Kvanttimekaniikan perusteet

Transkriptio

1 Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen paikan funktio ψ ( x). Yksinkertaisin aaltofunktioon liittyvä mitattavissa oleva ominaisuus on todennäköisyystiheys = ψ ( x).

2 d ψ + E ( ), p x ψ = Eψ m dx ( x) Schrödingerin yhtälö Aineaaltokenttä toteuttaa Scrödingerin yhtälön missä E p ( ) P = ψ x, y, z dv. hiukkasen näkemä potentiaalienergia. Hiukkasen esiintymistodennäköisyys tilavuudessa V on: V V Jos hiukkanen on lokalisoitunut aaltofunktio voidaan normittaa: ψ,, dv=. Koko Avaruus ( xyz) Aaltoyhtälön muodostaminen Schrödinger päätyi tutkimaan aineaaltoyhtälöitä de Broglien inspiroimana. Hän yhdisti stationäärisiin tiloihin seisovan aaltokuvan ja esitti 96 aaltoyhtälön, joka kuvasi aineaaltojen etenemistä. Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaniikan perusoletus eli postulaatti. Sitä voidaan perustella analogioilla klassisiin aaltoyhtälöihin muttei johtaa niistä. Erwin Schrödinger (887 96) Itävaltalainen teoreettinen fyysikko Fysiikan Nobel 933: uuden atomiteorian kehittämisestä.

3 Potentiaalilaatikko /3 Schrödingerin yhtälö : d ψ + k ψ = 0; k = me dx ψ ( x) = Acos kx+ Bsin kx Reunaehto : ψ ( x) = 0 pisteessä x = 0 A= 0 ψ ( x) = Bsinkx Reunaehto : pistessä x = a Bsin ka = 0 ka =± nπ ; n =,,3,.. nπ x Ominaisfunktiot : ψ ( x) = Bsin a k π Ominaisarvot : E = = n ; n =,,3,.. m ma n =,, 3,.. eivät tuota uusia ominaistiloja (eroavat vain vaihetekijällä) a a ψ n ( ) 0 0 B= ψ a 0 n Potentiaalilaatikko /3 Ominaisfunktioiden normitus : nπ x x dx= B sin dx= a ; B voidaan valita reaaliseksi! a ( x) = asin( nπ x a) Ortonormitettu funktiojoukko : * jos n= m ψn ( x) ψm ( x) dx= δnm δnm = jos n m π Ominaisarvot : ma E = n ; n =,,3,.. 3

4 Potentiaalilaatikko 3/3 Aaltofunktioiden pariteetti: Jos hiukkasen potentiaalienergia on symmetrinen pisteen O suhteen myös todennäköisyystiheyden on oltava symmetrinen tämän pisteen suhteen. Piste x = a/ on symmetriakeskus ψ = ψ n n ( a/ x) ψ n ( x a/) ( a/ x) =± ψ ( x a/) n Aaltofunktiot ja todennäköisyystiheydet + parillinen funktio pariton funktio a / :n suhteen Elektronitilat 3D potentiaalikuutiossa Potentiaalikuution aaltofunktio on x,y ja z suunnissa laskettujen aaltofunktioiden tulo (Schrödingerin yhtälön sanotaan separoituvan kolmeksi riippumattomaksi yhtälöksi) (,, ) ( / ) 3/ sin n π x sin n π xyz a y sin n 3π ψ = z a a a Reunaehdot ovat nyt ψ ( 0, yz, ) = ψ ( ayz,, ) = 0 ψ ( x,0, z) = ψ ( x, a, z) = 0 ψ ( xy,,0) = ψ ( xya,, ) = 0 ja sallitut aaltovektorin arvot π π π kx = n; ky = n; kz = n3 missä n, n, n3 =,,3,.. a a a ( 3) π ja ominaisenergiat E = n + n + n ma Kuution särmien pituus on a. Kuution ulkopuolella potentiaalienergia on ääretön. Kuution tilavuus V = a 3. 4

5 Tilatiheys suuressa 3D laatikossa Tilatiheysjatkumo on raja-arvo, jota lähestytään kuution sivun pituuden kasvaessa. Seuraavaksi johdamme tilatiheyden suurelle äärettömän kovalle kuutionmuotoiselle potentiaaliboksille, jonka tilavuus on V = a 3 Tilatiheyden johtaminen /4 Huomaamme, että jokaiseen kolmen positiivisen kokonaisluvun n, n, n 3 muodostamaan lukujoukkoon (kolmikkoon) liittyy yksi ominaistila. Laskemme aluksi niiden tilojen lukumäärän joiden energia on pienempi kuin mielivaltaisesti valittu energia E. Kokonaisluvut n, n, n on siis valittava siten, että π ma ( n + n + n3) E tai vaihtoehtoisesti ( n + n + n3 ) E ma π 3 Tilojen lukumäärän laskemiseksi muodostamme 3-ulotteisen avaruuden. Jokaiseen tämän avaruuden tilavuudeltaan ykkösen suuruiseen kuutioon liitämme kolmikon n, n, n 3. Kolmikko ilmaiseen ko. yksikkökuution sijainnin origon suhteen. 5

6 Tilatiheyden johtaminen /4 Kuvan mielivaltaisen yksikkökuution etäisyys origosta on R = ( n + n3 + n3 ) sillä sen lähinnä origoa sijaitsevan nurkan koordinaatit ovat juuri n, n, n 3. Ne yksikkökuutiot, joille pätee ( 3) n + n + n ma E () π ovat siis origosta enintään etäisyydellä ( + + 3) ma ma R = E Jos nimittäin R > E π π ma R = n n n > E π ristiriidassa yhtälön () kanssa. mikä on Kuvaan on piirretty mielivaltaiseen kolmikkoon liittyvä yksikkökuutio. Kolmikkoihin liittyvät yksikkökuutiot täyttävät koko avaruuden. Tilatiheyden johtaminen 3/4 Integroidaan niiden yksikkökoppien yhteinen tilavuus, joiden etäisyys origosta on pienempi ( 3 3) kuin R = n + n + n R 4 dn dn dn = R 8 3 ( Ema π ) Tämä on -osa R-säteisen pallon tilavuudesta. 8 Vain /8 osa pallon tilavuudesta kelpaa siksi, että ainoastaan ne yksikkökopit, joilla n, n, n 3 ovat kaikki positiivisia kokonaislukuja vastaavat aidosti erilaisia ominaistiloja) 3 6

7 Tilatiheyden johtaminen 4/4 Sijoittamalla R saadaan pallon kahdeksasosan tilavuudeksi 3/ 4 Ema π 83 π Tämä on siis KAIKKIEN niiden ominaistilojen lukumäärä joiden energia on enintään E. Jos g( E) on ominaitilojen tiheys energiayksikköä kohden täytyy tilatiheyden integraalin välillä [ 0, E] olla sama kuin edellä laskettu tilojen kokonaismäärä 3/ E 4 Ema g( E) de = π 83 0 π Derivoimalla tämä puolittain saamme ratkaistuksi tilojen tiheyden energianyksikköä 3 kohden. Merkitsemällä kuution tilavuus V = a saamme: 3/ π m g / ( E) = VE 4 π Tämä on vielä kerrottava kahdella, sillä elektronilla on kaksi spintilaa kutakin energian arvoa kohden. Tilatiheyksien vertailua * Elektroneilla fotoneilla ja fononeilla on SAMA TILATIHEYS!! aallonpituuden yksikköä kohden, sillä kyseessä on kuution muotoiseen kaviteettiin tai resonaattoriin muodostuvien seisovien aaltojen lukumäärä aallonpituuden yksikköä kohden. ( λ) = ( λ) = ( λ) ( λ) g g g g elektroni fotoni fononi Tämän avulla saamme johdettua fotonien tilatiheyden elektronien tilatiheydestä: ( λ) = elektroni ( ) ( / λ) ( λ) ( ) ( / λ) g g E de d g g E de d elektroni = fotoni fotoni ( ) = ( λ) ( / λ) = ( ) ( / λ) ( / λ) g fotoni E g de d g fotoni elektroni E de d de d elektroni fotoni * Tätä johtamista ei tule tenttiin tai välikokeeseen! 7

8 Tilatiheys aallonpituuden suhteen Elektronille: E = p / m, p = h/ λ ja E = h /( mλ ) h 4π ( de / dλ ) = = elektroni 3 3 mλ mλ 3/ π m / 4π g( λ) = V( 4 π /( mλ )) 4πV = π mλ λ hc Fotonille: E = hf = hc/ λ ja λ = hc/ E ( de/ dλ) = fotoni λ hc 4πV 4πV g fotoni ( E) = g( λ) ( de/ dλ) = 4πV = = E fotoni λ λ hc λ hc Fotonien tilatiheys fotonin tajuuden yksikköä kohden on 4πV g fotoni ( f ) = g fotoni ( E) ( de / df ) = ( ) 4πV hf h = f hc c Kerrottuna tekijällä (fotonin kaksi polarisaatiotilaa) tämä on sama kuin mustan kappaleen säteilyn tilatiheys ontelossa, jonka tilavuus on V. Tilatiheys aallonpituuden yksikköä kohden on sama elektroneille ja fotoneille. Huomaa, että tämä tilatiheys on negatiivinen - mieti miksi!! * Tätä johtamista ei tule tenttiin tai välikokeeseen! Vapaan hiukkasen aaltofunktio Vapaalle hiukkaselle potentiaalienergia ja Scrödingerin yhtälö siis muotoa E p = 0, ψ ψ Eψ k ψ 0 missä k d d me = + = = m dx dx Tämän yhtälön yleinen ratkaisu on ikx ikx ψ ( x) = Ae + Be tai ψ ( x) = Asin kx+ Bsin kx tai ψ ( x) = Ccos( kx+ δ) missä ABC,,, δ ovat integrointivakioita Tasoaallon reaaliosa 8

9 ψ me ψ d + = 0 dx ikx ψ x = Ae + Be ( ) ψ m E ( ) αx Potentiaaliaskel E<E 0 Schrödingerin yhtälö alueessa I ikx Schrödingerin yhtälö alueessa II ( E ) d 0 + ψ = 0 dx αx ψ x = Ce + De Jatkuvuusehto aaltofunktiolle ja derivaatalle dψ( x= 0) dψ( x= 0) ψ( x= 0) = ψ( x= 0); = dx dx ( ik + α ) A ika B= ja C = ik α ik α Aaltofunktio E<E 0 Aaltofunktio alueessa I ikx ik + α ikx ψ ( x) = A e + e ik α Aaltofunktio alueessa II ik α x ψ ( x) = Ae ik α Alueessa I vaihtoehtoinen esitysmuoto ik α 4k α ψ ( x) = A cos kx sin kx A cos sin kx kx ik α k k + α k sillä aaltofunktio voidaan aina kertoa kompleksisella vaihetekijällä e i δ : ik 4k Huom. vaikka E<E iδ 0 aaltofunktio e ik α tunkeutuu kynnyksen sisään!! k + α 9

10 Potentiaalikynnyksen rajatapaus on potentiaaliseinä. Aaltofunktio on = 0 alueessa (II), sillä hiukkanen ei tunneloidu äärettömän kovan seinän sisään. Potentiaaliseinä Hiukkasvirran tiheys Hiukkasen todennäköisyysvirran tiheys * * Ψ ( xt, ) Ψ ( xt, ) jxt (, ) = Ψ ( xt, ) Ψ ( xt, ) im x x ( xt, ) ± ikx ωt Vapaalle hiukkaselle Ψ = Ae + ikx ωt k Ψ ( xt, ) = Ae j= A virta x-akselin posit. suuntaan m ikx ωt k Ψ ( xt, ) = Ae j= A virta x-akselin negat. suuntaan m Virran lauseke johdetaan yksityiskohtaisesti Luvussa 3: Aineaaltodynamiikka 0

11 Heijastumis- ja läpäisykerroin Aaltofunktio alueessa I ikx ik + α ikx ψ ( x) = A e + e ik α Ajasta riippuva stationäärinen tila i( kx ωt) ik + α i( kx ωt Ψ ) ( xt, ) = A e + e ik α Virta vasemmalta oikealle (inc) k jinc = A m Heijastuskerroin: jref R = = Kokonaisheijastus j inc Virta oikealta vasemmalle (ref) ik + α k k jref = A = A ik α m m ψ + ψ = 0 k = d me me dx ψ x ikx ikx = Ae + Be ( ) Potentiaaliaskel E>E 0 Schrödingerin yhtälö alueessa I Schrödingerin yhtälö alueessa II d ( ) ( ) ψ m E E0 m E E0 + ψ = 0 k = dx ψ ik x ik x ( x) = Ce + Be [ B = 0, alueessa II ei vasem. eten. aaltoa] Jatkuvuusehdoista: k k k B = A; C = A k + k k + k

12 Heijastumis- ja läpäisykertoimet ikx k k ikx ψ ( x) = A e + e k + k ik x k ik x ψ ( x) = Ce = Ae k + k k Tuleva jinc = A m k k k Heijastunut jref = A k + k m k k Läpäissyt jtran = A k + k m jref k k jtran k R = = ; T = = j k + k j k + k inc inc Huom! R + T = ( ) Harmoninen oskillaattori Harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälö d ψ + kx ψ = Eψ m dx Ominaisarvot: E = n+ ω ; ω = k m n = 0,,,3,.. n 0 0 Ensimmäiset ominaisfunktiot ( ) n En ψ n x α = mω0 / 0 / α x / ω0 ψ 0( x) = ( α / π ) e 3 / α x / ω0 ψ ( x) = ( α / π ) αxe 5 / α x / ω0 ψ ( x) = ( α /8 π ) ( 4α x ) e 3 7 / 3 3 α x / ω 0 ψ 3 ( x) = ( α /48 π ) ( 8α x ax) e

13 Harmonisen oskillaattorin perustila /3 d ψ + kx ψ = Eψ m dx Muutujanvaihdos: y = αx; α = mk / = mω / λ = E / ω ( λn y ) ( ) 0 n n 0 d ψ + ψ = 0 () dy d ψ Suurilla y:n arvoilla () voidaan kirjoittaa = y ψ () dy Reunaehdon ψ ( x ) =0 toteuttava ratkaisu on ψ ( y) = Ae β A ja β määrätään sijoittamalla (3) yhtälöön () y (3) βy βy βy βae + 4 β y Ae = y Ae. (4) Harmonisen oskillaattorin perustila /3 Suurilla y:n arvoilla yhtälön (4) vasemman puolen ensimmäinen termi on pieni joten βy βy 4β y Ae = y Ae 4β = β = / Miksi β = / ei käy? Saamme siis ratkaisuksi suurilla y:n arvoilla ψ ( y) = Ae y / Sijoittamalla alkuperäiseen Schrödingerin yhtälöön () saadaan y n y 4β β + λ = 0 Josta β = λ E = E = ω λ /= β ω /= ω ( ) ( ) ( ) n n n= 0 0 n 0 0 3

14 Harmonisen oskillaattorin perustila 3/3 Näin saatiin perustilan energia ja aaltofunktio ψ ( ) 0 x y = A0e α x = A0e missä α = Vakio A 0 mk /. määrätään vielä normitusehdosta α x α x Ae Ae dx= A = ( α π ) Korkeampien tilojen laskemiseen voidaan helpohkosti osoittaa oikeaksi rekursiokaava. / Aaltofunktiot ja todennäköisyystiheydet Klassisesti kielletty alue Potentiaalienergia on symmetrinen pisteen x = 0 suhteen, joten aaltofunktiot ovat tämän pisten suhteen parillisia tai parittomia. 4

15 Vastaavuusperiaate Bohrin vastaavuusperiaate: Suurilla kvanttiluvuilla hiukkasen todennäköisyystiheys lähestyy klassiseen rataan liittyvää sijaintitodennäköisyyttä. Harmonisen oskillaattorin korkeisiin viritettyihin tiloihin liittyvä todennäköisyystiheys on suuri hiukkasen klassisten käännepisteiden läheisyydessä, jossa hiukkanen on enimmän aikaa. Äärellinen potentiaalikuoppa d ψ Alue I ja III: 0 αψ = dx m( E0 E) α = αx ψ ( x) = C e + D e αx IIII, IIII, d ψ Alue II: + k ψ = 0 dx me k = ψ ( x) = Acoskx+ Bsinkx Fysikaaliset reunaehdot: D I = C = 0 III 5

16 Graafinen ratkaisu Parilliset tilat B = 0 ma π E = Jatkuvuusehdot x = a / ka αa / Acos = DIIIe ka αa / kasin = α DIIIe ma 3π E = ka ma ktan = α tan E = E 0 E E Piirretään tämän yhtälön molempien puolien kuvaajat energian funktiona ja etsitään leikkauspisteet Energiat saadaan kuvaajien leikkauspisteistä m= m e E0 = 7 mev ja 70 mev a = 5,3 nm Parilliset tilat rajalla E<<E 0 E Kun 0 E E0 kasvaa leikkaa tangentin E epäjatkuvuuskohtien läheisyydessä: ma nπ E = n =,3,5,7,.. π E = n n =, 3,5, 7,.. ma Nämä ovat äärettämän potentiaalilaatikon parilliset ominaistilat. 6

17 Parittomat tilat Parittomat tilat A = 0 ma E = π Jatkuvuusehdot x = a / ka αa / Bsin = DIII e ka α a / kbcos = αdiii e ka ma E0 E kcot = α cot E = ma E E = π Mallin parametrit: m= me, E0 = 7 mev ja 70 mev a = 5,3 nm Parittomat tilat rajalla E<<E 0 E Kun 0 E E0 kasvaa leikkaa kotangentin E epäjatkuvuuskohtien läheisyydessä: ma nπ E = n =,4,6,.. π E = n n =,4,6,.. ma Nämä ovat äärettämän potentiaalilaatikon parittomat ominaistilat. 7

18 Sironta potentiaalivallista Hiukkaset saapuvat vasemmalta, heijastuvat takaisin, tai läpäisevät vallin. Ratkaistaan Schrödingerin yhtälö erikseen alueissa (I- III) ja liitetään funktiot ja niiden derivaatat rajapinnoilla x=0 ja x=a. Huom! Alueessa III vain läpäissyt oikealle etenevä aalto Läpäisykertoimen johtaminen: E>E 0 Alueessa I Alueessa II Alueessa III ikx ikx ik x ik x ikx I = Ae + Be II = Ce + De III = Ee k = me k = m( E E0 ) k = me ψ ψ ψ Jatkuvuusehdot ik a ik a ika Ce De Ee A B C D + = + = + x = a x = 0 ik a ik a ika ik( A B) = ik ( C D) ik ( Ce De ) = ikee. Neljä yhtälöä viisi tuntematonta esitetään B,C,D,E A :n avulla s 4kk ika ik a E = A missä r = e, s = e r ( k + k ) ( k k ) s B,C,D saadaan vastaavasti. 8

19 Läpäisykerroin Läpäisykerroin saadaan laskemalla todennäköisyys virran tiheydet : Tuleva virta Läpäissyt virta hk hk hk s 4kk jinc = A jtrans = E = A m m m r ( k + k ) ( k k ) s T = E m( E E ) + sin a 4 EE ( ) 0 0 E0 T = + sinh 4 EE ( E) E0 me E 0 a 0 ( ) E E 0 > E< E0 Läpäisykerroin Energia yksiköissä E 0 /0 Hiukkanen voi läpäistä vallin vaikka E<E 0. Klassisen fysiikan mukaan tämä on kiellettyä! Läpäisykerroin lähestyy ykköstä suurilla energioilla. Huomaa minimit alueella E>E 0. Ne edustavat aineaallon useampikertaista heijastumista vallin sisällä. 9

20 Tunnelointimikroskooppi Elektronit voivat tunneloitua neulan kärjen ja johtavan pinnan välillä. Tunnelointivirta antaa yhden atomin tarkkuudella tietoa pinnan rakenteesta. STM = scanning tunneling microscope Heinrich Rohrer and Gerd Binnig Fysiikan Nobel 986 tunnelointimikroskoopin kehittämisestä Schrödingerin yhtälö d ψ + E ( ) p x ψ = Eψ m dx ( x y z) Yhteenveto /3 Todennäköisyystiheys : P x koko avaruus ψ,, dxdydz = ( ) = ψ ( x) Normitus (diskreetissä tilassa olevalle hiukkaselle) Aaltofunktion jatkuvuusehdot rajapinnoilla : dψ( x= 0) dψ( x= 0) ψ( x = 0) = ψ( x = 0) ja = dx dx 0

21 ( k + k' ) Yhteenveto /3 Hiukkasvirrantiheys = vuo (johdetaan luvussa III) * * ψ( x) ψ ( x) jx ( ) = ψ ( x) ψ( x) im x x Läpäisykerroin ja heijastuskerroin potentiaaliaskeleelle k' C 4 kk ' k B k k ' T = = ; R= = ka ka k + k' Potentiaaliboksin ominaisenergiat ja ominaisfunktiot p n π E = = ; ψn x = C sin n x a m ma ( ) ( π ) ge ( ) = 5/ 3/ π m h Yhteenveto 3/3 Tilojen tiheys 3D potentiaalilaatikossa 3 V E / Harmoninen oskillaattori d ψ + kx ψ = Eψ m dx y E = n+ ω; ψ x = H y e, y = α x, α ( ) ( ) ( ) n n n = mk ; H n ( y) on Hermiten polynomi Pariteetti symmetriapisteen O suhteen ψ =± ψ A A'