos integroimisväli olisi sellainen, joka sisältää sekä positiivisia että negatiivisia lukuja? Tällöin väli sisältäisi mös luvun 0, mutta siinä ei olisi järkeä, sillä funktio f ei ole määritelt nollassa. Kseistä tapausta ei siis esiinn, joten integraalifunktio voidaan aina valita joko positiivisten tai negatiivisten lähtöarvojen mukaan. 6.3 Kantaluvun vaihtaminen Toisinaan on samassa tilanteessa käsiteltävä useita eksponentti- tai logaritmifunktioita, joilla voi olla eri kantaluvut. Mös esimerkiksi laskimissa on leensä oma näppäimensä vain muutamalle eri logaritmifunktiolle. Sen vuoksi on hvä tietää, miten eksponenttija logaritmifunktioiden kantalukuja voidaan muuttaa. Tarkastellaan ensiksi eksponenttifunktiota ja oletetaan, että halutaan ilmaista funktio f() = luonnollisen eli e-kantaisen eksponenttifunktion avulla. Tässä kätetään hväksi potenssin potenssin kaavaa, jonka mukaan (e k ) = e k. Jos nt lödettäisiin sellainen luku k, jolle pätee e k =, saataisiin edellisen kaavan perusteella htälö e k = (e k ) =. 47

6 Tähän ksmkseen vastaa logaritmi: luku k, jolle pätee e k =, on luvun e-kantainen logaritmi eli ln. Lopulta saadaan siis f() = = e k = e (ln ). Olemme siis ilmaisseet -kantaisen eksponenttifunktion e-kantaisen eksponenttifunktion avulla. Esimerkki 6.5. Derivoidaan eksponenttifunktio f() =. Tähän mennessä opitun perusteella osaamme derivoida vain luonnollisen eksponenttifunktion. Kantalukua vaihtamalla saadaan voidaan kuitenkin kirjoittaa funktion f lauseke luonnollisen eksponenttifunktion avulla: f() = = e (ln ). Nt derivoitavana lausekkeena onkin hdistett funktio, jossa sisäfunktion lauseke on ln ja ulkofunktion lausekkeena luonnollisen eksponenttifunktion lauseke e. Tämä osataan derivoida (vrt. esimerkkiin 6.): f () = D ( e (ln )) = e (ln ) ln = e (ln ). Haluttaessa voidaan vielä lopuksi palata -kantaiseen esitkseen: f () = ln. Yleisiä eksponenttifunktioita derivoitaessa tarvitaan siis apuna luonnollista logaritmia. Eksponenttifunktion kantaluvun vaihtaminen on tarpeellista, jos on tarpeen derivoida tai integroida muita kuin luonnollisia eksponenttifunktioita tai jos joudutaan jostakin sstä vertailemaan kahta erikantaista eksponenttifunktiota keskenään. Logaritmifunktioiden tapauksessa kantaluvun vaihtaminen on kuitenkin vielä tärkeämpi taito. Oletetaan, että halutaan ilmaista funktio g() = log 3 luonnollisen logaritmifunktion avulla. Logaritmi log 3 vastaa ksmkseen, mihin potenssiin 3 pitää korottaa, jotta saataisiin. Tämän mukaan siis 3 log 3 =. Vaihdetaan tässä eksponenttiesitksessä kantaluvuksi e samalla tavalla kuin edellä, jolloin saadaan htälö e (ln 3)(log 3 ) =. Nt kätetään jälleen logaritmin määritelmää: luonnollinen logaritmi luvusta on se luku, johon e pitää korottaa, jotta saataisiin. Viimeisen htälön perusteella kseinen luku on (ln 3)(log 3 ). On siis saatu ln = (ln 3)(log 3 ). Jakamalla htälö puolittain luvulla ln 3 saadaan lopulta esits g() = log 3 = ln ln 3. 48

7 Logaritmifunktion kannanvaihtoa tarvitaan niin usein, että esitetään se vielä leisessä muodossa kaavana: log a = log b log b a. Esimerkki 6.6. Ratkaistaan ksinkertainen eksponenttihtälö 4 = 0. Koska 4 = 4 ja 4 = 6, ratkaisu on oletettavasti kkösen ja kakkosen välissä. Logaritmin määritelmän perusteella ratkaisu on = log 4 0, mutta laskimessa on harvoin toimintoa mielivaltaisen logaritmin laskemiseksi. Laskimen näppäimistä löt leensä vain luonnollinen logaritmi (ln tai log) sekä toisinaan mös 0-kantainen logaritmi (lg, joskus mös log!). Joudumme siis vaihtamaan kantaluvun. Vaihdetaan logaritmi vaikkapa luonnolliseksi, jolloin se voidaan laskea laskimella: = log 4 0 = ln 0 ln 4,303,386,66. Yhtälön voisi ratkaista mös toisella tavalla. Ottamalla alkuperäisen htälön 4 = 0 molemmilta puolilta luonnollinen logaritmi saadaan htäpitävä htälö ln 4 = ln 0. Tähän voidaan kättää logaritmien laskusääntöä, jonka mukaan ln 4 = ln 4, ja tästä voidaan ratkaista. Koko päättel etenee seuraavasti: 4 = 0 ln 4 = ln 0 ln 4 = ln 0 : ln 4 ln 0 = ln 4. Lopullinen likiarvo on tietenkin täsmälleen sama kuin edellä. 6.4 Trigonometriset funktiot Trigonometrisia funktioita ovat koulusta tutut sini-, kosini- ja tangenttifunktiot. Sana trigonometria tulee kreikan kielestä ja tarkoittaa kolmion mittaamista ( trigōnon = kolmio, metrein = mitata). Trigonometriset funktiot ilmaisevat suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien suhteiden riippuvuutta annetusta kulmasta. Jos lähtöarvona on jokin kulman suuruus, esimerkiksi sinifunktion arvo tuolla lähtöarvolla saadaan seuraavasti: asetetaan kseinen kulma toiseksi kulmaksi mihin tahansa suorakulmaiseen kolmioon ja luetaan tuon kulman vastaisen kateetin ja hpotenuusan pituuksien suhde. Tuo suhde on sinifunktion arvo eli annetun kulman sini. Trigonometristen funktioiden perinteiset määritelmät näkvät oheisesta kuvasta. c a sin = a/c cos = b/c b tan = a/b 49

8 Suorakulmaisen kolmion avulla voidaan kuitenkin määrittää trigonometristen funktioiden arvoja vain tietillä kulman arvoilla, koska suorakulmaisessa kolmiossa kaikki muut kuin suora kulma ovat pienempiä kuin 90 astetta. Jos siis haluttaisiin määritellä sinin arvo vaikkapa lähtöarvolla 30, törmättäisiin vaikeuksiin. Asia korjaantuu määrittelemällä trigonometriset funktiot uudelleen ns. ksikkömprän avulla. Yksikkömprä on koordinaatistoon piirrett mprä, jonka keskipiste on origossa ja säde on. Tähän mprään sijoitetaan kulmia siten, että niiden kärki on origossa ja toinen klki -akselin positiivisella osalla. Kulman suuruus tulkitaan positiiviseksi, jos se aukeaa -akselilla olevasta kljestä vastapäivään, ja negatiivinen, jos se aukeaa mötäpäivään. Yksikkömprään voidaan piirtää mös täskulmaa (360 ) suurempi kulma kiertämällä mprä mpäri mahdollisesti useampaankin kertaan. positiivisia kulmia negatiivinen kulma suuri kulma (> 360 ) Matematiikassa kulman suuruus ilmoitetaan tavallisesti radiaaneina. Radiaani on sen kokoinen kulma, että ksikkömprässä sitä vastaavan kaaren pituus on sama kuin kulma itse. Kulman koko on siis ksi radiaani, jos sitä vastaavan ksikkömprän kaaren pituus on. rad Radiaaneja kätettäessä ksikköä ei leensä merkitä lainkaan näkviin. Joskus saatetaan selvden vuoksi kättää lhennettä rad. Koska ksikkömprän koko kaaren pituus on π, koko mpränkaarta vastaavan kulman eli täskulman suuruus on π radiaania. Toisaalta täskulma on 360 astetta. Tästä saadaan radiaanien ja asteiden välille seuraava muunnoskaava: kulma radiaaneina = kulma asteina π

9 6.5 Sinifunktio ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktiot voidaan määritellä ksikkömprän avulla seuraavasti. Olkoon lähtöarvo. Piirretään ksikkömprään kulma, jonka suuruus on siten, että sen alkuklki tulee -akselin positiiviselle osalle. Oletetaan, että loppuklki leikkaa ksikkömprän pisteessä (a, b). Tällöin sinifunktion arvo sin on tuon leikkauspisteen -koordinaatti eli a, ja kosinifunktion arvo cos on saman leikkauspisteen -koordinaatin arvo eli b. Määritelmät näkvät mös oheisesta kuvasta. sin (a,b) = (cos, sin ) cos Määritelmästä nähdään, että sini- ja kosinifunktion arvot sijoittuvat välille [, ], sillä ksikkömprällä olevan pisteen - ja -koordinaatit eivät voi olla suurempia kuin tai pienempiä kuin. Kun negatiiviset kulmat ja li täsmprän menevät kulmat tulkitaan aiemmin selitetllä tavalla, sini- ja kosinifunktiot voidaan määritellä kaikilla reaaliluvuilla. Niiden arvot tosin toistuvat aina täskulman välein, kun ksikkömprään piirretn kulman loppuklki palaa taas -akselille. Sini- ja kosinifunktion arvoja laskettaessa kätetään leensä kulmanksikkönä radiaania. Funktioiden kuvaajat on piirrett seuraaviin kuviin. Kuvista huomataan, että sekä sini- että kosinifunktion kuvaajat toistavat itseään aina täskulman eli π radiaanin välein. Tällaisia funktioita, joiden arvot toistavat itseään, sanotaan jaksollisiksi. Sini- ja kosinifunktio ovat siis jaksollisia funktioita, joiden jakson pituus on π. f() = sin π π 3 π π f() = cos π π 3 π π 5

10 Sini- ja kosinifunktion kuvaajia vertailemalla huomataan, että niiden kuvaajat vastaavat toisiaan, kun toista siirretään hieman vaakasuunnassa. Tarkka määrä on itse asiassa π/ (eli 90 ). Kaavana voitaisiin ilmaista, että cos = sin( + π/). Koska sini- ja kosinifunktio ovat jaksollisia, mös niiden nollakohdat toistavat itseään säännöllisesti. Sinifunktio saa arvon nolla, kun kulman suuruus on nolla, ja nollakohdat toistuvat aina π radiaanin (eli 80 ) välein. Nollakohdat voidaan siis ilmaista lhesti muodossa = nπ, missä n on kokonaisluku. Kosinin ensimmäinen nollakohta puolestaan on kohdassa = π/ (eli 90 ), ja nollakohdat toistuvat π radiaanin välein. Täten nollakohdat voidaan ilmaista muodossa = π + nπ, missä n on kokonaisluku. Esimerkki 6.7. Etsitään väliltä [0, 4] ne luvut, jotka toteuttavat htälön ( sin + π ) = 0. Tämä htälö toteutuu täsmälleen silloin, kun lauseke +π/ on sinifunktion nollakohta. Eräs tällainen nollakohta on 0, ja muut saadaan tästä π:n välein. Voidaan siis päätellä, että htälö pätee, kun + π = nπ, missä n voi olla mikä tahansa kokonaisluku. Tästä uudesta htälöstä voidaan helposti ratkaista : + π = nπ = nπ π = nπ π 4. Saatu on htälön ratkaisu aina, kun n on kokonaisluku. Sijoittamalla n:n paikalle eri kokonaislukuja saadaan muun muassa ratkaisut 0 π 4 0,79, π π 4 0,79, π π 4,36, 3π π 4 3,93 ja 4π π 4 5,50. Vain osa ratkaisuista osuu tutkittavalle välille [0, 4]. Nämä ratkaisut ovat (likiarvoina) 0,79,,36 ja 3, Tangenttifunktio Tangenttifunktio on trigonometrinen funktio, jonka ominaisuudet poikkeavat melkoisesti sini- ja kosinifunktioiden ominaisuuksista. Tangenttifunktio määritellään sinin ja kosinin osamääränä: tan = sin cos. 5

11 Koska nollalla ei voi jakaa, tangenttifunktio ei ole määritelt siellä, missä kosinifunktio saa arvon nolla. Toisin sanoen tangenttifunktion arvo tan ei ole määritelt, kun = π + nπ, missä n on kokonaisluku. Tangenttifunktion kuvaaja on piirrett seuraavaan kuvaan. 4 3 π 3 π π π π 3 π π π 3 4 Mös tangenttifunktio on jaksollinen, mutta tällä kertaa jaksona on π. Tangenttifunktion arvot toistuvat siis π:n välein. Tangenttifunktio saa arvon nolla silloin, kun osoittaja on nolla. Nollakohdat ovat siis samat kuin sinifunktiolla, eli ne ovat muotoa nπ, missä n on mikä tahansa kokonaisluku. 6.7 Sini- ja kosinifunktioiden derivaatat Kun kulman ksikkönä kätetään radiaania, sini- ja kosinifunktioiden derivointi sujuu helposti: D sin = cos, D cos = sin. Integrointi on aivan htä helppoa: sin d = cos + C, cos d = sin + C. Esimerkki 6.8. Tutkitaan, missä pisteissä funktio f() = sin + saa ääriarvoja avoimella välillä ]0, 0[. Tätä varten derivoidaan ensin funktio f. Sinin derivaatta on kosini, ja :n derivaatan tunnemme entuudestaan. Vakiokerroin ei muutu derivoitaessa, joten saadaan f () = cos +. 53

12 Kulkukaavion selvittämistä varten on ratkaistava derivaatan nollakohdat. Ensinnäkin nähdään, että cos + = 0 cos =. Laskimen tai taulukkokirjan avulla voidaan selvittää jokin sellainen lähtöarvo, jolla kosini saa arvon /. (Laskimessa toiminto merkitään leensä cos.) Vastaukseksi pitäisi tulla π/3 radiaania (0 ) tai likiarvona,094. Kaikkien derivaatan nollakohtien selvittämiseksi on kuitenkin nähtävä hieman enemmän vaivaa. Kosinifunktio on nimittäin jaksollinen funktio, joten se saa samat arvot aina π:n välein. Arvo / tulee siis paitsi kohdassa = π/3, mös aina kohdissa = π/3 + π, = π/3 + 4π jne. Toisaalta kosinifunktion kuvaajasta tai ksikkömprästä nähdään, että luvun ja vastaluvun kosinit ovat samat. Täten arvo / saadaan mös esimerkiksi kohdassa = π/3. Kun nämä kaksi seikkaa otetaan huomioon, voidaan päätellä, että derivaatan nollakohtia on itse asiassa kahdenlaisia: = π ( ) π 3 + n π tai = 3 + n π. Kummassakin n voi olla mikä tahansa kokonaisluku. Tilanne näk hvin seuraavasta kuvasta, johon on piirrett kosinifunktion kuvaaja sekä ne kohdat, joissa funktio saa arvon /. π 3 π π 3 π π 3 π 3 π 3 +π π 3 +π Saatuja nollakohtia tutkimalla nähdään, että tarkasteltavalle välille ]0, 0[ niistä osuvat vain seuraavat: π 3,094, π 3 + π = 8π 3 8,378 ja π 3 + π = 4π 3 4,88. Laskemalla derivaatan arvoja näiden nollakohtien välissä (muista asettaa laskimeen kulmanksiköksi radiaanit!) saadaan seuraavanlainen kulkukaavio: 0 < <,094,094 < < 4,88 4,88 < < 8,378 8,378 < < 0 f () + + f() ր ց ր ց Nähdään siis, että funktiolla f on maksimikohdat =,094 ja = 8,378 sekä minimikohta = 4,88. Se, onko funktiolla pienintä tai suurinta arvoa, selviää laskemalla 54

13 arvot tarkasteluvälin päätepisteissä ja derivaatan nollakohdissa. Osoittautuu, että pienin arvo saavutettaisiin tarkasteluvälin vasemmassa päätepisteessä, mutta koska väli oli avoin, se ei sisällä päätepisteitään, joten pienintä arvoa ei itse asiassa koskaan saavuteta. Suurin arvo sen sijaan saavutetaan jommassakummassa maksimikohdassa. Laskemalla nähdään, että f(,094) 3,86 ja f(8,378) = 0,0, joten suurin arvo on 0,0 kohdassa = 8,378. Ohessa on vielä funktion f kuvaaja