Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu paikasta ja ajasta. Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen, sen itseisarvon neliö on hiukkasen todennäköisyystiheys = todennäköisyys sille että hiukkanen havaitaan pisteessä x hetkellä t. Ajan funktiona muuttuva aaltofunktio (tässä reaalinen)
Ajasta riippuvaa Schrödäri Aineaaltokenttä on ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaisu h bar h = h / 2π määritellään Plackin vakio jaettuna 2 π:llä Hamilton operaattori on potentiaali- ja liikeenergiaoperaattoreiden summa. V if x < 0 = 0 if 0 x 1 if x >1 Potentiaalienergia kovassa potentiaalilaatikossa liikkuvalle hiukkaselle Liike-energiaoperaattori on liikemääräoperaattorin neliö jaettuna 2m:llä vrt klassinen mekaniikka
Aaltofunktio ja informaatio Aaltofunktio sisältää kaiken informaation joka hiukkasesta voidaan saada selville kokeellisin menetelmin. Kertaa Kvanttimekaniikan postulaatit luvun 6 Powerpointeista Jos mittaamme ominaisuuden q, todennäköisyys että saamme tulokseksi vastaavan operaattorin ominaisarvon q n on tämä peittointegraalin itseisarvon neliö jos tiedämme että hiukkasen aaltofunktio on ψ Qˆ n = qn n Ominaisuuden q mahdollisia mittaustuloksia ovat ainoastaan vastaavan operaattorin ominaisarvot Mittaustulosten keskiarvo saadaan tästä integraalista sitä kutsutaan suureen q odotusarvoksi hiukkaselle jonka aaltofunktio on ψ.
Energiatasot Hamiltonin operaattori on sikäli erikoisasemassa, että sen ominaisarvot ovat hiukkasen mahdolliset energiatilat. Jos siis mittaamme hiukkasen energian tulos on jokin näistä ominaisarvoista. Potentiaaliboxin hiukkaselle Hamiltonin ominaisarvot ovat 2 2 2 π h n En = 2 2mL Esimerkissä L = 1
Stationääriset tilat Energian ominaisarvoyhtälöä kutsutaan ajasta riippumattomaksi Schrödäriksi. Muutama potentiaaliboksin hiukkasen aaltofunktio ja ominaisenergiaa. Nämä aaltofunktiot eivät riipu ajasta.
Luonnolliset yksiköt Usein on edullistä määritellä "luonnolliset yksiköt" H ˆ =h 1 Tällöin Hˆ Lisäksi Hˆ n = ω missä ω n n n = E h n 1
Stationääriset tilat Ajasta riippuvat tilat toteuttavat Schrödärin d ψ ( t) = ihˆ ψ ( t) dt Tämän formaali ratkaisu on ψ ( t) = exp{ iht} ψ ( 0) ˆ Jos alkuehtona hiukkanen on tilassa n hetkellä t = 0; ψ 0 = n { Hˆ } ψ ( ) { ωn } exp i t 0 = exp i t n ψ ˆ ψ ω ψ ( t) = exp{ iht} ( 0) = exp{ i t} ( 0) Tällaista tilaa kutsutaan stationääriseksi koska sen todennäköisyystiheys on ajasta riippumaton. n ( )
( ) ψ ( ) ˆ ψ ( ) Säilymislait Voidaan osoitta, että jos operaattori Qˆ kommutoi hamiltonin H ˆ kanssa ja jälkimmäinen ei riipu ajasta niin Qˆ :n odostusarvo on ajasta riippumaton. Q t = t Q t = (1) Sijoittamalla ˆ = ψ { } { ˆ } ψ ( t) = exp{ ih t} ψ ( 0) ψ ( t) = ψ ( t) exp { iht} ψ ( ) ( 0) exp ˆ { + iht} Sijoittamalla yhtälöön (1) ψ ψ ψ ˆ ˆ ψ ( t) Qˆ ( t) = ( 0) exp ˆ { + iht} Qexp{ iht} ( 0) Kommutoinnista seuraa että Hˆ Qˆ = Qˆ Hˆ ja käyttäen Luvu 6 operaattorisääntöjä exp { Hˆ ˆ ˆ } exp{ H } + i t Q i t = Qˆ siis ( t) Qˆ ( t) = ( 0) Qˆ ( 0) ψ ψ ψ ψ ja odotusarvo ajasta riippumaton. = =
Kulmaliikemäärä Kulmaliikemäärä liittyy pyörimiseen. Kirjan merkinnöillä klassisessa fysiikassa l = r p Vastaava operaattori: r rˆ, p ih = ihd Luonnollisissa yksiköissä joita käytetään seuraavassa h = 1 ( ) = ψ ( ) xˆ ψ x, y, z, t x x, y, z, t ˆ Dxψ ( x, y, z, t) = ψ ( x, y, z, t) x
Kierto-operaattorit Kierto-operaattorit kuvaavat aaltofunktion muutosta kun koordinaatistoa kierretään. Alaindeksi kertoo minkä akselin suhteen kierretään ja kulma β kuinka paljon. Kierto x-akselin ympäri Kierto y-akselin ympäri HUOM. Kuvaan merkitty kiertosuunta on positiivinen
Kierto-operaattoreiden ominaisuuksia Kierto-operaattorien tärkeimpiä ominaisuuksia 1 ( β ) = ( β ) = ( β ) ( β ) R ( β ) - niille on olemassa käänteisoperaattori : Rˆ ˆ = 1ˆ - ja unitaarisia Rˆ Rˆ Rˆ x x x - kommutoivat vastaavan kulmaliikemääräoperaattorin kanssa - sandwitch ominaisuus: ( β ) ˆ ˆ ( β ) ( ) ( ) Rˆ l R = lˆ x x x x Rˆ β lˆ Rˆ β = lˆ cos β + lˆ sin β x y x y z x x Rˆ x ( β ) lˆ ( β ) = lˆ Rˆ x x x
Sykliset kiertorelaatiot Edellisestä seuraavat sykliset relaatiot Esimerkki: ( π / 2 ) ( β ) ( π / 2) = ( β ) Rˆ Rˆ Rˆ Rˆ x y x z Kierto xz-tasossa olevan akselin ympäri
L:n muotoinen kappale käy läpi muutamia kiertomuunnoksia. Lopputulos on sama kuin yksi π/4 rotaatio z-akselin ympäri. Esimerkkejä
Kulmaliikemäärän kvantittuminen Kulmaliikemäärävektorin suuruus ja suunta ovat kvantittuneet ( 1) h L ( 1) L = L = l l + = L = l l + Luonnollisissa yksiköissä Lz = mh Lz = m Ominaistilat z-komponetille ovat yhteiset kulmaliikemäärän neliön operaattorin kanssa
Matriisiesitykset Operaattorin l tilakannassa 0 1 0 1 2 0 2 2 2 6 z 2 Operaattorin l tilakannassa { } l, m = 0,0, 1,1, 1,0 1, 1 2,2,... { } l, m = 0,0, 1,1, 1,0 1, 1 2,2,...
Ominaisfunktioita Ominaistilojen todennäköisyyspintojen esityksiä
Korotusoperaattorit Korotus- ja laskuoperaattorit määritellään Niiden tärkeimmät ominaisuudet ovat ˆ + Operaattorin l esitys 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ˆ Operaattorin l esitys 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
x- ja y-komponentit Korotus ja laskuoperaattoreiden avulla lausuttuna x- ja y-komponentit ovat Matriisiesitykset
Spin-operaatttori Spin- eli hiukkasen sisäinen kulmaliikemäärä toteuttaa matemaattisesti samat säännöt kuin rataliikkeen kulmaliikemäärä Sykliset kommutaatiosäännöt Ominaisfunktiomääritelmät Kvantittumissäännöt Korotus ja laskuoperaattorit Korotus ja laskuoperaattoreiden ominaisuudet
Spinin kierto-operaattorit Määritellään Spinkulmaliikemääräoperaattorin avulla samoin kuin avaruuskierrot Sandwich operaattorit määritellään samaan tapaan ( ) ( ) Rˆ β Iˆ Rˆ β = Iˆ cos β + Iˆ sin β x y x y z ( π / 2 ) ( β ) ( π / 2) = ( β ) Rˆ Rˆ Rˆ Rˆ x y x z
Spinin kantafunktiot Yleisesti I, M Määritellään seuraava normaalijärjestys 3/ 2,3/ 2 3/ 2,1/ 2 3/ 2, 1/ 2 3/ 2, 3/ 2... Spinin x-komponentin matriisiesitys I=3/2,M aliavaruudessa
Trace (jälki) Määritelmä operaattorin Aˆ tracille kantatilojen m avulla 1. Trace on riippumaton kantatiloista kunhan kantatilat ortonormitettu. 2. Tulon jälki on riippumaton tekijöiden järjestyksestä { ˆ ˆ} m Aˆ = { ˆ} Tr AB n, m n n Bˆ m = Tr BA ˆ Huomaa Closure relaatio n n = 1ˆ 3. Kolmen tai useamman operaattorin tulon jälki on riippumaton tekijöiden syklisestä permutoinnista. n= 1 Hyödyllinen relaatio
Spin - 1/2 erikoistapaus Kantatilat Tärkeimmät operaattoriesitykset yo kannassa Iˆ 1/ 2 ˆ z α = α I z β = 1/ 2 β Iˆ + α 0 Iˆ + = β = α Iˆ α β Iˆ = β = 0 Paulin spinmatriisit
Spin - ½ rotaatio-operaattorit Rotaatio-operaattorin esitys spin ½ kannalle. Kokeilemalla voi huomata että esimerkiksi relaatiot ( ) ( ) Rˆ β Iˆ Rˆ β = Iˆ cos β + Iˆ sin β x y x y z Yksikköoperaattori Normitettu yksikköoperaattori 1 0 0 1 1 1 0 2 0 1 ( π / 2 ) ( β ) ( π / 2) = ( β ) Rˆ Rˆ Rˆ Rˆ x y x z Toteutuvat yo matriiseilla
Korotus- ja laskuoperaattorit Käyttämällä lasku- ja korotusoperaattoreiden määritelmää ja spin-1/2 kantafunktioita saadaan helposti nämä matriisiesitykset Projektio-operaattorit : jos näillä operoidaan yleiseen spin ½ tilaan ne antavat projisoivat ko tilasta vastaavan spin komponentin. ˆα ˆβ I α = α I α = 0 Iˆ α 0 Iˆ β β = β = β Matriisiesitys spin ½ kannassa
Spin -1 hiukkaset Matriisiesitykset Spinoperaattorille
Spin 1 rotaatio-operaattorit
Spin 3/2 hiukkaset Määritellään seuraava normaalijärjestys 3/ 2,3/ 2 3/ 2,1/ 2 3/ 2, 1/ 2 3/ 2, 3/ 2... Korkeammat spin-tilat