Sidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos
|
|
- Siiri Pesonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016
2 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja luonnon ja ilmiöiden kuvaamiseen kvanttimekaniikan näkökulmasta Miten huomioida ulkoiset voimat? Schrödingerin yhtälö kuvaa ulkoisten voimien vaikutusta Taseyhtälö jossa yhdistetään kineettinen energia ja potentiaalienergia hiukkasen kokonaisenergiaan Tutkitaan sidottuja tiloja, eli tiloja joihin hiukkanen (elektroni) on rajoitettu ulkoisen potentiaalin takia Tutustutaan kolmeen yksinkertaiseen tapaukseen Sidotut tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 5
3 Schrödingerin yhtälö Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa Case 3: Harmoninen oskillaattori Johdanto aaltomekaniikan yleiseen rakenteeseen
4 Schrödingerin yhtälö Ajasta riippuva tapaus 2 2 Ψ(x, t) + U(x)Ψ(x, t) = Ψ(x, t) i 2m x 2 t Kuvaa hiukkasen kokonaisenergiaa (kineettinen e. + potentiaalie. = kokonaise.) Klassisessa mekaniikassa ratkaistaan F net = d p/dt = m d 2 r(t)/dt 2 r(t):n suhteen Kvanttimekaniikassa ratkaistaan Ψ(x, t) kun U(x) tunnetaan (tai arvataan) Mitä tarkoittaa nettovoiman F kannalta? Mitä edellytyksiä on nettovoimalle? Sidotut tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 5
5 Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen Separointi Oletetaan, että aaltofunktio Ψ(x, t) voidaan esittää muodossa Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t) Sijoitetaan yrite Schrödingerin yhtälöön: 2 ψ(x) 2m φ(t) 2 + U(x)ψ(x)φ(t) = i ψ(x) φ(t) x 2 t Jaetaan puolittain ψ(x)φ(t):llä (= separointi) C on separointivakio ψ(x) + U(x) = i 1 φ(t) = 2m ψ(x) x 2 C φ(t) t Oletus rajaa mahdollisia tilanteita (miksi?) Onnistuuko separointi kaikilla mahdollisilla potentiaalin U funktionaalisilla muodoilla?
6 Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö Ajasta riippuva osa on 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu on φ(t) = e i C t C/ kuvaa värähtelyä kulmataajuudella ω, joten C = ω eli kokonaisenergia E = C Aineaalto Ψ(x, t) = ψ(x) e i E t φ(t) = e i E t Todennäköisyystiheys Ψ(x, t) 2 = Ψ (x, t)ψ(x, t) = ψ (x)ψ(x) ei riipu ajasta Sijoitetaan aineaalto takaisin Schödingerin yhtälöön, jolloin saadaan 2 2 ψ(x) + U(x)ψ(x) = Eψ(x) 2m x 2 = ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö; myös ominaisarvoyhtälö
7 Sopivat aaltofunktiot Aaltofunktion pitää kuvata a) fysikaalista tilannetta ja b) todennäköisyyttä hiukkasen ominaisuuksista Näiden takia sopivalta aaltofunktiolta edellytetään ψ(x, t) 2 dx = 1 koko avaruus Integraalin on myös oltava olemassa (ns. neliöintegroituvuus/square integrability) Funktion pitää olla jatkuva ja sileä (funktio ja sen 1. derivaatta oltava jatkuvia) Mitä tapahtuisi jos funktio ei olisi sileä (engl. smooth)? Sidotut tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 5
8 Schrödingerin yhtälö Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa Case 3: Harmoninen oskillaattori Johdanto aaltomekaniikan yleiseen rakenteeseen
9 Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa E U = U = 0 U = E k 0 L Äärettömän syvä potentiaalikuoppa (-kaivo) (engl. potential well, quantum well) Potentiaali U(x) = 0, x [0, L] ja U(x) =, muualla Potentiaalin muodon takia aaltofunktio ψ(x) = 0 kaivon ulkopuolella Schrödingerin yhtälö kaivon sisällä d 2 ψ(x) dx 2 = 2mE ψ(x) = 2 k 2 ψ(x) x
10 Ääretön potentiaalikuoppa Schrödingerin yhtälön ratkaisu on ψ(x) = A sin kx + B cos kx Reunaehdoista saadaan x = 0 : B cos(k0) = 0 = B = 0 x = L : A sin(kl) = 0 = k = nπ L Siis ψ(x) = A sin nπ L x n positiivinen kokonaisluku huom! n 0 Edelleen koska k 2 = n2 π 2 L 2 = E n = n2 π 2 2 2mL 2 energia kvantittunut!
11 Ääretön potentiaalikuoppa Normalisaatio Määritetään lopuksi vakio A sillä ehdolla että hiukkanen täytyy löytyä laatikosta Siten ratkaisu on ψ(x) 2 dx = = A = ψ n (x) = 2 L L 0 ψ(x) 2 dx = 1 2 L sin nπ L x E n = n2 π 2 2 2mL 2 = äärettömän potentiaalikaivon/kvanttikaivon aaltofunktiot ja niitä vastaava energia
12 Ääretön kvanttikaivo Huomiot Kvanttikaivossa Energia kvantittunut, eli energia ei ole jatkuva suure Energia ei voi olla nolla Minimienergia ns. perustilan (engl. ground state) n = 1 suuruinen Aaltofunktio muodostaa seisovia aaltoja Vastaavuusperiaate: korkeilla n-luvuilla (kvanttiluvuilla) hiukkasen energia suuri joten se käyttäytyy kuin klassinen hiukkanen Tehtäviä Miksi hiukkasen energia ei voi olla nolla kvanttikaivossa? Todennäköisyystiheydessä nollakohtia, miten hiukkanen pääsee paikasta toiseen? Voidaanko hiukkasta ja sen liikettä seurata kvanttikaivossa?
13 Sovellus: Kvanttikaivolaser Vapaat elektronit johtavuusvyöllä Ei varsinaisesti kvantittumista Valenssivyöllä tiukemmin sidottuja elektroneja Jos valenssivyöltä puuttuu elektroneja, johtavuuselektroni voi pudota energiassa alaspäin, luovuttaen erotuksen fotonina Vapaiden elektronien energiajakauma suuri fotonien energiajakauma suuri Ei hyvä laitteen toiminnan kannalta
14 Sovellus: Kvanttikaivolaser Ratkaistaan ongelma seostamalla rakenteeseen ohut kerros muuta puolijohdetta Saadaan johtavuusvyöhön kvanttikaivo elektronien energia kvantittuu taas Tarkemmin määritelty fotonienergia Kvanttikaivon paksuutta ja materiaalia voidaan säätää bandgap engineering Todellisuudessa tilanne ei ole ihan näin ideaalinen Kvanttikaivo ei ole äärellinen, sekä muut kiinteän olomuodon fysiikan ilmiöt vaikuttavat Nykyään suositaan kvanttipisteitä ja -lankoja (3D- ja 2D-kvanttikaivoja)
15 Schrödingerin yhtälö Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa Case 3: Harmoninen oskillaattori Johdanto aaltomekaniikan yleiseen rakenteeseen
16 Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa II I E III U = U 0 E k U = 0 L/2 L/2 Potentiaali U(x) = 0, x [0, L] ja U(x) = U 0, muualla Schrödingerin yhtälö d 2 ψ(x) + 2m ( ) U(x) E ψ(x) = 0 dx 2 2 Hiukkanen voi paeta kaivosta, jos E > U 0. Tarkastellaan tilannetta jossa E < U 0 x
17 Äärellinen potentiaalikuoppa Alue I I-alueessa U(x) = 0 < E, joten Schrödingerin yhtälö on d 2 ψ(x) dx 2 = 2m 2 ( E ) ψ(x) = k 2 ψ(x) Ratkaisu on ψ I (x) = A sin kx + B cos kx Ratkaistaan hieman eri tavalla kuin kirjassa (lopputulos sama, mutta intuitiivisempi) Nyt reunaehdot eivät määrää aaltofunktiota nollaksi reunoilla
18 Äärellinen potentiaalikuoppa Alueet II ja III Reuna-alueilla U(x) = U 0 > E, joten Schrödingerin yhtälö on d 2 ψ(x) dx 2 = 2m 2 ( U0 E ) ψ(x) = α 2 ψ(x) Tämän ratkaisut ovat eri alueissa ψ II (x) = C e αx + D e αx ψ III (x) = F e αx + G e αx Jotta aaltofunktiot eivät divergoisi, täytyy olla D = 0 ja F = 0, joten ψ II (x) = C e αx ψ III (x) = G e αx
19 Äärellinen potentiaalikuoppa Alueiden yhdistäminen Aaltofunktio on nyt paloittain jatkuva ja normalisoituva Kootaan alueet, vaatimalla että funktiot ψ I, ψ II ja ψ III ovat yhdessä jatkuva ja sileä kokonaisuus x = L/2 : C e α L 2 αc e α L 2 x = L/2 : G e α L 2 αg e α L 2 Jaetaan yhtälöt keskenään ja järjestellään termejä = A sin kl 2 + B cos kl 2 = ka cos kl 2 + kb sin kl 2 = A sin kl 2 + B cos kl 2 = ka cos kl 2 kb sin kl 2
20 Ääärellinen potentiaalikuoppa Parilliset ja parittomat tilat Jaetaan yhtälöt keskenään ja järjestellään termejä α k = A cos kl 2 + B sin kl 2 A sin kl 2 B cos kl 2 = B sin kl 2 A cos kl 2 A sin kl 2 + B cos kl 2 Edelleen sieventämällä saadaan ehto AB = AB, joka toteutuu vain jos A = 0 ja B 0 tai päinvastoin Toteutuu jos A tai B on nolla. Yhtäaikaa eivät voi olla nolla (miksi?) Vastaus jakautuu parillisiin ja parittomiin aaltofunktioihin parillinen funktio: ψ( x) = ψ(x) pariton funktio: ψ( x) = ψ(x) esim cos esim sin
21 Äärellinen potentiaalikuoppa Parilliset ja parittomat tilat α k = A cos kl 2 + B sin kl 2 A sin kl 2 B cos kl 2 Parillisille tiloille A = 0, jolloin α k = tan kl 2 Parittomille tiloille B = 0, jolloin α k = cot kl 2 = tan = cot ml 2 E U0 E = 2 2 E ml 2 E U0 E = 2 2 E Kvantittumisehdot parillisille ja parittomille ratkaisuille Tiloja on äärellinen määrä
22 Äärellinen potentiaalikuoppa Graafinen ratkaisu α k = A cos kl 2 + B sin kl 2 A sin kl 2 B cos kl 2 Määritellään dimensiottomat muuttujat u = αl/2, v = kl/2 sekä apumuuttuja u 0 = ml 2 U 0 / 2, jolloin u 2 = u0 2 + v 2 ja sijoitetaan ne kvantittumisehtoihin: { u0 2 v 2 v tan v, = v cot v, Tästä nähdään, että tilojen määrä on rajoitettu parilliset tilat parittomat tilat Koska v tan v ja v cot v kun v nπ/2, niin on mahdollista että se leikkaa käyrän u0 2 v 2 (eli löytyy ratkaisu). Neliöjuurilauseke on nolla kun v = u 0. 2u0 Siten n max = π Korkeammilla n:n arvoilla hiukkanen pakenee kaivosta
23 Äärellinen potentiaalikuoppa Graafinen ratkaisu ja aaltofunktiot
24 Äärellinen potentiaalikuoppa Huomiot Kun potentiaalikaivo on äärellinen, aaltofunktio voi tunkeutua klassisesti kielletylle alueelle U 0 > E Sen mittaaminen sieltä kuitenkin mahdotonta (miksi?) Lasketaan kuinka syvälle aaltofunktio voi tunkeutua. Alueissa II ja III ψ(x) e α x : e αδ = e 1 = δ = 1 α = 2m(U0 E) δ on tunkeutumissyvyys (engl. penetration depth) vrt. smg-aallon heijastuminen johteen pinnalta ja skin depth Mitä tapahtuisi, jos kvanttikaivon vieressä olisi hyvin lähellä (< δ) toinen kvanttikaivo ja niiden välissä potentiaali U 0?
25 Ääretön vs. äärellinen potentiaalikuoppa
26 Schrödingerin yhtälö Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa Case 3: Harmoninen oskillaattori Johdanto aaltomekaniikan yleiseen rakenteeseen
27 Case 3: Harmoninen oskillaattori Viimeinen yksinkertainen yksiulotteinen tapaus: potentiaali U(x) = 1 2 κx 2, eli harmoninen oskillaattori Realistisempi kuin kaksi edellistä, mutta ratkeaa edelleen analyyttisesti Erittäin hyvä approksimaatio todellisen kaksiatomisen molekyylin atomien välisestä potentiaalista, kun ollaan lähellä tasapainopistettä (vrt. mekaniikka) Jatkuva ja sileä funktio (tähän asti paloittain määritelty epäjatkuva) Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö: 2 2 ψ(x) + 1 2m x 2 2 κx 2 ψ(x) = Eψ(x)
28 Harmoninen oskillaattori Hermiten polynomit 2 2 ψ(x) + 1 2m x 2 2 κx 2 ψ(x) = Eψ(x) Muokataan Schödingerin yhtälö standardimuotoon 1 apumuuttujilla β 4 = mκ 2, z = βx ja λ = 2E m κ = 2E ω, joten d 2 ψ(z) + (λ dz 2 z 2 )ψ(z) = 0 Tämän ratkaisut ovat ns. Hermiten polynomien ja Gaussin funktion tuloja ( 1 ) 1 2 ψ n (z) = π 2 n H n (z) e 1 2 z2 n! H n (z) määritelty rekursiivisesti: H n (z) = 2z H n 1 (z) 2(n 1) H n 2 (z), missä H 0 = 1, H 1 = 2z, H 2 = 4z 2 2,... n oltava kokonaisluku Energiatilat ovat E n = ( n ) ω, missä ω = κ/m (taajuus sama kuin klassisessa tapauksessa)
29 Harmoninen oskillaattori Kokonaisaaltofunktio ja sen ominaisuuksia Aaltofunktio kokonaisuudessaan ( β ) 1 2 ψ n (x) = π 2 n H n (βx) e 1 2 β2 x 2 n! Muutama Hermiten polynomi H 0 (z) = 1 H 2 (z) = 4z 2 2 H 1 (z) = 2z H 3 (z) = 8z 3 12z ψ n xψ m dx = 0 paitsi jos n = m ± 1 eli n = ±1 Tarkoittaa että E = ω ja että harmoninen oskillaattori voi siirtyä vain yhden tilan kerrallaan ylös- tai alaspäin
30 Schrödingerin yhtälö Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa Case 3: Harmoninen oskillaattori Johdanto aaltomekaniikan yleiseen rakenteeseen
31 Kvanttimekaniikan postulaatit Postulaatti I Klassisen mekaniikan mitattava suure Q (observaabeli, engl. observable) kuvataan kvanttimekaniikassa operaattorilla ˆQ Operaattorilla itsessään ei ole fysikaalista tulkintaa Tulkinta saadaan, kun operaattori operoi aaltofunktioon Operaattori Symboli Matemaattinen muoto Hamilton Ĥ 2 2m 2 + U paikka ˆr r liikemäärä ˆp i energia Ê i t
32 Postulaatti II Kun suureen Q arvoja mitataan, mahdolliset mittaustulokset ovat operaattorin ˆQ ominaisarvoja (eigenvalues) q i : ˆQψ = qψ Ratkaistaan siis yhtäaikaa ominaisarvot q i ja niitä vastaavat ominaistilat (eigenstate) ψ i Esimerkiksi Schrödingerin yhtälö ajasta riippumattomassa muodossa Ĥψ = Eψ Sidotut tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 5
33 Postulaatti III Ekspansiopostulaatti Hiukkasen normitettu aaltofunktio ψ(x) voidaan esittää operaattorin ˆQ ominaistilojen ψ i painotettuna summana ψ(x) = c i ψ i i=1 Tästä seuraa, että mitattaessa hyvin määriteltyä suuretta Q, saadaan tulokseksi ominaisarvo q i todennäköisyydellä c i 2, missä c i = Jos systeemi ominaistilalla ψ n, mittauksista aina sama ominaisarvo Jos systeemi on yleisellä tilalla ψ, mittaaminen pakottaa sen ominaistilalle Esimerkki ψ i ψ dx Elektroni äärettömässä potentiaalikaivosssa tilalla n, josta putoaa tilalle m Pudotessa aaltofunktio sekoitus kahden tilan aaltofunktioita ψ = dψ n + f ψ m, missä d 2 + f 2 = 1 (normeeraus) Tämä tila on ei-stationaarinen tila
34 Postulaatti IV Odotusarvo Fysikaalisen suureen Q kokeellinen mittausarvo samassa tilassa oleville hiukkasille (monta toistoa) on operaattorin ˆQ odotusarvo (expectation value) Lasketaan aaltofunktion ja operaattorin integraalina Q = Q = ψ ˆQψ dx Jatketaan potentiaalikaivoesimerkkiä ja lasketaan energian odotusarvo E = ψ Ĥψ dx = ψ ( 2 2 ) ψ 2m x 2 dx =... = d 2 E n + f 2 E m
35 Standardipoikkeama Q Tilastollisen suureen keskipoikkeama/standardipoikkeama kuvaa mittaustulosten hajontaa odotusarvon ympäristössä Suureen x mittaustulos x k (k = 1, 2,..., N) esiintyy todennäköisyydellä P k ( P k = 1) Odotusarvo x = Pk x k Pk = P k x k Standardipoikkeama x = P k ( x x x k ) 2 = 2 ( x ) 2 Jatkuvalle suureelle Q summaus muuttuu integroinniksi Q = ψ ˆQψ dx Q Q = 2 ( Q ) 2 Q 2 = ψ ˆQ ˆQψ dx
36 Hyvin määritelty funktio Observaabelin Q aaltofunktio ψ on hyvin määritelty joss ψ on operaattorin ominaisfunktio ja sitä vastaava ominaisarvo on hyvin määritelty: Q hyvin määritelty Q = 0 ˆQψ = Q ψ Liikemäärä (ˆp ja e ikx ): ˆp e ikx = i x e ikx = k e ikx Energia (Ê ja e iωt ): Ê e iωt = i t e iωt = ω e iωt Paikka (x ja δ(x x 0 )): ˆxδ(x x 0 ) = x 0 δ(x x 0 ) (Diracin deltafunktio) δ(x x 0 ) = {, x = x 0 0, muuten δ(x) dx = 1
37 Digress: Operaattorit ja kommutaatio Kirjan ulkopuolelta Toisin kuin numerot, operaattorit eivät välttämättä kommutoi ˆB ˆB (esim ˆx ja ˆp) Kommutaattorioperaattori [ Â, ˆB] = ˆB ˆB (kommutaatiorelaatio) Keskeinen asia kvanttimekaniikassa! Voidaan osoittaa, että observaabelien A ja B standardipoikkeamat A ja B ovat kytketty kommutaatiorelaation kautta ( ) 2 ( ) A B i[â, ˆB] 4 Merkitys: Jos systeemille löytyy joukko hyvin määriteltyjä observaabeleita A, B,..., M, jotka kommutoivat ja joiden yhteinen ominaistila on ψ ab...m, niiden antama tieto on kaikki minkä systeemistä voi kerralla mitata, eli ne ovat hyvin määriteltyjä Muiden observaabelien Q odotusarvot eivät ole hyvin määriteltyjä ( Q 0)
38 Kommutaatio ja yhtäaikaa määritettävät suureet Kommutoimattomia observaabeleita ei siis voi määrittää yhtäaikaisesti Keskenään kommutoimattomia observaabeleita kutsutaan komplementaariksi suureiksi, toisiaan täydentäviksi suureiksi (vrt. paikka ja liikemäärä) Pointti: tässä käytettiin ainoastaan operaattorien välistä kommutaatioehtoa ei aaltofunktioita eikä niiden muotoa, eikä aalto-hiukkas -dualismia Sidotut tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 5
39 Ei-stationaariset tilat Miten atomi voi emittoida fotoneja? En i Atomi sidotussa tilassa: Ψ n (x, t) = ψ n (x) e t Schrödingerin yhtälö lineaarinen yhtälö: kahden ratkaisun superpositio myös ratkaisu joten En i Ψ(x, t) = ψ n (x) e t + ψ m (x) e i Em t Ψ(x, t) 2 = Ψ Ψ = ψ nψ n + ψ mψ m + ψ nψ m e i En Em t + ψmψ n e i Em En t Esimerkiksi äärettömälle kvanttikaivolle Ψ(x, t) 2 = ψ n 2 + ψ m 2 En E ) m + 2ψn ψ m cos( t
40 Ei-stationaariset tilat Todennäköisyystiheys riippuu ajasta Ψ(x, t) 2 = ψn 2 + ψ m 2 En E ) m + 2ψn ψ m cos( t Kuvaa karkeasti tilannetta jossa elektroni hyppää tilalta n tilalle m Hypyn aikana elektronin aaltofunktio on yhdistelmä molempien tilojen aaltofunktioita Tilan energia ei ole hyvin määritelty Energia pitää säilyä, joten ylim. energia purkautuu fotonina Kun tn.tiheys samaistetaan varaustiheyteen, stationaarisella tilalla tn.tiheys (ja varaustiheys) ei riipu ajasta ei säteilyä Ei-stationaarisella tilalla tn.tiheys (ja varaustiheys) riippuu ajasta säteilyä
Tilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotKvanttimekaniikan perusteet
Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotS Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe
S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotKvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa
Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Kvanttiefektit ovat tärkeitä nanoskaalassa. Tässä on ksenon-atomeilla tehtyjä kirjaimia metallipinnalla. Luennon tavoite: Ymmärtää kvanttimekaniikan perusperiaatteet
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotKvanttimekaniikan perusteet
Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotVapaat tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 6. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Vapaat tilat Harris luku 6 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Potentiaaliaskel Potentiaalivalli ja tunneloituminen Aaltopaketti ja aineaallon eteneminen Potentiaaliaskel
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotLuku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Vibraatio eli värähdysliike Rotaatio eli pyörimisliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotKVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57
KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57.1 Johdanto... 57. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys... 58.3 Schrödingerin yhtälö... 61.3.1 Vapaan hiukkasen aaltofunktio... 6.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta...
LisätiedotAineen aaltoluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 4. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Aineen aaltoluonne Harris luku 4 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotJatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotPHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä
PHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä J.-P. Martikainen 1 1 Aalto Varoitus! Tämä tiedosto on tarkoitettu lyhyeksi muistutukseksi kurssilla esiintyneistä konsepteista ja keskeisimmistä kaavoista
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotPotentiaalikuoppa, työohje
Potentiaalikuoppa, työohje 16. lokakuuta 2018 Johdanto Kvanttimekaniikassa potentiaalikuopalla tarkoitetaan järjestelmää, jossa hiukkasen liike on rajoitettu äärelliseen alueeseen. Tästä seuraa ominaisenergian
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotAineen ja valon vuorovaikutukset
Aineen ja valon vuorovaikutukset Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tutkitaan aineen ja valon vuorovaikutuksia Ensiksi tutustutaan häiriöteoriaan, jonka
LisätiedotPotentiaalikuoppa, työohje
Potentiaalikuoppa, työohje 16. lokakuuta 013 Johdanto Kvanttimekaniikassa potentiaalikuopalla tarkoitetaan järjestelmää, jossa hiukkasen liike on rajoitettu äärelliseen alueeseen. Tästä seuraa ominaisenergian
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotFysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1
Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1 Wienin siirtymälaki: T λ max = 0.2898 cm K (1) Stefan Boltzmanin laki: M = σt 4 σ = 5.67 10 8 W m 2 K 4 (2) Planckin jakauma ρ = 8πkT λ 4 ( 1 ) e hc/λkt 1 (3)
LisätiedotFysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2016
Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2016 Luennot: Henrik Kunttu, Nanoscience Center, huone YN213; puh: 050-5996134; henrik.m.kunttu@jyu.fi Vastaanotto torstaisin klo 13-15 Laskuharjoitukset: FM
LisätiedotEsimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:
Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotPotentiaalikuoppa, työohje 12. lokakuuta 2015
Potentiaalikuoppa, työohje 12. lokakuuta 2015 12. lokakuuta 2015 Johdanto Kvanttimekaniikassa potentiaalikuopalla tarkoitetaan järjestelmää, jossa hiukkasen liike on rajoitettu äärelliseen alueeseen. Tästä
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotAINEAALTODYNAMIIKKA...105
AINEAALTODYNAMIIKKA...105 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö... 105 3.1.1 Stationääriset tilat... 108 3.1.. Ei-stationääriset tilat... 109 3.1.3 Aaltofunktioon liittyvä todennäköisyysvirta... 113 3.1.4
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 2 Mar$kainen Jani- Petri Assarointimainos Fyssa tarvitsee assareita Noin 30 euroa tun$+ lisiä tyypillises$ n. 4h/viikko, muba voi olla enemmän/vähemmän Opintosuoritukset+ lyhyt
LisätiedotFysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2011
Fysikaalinen kemia 2 (KEMA225, 4 op) syksy 2011 Luennot: Henrik Kunttu, Nanoscience Center, huone YN213; puh: 050-5996134; henrik.m.kunttu@jyu.fi Laskuharjoitukset: Lauri Nykänen; lauri.j.a.nykanen@.jyu.fi
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
Lisätiedot766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013
766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9
LisätiedotKvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi
Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotKorrespondenssiperiaate. Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela
Korrespondenssiperiaate Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela Sisältö 1 Johdanto 2 2 Liikeyhtälöt 2 2.1 Klassisen mekaniikan liikeyhtälöt................ 2 2.2 Poissonin
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotT R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu
Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista
LisätiedotSpin ja atomifysiikka
Spin ja atomifysiikka Harris luku 8 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Lämmittelykysymys Pohdi parin kanssa 5 min Kysymys Atomin säde on epämääräinen käsite. Miksi?
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotKVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI
LisätiedotJukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2
S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE v0.90 Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
Lisätiedotja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005
LisätiedotKvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi
Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa Case vetyatomi Harris luku 7 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Yleistetään viidennen luvun sidottujen tilojen
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Lisätiedotdx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotFononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa
Fononit Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa Atomien lämpövärähtely Mikä on atomien värähtelyn taajuus ja amplitudi? Tarkastellaan
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotKVANTTIMEKANIIKKA I Johdatus alkuaineiden jaksolliseen järjestelmään A/S
KVANTTIMEKANIIKKA I Johdatus alkuaineiden jaksolliseen järjestelmään 76331A/S Mikko Saarela 13. elokuuta 013 Oppimateriaali Cohen-Tannoudji, Diu ja Laloë: Quantum Mechanics (volume one), 1977 Powell &
LisätiedotTodennäköisyys ja epämääräisyysperiaate
Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain
LisätiedotOsa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotFysA230/3 Potentiaalikuoppa Suppea raportti
Tiia Monto Työ tehty: 8.5.9 tiia.monto@jyu. 475856 FysA3/3 Potentiaalikuoppa Suppea raportti Assistentti: Joni Pasanen Hyväksytty/hylätty: Työ jätetty: Abstract I studied how the Matlab program can calculate
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
LisätiedotKvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.
Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
LisätiedotKvanttimekaniikka I A/S. Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto
Kvanttimekaniikka I 763312A/S Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto 2. syyskuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 1 1.1 Taustaa................................................ 1 1.2 Aallot ja hiukkaset..........................................
Lisätiedot3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE
3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3.1. DE BROGLIE AALLOT 1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet 1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
Lisätiedot.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
Lisätiedot2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 4. Martikainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 4 Martikainen Jani- Petri Viimeksi Ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö Alkuarvo- ongelman ratkaisu Aaltofunktio Tänään Mittauspostulaatti Diracin merkintätapa. Hermiittiset operaattorit
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotKlassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys
Klassise fysiika ja kvattimekaiika yhteys Scrödigeri yhtälö ei statioäärisistä tiloista muodostuvie aaltopakettie aikakäyttäytymie oudattaa Newtoi lakeja. Newtoi mekaiikka voidaa johtaa Schrödigeri yhtälöstä.
LisätiedotKvanttimekaniikka II A/S. Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto
Kvanttimekaniikka II 763313A/S Jani Tuorila Fysiikan laitos Oulun yliopisto 17 huhtikuuta 015 Sisältö 1 Tilavektori 1 11 Hilbertin avaruus 3 111 Lineaarinen vektoriavaruus 3 11 Sisätulo 4 1 Hilbertin avaruuden
Lisätiedot