Kvanttimekaniikka: Luento 4. Martikainen Jani- Petri

Transkriptio

1 Kvanttimekaniikka: Luento 4 Martikainen Jani- Petri

2 Viimeksi Ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö Alkuarvo- ongelman ratkaisu Aaltofunktio Tänään Mittauspostulaatti Diracin merkintätapa. Hermiittiset operaattorit Hilbertin avaruus

3 Mittauspostulaatti Observaabelin mittaus voi antaa tulokseksi vain sitävastaavan operaattorin ominaisarvon. Mittauksen yhteydessä aaltofunktio romahtaa mittaustulosta vastaavaan ominaistilaan. Heti mittauksen jälkeen tiedämme, että systeemi on tässä ominaistilassa.

4

5 Mittauspostulaatti: esimerkki Vapaa hiukkanen liikkuu x- akselilla. Mittaamme liikemäärän ja saamme arvon p = ~k Missä tilassa systeemi on heti mittauksen jälkeen? Vastaus: liikemääräoperaattorin ominaistilassa (x) / e ipx/~ = e ikx Jos mittaamme liikemäärän heti uudelleen? p = ~k

6 Mittauspostulaatti: paikan mittaus ja Diracin delta- funktio Paikkaoperaattori ˆx Mitataan se ja saadaan tulokseksi x = x 0 Heti mittauksen jälkeen systeemi paikkaoperaattorin ominaistilassa (ominaisarvo x ) niin, että Tämä on ns. Diracin deltafunktio Z 1 1 Z 1 1 (x) / (x x 0 ) (x x 0 )dx =1 (x) = 1 2 f(x) (x x 0 )dx = f(x 0 ) Z 1 1 e ikx dk

7 Dirac- delta vs. Heaviside stepfunction

8 Diracin deltafunktio Paina normaalijakauman leveys nollaan samalla, kun pidät pinta- alan samana

9 Mittauspostulaatti

10 Mittauspostulaatti: demo

11 Lomittuminen/entanglement Kun hiukkasia enemmän kuin 1, kvanttimekaniikassa voi esiintyä kummallisia tiloja. Esim. i = 1 p 2 [ ""i + ##i] Miksi tämä olisi omituinen tila? Huomaa, että kun mittaat toisen hiukkasen, aaltofunktio romahtaa niin, että toisen mittaustulos antaa taatusti saman tuloksen! Hiukkaset ovat lomittuneet (entangled) Ei ole väliä kuinka kaukana toisistaan hiukkaset ovat! Einstein ei pitänyt tästä. Hyvä video tulkinnoista!

12 Ongelmia/Oikeita kysymyksiä Onko hiukkasella hyvin määritelty ominaisuus ennen mittausta? Voimmeko puhua siitä, jos se on oikeasti epävarma? Onko todellisuus ja siitä tehtävät havainnot aina kietoutuneet yhteen? Wovon man nicht sprechen kann, daruber mus man schweigen Wittgenstein Mistä ei voi puhua, siitä on vaiettava?

13 Mittauspostulaatti Postulaatti lainausmerkeissä (Party line) Mittauksessasysteemi kytkettynä ympäristöön Emme käytännössä voi seurata mitä kaikki vapausasteet kvanttimekaanisesti tekevät Korvataan siis todella mutkikas ja nopea dynamiikka heuristisella postulaatilla Toimii kuitenkin hyvin käytännössä

14 Kvanttihyppyjä ioneissa (esim.)

15 Mittauspostulaatti... psychic phenomena, such as distant viewing and out- of- body experiences, are examples of the nonlocal operation of consciousness.... Quantum mechanics undergirds such a theory by providing crucial support for the case of nonlocality of consciousness. Goswami the physical world, including our bodies, is a response of the observer. We create our bodies as we create the experience of our world Deepah Chopra

16 Diracin merkintätapa Kvanttimekaniikassa päädymme usein kirjoittelemaan integraaleja odotusarvoja tai normalisointeja laskiessa Tee tämä noin kertaa ja alat tuntea tarvetta paremmalle notaatiolle Enter Dirac: Z 1 h i = 1 (x) (x)dx h =bra vektori i =ket vektori

17 Diracin merkintätapa Joitain ominaisuuksia h a i = ah i, a on kompleksiluku ha i = a h i h i = h i

18 Diracin merkintätapa i

19 Hermiittiset operaattorit Aikaisemmin opimme, että odotusarvolle. Mutta millaiset operaattorit ovat sallittuja? Jos teemme mittauksen, saamme tuloksenareaaliluvun Vain operaattorit joille tämä pitää paikkaansa voivat ehkä olla fysikaalisesti järkeviä. Mitä tämä nyt sitten tarkoittaa?

20 Adjungoitu operaattori A:lle Operaattori  jolle voimassa (kaikilla tiloilla) hâ l n i = h l  ni Esim. 1:  = a hâ l n i = h l a n i = ah l n i = ha l n i  = a Esim. 2: (osittainintegroinnilla..taululla)

21 Hermiittinen/itseadjungoitu Joskus meillä on Nämäovat hermiittisiä operaattoreita! A=a oli hermiitiinen JOS a=reaaliluku Entä esim. liikemäärä? Â = Â Liikemäärä on myös hermiittinen. Jos liikemäärä on, niin sitten on varmasti Hamiltonin operaattorikin

22 Hermiittisen operaattorin ominaisarvot..ortogonaalisuus! Ol. Â = Â Â ni = a n ni Kerro vasemmalta h l :llä ja käytä hermiittisyysoletusta (a l a n )h l ni =0 Ts. jos l=n on ominaisarvon oltava reaalinen Jos taas l 6= n ja a l 6= a n (ts. ei- degeneraatiota) h l ni =0 Ortogonaaliset ominaistilat, kun ominaisarvot erilaisia (miksi tämä on tärkeää taululla)

23 Konsepti: degeneraatio Operaattorilla on useita saman ominaisarvon omaavia ominaistiloja. Esim. vapaassa avaruudessa Hamiltonin operaattorilla ja ovat ominaistiloja ja molemmilla on ominaisarvo

24 Hilbertin avaruus This is where the magic happens!

25 Hilbertin avaruus (Usein) ääretön ulotteinen funktioavaruus Helpompi esimerkki: euklidinen avaruus Yleisemmin avaruuden elementit ovat funktioita (funktio=vektori) 1. Lineaarinen avaruus: a on elementti jos on. Samoin + 2. Meillä on sisätulo h i 3. Edelliseen kohtaan liittyen voimme määritellä normin (vektorin pituus) 2 = h i 4. Kaikki Cauchyn jonot suppenevat kohti jotain avaruuden elementtiä (completeness) whatever Von Neumann, Wigner, Weyl

26 Hilbertin avaruus kvanttimekaniikassa Tilat (yksikkö) vektoreita Hilbertin avaruudessa Observaabelit: Hermiittisiä operaattoreita, jotka määritelty Hilbertin avaruudessa Aikakehitys: unitaarinen muunnos Hilbertin avaruudessa yksikkövektoritoiseksi yksikkövektoriksi (Symmetriat: unitaariset(/anti- unitaariset) operaatiot Hilbertin avaruudessa ryhmäteoriaantäältä Wigner) Mittaukset: ortogonaalisia projektioita Hilbertin avaruudessa Esimerkki Hilbertin avaruuksista (riippuu tilanteesta!): h i = Z 1 1 (x) (x)dx < 1, L 2 avaruus

27 Hilbertin avaruus Vektorit ortogonaalisia, jos h i =0 Joukko funktioita ni voi virittää avaruuden 1X (x) = a n n (x) a n n=1 Tässä on projektio kantavektorille ni Ortonormaalikanta on tavallisin ja helpoin h m ni = n,m Missä käytimme Kroneckerin deltaa, joka on yksi, kun indeksit ovat samoja ja nolla muulloin Tästä projektio- ominaisuus on helppoa nähdä

28 Hilbertin avaruus: euklidinen ê z ˆv = ax ê x + a y ê y + a z ê z ê y ê x

29 Hilbertin avaruus: kvantti 3i i = a 1 1i + a 2 2i + a 3 3i 2i 1i

30 Hilbertin avaruus: esim. 3i! r 2 L sin[3 L x] i = a 1 1i + a 2 2i + a 3 3i 2i! r 2 L sin[2 L x] 1i! 1 (x) =hx 1i = r 2 L sin[ L x] (x) =hx i = a 1 1 (x)+a 2 2 (x)+a 3 3 (x)

31 Hilbertin avaruus: esim Mikä tuo äskeinen härdelli muutenoli? Fourier sarjafunktioille joilla f(x = 0) = f(l) =0 Puhumme siis funktioiden sarjakehitelmistä eri kantafunktioilla!

32 Diracin merkintätapa+erilaiset Hilbertin avaruuden kannat: esim. Taululla esimerkki: liikemäärän odotusarvon lasku eri kannoissa hˆpi = h ˆp i =? i = hˆpi = Z Z (x)( dkb(k) ki!hˆpi ) (x)dx Z dk b(k) 2 ~k k> on liikemääräoperaattorin ominaistila ominaisarvolla k Huom! Jos laskun tekee oikein, lopputulos on sama kaikilla eri tavoilla!

33 Diracin merkintätapa ja Hilbertin avaruus (x, t) (t)i Aaltofunktion aikakehitys Vektorin aikakehitys? Voit esittää aikakehityksen pitämällä kantavektorit samoina, mutta aikariippuvuus on amplitudeissa. Kannanvalinta= koordinaatiston valinta (t)i = X n a n (t) ni

34 L^2 avaruus (neliöintegroituvat funktiot ) tasoaaltokannassa Määritellään k(x) = 1 p 2 e ikx Mikä tahansa L^2:n funktio voidaan esittää näiden avulla (x) = Z 1 Fourier- muunnos (x):stä! b(k) on nyt projektio asiaankuuluvalle tasoaallolle 1 b(k) k (x)dk Huomaa: k(x) 2 = h k ki = 1 eli ei kuulu L^2:een Kun otamme projektioita L^2:n elementeille, saamme kuitenkin äärellisen tuloksen

35 L^2:n mahdolliset kannat?

36 Hilbertin avaruus However, for the man who studies to gain insight, books and studies are merely rungs of the ladder on which he climbs to the summit of knowledge. As soon as a rung has raised him up one step, he leaves it behind. On the other hand, the many who study in order to fill their memory do not use the rungs of the ladder for climbing, but take them off and load themselves with them to take away, rejoicing at the increasing weight of the burden. They remain below forever, because they bear what should have bourne them. Arthur Schopenhauer

37 Diracin merkintätapa+hilbertin avaruus: Liboff alert! Liboffin kirjassa notaatio on tässä kohdin huono. Älä omaksu mitä siellä on Siis Liboff: i = Z 1 1 dk b(k) k i i = X a n n i n Oikein: i = Z 1 1 dkb(k) ki i = X n a n ni

38 Diracin merkintätapa: jatkoa Liboff: saatat jäädä siihen käsitykseen, että notaatio on vain tarkoitettu lyhentämään integraalimerkintöjä Huomaa kuitenkin, että kun kirjoitamme (x) teimme kannan valinnan (paikkaoperaattorin ominaistilat) Kun merkitsemme tilaa ket- vektorilla i, emme ota kantaa kantaan (emme kanna taakkaa kannan ottamisesta kantaan ) Tämä voi joskus helpottaa

39 Tänään Mittauspostulaatti Diracin merkintätapa Hermiittiset operaattorit Hilbertin avaruus Kaikki selvää? Kysymyksiä?

40 Diracin- delta tasoaaltojen avulla Diracin delta- funktiolla on monta esitystä. Yksi niistä on h k k 0 i = 1 2 Lyhyt perustelu. Z 1 1 e i(k0 k)x dx = (k 0 k)

41 Hilbertin avaruus: demo tavoitteita 1. Diracin merkintätapa 2. Amplitudi ja sisätulo 3. Hilbertinavaruuden vektori 4. Projektio Hilbertinavaruudessa/mittaus ja aaltofunktion romahdus 5. Missä aikakehitys? Rooleissa: 1. Hilbertin avaruuden kantoja 2kpl 2. 2 amplitudia 3. Normi 4. Mittalaite 1 kpl 5. Deus ex machina 1 kpl