Lueno Lueno Sokasise signaali ja prosessi II. Sokasise prosessi Pruju Saionaarisuus, ergodisuus Auo ja risikorrelaaio ehospekri.3 Kohinan suodaaminen Sokasinen raja arvo ja derivaaa Winer Khinchin eoreema.3 Kohina Valkoinen ja värillinen kohina, kohinan suodaaminen ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
. Sokasise prosessi ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
Sokasise prosessi Sokasinen prosessi on joukko saunnaismuuujia X (, ),,, joa indeksoi reaaliarvoinen parameri (yleensä aika) Indeksijoukkoa kusuaan prosessin parameriavaruudeksi. Jokainen yksiäinen saunnaismuuuja on kuvaus oosavaruudesa reaali- (ai kompleksi-) asoon. Alkeisapausa vasaavaa paramerisoiua joukkoa kusuaan saunnaisluvun X () realisaaioksi/rajekoriksi/poluksi. Usein käyeään laiskaa noaaioa ja samaiseaan sokasinen prosessi sen realisaaioon. ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 30.3 0.0 3
Sokasise prosessi ila-avaruus (sae-space) on X() :n mahdollisen lukujen joukko. (vr. saunnaisluvun oosavaruus) ila-avaruus on diskreei, jos ilojen lukumäärä on rajallinen ai numeroiuva Diskreeiilainen/Diskreeiaikainen prosessi/sekvenssi/keju(chain) X ( ),,,,... k ila-avaruus on jakuva, jos aikaindeksi kuuluu einumeroiuvaan jakuvaan joukkoon Jakuvailainen/Jakuva-aikainen prosessi 0 X (), (0, ] ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 30.4 0.0 3
Sokasise prosessi ilasollise ominaisuude ova ajan funkioia Kerymäfunkio X ; Pr ( ) F x X x iheysfunkio d f X x FX x dx ; ; ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 30.5 0.0 3
Sokasise prosessi Odousarvo Auokorrelaaio Risikorrelaaio ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op * X X (, ) E X( ) X ( ) x x f x, x,, dx dx xy x() E X() xfx( x,) dx, * X Y (, ) E X( ) Y ( ) xyf x, y;, dxdy, Auokovarianssi * C (, ) EX( ) EX( ) X( ) EX( ) (, ) x x Risikovarianssi * Cxy (, ) EX( ) EX( ) Y( ) EY( ) xy (, ) x y 30.6 0.0 3
Sokasise prosessi Kaksi sokasisa eivä korreloi, jos * * (, ) E X( ) Y ( ) E X( ) E Y ( ) ( ) ( ) xy x y Cov xy (, ) 0 Kaksi sokasisa prosessia ova orogonaalisia, jos xy (, ) 0 Jos sokasisen prosessien välillä on lineaarinen riippuvuussuhde y() ax() b (, ) a (, ) b ( ) xy x Cov (, ) Korrelaaiokerroin xy (, ) (, ) yy (, ) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 30.7 0.0 3
Saionäärise prosessi Saionaarisuus (wide sense saionariy): ilasollise ominaisuude ajasa riippumaomia. () mx E X xp x dx * * (, ) E X( ) X ( ) E X( ) X ( ) ( ), Ergodisuus: ilasollise ominaisuude voidaan määrää yksiäisesä realisaaiosa. => Aikakeskiarvo vasaa oleusarvoa. lim xd ( ) EX( ) m X X X X 0, Sokasisen prosessin iheysfunkio saadaan eri ajan hekille määrielyjen odennäköisyysiheyksien ulona. ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op Riippumaomuus (independency): var X ( ), E ( ) E ( ) ( ) E ( ) x * 30.8 0.0 3
Saionäärise prosessi Saionäärisen ergodisen sokasisen signaalin keskimääräinen eho * lim x ( ) d Exx ( ) ( ) (0) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 30.9 0.0 3
Saionäärinen sokasinen prosessi 8 8 6 6 Keskihajona = 4 4 Ampliude Oleusarvo =3 0 0 - - -4 0 50 00 50 00 ime -4 PDF 0 0.05 0. 0.5 0. ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 30. 0 0.0 3
Valkoinen kohina arkasellaan saionaarisa normaalijakauunua prosessia. ällöin N(0, ) Kohinan keskimääräinen eho ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op x () px() e x ( ) x ( ) * (, ) E x( ) x ( ) x( ) x( ) e dx( ) dx( ), x ( ) x ( ) * ( ) E x( ) x ( ) x( ) x( ) e dx( ) dx( ) 0 0 0 P E X() (0) 30. 0.0 3
Sokasise prosessi Esimerkki: Valkoisen kohinan aikakeskiarvo x () zd () E x ( ) E z ( ) d0 ( ) E xx ( ) ( ) E z ( ) z ( ) dd,, ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op dd d z ()~ N 0, 0 muuoin ( ) 30. 0.0 3
Auokorrelaaio Saionaarise prosessi * * (, ) E x ( ) x ( ) E x ( ) x ( ), jos prosessi on saionaarinen auokorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan arkaseluajanhekien välisä * (, ) E x( ) x ( ) Ergodisuus: ilasollise ominaisuude voidaan määrää yksiäisesä realisaaiosa. => Aikakeskiarvo vasaa oleusarvoa. lim xd ( ) Ex ( ) m Ergodisen signaalin keskimääräinen eho ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op * lim x ( ) d Exx ( ) ( ) (0) x 3
Sokasisen prosessin ehospekri Saionaarisen sokasisen prosessin korrelaaiofunkion Fourier muunnos xy i f f e d ( ) ( ) i f f xy e d ( ) ( ) x:n ehospekri x:n ja y:n risiehospekri Kääneismuunnos xy ( ) ( f ) e ( ) ( f ) e xy i f i f df df x:n auokorrelaaio x:n ja y:n risikorrelaaio ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 4
Sokasisen prosessin ehospekri Reaaliselle prosessille x () auokorrelaaio on symmerinen ja reaalinen ehospekri on symmerinen, reaalinen ja einegaiivinen ( f) ( f) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 5
Valkoinen kohina ( ) ( f ) f Valkoisen kohinan energia on asajakauunu kaikille aajuuksille. ( ) ( ) ( f) f ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 6
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op Esimerkki Esimerkki: Valkoisen kohinan aikakeskiarvo x () zd () E x ( ) E z ( ) d0 ( ) E xx ( ) ( ) E z ( ) z ( ) dd,, dd d 0 muuoin ( ) - 7
Esimerkki Keskiarvoiseun kohinan auokorrelaaiofunkio ( ) Fourier muunnos 0 Kolmiopulssi aikaasossa s () Fourier muunnos A 0 S( f ) Asinc f = ehospekri ( f) sinc f Spekriiheys 4 S( f) A sinc f ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 8
Esimerkki Kolmiopulssi A - s () A 0 Kolmiopulssin aikaderivaaa A/ ( ) rec d A A rec s d - -A rec 0 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 9
Esimerkki Fourier muunneaan aikaderivaaa ( ) rec d A A rec s d FArec Asinc f i f F s( ) e S( f) d F s( ) Asinc f e Asinc f e d iasinc f sin f i f i f s():n Fourier-muunnos saadaan ny inegroimiskeinon avulla d iasinc f sin f i f d i f S( f) F s( ) Asinc f F... s( ) d... dn S( f) n i f n kpl ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 0
Orogonaali prosessi Jos kaksi sokasisa prosessia x ja y ova orogonaaleja 0 ( ) 0 xy xy f ällöin prosessille z x y päee zz yy ( f ) ( f) ( f) zz yy ( f ) ( f ) zz ( f ) yy ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
ehävä Signaalin s() ehospekri on S(f) =rec(f) Signaaliin summauuu Valkoisa kohinaa z(), jonka ehospekri on (f)= kaikilla f Mikä on summasignaalin y()=s()+z() ehospekri? ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
. Kohinan suodaaminen ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
Sokasinen raja-arvo Sokasinen prosessi on jakuva lähes kaikilla realisaaioilla (almos all oucomes), jos lim x( ) x( ) 0 Pr lim ( ) ( ) 0 0 x x Sokasinen prosessi on jakuva odousarvon mielessä (mean sense, m.s.) jos lim 0 E x( ) x( ) 0 ällöin myös Ex lim ( ) ( ) 0 E x ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 4
Sokasinen raja-arvo arkasellaan saionaarisa sokasisa prosessia jonka auokorrelaaio funkio on jakuva lim ( ) ( ) 0 Prosessi on m.s. jakuva jos sen auokorrelaaiofunkio on jakuva 0 lim E x( ) x( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0, 0 E x x E x E x x E x ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 5
Sokasinen derivaaa Derivaaa voidaan määriellään m.s. jakuvalle prosessille dx() x( ) x() x'( ) lim 0 0 d Risikorrelaaio x ( ) x ( ) (, ) Ex'( ) x( ) E x( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) (, ) (, ) d d ' E Risikorrelaaio x ( ) x ( ) ' (, ) Ex( ) x'( ) Ex( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) (, ) (, ) d E d (, ) (, ) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 6
Auokorrelaaio Sokasinen derivaaa x( ) x( ) x( ) x'( ) x( ) x'( ) (, ) E x'( ) E ' ' (, ) (, ) d d (, ) (, ) ' ' ' d dd Saionäärisen prosessin apauksessa d ( ) (, ) ( ) ' ' ' ' dd d d ( ) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 7
Inegraali m.s. olemassa, jos Oleusarvo. Momeni s x() d Sokasinen inegraali E s x( k ) 0, 0 k 0 E s E x() d () d x E s E x( ) x( ) d d (, ) d d ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 8
Sokasisen prosessin ehospekri Prosessi auokorrelaaio - ehospekri x () x() ( f) ( f) f ax() a a f d d x() f d d f n n d d x() n n f d d f xe e f f n i fc i fc () c ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 9
Sokasisen prosessin ehospekri ehospekrin ulkina i f ( ) ( f) e df * Ex( ) x ( ) (0) ( ) ( ) f df E x Wiener-Khinchin eoreema ehospekrin pina-ala vasaa signaalin keskimääräinen ehoa ( f ) f 0 Signaalin :aajuisen komponenin keskimääräinen eho f 0 f 0 f ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 30
Saunnaissignaali lineaarisessa järjeselmässä x() h() y() h( ) x d h() x() Risikorrelaaio yx * * Ey() x( ) Ey(' ) x (') * E h( ) x( ' ) x ( ') d * h( ) E x( ' ) x ( ') d h( ) ( ) d h( ) ( ) Lineaarinen syseemi konvoluuioinegraali ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 3
Saunnaissignaali lineaarisessa järjeselmässä Auokorrelaaio yy * * Ey( ) y ( ) Ey( ) y ( ) * * E y() h ( ) x (' ) d * * h ( ) E y( ) x ( ' ) d * h yx d h ( ) ( ) ( ) ( ) yx ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 3
Suodaimen ehospekri Konvoluuioa -asossa vasaa kerolasku -asossa, joen ( f ) H ( f) ( f) yx * yy ( f ) H ( f) yx ( f) f ( f) H( f) ( f) yy Wiener-Khinchine eoreema ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 33
Kohinan suodaaminen ( f ) H ( f ) yy ( f ) ( f ) H ( f) ( f) yy ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 34
Sokasise differeniaaliyhälö arkasellaan differeniaaliyhälöä n k n k d d a y() bk x() k d k k k0 d k0 missä x() on jokin sokasinen prosessi, jonka ehospekri on ( f ) Rakaisaan differeniaaliyhälön impulssivaseen Fourier muunnos x() () n m k k ak i f Y( f) bk i f X( f) Fourier muunneaan ise k0 k0 differeniaaliyhälö m k bk i f Y( f) k 0 H( f) n X( f) impulssin apauksessa. X( f) k a i f ehospekri k 0 k bk i f bk i f k0 k0 yy ( f ) H ( f) ( f) ( f) n k a i f a i f n ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op m k k0 k0 k m k Aalo-yliopiso k ieoliikenne- ja ieoverkkoekniikan k laios 35
.3 Kohina ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 36
Valkoinen kohina ( ) ( f ) f Valkoisen kohinan energia on asajakauunu kaikille aajuuksille. ( ) ( ) ( f) f ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 37
Värillinen kohina Värillisä kohinaa saadaan suodaamalla valkoisa kohinaa ( f ) yy ( f) H( f) x() H(f) y() H ( f ) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 38
Värillinen kohina hp://en.wikipedia.org/wiki/colors_of_noise ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 39
Esimerkki. RC-suodain in () ~ i () R u C u () ou d i () C uou () d u () Ri() u () in ou Impulssivase d h () () h () d RC i fh ( f ) H ( f ) RC H( f) RC i f RC ehospekri H( f) d u () ou u in() u ou () d RC i frc i frc frc ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 40
Esimerkki. RC-suodain Lähösignaaliin muodosuu jännieläheen muodosamasa signaalisa ja ermisesä kohinasa u () e() x() in E x() 0 e () Ucos f U E( f) f f f f 0 0 0 Ulosulo muodosuu kahdesa signaalisa * * ou () ( ) ( ) ( ) ( ) () () u e h d x h d y z y ( f ) N0 U ee( f ) E( f) 4 f f f f z 0 0 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 4
Esimerkki. RC-suodain Ulosulosignaalin auokorrelaaio * * Ez y Ez Ey * * Ey z Ey Ez ( ) ( ) ( ) ( ) 0 zy ( ) ( ) ( ) ( ) 0 yz * E z() E x( ) h ( ) d uu yy zu zy zz yy zz Risiermi menevä nollaan, koska signaali y ja z orogonaalise Ulosulon ehospekri ( f) H( f) E( f) ( f) uu H( f0) f f0 f f0 N0 H( f ) 4 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 4
RC-suodain RC-Suodaimen lähösignaalin ehospekri 0 Hyöysignaali -0-0 SNR Kohina -30-40 -50-60 -70 0-5 0-4 0-3 0-0 - 0 0 0 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 43
Signaali-kohina suhde arkasellaan kanaaajuisen signaalin x() siiroa addiiivinen Gaussinen (AWGN) kanavan yli Signaalin kaisanleveys on B x Signaalin eho on P x =A (A sini-muooisen signaalin ampliudi) Kanavan vaimennus on /L Signaaliin x() summauuu valkoisa kohinaa z(), jonka ehoiheys on N 0 =k W/Hz, lämpöila Kelvineninä, k Bolzmannin vakio (.3806503 0-3 ) x() z() + + g x L g Rx r() ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 44
Signaali-kohina suhde Vasaanoeu signaali grxgx r () x () grxz () L Signaalikohinasuhde: grxg x E x() g g g L SNR L L E g z() grx N0B N0B Rx Rx x x A A Vahvisin vasaanoimessa vaikuaa sekä signaaliin, eä kohinaan ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 45
ehospekriä ( f ) H( f) ( f) yy Spekraalifakoroini vasaa kaksi erilaisa prosessia. oisessa suodaimena on H( f) ja oisessa H * ( f ). Molemmilla on sama ilasollise ominaisuude. Esimerkki yy ( f) ( f) f H( f) h ( ) e i f ( ) ( ) i f * H f h e Sabiili IIR (Infinie Impulse Response) suodin Epäsabiili IIR suodin ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 46
Esimerkki Spekri ja auokorrelaaio a ( f ) ( ) uu f a uu e a Sokasinen prosessi jonka spekri on uu ( f ) voidaan ulkia suodaeuksi (värilliseksi) kohinaksi yy ( f) H f a H ( f) h( ) ae a i f a ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 47
Diskreeiaikaisen prosessin ehospekri arkasellaan prosessia x() Ik k k missä on jokin diskreeiaikainen sokasinen prosessi I k x () I k k k E IlIlk k Ex() x( ) 0 muuoin k II k Ex() x( ) 0 muuoin ( ) ( ) i f ( ) i fk f e d II k e k Diskreei Fourier muunnos ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 48
Moduloiu biisekvenssi I k Voidaan ulkia konvoluuioksi ehospekri x() Ik k k g ( k) s () Ig ( k) k Diskreein sekvenssin moduloini s () xg() I k g d I g( k) k ( f ) G( f) ( f) ss k k k k ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 49
Lähein Lineaarinen ampliudi modulaaio I k g() cos f c h () s () g () rec 0 0 muuoin Kanavoinisuodain G( f) sinc ( f) ss ( f ) H ( f ) G( f fc ) G( f fc ) II ( f) Jos symboli Ik oisisaan riippumaomia saunnaismuuujia, ( f ) Jos kanavoinisuodaina ei käyeä II H( f) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 50
Kaisarajoieu kanava Pulssimuooisen moduloinimeneelmien ongelmana on niiden spekrin leveys, eli naapurikaisalle vuoavan ehon suuri määrä. Kaisan rajoiamiseksi käyeään kanavoini suodaimia. Kohina z () Modulaaori s() Kanavoinisuodin h() Kanava Kanavoinisuodin h*(-) r () Demodulaaori f X( f) S( f) H( f) f rr X( f) H( f) zz ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 5
Minimivarianssisääö Lineaarinen regulaaori Prosessihäiriö z () Säädin C(f) u () Prosessi G(f) y () yy ( f) zz ( f) C( f) G( f) Neliöllinen sääövirhe Minimivarianssisääö min (0) C( G) CC( G) yy Ey () yy (0) Prosessin G sabiloivien säädinen joukko C( f) G( f) i f ELEC-A700 CG ( Signaali ) C( fja ): järjeselmä 5 eop df Aalo-yliopiso ieoliikenne- ja C( f) G( f) ieoverkkoekniikan laios 5