T R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu
|
|
- Ella Olivia Uotila
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta useimmiten käsitellä pieninä häiriöinä. idehilassa elektroni kokee potentiaalin U(r, joka noudattaa hilan symmetriaa, ts. U(r + R = U(r, kun R on mielivaltainen Bravais n hilan vektori. Olettaen, että elektronit eivät vuorovaikuta keskenään (riippumattomien elektronien malli, jokaisen elektronin (n.s. Blochin elektronin aaltofunktio toteuttaa Schrödingerin yhtälön Hψ = ( h m + U(r ψ = Eψ, missä U(r on periodinen potentiaali. Blochin teoreema Potentiaalin periodisuudesta johtuen Blochin elektroneilla on tärkeä ominaisuus: Lause: Olkoon U(r periodinen siten, että U(r + R = U(r olipa R mikä tahansa Bravais n hilan vektori. Tällöin yhden elektronin Hamiltonin H = h /m + U(r ominaistiloiksi ψ voidaan valita tasoaallon ja Bravais n hilan periodisuutta noudattavan funktion tulo: ψ nk = e ik r u nk (r, missä u nk (r + R = u nk (r kaikille Bravais n hilan vektoreille R. Aaltofunktiolle ψ on siis voimassa ψ nk (r + R = e ik R e ik r u nk (r + R = e ik R ψ nk (r. Blochin teoreema voidaan siis lausua myös muodossa: Lause: Hamiltonin H ominaistilat voidaan valita siten, että ominaistilaan ψ liittyy aaltovektori k ja että ψ toteuttaa ehdon ψ(r + R = e ik R ψ(r kaikille Bravais n hilan vektoreille R. Blochin teoreeman todistus Määritellään jokaista Bravais n hilan vektoria R kohti translaatio-operaattori T R siten, että T R f(r = f(r + R, kun f(r on mielivaltainen funktio. oska Hamilton H = h m + U(r on periodinen, on voimassa T R Hψ = H(r + Rψ(r + R = H(rψ(r + R = HT R ψ olipa ψ mikä tahansa funktio. Operaattorit T R ja H toteuttavat siis kommutaatiorelaation T R H = HT R. ahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu operaatioiden järjestyksestä, sillä T R T R ψ(r = T R ψ(r + R = ψ(r + R + R = T R T R ψ(r. Translaatio-operaattorit siis kommutoivat keskenään: T R T R = T R T R = T R+R. oska kaikki translaatio-operaattorit T R kommutoivat keskenään ja Hamiltonin H kanssa, voidaan Hamiltonin ominaistilaksi valita aaltofunktio, joka on samanaikaisesti kaikkien translaatio-operaattorien ominaistila: Hψ = Eψ T R ψ = c(rψ, R Bravais n hila, missä E on Hamiltonin H ja c(r operaattorin T R ominaisarvo. oska ψ on kaikkien translaatio-operaattoreiden ominaistila, on sille voimassa Toisaalta T R T R ψ = c(rt R ψ = c(rc(r ψ. T R T R ψ = T R+R ψ = c(r + R ψ, joten ominaisarvojen c(r täytyy toteuttaa funktionaalinen relaatio c(r + R = c(rc(r. Olkoon a i Bravais n hilan primitiivivektori. Operaattorin T ai ominaisarvo c(a i voidaan aina kirjoittaa eksponenttimuotoon c(a i = e πix i, missä x i on jokin (kompleksiluku (myöhemmin nähdään, että x i on reaalinen. Hilavektoriin R = n 1 a 1 + n a + n 3 a 3 liittyvä translaatio T R voidaan konstruoida peräkkäisistä primitiivitranslaatioista T ai kuten T R = T n 1 a 1 T n a T n 3 a 3. Operaattorin T R ominaisarvo c(r voidaan siis kirjoittaa muotoon c(r = c(a 1 n1 c(a n c(a 3 n3 = e πi(x 1n 1 +x n +x 3 n 3.
2 Olkoon k vektori k = x 1 b 1 + x b + x 3 b 3, missä b i ovat käänteishilan primitiivivektoreita, jotka toteuttavat resiprokaalisuusehdon a i b j = πδ ij. Hamiltonin ominaistilat ψ voidaan siis valita siten, että sallitun aaltovektorin viemä tilavuus kirjoittaa myös muotoon k = (π3 V. Blochin teoreeman toinen todistus Mikä tahansa funktio ψ, joka toteuttaa Born-von armanin reunaehdot, voidaan kehittää reunaehdot toteuttavien tasoaaltojen superpositiona, kuten T R ψ = ψ(r + R = c(rψ = e ik R ψ(r. ψ(r = c e i r. Tämä on Blochin teoreeman jälkimmäinen muoto. Born-von armanin reunaehdot Oletetaan, että kidehilan ottama kokonaistilavuus on V ja täytetään tämä tilavuus alkeiskopeilla, joita suunnassa a i oletetaan olevan kappaletta. iteen alkeiskoppien kokonaislukumäärä N on siis N = N 1 N N 3, ja jokainen on kertalukua N 1/3. Asetetaan nyt tavanomaiset periodiset reunaehdot: ψ(r + a i = ψ(r, i = 1,, 3. Olkoon ψ nk aaltovektoriin k (n tarkoittaa kaikkia muita kvanttilukuja liittyvä Blochin tila. Sovelletaan Blochin teoreemaa reuna-arvoihin, jolloin ψ nk (r + a i = e ik a i ψ nk (r. Ottaen huomioon periodiset reuanehdot saadaan e ik a i = 1. Sijoittamalla vektorin k eksplisiittinen lauseke nähdään, että e πinixi = 1, eli lukujen x i täytyy toteuttaa ehto x i = m i, m i I. Sallitut Blochin aaltovektorit k ovat siis muotoa k = 3 i=1 m i b i, m i I. Yksi sallittu vektori k vie siis k-avaruudessa tilavuuden k = b ( 1 b b 3 = 1 N 1 N N 3 N b 1 (b b 3. oska b 1 (b b 3 on käänteishilan alkeiskopin tilavuus, voidaan sanoa, että käänteishilan alkeiskopissa olevien sallittujen aaltovektoreiden lukumäärä on sama kuin hilapisteiden lukumäärä. oska käänteishilan alkeiskopin tilavuus on (π 3 /v, kun v = V/N on suoran hilan alkeiskopin tilavuus, voidaan oska potentiaali U(r noudattaa hilan periodisuutta, sen tasoaaltokehitelmässä esiintyvät vain ne tasoaallot, joiden periodisuus on sama kuin hilalla eli U(r = U e i r, missä ovat käänteishilan vektoreita. Fourierin kertoimet U voidaan laskea kaavasta U = 1 v koppi dr e i r U(r. Valitaan energian nollataso siten, että U 0 = 1 dr U(r = 0. v koppi oska potentiaali U(r on reaalinen, sen Fourierin kertoimet toteuttavat ehdon U = U. Oletettaen, että kidehila on inversiosymmetrinen, voidaan origo valita siten, että U( r = U(r. Inversiosymmetrisessä hilassa on silloin voimassa relaatio U = U = U, eli potentiaalin Fourierin kertoimet ovat reaalisia. Tasoaaltokehitelmien avulla Schrödingerin yhtälön kineettinen energia on p m ψ = h m c e i r = Potentiaalienergiaksi saadaan ( ( Uψ = U e i r = U c e i(+ r = U c e i r. h m c e i r. c e i r Vaihtamalla tässä summausindeksien nimet :sta ja :sta :ksi ja :ksi ja sijoittamalla kehitelmät Schrödingerin yhtälöön saadaan [ ( e i r h m E c + ] U c = 0.
3 oska tasoaallot ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia, täytyy jokaisen termin erikseen toteuttaa ehto m E c + U c = 0. Yhtälö voidaan kirjoittaa myös sellaiseen muotoon, että siinä esiintyy vain ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen aaltovektoreita. Merkitään = k ja valitaan siten, että k on ensimmäisessä Brillouinin vyöhykkeessä. Nyt m (k E c k + U c k = 0. Tämä saadaan hieman symmetrisempään muotoon vaihtamalla summausmuuttujaa, : m (k E c k + U c k = 0. Olkoon k jokin kiinnitetty ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen vektori. Ylläoleva yhtälö kytkee toisiinsa kertoimet c k, c k, c k, c k,..., eli kertoimet, joiden aaltovektorit eroavat toisistaan käänteishilan vektoreilla. oska ensimmäsessä Brillouinin vyöhykkeessä on täsmälleen N sallittua aaltovektoria k, on alkuperäinen probleema hajotettu N riippumattomaksi probleemaksi: yksi probleema jokaista sallittua ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen vektoria k kohti. Jokaisen yksittäisen probleeman ratkaisu on sellaisten tasoaaltojen superpositio, joiden aaltovektorit ovat k ja siitä käänteishilavektorien verran eroavat vektorit. Superpositiossa ψ = c e i r aaltovektori voi siis saada vain arvot k, k, k,... eli ψ k = c k e i(k r. Tämä voidaan kirjoittaa myös muotoon ψ k (r = e ik r ( c k e i r joka on täsmälleen Blochin teoreeman muotoa, sillä jälkimmäinen tekijä u(r = c k e i r ilmeisestikin noudattaa hilan periodisuutta., Huomioita Blochin teoreemasta 1. Operoitaessa liikemääräoperaattorilla p = i h Blochin tilaan ψ nk saadaan ( i h ψ nk = i h e ik r u nk (r = hkψ nk i he ik r u nk (r, joten Blochin tila ei yleensä ole liikemäärän ominaistila. Blochin tilan aaltovektori k ei siis ole suoraan verrannollinen elektronin liikemäärään (toisin kuin vapaalla elektronilla, jolla liikemäärää p vastaa aaltovektori p/ h. Suuretta hk nimitetään kideliikemääräksi.. Blochin tilan aaltovektori k voidaan aina valita ensimmäisestä Brillouinin vyöhykkeestä (tai mistä tahansa käänteishilan alkeiskopista. Jos nimittäin k ei ole ensimmäisessä Brillouinin vyöhykkeesä, niin on olemassa sellainen käänteishilavektori, että k = k +, missä k on ensimmäisessä Brillouinin vyöhykkeessä. Jos Blochin teoreema on voimassa vektorille k, niin se on myös voimassa vektorille k, sillä e i R = Tarkastellaan kaikkia aaltovektoriin k liittyviä muotoa ψ(r = e ik r u(r olevia Blochin tiloja. Sijoittamalla tämä tila Schrödingerin yhtälöön saadaan funktiolle u(r yhtälö m ( i + k + U(r u k (r = E k u k (r, missä on eksplisiittisesti merkitty näkyviin ko. aaltovektori. Blochin teoreeman mukaan funktion u k täytyy toteuttaa reunaehdot u k (r = u k (r + R. Voidaan siis ajatella, että yo. ominaisarvoprobleema on rajoitettu äärellistilavuiseen hilan alkeiskoppiin. Tälläisellä probleemalla on yleensä numeroituvasti ääretön määrä ominaisarvoja ja niihin liittyviä ominaisfunktioita. Nämä tiettyyn k:n arvoon liittyvät on edellä numeroitu kvanttiluvulla n. oska aaltovektori k esiintyy yo. ominaisarvoyhtälössä parametrina, yhtälön ominaisarvot E nk muuttuvat vektorin k muuttuessa. Energiatasot onkin siksi tapana joskus kirjoittaa muotoon E n (k. 4. Vaikka täydellinen ominaistilojen joukko saadaankin rajoittamalla k ensimmäiseen Brillouinin vyöhykkeeseen on joskus hyödyllistä antaa vektorin k saada arvoja koko k-avaruudessa. oska energiat ja ominaistilat säilyvät muuttumattomina aaltovektorin muuttuessa käänteishilavektorin verran, ovat ne vektorin k käänteishilan periodisuutta noudattavia funktioita: ψ n,k+ (r = ψ nk (r E n,k+ = E nk.
4 Elektronien energiatasoja periodisessa potentiaalissa kuvaavat siten periodiset (ja jatkuvat, kun N funktiot E n (k. Näiden funktioiden sisältämää informaatiota nimitetään kiinteän aineen vyörakenteeksi. Energiavyöllä tarkoitetaan kuhunkin kvanttilukuun n liittyviä energian arvoja E n (k. Lukua n sanotaan vyöindeksiksi. 5. Voidaan osoittaa, että elektronilla, joka on vyöllä n ja jonka aaltovektori on k, on nollasta poikkeava keskimääräinen nopeus v n (k = 1 h ke n (k. Elektronilla on siis periodisessa potentiaalissa stationäärisiä tiloja, joissa se liikkuu ikuisesti samalla kesimääräisellä nopeudella hilan ionien millään lailla hidastamatta. Fermi-pinta Merkitään Blochin elektronin tiloja kvanttiluvuilla n ja k. Vastaavat energiat ovat E n (k. Jotta tilat otettaisiin huomioon vain kertaalleen, rajoitetaan aaltovektorin k arvot yhteen käänteishilan alkeiskoppiin. Tarkastellaan N vuorovaikuttamatonta Blochin elektronia. Näiden perustila muodostetaan täyttämällä energiatasot E n (k järjestyksessä lähtien pienimmästä energiasta: jokaisella vyöllä n jokaista sallittua aaltovektoria k kohti voi olla kaksi elektronia (spin ylös ja spin alas. aikkien elektronien ollessa sijoitettuna alimmille energiatasoille on kaksi mahdollisuutta: 1. Jotkin energiavyöt saattavat olla täysin miehitettyjä muiden vöiden ollessa täysin tyhjiä. Ylimmän miehitetyn ja alimman miehittämättömän energiatason välistä eroa sanotaan vyöraoksi (band gap. Jos vyörako on huomattavasti suurempi kuin k B T (huoneen lämpötilassa, niin kyseessä on eriste. suuruusluokkaa k B T, niin kyseessä on luonnollinen puolijohde (intrinsinc semiconductor. oska sallittujen tilojen (k:n arvojen lukumäärä vyöllä on sama kuin kiteen alkeiskoppien lukumäärä ja koska jokaisessa tilassa voi olla kaksi elektronia, vyöraollinen konfiguraatio voi esiintyä vain, jos yhtä alkeiskoppia kohti on parillinen määrä elektroneja.. Jotkin vyöt saattavat olla vain osittain täytettyjä. orkeimman miehitetyn tason energia, Fermi-energia E F, sijaitsee silloin yhdellä tai useammalla energiavyöllä. Jokaista osittain täytettyä vyötä kohti on olemassa k-avaruuden pinta, joka erottaa toisistaan miehitetyt ja miehittämättömät vyön energiatasot. aikkien näiden pintojen joukkoa sanotaan Fermi-pinnaksi. Yksittäiseen energiavyöhön liittyvää pintaa sanotaan Fermi-pinnan haaraksi (branch. Jos kiinteällä aineella on Fermi-pinta, se käyttäytyy kuten metalli. Fermi-pinnan haara vyöllä n määräytyy ehdosta ratkaisuna on samaa periodisuutta noudattava pinta. Fermi-pintoja on tapana esittää: toistuvan vyöhykkeen skeemassa (repeated zone scheme Fermi-pinnan haarat esitetään täydellisinä periodisessa muodossa. rajoitetun vyöhykkeen skeemassa (reduced zone scheme kustakin täydellisestä periodisesta haarasta esitetään vain käänteishilan alkeiskoppiin osuva alue. Alkeiskoppina on useimmiten ensimmäinen Brillouinin vyöhyke. Tilatiheys Joudumme usein käsittelemään muotoa olevia termejä. Tässä Q = n,k Q n (k summaus käy käy yli kaikkien sallittujen elektronisten yksihiukkastilojen, ts. kullakin vyöllä n aaltovektori k voi saada arvot k = 3 i=1 m i b i suureen m i ollessa rajoitettu sellaisiin kokonaislukuihin, jotka johtavat erillisiin fysikaalisiin tiloihin (esim. ensimmäiseen Brillouinin vyöhön, tekijä huomioi elektronien spinin: kutakin tilaa (n, k voi miehittää kaksi elektronia. Näimme, että kukin sallittu aaltovektori ottaa tilavuuden Voimme siis kirjoittaa k = (π3 V. Q n (k = V 8π 3 Q n (k k. k k Suuressa kiteessä energiavyön aaltovektorit muodostavat jatkumon. Summaus voidaan tällöin korvata alkeiskopin yli ulottuvana integrointina, kuten Q = lim V V = n dk (π 3 Q n(k. Usein suure Q n (k riippuu kvanttiluvuista n ja k ainoastaan yksihiukkasenergian E n (k kautta. Määritellään tilatiheys g(e siten, että = de g(eq(e. E n (k = E F. oska E n (k on käänteishilan periodisuutta noudattava argumentin k funtio, tämän yhtälön täydellisenä Voimme myös kirjoittaa g(e = n g n (E,
5 missä g n (E on vyöhön n liittyvä tilatiheys dk g n (E = 4π 3 δ(e E n(k itegroinnin käydessä yli jonkin alkeiskopin. Tilatiheydelle saadaan tulkinta vyöllä n g n (EdE = energiavälillä V (E, E + de olevien sallittujen energiatilojen lukumäärä. oska kukin sallittu aaltovektori ottaa tilavuuden k = (π3 V, voimme kirjoittaa myös { dk 1, E g n (EdE = π En (k E + de, 0, muulloin. Olkoot S n (E alkeiskopissa oleva pinnan E n (k = E osa, δk(k pintojen S n (E ja S n (E + de välinen kohtisuora etäisyys. Tällöin g n (EdE = Gradientti E n (k on S n (E ds 4π 3 δk(k. kohtisuorassa pintaa E n (k = vakio vastaan, suuruudeltaan energian E n (k gradientin suuntaisen muutoksen suuruinen, joten E + de = E + E n (k δk(k. Nähdään, että pintojen välinen etäisyys on δk(k = Saamme tuloksen g n (E = S n (E de E n (k. ds 1 4π 3 E n (k. Huom. oska E n (k on argumentin k periodinen, rajoitettu ja yleensä differentioituva funktio, täytyy jokaisessa alkeiskopissa olla aaltovektoreita joille E n (k = 0. Näissä pisteissä yo. integrandi divergoi. Voidaan osoittaa, että tälläiset singulariteetit ovat kolmessa ulottuvuudessa integroituvia mutta johtavat derivaatan dg n /de divergensseihin. Näitä sanotaan van Hoven singulariteeteiksi.
Vaihdetaan ryhmässä (1) summausindeksiksi K, jolloin saadaan (E E 0 k K 1
Heikot periodiset potentiaalit Useiden metallien (alkuaineryhmissä I, II, III ja IV) johde-elektronit liikkuvat heikossa kiteen ionien muodostamassa potentiaalissa, sillä näillä metalleilla on s- tai p-elektroni
LisätiedotNyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),
Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien
Lisätiedotsillä hilassa vaikuttava periodinen potentiaali vaihtelee väleillä, jotka ovat pieniä verrattuna aaltopaketin
Semiklassinen elektronidynamiikka Blochin teoria osoittaa, että metallikiteissä elektronit eivät siroa ioneista (kuten Druden malli olettaa). Metallit eivät kuitenkaan ole täydellisiä johteita, sillä mikään
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotFononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa
Fononit Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa Atomien lämpövärähtely Mikä on atomien värähtelyn taajuus ja amplitudi? Tarkastellaan
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotVuorovaikuttavat elektronit Tarkastellaan N elektronia kiteessä, jonka struktuuri on jokin Bravais n hila. Koska elektronit vuorovaikuttavat
Vuorovaikuttavat elektronit Tarkastellaan N elektronia kiteessä, jonka struktuuri on jokin Bravais n hila. Koska elektronit vuorovaikuttavat keskenään, on selvää, että tähän saakka käyttämämme yksihiukkaskuva,
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotDemo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen
Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotKvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.
Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotKRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA
KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA Aloita kertaamalla hilan indeksointi niin, että osaat kuutiollisen kiteen tasojen ja suuntien Miller-indeksit. Vektorit määritellään yleisessä muodossa r
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotBraggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on
763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotTASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.
TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste
Lisätiedot3 Skalaari ja vektori
3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotJatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti
LisätiedotHomogeeniset puolijohteet Olemme jakaneet kiteet kahteen ryhmään:
Homogeeniset puolijohteet Olemme jakaneet kiteet kahteen ryhmään: metallit ainakin yksi energiavyö on osittain täytetty eristeet energiavyöt ovat joko tyhjiä tai täysiä. Eristeitä karakterisoi nollasta
Lisätiedotm h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,
76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotPHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016
PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotKidehilan perusominaisuudet
Kidehilan perusominaisuudet Kiteen muodostaa hila (usein kutsutaan Bravaisin hilaksi) ja yhdestä tai useammasta atomista muodostuva kanta(klusteri). Kantaklusteri toistuu kiteessä hilan määräämällä tavalla
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
Lisätiedot2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
LisätiedotHarjoitus 5 ( )
Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotKvanttimekaniikan perusteet
Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys
LisätiedotSidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotS Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe
S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
Lisätiedot