Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Transkriptio

1 Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

2 Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta. Relaatiolla R X Y vastaavuus ei välttämättä ole yksikäsitteinen.

3 Relaatio f joukosta X joukkoon Y on kuvaus eli funktio joukolta X joukkoon Y, jos ensiksikin sen lähtöjoukko ja määrittelyjoukko ovat samat (M f = X ), eli

4 Relaatio f joukosta X joukkoon Y on kuvaus eli funktio joukolta X joukkoon Y, jos ensiksikin sen lähtöjoukko ja määrittelyjoukko ovat samat (M f = X ), eli x X : y Y : (x, y) f, (1) ja toiseksi, jos mikään x X ei ole relaatiossa useamman kuin yhden alkion y Y kanssa

5 Relaatio f joukosta X joukkoon Y on kuvaus eli funktio joukolta X joukkoon Y, jos ensiksikin sen lähtöjoukko ja määrittelyjoukko ovat samat (M f = X ), eli x X : y Y : (x, y) f, (1) ja toiseksi, jos mikään x X ei ole relaatiossa useamman kuin yhden alkion y Y kanssa (x, y 1 ) f (x, y 2 ) f y 1 = y 2. (2)

6 Ottamalla käyttöön kvanttorin! tarkoittamaan ilmaisua on olemassa yksikäsitteinen voimme esittää ehdot (1) ja (2) yhtenä ehtona x X :! y Y : (x, y) f. (1, 2)

7 Ottamalla käyttöön kvanttorin! tarkoittamaan ilmaisua on olemassa yksikäsitteinen voimme esittää ehdot (1) ja (2) yhtenä ehtona x X :! y Y : (x, y) f. (1, 2) Relaatio on siis kuvaus, jos sitä esittävässä nuolikuviossa jokaisesta lähtöjoukon alkiosta lähtee täsmälleen yksi nuoli.

8 Kun f on kuvaus ja (x, y) f, merkitään y = f (x)

9 Kun f on kuvaus ja (x, y) f, merkitään y = f (x) y on funktion f arvo muuttujan eli argumentin arvolla x. y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva.

10 Kun f on kuvaus ja (x, y) f, merkitään y = f (x) y on funktion f arvo muuttujan eli argumentin arvolla x. y on x:n kuva ja x on y:n alkukuva. Jokaisella x X on siis täsmälleen yksi kuva. Alkiolla y Y voi sen sijaan olla alkukuvia yksi, useampia tai ei yhtään.

11 Jos f on kuvaus joukolta X joukkoon Y, niin merkitsemme f : X Y. tai myös X f Y.

12 Jos f on kuvaus joukolta X joukkoon Y, niin merkitsemme f : X Y. tai myös X f Y. X on määrittelyjoukko M f ja Y maalijoukko.

13 Joukon A X kuva f (A) on A:n alkioiden kuvien joukko. Siis f (A) = { f (x) x A }.

14 Joukon A X kuva f (A) on A:n alkioiden kuvien joukko. Siis f (A) = { f (x) x A }. Joukon B Y alkukuva f 1 (B) on B:n alkioiden alkukuvien joukko. Siis f 1 (B) = { x X f (x) B }.

15 Kuvauksen f arvojoukko A f on määrittelyjoukon X alkioiden kuvien joukko A f = f (X ) = { y Y x X : y = f (x) } = { f (x) x X }.

16 Kuvauksen f arvojoukko A f on määrittelyjoukon X alkioiden kuvien joukko A f = f (X ) = { y Y x X : y = f (x) } = { f (x) x X }. Siis aina f (X ) Y. Nämä joukot voivat olla samoja, mutta eivät välttämättä.

17 Esimerkki. Olkoon X = {1, 2, 3, 4, 5}, Y = {1, 2, 3, 4} ja f = {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 3)}, joten meillä on kuvaus f : X Y. Voimme merkitä myös f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 2, f (4) = 3, f (5) = 3. Havainnollistamme tätä kuvausta nuolikuviolla ja tutkimme eräitä kuvia ja alkukuvia. Taululla.

18 Yksinkertaisimmat kuvaukset ovat identtinen kuvaus f : X X : f (x) = x ja vakiokuvaus f : X Y : f (x) = c, missä c Y.

19 Yksinkertaisimmat kuvaukset ovat identtinen kuvaus f : X X : f (x) = x ja vakiokuvaus f : X Y : f (x) = c, missä c Y. Funktion f sääntö voidaan joskus esittää analyyttisena lausekkeena, esimerkiksi f : R R: f (x) = 2x + 3 ja g : R R: g(x) = e sin2 ( x 2 +1)

20 Saattaa olla myös muunlainen algoritmi funktion laille. Esimerkkejä: kattofunktio x = pienin kokonaisluku, joka x lattiafunktio x = suurin kokonaisluku, joka x

21 Saattaa olla myös muunlainen algoritmi funktion laille. Esimerkkejä: kattofunktio x = pienin kokonaisluku, joka x lattiafunktio x = suurin kokonaisluku, joka x Dirichlet n funktio f : R R: { 1 kun x Q f (x) = 0 kun x R \ Q

22 Siis esimerkiksi = = 2, = = = 1, = 101

23 Siis esimerkiksi = = 2, = = = 1, = 101 ja kun f on Dirichlet n funktio, f (0) = f (1) = 1, f (π) = f ( 2) = 0. Kaikilla funktioilla ei ole algoritmilla ilmaistavaa sääntöä.

24 Järjestetty jono voidaan täsmällisesti määritellä (paitsi järjestettynä joukkona myös) kuvauksena {1, 2,..., n} X.

25 Järjestetty jono voidaan täsmällisesti määritellä (paitsi järjestettynä joukkona myös) kuvauksena {1, 2,..., n} X. Vastaavasti määrittelemme äärettömän jonon (x 1, x 2,...) kuvauksena Z + X.

26 Kuvaukset f : X Y ja g : U V ovat samat, jos X = U, Y = V sekä f ja g ovat tulojoukkojen osajoukkoina samat.

27 Kuvaukset f : X Y ja g : U V ovat samat, jos X = U, Y = V sekä f ja g ovat tulojoukkojen osajoukkoina samat. Siksi olisi täsmällisempää määritellä kuvaus f : X Y järjestettynä kolmikkona (X, Y, f ).

28 Lause 11. Jos f : X Y on kuvaus, A, A 1, A 2 X ja B, B 1, B 2 Y, niin (1) f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ), (2) f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ),

29 Lause 11. Jos f : X Y on kuvaus, A, A 1, A 2 X ja B, B 1, B 2 Y, niin (1) f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ), (2) f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ), (3) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), (4) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ),

30 Lause 11. Jos f : X Y on kuvaus, A, A 1, A 2 X ja B, B 1, B 2 Y, niin (1) f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ), (2) f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ), (3) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), (4) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), (5) A f 1( f (A) ), (6) f ( f 1 (B) ) B.

31 Lause 11. Jos f : X Y on kuvaus, A, A 1, A 2 X ja B, B 1, B 2 Y, niin (1) f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ), (2) f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ), (3) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), (4) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ), (5) A f 1( f (A) ), (6) f ( f 1 (B) ) B. Ominaisuuksissa (2), (5) ja (6) osajoukko voi olla aito. Todistus Joitakin kohtia taululla.