MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) HUOM. Osa monisteen virheistä on korjattu ja korjatut kohdat on merkitty marginaaleihin.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) HUOM. Osa monisteen virheistä on korjattu ja korjatut kohdat on merkitty marginaaleihin."

Transkriptio

1 13. lokakuuta 011 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) HUOM. Osa monisteen virheistä on korjattu ja korjatut kohdat on merkitty marginaaleihin. Sisältö 1. Yhden muuttujan funktiot 1.1. Johdantoa 1.. Laskusääntöjä ja polynomit Yhtälöt ja epäyhtälöt Epäyhtälöistä Funktion määritelmä ja ominaisuuksia Käänteisfunktio ja yhdistetty funktio Eksponentti- ja logaritmifunktiot 18. Yhden muuttujan funktion differentiaalilaskentaa 1.1. Raja-arvo ja jatkuvuus 1.. Derivaatta 3.3. Korkeammat derivaatat 9.4. Funktion ääriarvot Lukujonot ja sarjat Lukujonot Sarjat Taylorin polynomit ja Taylorin sarjat Induktio Usean muuttujan funktiot Määritelmiä Osittaisderivaatta Ääriarvoista ja optimointitehtävistä Rajoittamaton optimointi Rajoitettu optimointi ja Lagrangen menetelmä Lineaarialgebraa- ja matriisilaskentaa Johdantoa Matriisin määritelmä, laskusääntöjä ja matriisin transpoosi Determinantti ja käänteismatriisi Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen Gauss-Jordanin menetelmällä ja Cramerin säännöllä 56 1

2 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1. Yhden muuttujan funktiot 1.1. Johdantoa. Matematiikassa väitteet ovat joko tosia tai epätosia, eivät molempia. Niitä merkitään tavallisesti isoilla kirjaimilla Esimerkki. Väitteitä: P = on reaaliluku, Q = Kohta x 0 on derivoituvan funktion maksimikohta, Z = Funktion derivaatta kohdassa x 0 on nolla, R = y = 7x + 3. Implikaatio liittyy kahteen väitteeseen, ja se merkitsee seuraavaa: Jos väite Q on tosi, niin väite Z on tosi. Näin ollen sanotaan, että Q:stä seuraa Z tai Q implikoi Z:n. Implikaatiota merkitään nuolella seuraavasti Q Z Implikaatiossa oletetaan, että Q on tosi. Jos annettaisiin Q:n olla epätosi, niin tällöinz voisi olla joko tosi tai epätosi. Jos siis halutaan osoittaa implikaatioq Z todeksi, niin Q:n täytyy olla tosi. 1.. Esimerkki. Derivoituvan funktion maksimikohdassa x 0 derivaatan arvo on nolla. Esitetään tämä ajatus kahden väitteen Q ja Z avulla: Olkoot Q = Kohta x 0 on derivoituvan funktion maksimikohta ja Z = Funktion derivaatta kohdassa x 0 on nolla kaksi väitettä. Olkoon Q lisäksi tosi. Tällöin voidaan osoittaa, että implikaatio Q Z on tosi. Väitteiden P ja Q ekvivalenssia merkitään nuolella seuraavasti P Q. Ekvivalenssi tarkoittaa, että molemmat implikaatioista P Q ja Q P ovat tosia. Todessa implikaatiossa P Q sanotaan väitteen Q olevan välttämätön ehto P:lle ja väitteen P olevan riittävä ehto Q:lle Esimerkki. Palataan esimerkkiin 1., jossa esitetty implikaatio on tosi. Tällöin funktion derivaatan arvo nolla kohdassa x 0 on välttämätön ehto sille, että kyseinen kohta on funktion maksimikohta. Joukko on yksinkertaisesti alkioidensa muodostama kokonaisuus. Joukkoja merkitään tavallisesti isoilla ja joukon alkioita pienillä kirjaimilla. Jos a on joukon A alkio, niin merkitään a A. Tällöin sanotaan, että a kuuluu joukkoon A tai a on joukon A alkio. Jos taas a ei ole joukon A alkio, niin merkitään a / A. Tällöin sanotaan, että a ei kuuluu joukkoon A tai a ei ole joukon A alkio. Joukon alkioilla on jokin yhteinen ominaisuus, jonka perusteella ne kuuluvat kyseiseen

3 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 3 joukkoon. Tämä ominaisuus voi olla esimerkiksi jokin väite. Joukko A voi sisältää muita joukkoja, esimerkiksi joukon B,jolloin merkitään B A. Tällöin sanotaan, että joukko B on joukon A osajoukko. Joukko A voisi olla esimerkiksi luvut 1,,3 ja 4 eli A = {1,,3,4} tai vaikka kokoelma ympäristötaloustieteen ensimmäisen vuoden kursseja eli esimerkiksi A = {YE1,YE19,YE,YE3,Y56}. Jos ympäristötaloustieteen kaikkia kursseja merkitään C:llä, niin on voimassa A C. Kahden joukon, A ja B, yhdistettä merkitään A B = {x x A tai x B}. Yhdisteeseen kuuluvat kaikki ne alkiot x, jotka kuuluvat joko joukkoon A tai joukkoon B tai molempiin. Joukkojen leikkausta merkitään A B = {x x A ja x B}. Leikkaukseen kuuluvat kaikki ne alkiot x, jotka kuuluvat molempiin joukkoihin A ja B. Joukkojen yhdiste ja leikkaus voidaan määritellä myös useammalle joukolle. Joukkojen erotus on A\B = {x x A ja x / B}. Joukkojen erotukseen kuuluvat kaikki ne A:n alkiot, jotka eivät kuulu joukkoon B. Yhdistettä, leikkausta ja erotusta voidaan havainnollistaa niin sanottujen Vennin diagrammien avulla: A B A B A \ B A B Lukujoukkoja ovat luonnolliset luvut N, kokonaisluvut Z, rationaaliluvut Q, reaaliluvut R ja kompleksiluvut C. Luonnollisten lukujen joukko on N = {1,,3,...}. Jos nolla otetaan mukaan, niin luonnollisten lukujen joukkoa merkitään Kokonaislukujen joukko on N 0 = {0,1,,3,...}. Z = {..., 3,, 1,0,1,,3,...} ja rationaalilukujen joukko on Korjattu Q = { m n m,n Z,n 0}.

4 4 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Esimerkiksi rationaalilukujen joukossa yhtälöllä x = ei ole ratkaisua. Yhtälön ratkaisu on, joka on irrationaaliluku. Reaaliluvut koostuvat rationaali- ja irrationaaliluvuista. Kompleksilukuihin palataan lyhyesti myöhemmin kurssilla Matematiikan alkeet II. Lukujoukoille pätevät seuraavat sisältyvyydet: N N 0 Z Q R C. Taloustieteen sovellusten kannalta keskeisin näistä joukoista on reaalilukujen joukko. 1.. Laskusääntöjä ja polynomit. Josx R jay R, niin niiden yhteenlasku on reaaliluku eli x+y R. Olkoot x, y, z ja w reaalilukuja. Yhteenlaskun ominaisuuksia ovat x+y = y +x, (x+y)+z = x+(y +z), 0+x = x Kahden reaaliluvun, x ja y, vähennyslasku määritellään luvun y vastaluvun y avulla summana x+( y) ja merkitään x y. Kahden reaaliluvun x ja y kertolaskua tai tuloa merkitään joko x y tai lyhyemmin xy. Kertolaskun ominaisuuksia ovat xy = yx, (xy)z = x(yz), x(y +z) = xy +xz ( x)y = (xy), 0 x = 0, 1 x = x Vähennyslasku määriteltiin yllä yhteenlaskun avulla käyttämällä vastalukua. Jakolasku sen sijaan määritellään kertolaskun avulla käyttämällä käänteislukua. Luvun x R \ {0} käänteisluku on se luku y R \ {0}, jolle pätee yhtälö xy = 1. Esimerkiksi luvun käänteisluku on 1/. Käänteislukua merkitään joko 1 x tai x 1. Lukujen x ja y jakolasku on x 1 y ja sitä merkitään joko x tai x : y. Jakolaskussa y on huomattava, ettei nollalla saa jakaa. Kerrataan lyhyesti muutamia laskusääntöjä. Olkoon y 0, m 0 ja w 0. (i) x y = mx my (ii) x y + z w = xw+zy yw (iii) x y z xw zy = w yw (iv) x y z w = xz yw (v) x y : z w = xw yz Esimerkki : 1 = = = = = = =

5 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 5 Kerrataan lyhyesti potenssin laskusäännöt. Luvun x R n:ttä potenssia merkitään symbolilla x n ja se on luku x kerrottuna itsellään n kertaa eli x n = x x... x x }{{} n kpl Potenssille pätevät seuraavat laskusäännöt. ( ) x 0 = 1, x m x n = x m+n x m n x, x = n xm n, = xn y y n x n = 1 ( n x ( y ) n, x y) n, = (x n ) m = x nm, (xy) n = x n y n x 1.5. Esimerkki. (i) (x+y) = (x+y)(x+y) = x(x+y)+y(x+y) = x +xy+yx+y = x +xy+y. (ii) (x y) = x xy +y (ii) (x+y)(x y) = x y. Tarkastellaan yhtälöä x n = a, jossa a on reaaliluku ja n positiivinen kokonaisluku. Jos n pariton, niin yhtälön ratkaisu on x = n a eli n:s juuri luvusta a. Olkoon n parillinen. Tällöin yhtälöllä (i) ei ole ratkaisua, jos a < 0. (ii) on ratkaisuna nolla, jos a = 0. (iii) on kaksi ratkaisua x = n a ja x = n a, jos a > 0. Muistutuksena kaksi laskusääntöä: (i) x 1/n = n x (ii) x m/n = ( n x) m. Astetta n N 0 oleva polynomi P(x) on (1) P(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0, kun a n 0. Luvut a n, a n 1 ja niin edelleen ovat polynomin kertoimet. Luvut n, n 1 ja niin edelleen ilmaisevat polynomin eri termien, kuten a n x n, asteluvut. Polynomin aste on sen korkein asteluku. Esimerkiksi polynomin P(x) = 7x +x aste on kaksi. Polynomin termit ovat itsekin polynomeja ja niitä kutsutaan monomeiksi. Polynomien yhteen- ja vähennyslasku suoritetaan laskemalla samaa astetta olevat termit yhteen Esimerkki. Olkoot P(x) = 3x 9 + x ja Q(x) = x x 5 + 3x 4 8 polynomeja. Niiden summa on P(x)+Q(x) = 3x 9 +x 4 +4 x 9 +17x 5 +3x 4 8 = x 9 +17x 5 +4x 4 4. Kahden monomin tulo lasketaan kertomalla kertoimet ja muuttujaosat, kuten x n 1, erikseen. Kahden polynomin P(x) ja Q(x) tulo suoritetaan käyttämällä hyödyksi tulon ominaisuuksia ja monomien tuloa.

6 6 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1.7. Esimerkki. Olkoot P(x) = 1 x4 +x ja Q(x) = x +x+10 polynomeja. Niiden tulo on P(x)Q(x) = ( ) 1 (x x4 +x +x+10 ) = 1 x4 x + 1 x4 x+ 1 x4 10+xx +xx+x 10 = 1 x6 + 1 x5 +5x 4 +x 3 +x +10x Yhtälöt ja epäyhtälöt. Yhtälön yleinen muoto on r(x) = t(x), jossa r(x) ja t(x) ovat lausekkeita, jotka sisältävät muuttujan x lisäksi esimerkiksi erilaisia laskutoimituksia kuten yhteen- ja kertolaskua Esimerkki. Olkoot r(x) = x +(x 1) ja t(x) = 3 kaksi lauseketta. Yhtälö r(x) = t(x) tulee muotoon x +(x 1) = 3. Yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa niiden reaalilukujen etsimistä, jotka toteuttavat kyseisen yhtälön. Ratkaisun apuvälineinä ovat yllä mainitut laskusäännöt. Lisäksi yhtälön molemmille puolille voidaan lisätä tai vähentää sama lauseke ilman että yhtäpitävyys rikkoutuisi. Yhtälö säilyy myös silloin, kun molemmat puolet kerrotaan samalla nollasta poikkeavalla lausekkeella. Ensimmäisen asteen yhtälö on muotoa ax + b = cx + d, kun a,b,c,d R. Ensimmäisen asteen yhtälöä kutsutaan myös lineaariseksi yhtälöksi. Usein lineaarinen yhtälö kirjoitetaan lyhyemmin normaalimuodossa ax+b = Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö 4x 1 = x 1. Yhtälöön voidaan siis lisätä molemmille puolille sama termi ja kertoa molemmat puolet samalla termillä ilman, että yhtälön ratkaisut muuttuisivat. Lisätään molemmille puolille 1, jolloin saamme 4x = x. Lisäämällä x molemmille puolille saamme yhtälön muotoon x = 0, joka on sama asia kuin x = 0. Huomautus: Sijoita lopuksi laskemasi ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön ja tarkista näin, että yhtälö toteutuu. Jos yhtälö ei toteudu, olet tehnyt virheen. Toisen asteen yhtälö on normaalimuodossa ax + bx + c = 0, kun a,b,c R. Tämän ratkaisukaava on () x = b± b 4ac a

7 Ratkaisukaavan johtaminen: x = b a ± MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 7 ax +bx+c = 0 x + b a x+ c a = 0 x + b a = c x + b ( ) b a a + = c ( ) b a a + a ( x+ b ) = c ( ) ( b a a + x+ b ) b a a = ± c a a x = b b a ± 4a 4ca x = b 4a a ± b 4ca 4a b 4ca 4a x = b± b 4ac a Toisen asteen yhtälöllä on enintään kaksi reaalista ratkaisua. Ratkaisussa lauseketta b 4ac kutsutaan diskriminantiksi, ja siitä riippuu ovatko ratkaisut reaalilukuja vai kompleksilukuja. Ratkaisut ovat reaalilukuja, kun b 4ac > 0 ja kompleksilukuja, kun kun b 4ac < 0. Jos b 4ac = 0, niin ratkaisuja on yksi ja se on reaalinen. Jos diskriminantti on negatiivinen, toisen asteen yhtälöllä ei ole reaalista ratkaisua Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö x +(x 1) = 3. Sievennetään yhtälöä ensin. x +(x 1) = 3 x +(x 1)(x 1) 3 = 0 x +x x x+1 3 = 0 x x = 0. Kyseessä on toisen asteen yhtälö, joten käytetään ratkaisukaavaa. Saamme x = ± ( ) x = ± 1 4 x = ± 3 4 x = 1± 3. Tässä käytettiin yllä mainittuja laskusääntöjä, esimerkiksi 1 = 3 4 = 3 4 = 3. Murtoyhtälö on muotoa P(x) = 0, jossa Q(X) 0. Tällaisen yhtälön ratkaisut Q(x) ovat yhtälön P(x) = 0 ratkaisut Esimerkki. Yhtälön x 4 = 0 ratkaisu on yhtälön x 4 = 0 ratkaisu eli x x =. Yhtälön x 4 = 0 toinen ratkaisu x = ei kelpaa, koska se on nimittäjän nollakohta. Juuriyhtälö sisältää juurilausekkeita, kuten x 1. Sen ratkaisemisessa tulee kiinnittää huomiota yhtälön määrittelyjoukkoon ja pyrkiä eroon juurilausekkeesta.

8 8 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1.1. Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö x 1 = x. Juurrettavan täytyy olla positiivinen, joten täytyy päteä x 1 0 eli x 1. Korotetaan yhtälön molemmat puolet toiseen, jolloin saadaan x 1 = x x 1 = x x +x 1 = 0. Tämä on toisen asteen yhtälö, ja sen ainoa ratkaisu on x = 1. Tämä on juuriyhtälön ratkaisu, koska 1 > 1. Kerrataan vielä lineaarisen yhtälöparin ratkaiseminen. Yhtälöpari on { a 11 x+a 1 y = b 1 a 1 x+a y = b Yhtälössä kertoimet a 11,a 1,a 1,a ja vakiot b 1,b ovat reaalilukuja. Tällaisellä yhtälöryhmällä voi olla yksi, ei yhtään tai äärettömän monta ratkaisua. Oleellisinta on tapaus, jossa ryhmällä on yksi ratkaisu. Näin on silloin, kun a 11 a a 1 a 1 0. Tällöin yhtälöiden esittämät suorat leikkaavat toisensa. Yhtälöryhmä voidaan ratkaista sijoitus- tai eliminointimenetelmällä. Sijoitusmenettelyssä ratkaisemme toisen yhtälöistä jommankumman muuttujan suhteen, ja sijoitamme saadun lausekkeen toiseen yhtälöön kyseisen muuttujan paikalle. Nyt saatu yhtälö on vain yhden muuttujan yhtälö, joka voidaan ratkaista jäljelle jääneen muuttujan suhteen. Sijoittamalla saatu muuttujan arvo ensimmäiseen yhtälöön saamme ratkaistua myös toisen muuttujan arvon Esimerkki. Ratkaistaan seuraava yhtälöryhmä sijoitusmenettelyllä. { x+y = x+y = Ratkaisemme ensimmäisen yhtälön muuttujan x suhteen, jolloin saamme x = y. Sijoitamme tämän toiseen yhtälöön muuttujan x paikalle. Tällöin saamme vain muuttujasta y riippuvan yhtälön, jonka ratkaisu saadaan laskemalla ( y)+y = 4 y +y = y =. Sijoittamalla lopuksi saatu y = ensimmäiseen yhtälöön saamme muuttajan x arvoksi x = 0. Ratkaisu on siis piste (0, ). Sijoittamalla piste (0, ) yhtälöpariin huomaamme, että molemmat yhtälöt toteutuvat eli laskimme ratkaisun oikein. Eliminointimenetelmä voi kuulostaa monimutkaisemmalta, mutta se voi olla helpompi käyttää, etenkin jos yhtälöitä ja muuttujia on enemmän. Eliminointimenetelmässä yhtälöryhmä pyritään kirjoittamaan yhtenä yhden muuttujan yhtälönä.

9 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 9 Tämä tehdään kertomalla yhtälöitä sopivilla reaaliluvuilla ja tämän jälkeen laskemalla yhtälöt puolittain yhteen. Tämän jälkeen yhden muuttujan yhtälö ratkaistaan ja saatu ratkaisu sijoitetaan jompaankumpaan alkuperäisistä yhtälöistä. Jotta vakuuttaudutaan siitä, että sijoitus- ja eliminointimenetelmä johtavat samaan lopputulokseen ratkaistaan edellinen esimerkki eliminointimenetelmällä Esimerkki. Aloitetaan kertomalla ensimmäinen yhtälö luvulla 1, jolloin saamme yhtälöryhmän { x y = x+y =. Seuraavaksi laskemme yhtälöt puolittain yhteen, jolloin saamme yhden muuttujan yhtälön x+y +( x y) = +( ) x x+y y = x = 0. Sijoitetaan lopuksi saatu x = 0 ensimmäiseen yhtälöön, jolloin saamme muuttujan y arvoksi y =. Ratkaisu on siis piste (0,) Epäyhtälöistä. Epäyhtälöllä x <, tarkoitetaan niitä reaalilukuja, jotka ovat pienempiä kuin kaksi. Olkoot x ja y reaalilukuja. Voimme havainnollistaa näitä lukuja ja niiden keskinäistä järjestystä lukusuoran avulla. Jos esimerkiksi x < y, niin tällöin x sijaitsee lukusuoralla y:n vasemmalla puolella. Tarkastellaan seuraavaksi hieman epäyhtälöiden ominaisuuksia. Olkoot x, y R ja a jokin kiinteä reaaliluku. Tällöin (3) (4) x < y x+a < y +a, { ax < ay, kun a > 0 x < y ax > ay, kun a < 0. Nämä säännöt pätevät myös, jos epäyhtälö < korvataan jollain muulla epäyhtälöllä, kuten, > tai. Ensimmäinen sääntö sanoo, että epäyhtälön suunta säilyy, jos molemmille puolille lisätään sama vakio. Toinen sääntö sanoo, että epäyhtälön suunta ei muutu, jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan positiivisella vakiolla. Jos taas kerrotaan negatiivisella vakiolla, niin tällöin epäyhtälön suunta muuttuu. Esimerkiksi < 3, mutta kertomalla molemmat puolet luvulla 1 saamme epäyhtälöksi > 3. Yleisemmin epäyhtälö koostuu lausekkeista ja niiden välisistä laskutoimituksista. Ratkaisussa käytetään hyväksi sääntöjä (3) ja (4) Esimerkki. Ratkaistaan epäyhtälö 9x + 1 > 0. Epäyhtälö on yhtäpitävää 7 epäyhtälön 9x > 1 kanssa. Kerrotaan puolittain luvulla 7 1, jolloin epäyhtälön 9 suunta muuttuu säännön (4) mukaisesti. Ratkaisuksi saamme x < 1. 63

10 10 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Esimerkki. Ratkaistaan epäyhtälö 8x + 6x + 1 > 0. Etsimme niitä muuttujan x arvoja, joilla epäyhtälön vasemmalla puolella oleva lauseke on positiivinen. Ratkaisut löydämme laskemalla yhtälön 8x +6x+1 = 0 nollakohdat ja tutkimalla tilannetta esimerkiksi merkkikaavion avulla. Yhtälön 8x +6x+1 = 0 nollakohdat ovat x = 1 4 ja x = 1. Merkkikaaviosta tai muuten päättelemällä selviää, että epäyhtälön ratkaisut ovat x < 1 ja x > 1 4. Epäyhtälöiden avulla voimme määritellä mitä ovat avoimet, puoliavoimet ja suljetut välit. Olkoot x,y R. Lukujen x ja y avointa väliä merkitään ]x,y[, puoliavointa [x,y[ tai ]x,y], ja suljettua [x,y]. Nämä määritellän seuraavina joukkoina: ]x,y[ = {z R x < z < y}, [x,y[ = {z R x z < y}, ]x,y] = {z R x < z y}, [x,y] = {z R x z y}. Avoimessa välissä siis päätepisteet eivät kuulu joukkoon, puoliavoimessa toinen päätepisteistä ei kuulu joukkoon ja suljetussa välissä molemmat päätepisteet kuuluvat joukkoon. Esimerkiksi epäyhtälön x < ratkaisut muodostavat avoimen välin. Palautetaan lopuksi mieleen itseisarvon käsite. Reaaliluvun x itseisarvoa merkitään symbolein x, ja se määritellään asettamalla { x, kun x 0 x = x, kun x < 0. Jos reaalilukuja ajatellaan lukusuorana, niin luvun x itseisarvo on sen etäisyys origosta. Lausekkeen itseisarvolle pätee sama määritelmä Esimerkki. x+1 = { x+1, kun x+1 0 eli x 1 x 1, kun x+1 < 0 eli x < 1. Itseisarvoyhtälö on yhtälö, joka sisältää itseisarvolausekkeen tai -lausekkeita. Sen ratkaisussa tulee käyttää itseisarvon määritelmää. Lisäksi seuraavasta säännöstä on apua: r(x) = t(x) r(x) = t(x) tai r(x) = t(x), jossa r(x) ja t(x) ovat lausekkeita Esimerkki. Ratkaistaan yhtälö 6x = x käyttämällä itseisarvon määritelmää: { 6x kun 6x 0 eli x 1 6x = 3 6x+, kun 6x+ < 0 eli x < 1. 3

11 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 11 Olkoon x 1, jolloin 6x = x eli x =. Olkoon x < 1, jolloin 6x+ = x eli x =. 7 (5) (6) (7) Itseisarvolle pätevät seuraavat säännöt: x+y x + y xy = x y x y a y a x y +a. Ensimmäistä näistä säännöistä kutsutaan kolmioepäyhtälöksi Esimerkki. Ratkaistaan epäyhtälö x 3. Käytetään sääntöä (7), jolloin saadaan (8) x 3 1 x 5. Epäyhtälö x 3 tarkoittaa siis niitä lukuja x R, jotka sijaitsevat lukusuoralla lukujen 1 ja 5 välillä. Toisin sanoen kyseessä ovat ne luvut, joiden etäisyys luvusta 3 on pienempi tai yhtäsuuri kuin Funktion määritelmä ja ominaisuuksia Määritelmä. Funktio eli kuvaus f joukolta X joukolle Y liittää jokaiseen joukon X alkioon x yksikäsitteisen joukon Y alkion f(x). Funktiota merkitään usein f: X Y. Lisäksi on esitettävä jokin tapa, esimerkiksi yhtälö, jolla joukkojen välinen vastaavuus voidaan ilmaista. 1 Joukkoa X kutsutaan määrittelyjoukoksi ja joukkoa Y maalijoukoksi. Funktion f arvo pisteessä x X on f(x). Esimerkiksi, jos funktio olisi määritelty kaavalla f(x) = x, niin tällöin f() = 4 ja f( ) = 4. Funktion arvojoukko koostuu kaikista funktion f arvoista f(x) eli funktion arvojoukko on {f(x) Y x X} Esimerkki. Tarkastellaan seuraavia kuvia, joissa on esitetty joukot A={1,, 3}, B={4,5,6}, A ={1,,3 } ja B ={4,5,6 }. Kuvissa olevat nuolet kuvaavat joukkojen välistä vastaavuutta. A B A B f Kirjaimilla, jolla funktiota merkitään ei ole niin väliä, vaan sillä mitä ne edustavat. Eli funktiota voisi hyvin merkitä f:n sijaan g:llä. Tietyt kirjaimet ovat yleistyneet tavaksi tietyissä asiayhteyksissä, esimerkiksi taloustieteessä voittofunktiota merkitään usein π:llä ja hyötyfunktiota u:llä.

12 1 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Ovatko vastaavuudet funktioita? Vasemmanpuoleisen kuvan vastaavuus on funktio, koska jokaista määrittelyjoukon A alkiota vastaa yksi ja vain yksi maalijoukon B alkio. Sama ei kuitenkaan päde oikeanpuoleisen kuvan vastaavuudelle, joten kyseessä ei ole funktio. Funktioita esiteltäessä on tärkeää kiinnittää erityistä huomiota määrittelyjoukkoon X. Jos määrittelyjoukkoa ei ole annettu erikseen, sen ajatellaan olevan laajin mahdollinen joukko. Otetaan esimerkkinä funktio f(x) = x, jonka määrittelyjoukkona on R ja maalijoukkona on R eli f: R R. Tämän funktion arvojoukko on [0, [. Oletetaan, että funktio on määritelty kaavalla f(x) = x 1. Tässä tapauksessa tämä yhtälö kuvaa funktiota, jos x 1. Määrittelyjoukko on siten [1, [ Tämä johtuu siitä, ettei negatiivisesta luvusta saa ottaa neliöjuurta. Funktiotyypeistä reaalifunktiot ovat taloustieteellisia sovelluksia ajatellen tärkein tyyppi. Funktio f: X Y on reaalifunktio, jos X ja Y ovat reaalilukujoukkoja eli jos sekä X R että Y R. Tavallisesti taloustieteellisissä malleissa rajoitutaan käsittelemään sellaisia funktioita, joiden määrittelyjoukko on positiivisten reaalilukujen joukko eli X = {x R x 0}. Tätä joukkoa merkitään usein symbolein R +. Funktiota voidaan havainnollistaa sen kuvaajalla, jonka määrittelyä varten asetetaan X R ja Y R. 1.. Määritelmä. Funktion f : X Y kuvaaja on joukko {(x,f(x)) R R x X}. Kuvaaja koostuu siis niistä pisteistä (x, y), joille pätee y = f(x). Määritelmässä oleva R R tarkoittaa karteesista tuloa eli tässä tapauksessa tuttua -ulotteista koordinaatistoa. Tarkemmin sanottuna R R on joukko, joka koostuu järjestetyistä pareista (x,y), joille pätee x R ja y R. Kuvaajan pisteet ovat siten pisteitä tässä koordinaatistossa. Funktioiden f(x) ja g(x) väliset laskutoimitukset määritellään seuraavasti: (i) (f +g)(x) = f(x)+g(x) (ii) (f g)(x) = f(x) g(x) (iii) (fg)(x) = f(x)g(x) (iv) ( f g ) (x) = f(x) g(x) Esimerkki. Olkoon f(x) = x+ ja g(x) = x 6. Tällöin ( ) f (x) = x+ g x 6, kun x 6 0 eli x ± 6.

13 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Määritelmä. Olkoot kertoimet a 1,...,a n R ja a n 0. Funktio f: R R on n:n asteen polynomifunktio, kun (9) f(x) = a 0 +a 1 x+a x +...+a n x n. Polynomifunktion määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko R. Tarkastellaan lineaarista funktiota f(x) = a+bx. Lineaarinen funktio on määritelty kaikilla reaaliluvuilla, ja sen kuvaaja on suora. Kuvaajan piirtämiseksi riittää etsiä kahden määrittelyjoukon pisteen funktion arvot ja piirtää suora niiden väliin. Valitaan nyt kaksi pistettä, esimerkiksi x = 0 ja x = 1, joiden vastaavat funktion arvot ovat y = a ja y = a + b. Nyt voimme piirtää koordinaatistoon suoran, joka kulkee pisteiden (0, a) ja (1, a + b) kautta. f(x) a+b a 1 x Olkoot x 1,x R ja x 1 < x. Olkoot lisäksi y 1 = f(x 1 ) = a+bx 1 ja y = f(x ) = a + bx. Jos ajattelemme kertoimia a ja b muuttujina, voimme ratkaista näistä kahdesta yhtälöstä kertoimen b. Ensimmäisestä yhtälöstä saamme a = y 1 bx 1, ja sijoittamalla sen toiseen yhtälöön saamme y = y 1 bx 1 +bx eli b = y y 1 x x 1. Kerroin b on siis funktion arvon muutos jaettuna muuttujan muutoksella, ja sitä kutsutaan suoran kulmakertoimeksi. Kahden pisteen avulla voi ratkaista lineaariseen funktioon liittyvän suoran yhtälön. Olkoot (x 1,y 1 ) ja (x,y ) kaksi tason pistettä. Suoran yhtälö saadaan kaavalla (miksi?): y y 1 = y y 1 x x 1 (x x 1 ), jossa y y 1 x x 1 on siis suoran kulmakerroin.

14 14 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1.. Esimerkki. Lasketaan pisteiden (1, ) ja (, 5) kautta kulkevan suoran yhtälö. Soveltamalla annettua yhtälöä saamme, y = 5 (x 1) y = +3(x 1) y = 1+3x Esimerkki. Alla olevassa kuvassa on piirretty funktioiden f(x) = 3, f(x) = x+1 ja f(x) = x +x kuvaajat: f(x) x 1.4. Esimerkki. Ajatellaan nyt jonkin hyödykkeen kysyntää ja tarjontaa. Hyödykkeen kysyntä ja tarjonta riippuvat jonkin säännön mukaisesti hyödykkeen hinnasta. Tämä riippuvuus esitetään kysyntä- ja tarjontafunktioina. Markkinatasapainossa kysyntä ja tarjonta ovat yhtäsuuret. Oletetaan siis, että markkinat ovat tasapainossa ja kysytään mikä on hyödykkeen tasapainohinta p ja tasapainomäärä q? Tätä varten oletamme, että kysyntä- ja tarjontafunktiot ovat lineaariset eli q = a bp q = c + dp, Kysyntäfunktio Tarjontafunktio jossa a, b, c ja d ovat positiivisia reaalilukuja. Kysyntä riippuu negatiivisesti hinnasta eli mitä suurempi hinta sitä vähemmän hyödykettä kysytään. Tarjonta taas riippuu positiivisesti hinnasta eli mitä suurempi hinta sitä enemmän hyödykettä tarjotaan. Lisäksi on huomattava, että tarjontafunktio leikkaa q-akselin negatiivisella puolella. Etsimme siis markkinatasapainoa eli pistettä (p, q), joka toteuttaa molemmat yhtälöt samanaikaisesti. Ratkaistaan siis yhtälöpari { q = a bp q = c+dp.

15 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 15 Sijoitetaan ensimmäinen yhtälö toiseen yhtälöön, jolloin saamme vain p:stä riippuvan yhtälön a bp = c+dp dp bp = c a (d+b)p = c+a p = c+a d+b. Tämä on tasapainohinta. Tasapainomäärä saadaan sijoittamalla tasapainohinta ensimmäiseen yhtälöön (voi sijoittaa myös toiseen), jolloin saamme sievennyksen kautta q = a b c+a d+b q = a(d+b) bc ba d+b q = ad bc d+b. Polynomifunktion f(x) nollakohdiksi (sama pätee muillekin funktioille) sanotaan niitä määrittelyjoukon pisteitä, joissa funktio f saa arvon nolla. Toisin sanoen nollakohdat ovat yhtälön f(x) = 0 ratkaisuja. Nollakohtien lukumäärällä ja polynomin asteella on läheinen yhteys, sillä n-asteisella polynomilla on korkeintaan n kappaletta eri reaalista nollakohtaa Esimerkki. Funktion f(x) = x 1 nollakohtia ovat yhtälön x 1 = 0 ratkaisut eli pisteet x = 1 ja x = 1. Funktiolla f(x) = x on vain yksi nollakohta eli x = 0. Tarkastellaan. asteen polynomifunktiota f(x) = ax +bx+c ja sen nollakohtia, jotka ovat yhtälön ax + bx + c = 0 ratkaisuja. Alla olevassa kuvassa on kolme funktiota, joista yhdellä on kaksi nollakohtaa, toisella yksi ja kolmannella ei yhtään. f(x) x Rationaalifunktio määritellään polynomifunktion avulla seuraavasti: 1.4. Määritelmä. Olkoot p(x) ja q(x) kaksi polynomifunktiota. Funktiota f(x) kutsutaan rationaalifunktioksi, jos se on muotoa (10) f(x) = p(x) q(x), kun q(x) 0.

16 16 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Rationaalifunktion määrittelyjoukkona ovat kaikki reaaliluvut paitsi nimittäjäfunktion q(x) nollakohdat Esimerkki. Funktion f(x) = 3x x määrittelyjoukko on R \ {, }, koska x = 0, kun x = ja x =. Funktion monotonisuus on tärkeä ominaisuus, joka liittyy läheisesti esimerkiksi käänteisfunktioon Määritelmä. Olkoon f: X Y funktio ja olkoot x 1,x X. Funktio f on a) kasvava, jos x 1 x f(x 1 ) f(x ) b) vähenevä, jos x 1 x f(x 1 ) f(x ) c) aidosti kasvava, jos x 1 < x f(x 1 ) < f(x ) d) aidosti vähenevä, jos x 1 < x f(x 1 ) > f(x ) Funktio on monotoninen, jos se on kasvava tai vähenevä. Vastaavasti funktio on aidosti monotoninen, jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Lineaarisen funktion tapaukessa kulmakerroin kertoo onko funktio aidosti kasvava vai aidosti vähenevä: lineaarinen funktio on aidosti kasvava, kun kulmakerroin on positiivinen ja aidosti vähenevä, kun kulmakerroin on negatiivinen. Jos kulmerroin on nolla, niin tällöin kyseessä on vakiofunktio Esimerkki. Funktiot f(x) = x ja f(x) = 3x + 1 ovat aidosti kasvavia, mutta funktio f(x) = x ei ole kasvava eikä vähenevä koko määrittelyjoukossaan. Funktion f(x) = x kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ja se on aidosti kasvava, jos x > 0, ja aidosti vähenevä, jos x < 0. Koko määrittelyjoukossaan tämä funktio ei siis kuitenkaan ole monotoninen. Onko funktio f(x) = x 3 monotoninen? 1.6. Käänteisfunktio ja yhdistetty funktio. Seuraavaksi käsittelemme funktion f käänteisfunktiota, jota merkitään symbolillaf 1 (huomioi, ettei kyseessä olef potenssiin 1). Taloustieteellisten sovellusten kannalta käänteisfunktio on hyödyllinen. Joskus on esimerkiksi sopivampaa käsitellä kysyntäfunktion sijaan sen käänteiskysyntäfunktiota Määritelmä. Funktiolla f: X Y on käänteisfunktio f 1 : Y X, jos funktion f jokaista arvoa vastaa yksi ja vain yksi x X. Tällöin millä tahansa x X pätee (11) y = f(x) f 1 (y) = x. Määritelmän ehtoa tarvitaan, jotta käänteisfunktio on hyvin määritelty funktio. Määritelmästä huomataan, että käänteisfunktion määrittelyjoukkona on funktion f arvojoukko ja arvojoukkona funktion f määrittelyjoukko. Kuvana

17 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 17 f 1 X Y f Aito monotonisuus liittyy keskeisesti käänteisfunktioon, koska aidosti monotoninen funktio täyttää käänteisfunktion määritelmässä olevat ehdot, jolloin siis aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio. Jos siis halutaan löytää käänteisfunktio, niin tulee ensin perustella käänteisfunktion olemassaolo. Tämä onnistuu käyttämällä aidon monotonisuuden määritelmää, mutta myöhemmin voimme tehdä saman paljon helpommin käyttämällä derivaattaa Esimerkki. Tarkastellaan funktiota f(x) = x + 1. Näytetään, että tämä funktio on aidosti monotoninen, jolloin sillä on käänteisfunktio. Olkoon x 1,x R ja x 1 < x, jolloin x 1 x < 0 Tutkitaan erotusta f(x 1 ) f(x ) (miksi?): f(x 1 ) f(x ) = x 1 +1 x 1 = x 1 x = (x 1 x ) < 0. }{{} <0 (oletus) Tämä täyttää aidon kasvavuuden kriteerin, joten funktio on aidosti monotoninen ja sillä on siten käänteisfunktio. Olkoon nyt y = x + 1, jolloin ratkaisemalla x:n suhteen saamme x = 1(y 1), joten f 1 (y) = 1 (y 1) Esimerkki. Tarkastellaan funktion f: ]0, [ R, f(x) = x käänteisfunktiota. Tässä olemme siis rajoittaneet funktion määrittelyjoukkoa siten, että sillä on käänteisfunktio. Ratkaisemalla yhtälö y = x muuttujan x suhteen saamme x = y 1 = y, joten funktion f käänteisfunktio on x = f 1 (y) = y Esimerkki. Tarkastellaan kysyntäfunktiota, joka on oletetaan lineaariseksi. Olkoon se q = 4p+. Käänteiskysyntäfunktio on p = 1q Funktioita voidaan myös yhdistellä. Olkoot f: X Y ja g: Y Z kaksi funktiota ja katsotaan seuraavaa kuvaa. h X f Y g Z Kuvasta nähdään, että funktio f vie alkion x X alkiolle f(x) Y ja funktio g vie alkion y Y alkiolle g(x) Z. Yhtä hyvin voitaisiin ajatella yhdistettyä funktiota h: X Z, joka vie alkion x X alkiolle h(x) Z. Määritellään tämä funktio:

18 18 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 1.7. Määritelmä. Jos f: X Y ja g: Y Z ovat funktioita, niin niiden yhdistetty funktio g f: X Z on (1) h(x) = (g f)(x) = g(f(x)), kun x X. Yhdistetyssä funktiossa f on sisäfunktio ja g on ulkofunktio Esimerkki. Olkoon f(x) = x + 1 ja g(x) = x 3. Tällöin yhdistetty funktio h = g f on (g )f(x) = g(f(x)) = g(x +1) = (x +1) 3. Millainen on yhdistetty funktio f g? Yhdistetyn funktion tunnistaminen on hyödyllistä ja helpottaa esimerkiksi useiden funktioiden derivointia Esimerkki. Olkoon funktio h(x) = 10 x+5. Mitkä ovat tässä tapauksessa sisä- ja ulkofunktiot? 1.7. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. Aiemmin määrittelimme jo polynomifunktiot ja rationaalifunktiot. Nyt määrittelemme eksponentti- ja logaritmifunktiot, joiden lisäksi muita tärkeitä funktioita ovat trigonometriset funktiot (esimerkiksi tutut sin(x), cos(x) jne.). Meillä ei ole kuitenkaan välitöntä käyttöä trigonometrisille funktioille esimerkiksi taloustieteen perusmalleja ajatellen. Trigonometriset funktiot kerrataan mahdollisesti luennoilla. Olkoon nyt a reaaliluku, jolle pätee a > 0 ja a Määritelmä. Funktio f: R (0, ) on a-kantainen eksponenttifunktio, kun (13) f(x) = a x. a-kantainen eksponenttifunktio on siis määritelty kaikilla reaaliluvuilla ja saa kaikki positiiviset arvot. Lisäksi kyseinen funktio on aidosti kasvava, kun a > 1 ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1. Seuraavassa kuvassa on esitetty aidosti kasvava ja aidosti vähenevä eksponenttifunktio: 3 f(x) a > < a < x

19 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 19 Tärkein kantaluku on niin sanottu Neperin luku e, jonka likimääräinen arvo on Tarkka arvo saadaan raja-arvona: ( (14) e = lim 1+ 1 k. k k) Esimerkki. Oletetaan, että tallettajan alkupääoma on A, jonka hän sijoittaa sen korkoprosentilla r. Oletetaan, että sijoitusaika on yksi vuosi. Jos korko maksetaan kerran vuodessa, niin vuoden lopussa tallettajan pääoma on A(1 + r). Jos taas korko maksetaan kahdesti vuodessa, niin tällöin pääoma vuoden lopussa on A(1+ r ). Jos korko maksetaan n kertaa vuodessa, niin tällöin pääoma on vuoden lopussa ( (15) A 1+ r ) n n Entä jos korko maksetaan jatkuvasti eli kun n lähestyy ääretöntä (merkitsemme n )? Muokataan tätä varten ylläolevaa kaavaa seuraavasti: ( (16) A 1+ r ) n ( = A 1+ r ) ( n r r ( = A 1+ r ) )n r r n n n Määritellään nyt uusi muuttuja k asettamalla k = n, jolloin saamme r ( ( (17) A 1+ 1 ) ) k r k Jos nyt annetaan k (mikä on sama kuin n ), niin saamme (18) Ae r Eli kun korko on r ja korkolaskenta on jatkuvaa, niin ensimmäisen vuoden päästä alkupääoman arvo on Ae r Esimerkki. Jatketaan esimerkin 1.33 tarkastelua. Entä jos sijoitusaika on pidempi, sanotaan t vuotta? Tällöin t vuoden päästä pääoman arvo V on V = Ae rt. Oletetaan, että alkupääoma on 100 euroa ja korkoprosentti on ja korkolaskenta on jatkuvaa. Tällöin sijoituksen arvo on viiden vuoden päästä V = 100e Jos korko olisi maksettu kerran vuodessa jatkuvan korkolaskennan sijaan niin sijoituksen arvo viiden vuoden päästä olisi V = 100 (1+0.0) Seuraavasta lauseesta selviää joitakin eksponenttifunktion ominaisuuksista: 1.1. Lause. (i) a x a y = a x+y (ii) ax = a x y a y (iii) (a x ) y = a xy (iv) (ab) x = a x b x Tässä pitäisi perustella vielä raja-arvon vieminen potenssin sisään, jotta voidaan käyttää Neperin luvun määritelmää.

20 0 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Eksponenttiofunktion avulla voimme määritellä logaritmifunktion. Kuten muistamme, eksponenttifunktio on joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä kaikilla määrittelyjoukkonsa arvoilla. Se on siis aidosti monotoninen, ja sillä on käänteisfunktio. Määrittelemme logaritmifunktion eksponenttifunktion käänteisfunktiona. Olkoon y R positiivinen luku, jolloin yllä mainitun perusteella on olemassa yksi luku x, jolle pätee y = a x Määritelmä. Olkoon y = a x. Tällöin y = a log a (y) eli siis x = log a (y). Luvun y a-kantainen logaritmi on siis se luku x, johon kantaluku a on korotettava, jotta saadaan y. Tärkeimmät kantaluvut ovat 10 ja erityisesti Neperin luku e. Kun kantalukuna on e käytetään merkinnän log e (y) sijaan merkintää ln(y) ja puhutaan luonnollisesta logaritmista. Kun kantalukuna on 10, niin käytetään merkintää lg(y). Logaritmifunktio on aidosti kasvava, kun a > 1 ja aidosti vähenevä, kun 0 < a < 1. Tiedämme, että eksponenttifunktio on aidosti monotoninen, joten myös logartimifunktiolla on tämä sama ominaisuus. Seuraavassa kuvassa ovat funktioiden y = e x ja y = lnx kuvaajat: 3 f(x) e x 1 lnx x Esimerkki. 3 a) lg(1000) = lg(10 3 ) = 3 b) lg(1) = lg(10 0 ) = 0 c) ln(e 3 ) = 3 d) ln(e) = 1 e) ln(1) = ln(e 0 ) = 0 Esimerkistä huomaamme erityisesti sen, että kantaluvun logaritmi on yksi ja ykkösen logaritmi on nolla. Logaritmeistä on hyötyä esimerkiksi eksponenttiyhtälöiden ratkaisussa. Tätä varten tarvitaan laskusääntöjä. 1.. Lause. (i) log a (yx) = log a (y)+log a (x) (ii) log a ( y x ) = log a(y) log a (x) (iii) log a (y x ) = xlog a (y)

21 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Esimerkki. log (x 5 ) = log ()+log (x 5 ) = 1+5log (x) Esimerkki. Ratkaistaan eksponenttiyhtälö 3 1 x 3x =. 3 1 x 3x = 3 3 x 8 x = ( ) x 1 8 x = ( ) x 8 = Otetaan seuraavaksi yhtälöstä puolittain luonnolliset logaritmit, jolloin saadaan ( ) x ( ) ( ) ( ) 8 8 ln = ln xln = ln Ratkaisemalla tämä x:n suhteen ja soveltamalla logaritmin laskusääntöjä saadaan ratkaisu: x = ln() ln(3) ln(8) ln(3).. Yhden muuttujan funktion differentiaalilaskentaa.1. Raja-arvo ja jatkuvuus. Raja-arvoon törmäsimme jo Neperin luvun yhteydessä yhtälössä (14) ja esimerkissä Annetaan raja-arvolle seuraava määritelmä. Olkoot X R ja Y R. Tarkastellaan funktiota f: X Y ja pistettä x 0 X..1. Määritelmä. Funktiolla f: X Y on raja-arvo a Y kohdassa x 0 X, kun mitä tahansa lukua ǫ > 0 kohti löytyy luku δ > 0 siten että f(x) a < ǫ, kun 0 < x x 0 < δ. Raja-arvoa merkitään lim f(x) = a. x x 0 Määritelmässä oleva luku δ voi riippua sekä kohdasta x 0 että luvusta ǫ. Intuitiivisesti määritelmä sanoo, että funktion f arvot f(x) sijaitsevat mielivaltaisen lähellä lukua a, kun muuttuja x sijaitsee riittävän lähellä lukua x Esimerkki. Olkoonf(x) = x+1 ja osoitetaan, että lim x 1 f(x) = 3. Olkoonǫ > 0 ja 0 < x 1 < δ. Nyt määritelmän mukaisesti δ tulee valita oikein. Tutkitaan tätä varten funktion ja väitetyn raja-arvon erotuksen itseisarvoa: (x+1) 3 = x = x 1 < δ. Valitaan δ = ǫ, jolloin saamme ylläolevan epäyhtälön mukaisesti (x+1) 3 < ǫ. Funktion f(x) = x+1 raja-arvo, kun x 1, on 3.

22 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A).1. Lause. Jos funktiolla f: X Y on raja-arvo, niin se on yksikäsitteinen... Lause. Olkoot lim f(x) = a ja lim g(x) = b. Tällöin x x0 x x0 (i) lim cf(x) = ca x x0 (ii) lim(f(x)±g(x)) = a+b x x0 (iii) lim(f(x)g(x)) = ab x x0 f(x) (iv) lim x x0 g(x) = a, kun g(x) 0 ja b 0. b Raja-arvon määritelmä ei anna keinoa raja-arvon löytämiseksi. Määritelmän perusteella voi kuitenkin todistaa lauseita, joiden avulla raja-arvo voi löytyä. Esimerkiksi polynomifunktion raja-arvo löytynee seuraavan lauseen avulla:.3. Lause. Olkoon P(x) polynomifunktio. Tällöin lim x x0 P(x) = P(x 0 ). Esimerkiksi funktion f(x) = x 1 raja-arvo on 7, kun x lähestyy lukua. Yllä olevassa raja-arvon määritelmässä ei ole merkitystä kummalta puolelta pistettä x 0 lähestytään. Oletimme siis, että molemmilla puolilla pistettä x 0 on muita määrittelyjoukon X pisteitä, joita pitkin voimme lähestyä. Entä jos esimerkiksi pisteen x 0 vasemmalla puolella ei olekaan määrittelyjoukon pisteitä? Tällöin puhutaan funktion f(x) oikeanpuoleisesta raja-arvosta, jota merkitään lim f(x) = a. x x 0 + Jos taas pisteen oikealla x 0 puolella ei ole määrittelyjoukon pisteitä, niin puhutaan vasemmanpuoleisesta raja-arvosta, jota merkitään lim f(x) = a. x x 0 Jos funktiolla on raja-arvo pisteessä x 0, niin tällöin sillä on sekä oikeanpuoleinen että vasemmanpuoleinen raja-arvo ja kaikki kolme raja-arvoa ovat sama luku. Jos taas funktiolla on oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen raja-arvo ja nämä rajaarvot ovat samat, niin tällöin funktiolla on raja-arvo. Raja-arvon avulla voimme määritellä funktion jatkuvuuden. Intuitiivisesti ajatellen jatkuvan funktion kuvaaja on katkeamaton käyrä... Määritelmä. Funktio f: X Y on jatkuva kohdassa x 0, jos lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Funktio on siis jatkuva pisteessä x 0, jos sen raja-arvo pisteessä x 0 on yhtä kuin funktion arvo pisteessä x 0. Funktiota kutsutaan jatkuvaksi, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä..4. Lause. Olkoot f(x) ja g(x) jatkuvia funktioita. Tällöin seuraavat funktiot ovat jatkuvia:

23 (i) f(x)±g(x) (ii) f(x)g(x) (iii) f(x), kun g(x) 0. g(x).5. Lause. Seuraavat funktiot ovat jatkuvia: (i) Polynomifunktio (ii) Rationaalifunktio (iii) Eksponenttifunktio (iv) Logaritmifunktio. MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 3.6. Lause. Olkoon funktio f(x) jatkuva kohdassa x 0 ja funktio g(x) jatkuva kohdassa f(x 0 ). Tällöin yhdistettyfunktio (g f)(x) on jatkuva kohdassa x 0. Funktio on suljetulla välillä [x 1,x ] jatkuva, jos se on jatkuva avoimella välillä ]x 1,x [ ja välin päätepisteissä pätee: lim f(x) = f(x 1) ja x x 0 + lim f(x) = f(x ). x x 0.7. Lause. Suljetulla välillä jatkuva funktio saa kyseisellä valillä suurimman ja pienimmän arvonsa... Derivaatta..3. Määritelmä. Funktion f: X Y erotusosamäärä pisteessä x 0 on f(x 0 +h) f(x 0 ). h Jos asetamme x = x 0 +h, niin tällöin erotusosamäärä tulee muotoon f(x) f(x 0 ) (19). x x 0 Erotusosamäärä on funktion arvon muutoksen suhde muuttujan muutokseen. Seuraava kuva havainnollistaa tilannetta: f(x) Sekanttisuora f(x 0 +h) f(x) f(x 0 ) x 0 x 0 +h x

24 4 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Kuvassa on piirretty käyrä y = f(x) ja pisteiden (x 0,f(x 0 )) ja (x 0 +h,f(x 0 +h)) kautta kulkeva niin sanottu sekanttisuora. Erotusosamäärä on siten sekanttisuoran kulmakerroin..4. Määritelmä. Funktio f: X Y on derivoituva kohdassa x 0 X, jos rajaarvo f(x 0 +h) f(x 0 ) lim h 0 h on olemassa ja on äärellinen. Funktion derivaattaa kohdassa x 0 X merkitään f f(x 0 +h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Jos funktio on derivoituva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, niin silloin sanotaan, että funktio on derivoituva. Merkinnän f (x) lisäksi derivaattaa voidaan merkitä symbolein Df(x), dy df ja dx dx sekä y. Yritämme käyttää johdonmukaisesti vain yhtä merkintää eli f (x):ää. 3 Geometrisesti tulkittuna derivaatta on pisteeseen (x 0,f(x 0 )) piirretyn tangenttisuoran kulmakerroin ja pisteessä x 0 derivaattaa voi ajatella esimerkiksi funktion kuvaajan appoksimointina tangenttisuoralla. Approksimaatio on hyvä pienillä h (olettaen, ettei funktion arvot muutu kovin voimakkaasti kohdan x 0 lähellä), mutta virhe kasvaa h:n kasvaessa. Funktion f(x) derivaattafunktio on f (x). Tarkastellaan funktiota f(x). Pisteen (x 0,f(x 0 )) kautta kulkevan tangenttisuoran yhtälö on muotoa y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). Merkitään muutoksia muuttujien x ja y arvoissa tangenttisuoran tapauksissa symbolein dx ja dy eli dx = x x 0 ja dy = y f(x 0 ). Muutoksia dx ja dy kutsutaan differentiaaleiksi. Tangenttisuoran yhtälö tulee näiden avulla kirjoitettuna muotoon (0) dy = f (x 0 )dx. Aiemmin merkitsimme muutosta x:n arvossa myös h:lla. Huomaa, että yhtälö (0) pätee olipa dx miten suuri tahansa. Merkitään nyt muutosta funktion f arvossa y:llä eli y = f(x 0 +h) f(x 0 ). Derivaatan määritelmä tulee nyt muotoon f y (x 0 ) = lim h 0 h. 3 Tästä poiketaan kuitenkin Matematiikan alkeet II kurssin lopussa, jolloin differentiaaliyhtälöitä käsiteltäessä on kätevää merkintä derivaattaa symbolein dy dx ja y.

25 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 5 Jos h on pieni ja funktion arvot eivät muutu kovin voimakkaasti kohdan x 0 lähellä, niin likimäärin pätee y f (x 0 )h. Nyt voimme yhdistää tämän tiedon yhtälöön (0), jolloin saamme (1) y dy = f (x 0 )dx. Tässä y on siis muutos funktion arvossa ja dy on muutos y:n arvossa tangenttisuoralla. Tangenttisuoran tapauksessa differentiaali antaa täsmällisen arvion muutokselle muuttujassa y, mutta funktion f(x) tapauksessa ei. Mitä suurempi h, sitä huonommin dy arvioi muutosta funktion arvossa. Kuvana asia näyttää tältä: f(x) Tangenttisuora f(x 0 +h) dy y f(x 0 ) x 0 h x 0 +h x.. Esimerkki. Lasketaan funktion f(x) = x +x 5 derivaatta kohdassa x = 4. Funktion erotusosamäärä on kaavan (19) mukaisesti () x +x 5 (4 +4 5) x 4 = x +x 0 x 4 Erotusosamäärän raja-arvo, kun x lähestyy lukua 4, on = (x 4)(x+5) x 4 = x+5. Toisin sanoen f (4) = 9. limx+5 = 9. x 4 Mikä yhteys on funktion jatkuvuudella ja derivoituvuudella? Onko esimerkiksi jatkuva funktio aina derivoituva? Entä onko derivoituva funktio aina jatkuva? Derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva. Itseisarvofunktio on esimerkki jatkuvasta funktiosta, joka ei ole derivoituva. Erityisesti itseisarvofunktio ei ole derivoituva pisteessä x = 0. Kuvaajaa katsomalla

26 6 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Korjattu merkintää Vasemmanpuoleinen huomataan, että funktion kuvaajalla on tässä pisteessä kärki, jolloin sillä ei ole siinä pisteessä tangenttia..3. Esimerkki. Tarkastellaan funktiota f(x) = x. Itseisarvofunktio on jatkuva. Funktio ei kuitenkaan ole derivoituva pisteessä x = 0, koska f(0+h) f(0) lim = h h 0 h h = 1 f(0+h) f(0) lim = h h 0+ h h = 1. ja oikeanpuoleinen raja-arvo eivät yhdy, joten erotusosamäärällä ei ole pisteessä x = 0 raja-arvoa. Entä muut pisteet? Derivoituva funktio on siis jatkuva ja lisäksi sileä. Sileä tarkoittaa tässä sitä, ettei funktion kuvaajassa ole kulmia..8. Lause. (i) Summan ja erotuksen derivaatat (f ±g) (x) = f (x)+g (x) (ii) Tulon derivaatta (fg) (x) = f (x)g(x)+f(x)g (x) (iii) Osamäärän derivaatta ( f g ) (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)). Ylläolevien kaavojen paikkansa pitävyys voidaan osoittaa derivaatan määritelmän ja yhdistetyn funktion derivointisäännön (ketjusääntö) avulla, joka esitetään seuraavaksi..9. Lause. Olkoon f(x) derivoituva pisteessä x 0 ja g(x) derivoituva pisteessä f(x 0 ). Tällöin yhdistetty funktio g f on derivoituva pisteessä x 0, ja sen derivaatta saadaan kaavalla (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). Yhdistetyn funktion derivaatta saadaan ulko- ja sisäfunktioiden derivaattojen tulona, kun ulkofunktion derivaatta on arvioitu sisäfunktion arvolla kohdassax 0. Näistä kaavoista ei ole vielä suurta iloa käytännön derivoinnin kannalta. Miten esimerkiksi derivoidaan polynomifunktio käyttämättä raja-arvon määritelmää? Tarvitaan derivoinnin laskusääntöjä:.10. Lause. (i) Vakiofunktion f(x) = a derivaatta on f (x) = 0 (ii) Funktion af(x) derivaatta on af (x) (iii) Polynomifunktio f(x) = x n derivaatta on f (x) = nx n 1 (iv) Yleisen polynomifunktion f(x) = a 0 +a 1 x+a x +...+a n x n derivaatta on f (x) = a 1 +a x+...+na n x n 1

27 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 7 e) Rationaalifunktion (kun g(x) 0) derivaatta on f(x) = p(x) q(x) f (x) = p (x)g(x) p(x)g (x) (g(x)). Lisäksi pätee: jos f(x) = x r ja r on rationaaliluku, niin f (x) = rx r Esimerkki. (i) Olkoon f(x) = 6x 3. Tällöin f (x) = 3 6x 3 1 = 18x. (ii) Olkoonf(x) = x 6 3 x3 +9. Tällöinf (x) = 6x x3 1 = 6x 5 x. (iii) Olkoon f(x) = x +x. Tällöin f (x) = (+x) x 1 (+x) = 4 (+x). (iv) Olkoon f(x) = 3 x. Tällöin f (x) = 1 3 x1/3 1 = 1 3 x /3 = x (v) Olkoonh(x) = (x +4) 10. Tässä ulkofunktiona ong(x) = x 10 ja sisäfunktiona on f(x) = x +4, jolloin saamme yhdistetynfunktion derivointikaavalla: korjattu h (x) = g (f(x))f (x) = 10(x +4) 9 x = 0x(x +4) 9. Aiemmasta muistamme mitä funktion monotonisuudella tarkoitetaan (katso määritelmä 1.5). Funktion monotonisuutta voidaan kuitenkin tutkia paljon helpommmin derivaatan avulla:.11. Lause. Olkoon f: X Y derivoituva koko määrittelyjoukossaan ja Z X väli. Tällöin (ii) Jos f (z) 0 jokaisella z Z, niin funktio on välillä Z kasvava. (ii) Jos f (z) 0 jokaisella z Z, niin funktio on välillä Z vähenevä. (iii) Jos f (z) > 0 jokaisella z Z, niin funktio on välillä Z aidosti kasvava. (iv) Jos f (z) < 0 jokaisella z Z, niin funktio on välillä Z aidosti vähenevä..5. Esimerkki. (i) Funktio f: ]0, [ R, f(x) = x, on aidosti kasvava koko määrittelyjoukossaan, koska f (x) = 1 > 0 kaikilla x ]0, [. x

28 8 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) (ii) Olkoon f(x) = ax 3 x, jossa a > 0. Funktion derivaatta on f (x) = 3ax 1. Tutkitaan sen merkkiä eri muuttujan arvoilla. Derivaatan nollakohdat saadaan yhtälöstä 3ax 1 = 0. 1 Ne ovat ja 1. Lisäksi derivaatta saa aidosti positiivisia arvoja, kun 3a 3a x < 1 3a tai x > 1 3a. Näillä arvoilla funktio on aidosti kasvava. Derivaatta saa aidosti negatiivisia arvoja, kun 1 3a < x < 1 3a. Näillä arvoilla funktio on aidosti laskeva. Laske nyt funktion nollakohdat ja hahmottele näiden tietojan avulla funktion kuvaaja. Tarkastellaan seuraavaksi käänteisfunktion derivoimista. Oletetaan nyt, että funktiolla f(x) on käänteisfunktio f 1 (y). Seuraavan säännön perusteella voimme laskea sen derivaatan.1. Lause. Jos f(x) on derivoituva pisteessä x 0 ja f (x 0 ) 0, niin käänteisfunktio f 1 (y) on derivoituva pisteessä y 0 ja sen derivaatta löydetään kaavalla ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (x 0 ). Tämä kaava helpottaa joissain tapauksissa huomattavasti käänteisfunktion derivointia. Perustellaan tätä parilla esimerkillä. Ensimmäisessä esimerkissä voimme löytää käänteisfunktion derivaatan käyttämättä käänteisfunktion derivointisääntöä..6. Esimerkki. Olkoon y = f(x) = 7x + 1. Pyrimme löytämään derivaatan (f 1 ) (y). Funktio on aidosti monotoninen, joten sillä on käänteisfunktio. Voimme ratkaista yhtälön y = 7x + 1 muuttujan x suhteen. y = 7x+1 7x = y 1 x = 1 7 y 1 3 x = 1 7 y 3 Löysimme siis käänteiskuvauksen f 1 (y) = 1 y 3, jonka voimme derivoida suoraan, 7 jolloin saamme ( ) f 1 1 (y) = 7. Seuraavassa esimerkissä on käänteisfunktion etsimisen ja derivoinnin sijaan helpompaa käyttää käänteisfunktion derivoimissääntöä..7. Esimerkki. Olkoonf(x) = x 5 +x+1. Funktio on aidosti monotoninen (Miksi?). Tehtävänä on etsiä käänteisfunktion derivaatta pisteessä y 0 = 1. Merkitään nyt y = f(x) eli y = x 5 + x + 1. Kyseessä on viidennen asteen yhtälö, joten emme yritä ratkaista muuttujaa x. Jos nyt y = 1, niin yhtälö on 1 = x 5 + x + 1. Tämä pätee, kun x = 0. Käänteisfunktion derivointisäännössä vaaditaan, että f(x) on

29 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) 9 derivoituva tässä pisteessä ja f (0) 0. Funktio on derivoituva kaikilla x R, joten se on derivoituva erityisesti pisteessä x = 0. Lisäksi f (x) = 5x 4 +1, joten f (0) = 1. Voimme siis soveltaa käänteisfunktion derivointisääntöä. Saamme ( f 1 ) (1) = 1 f (0) = 1. Edellisten laskusääntöjen lisäksi tärkeitä ovat myös eksponentti- ja logaritmifunktioiden derivointisäännöt..13. Lause. (i) Olkoon f(x) = e x. Tällöin derivaatta on f (x) = e x (ii) Olkoon f(x) = e g(x). Tällöin derivaatta on f (x) = g (x)e g(x) (iii) Olkoon f(x) = a x. Tällöin derivaatta on f (x) = a x lna (iv) Olkoon f(x) = a g(x). Tällöin derivaatta on f (x) = g (x)a g(x) lna..8. Esimerkki. (i) Olkoon f(x) = e 3. Tällöin f (x) = 0. (ii) Olkoon f(x) = x 15 +e x e x. Tällöin f (x) = 15 x xe x ( 1)e x = 30x 14 +xe x +e x..14. Lause. (i) Olkoon f(x) = lnx. Tällöin derivaatta on f (x) = 1 x (ii) Olkoon f(x) = lng(x). Tällöin derivaatta on f (x) = g (x) g(x) (iii) Olkoon f(x) = log a (x). Tällöin derivaatta on f (x) = 1 alnx..9. Esimerkki. (i) Olkoon f(x) = 6ln3x. Tällöin f (x) = 6 (ii) Olkoon f(x) = xlnx. Tällöin 3 3x = 6 x. f (x) = 1 lnx +x x x = lnx + x x = lnx Korkeammat derivaatat. Tarkastellaan funktiota f: X Y ja pistettä x 0 X. Olkoon funktio derivoituva eli sen derivaatta f (x) on olemassa jokaisessa pisteessä x X. Kuten muistamme, myös funktion derivaatta f (x) on funktio..5. Määritelmä. Olkoon funktio f (x) derivoituva pisteessä x 0. Tällöin funktion f(x) toinen derivaatta on f f (x 0 +h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h

30 30 MATEMATIIKAN ALKEET I (YE19A) Toinen derivaatta on siis funktion f (x) erotusosamäärän raja-arvo. Toinen derivaatta f (x) on ensimmäisen derivaatan tavoin funktio, ja sen olemassaolo pisteessä x 0 vaatii, että sillä on jo tässä pisteessä ensimmäinen derivaatta. Samalla tavalla jatkamalla voimme määritellä muut korkeammat derivaatat, jolloin n:ttä derivaattaa merkitään f (n) (x):llä. Esimerkiksi funktion f(x) kolmas derivaatta on f (3) (x). Muita merkintöjä ovat D n f(x) ja dn f dx n..10. Esimerkki. Lasketaan funktion f(x) = x 4 +x 3 +4 toinen derivaatta. Nyt ensimmäinen derivaatta onf (x) = 4x 3 +3x. Derivoimalla tämä toistamiseen saamme toisen derivaatan: f (x) = 3 4x + 3x = 1x +6x..11. Esimerkki. Polynomifunktio ja funktio f(x) = e x ovat äärettömän monta kertaa derivoituvia..1. Esimerkki. Lasketaan funktion f(x) = e x kaksi ensimmäistä derivaattaa. Eksponenttifunktion derivoimissäännöllä saamme f (x) = xe x. Käyttämällä tulon derivointisääntöä saamme laskettua toisen derivaatan: f (x) = e x +x xe x = e x (1+x ). Toisen derivaatan avulla voimme määritellä konveksit ja konkaavit funktiot. Konveksin funktion kuvaaja on alaspäin kupera ja konkaavin funktion kuvaaja on ylöspäin kupera: f(x) konkaavi konveksi x.6. Määritelmä. Kahdesti derivoituva funktio f: X Y on määrittelyjoukossaan (i) konveksi, jos ja vain jos jokaisella määrittelyjoukon pisteellä pätee f (x) 0 (ii) konkaavi, jos ja vain jos jokaisella määrittelyjoukon pisteellä pätee f (x) 0

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.

= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0. HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.

Funktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat. Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.

Algebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku. Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =

3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) = BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2. MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausta 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat: 1. Potenssisarjojen suppenemissäe, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan laskeminen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö-

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Diskreetti derivaatta

Diskreetti derivaatta Diskreetti derivaatta LuK-tutkielma Saara Sadinmaa 43571 Matemaattisten tieteiden koulutusohjelma Oulun yliopisto Syksy 017 Sisältö Johdanto 1 Peruskäsitteitä 3 Ominaisuuksia 4 3 Esimerkkejä 8 4 Potenssifunktioita

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 11. Kurssikerta Petrus Mikkola 29.11.2016 Tämän kerran asiat Eksponenttifunktio Eksponenttifunktion määritelmä Eksponenttifunktion ominaisuuksia Luonnolinen logaritmi

Lisätiedot

Rationaalilauseke ja -funktio

Rationaalilauseke ja -funktio 4.8.07 Rationaalilauseke ja -funktio Määritelmä, rationaalilauseke ja funktio: Kahden polynomin ja osamäärä, 0 on rationaalilauseke, jonka osoittaja on ja nimittäjä. Huomaa, että pelkkä polynomi on myös

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio

Talousmatematiikan perusteet: Luento 4. Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Talousmatematiikan perusteet: Luento 4 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Viime luennolla Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b

Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora

Lisätiedot