Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008
Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies ei havaitse täydellisesti agentin tyyppiä. Kahden tyypin mallissa agenttien tyyppejä on vain kaksi, ts. tyyppi voi saada vain arvon θ 1 tai θ 2.
Esimerkki: Viinikauppiasmalli Viinikauppiaalla on vanhanajan kauppa, jossa hän myy eri laatuisia ja hintaisia viinejä. Hän tarjoaa ostajalle viiniä q hintaan t. Ostajat ovat kahta tyyppiä: kitupiikit ( θ 1 ) haluavat viininsä halvalla, ja sivistyneet (θ 2 ) vaativat parempaa laatua ja ovat valmiita maksamaan siitä.
Viinikauppiasmalli - asiakas Asiakas ostaa yhden pullon viiniä. Hänen hyötynsä on q t missä θ on asiakkaan laadunarvostusta kuvaava positiivinen parametri. Tässä esimerkissä θ 1 < θ 2. Asiakas voi myös päättää olla ostamatta viiniä, jos hän ei saa sopivaa tarjousta (u<0).
Viinikauppiasmalli - asiakas Hyödyn määrittelystä seuraa, että u q, ' u q, kasvaa aina q:n kasvaessa jos θ' > θ. Toisin sanoen, sivistyneet ovat aina valmiita maksamaan paremmasta laadusta enemmän kuin kitupiikit.
Viinikauppiasmalli - myyjä Kauppiaalla on paikallinen monopoli, ja hän voi hankkia hyvin erilaatuisia viinejä. Kauppias saa hankittua pullon laatua q olevaa viiniä hintaan C(q). Oletetaan että C on kahdesti differentioituva ja aidosti konveksi, C'(0) = 0 ja C' ( ) =.
Viinikauppiasmalli - myyjä Kauppiaan hyöty on myyntihinnan ja hankintahinnan erotus: t C q
Täydellinen informaatio Jos kauppias voi havaita tai päätellä asiakkaan tyypin θ i (siis haitallista valikoitumista ei tapahdu), hän voi yksinkertaisesti maksimoida hyötyfunktionsa sillä ehdolla että sopimus syntyy (eli asiakas ei kävele pois). max q i, t i t i C q i i q i t i 0
t Täydellinen informaatio Kauppiaan hyöty kasvaa Asiakkaan hyöty kasvaa Asiakas hylkää tällä alueella olevan tarjouksen t=c(q)+k 2 t=θ 2 q t=c(q)+k 1 t=θ 1 q q q * 1 q * 2
Täydellinen informaatio Kuvassa on kauppiaan vakiovoittokäyriä, jotka ovat muotoa t=c q K Funktio C on konveksi (näin oletettiin). Siitä seuraa että kaikki vakiovoittokäyrille piirretyt tangentit ovat kuvaajan alapuolella.
Täydellinen informaatio Kauppiaan strategia on siis tarjota laatua q * i hintaan t * siten, että i C ' q i * = i t i * = i q i * Sekä q * että 1 q* ovat tehokkaita. Koska 2 θ 1 < θ 2 ja C' on kasvava, on q * > 2 q* ja 1 sivistyneet asiakkaat ostavat kalliimpaa viiniä.
Täydellinen informaatio täydellinen hintadiskriminaatio Kauppias siis hinnoittelee viinit asiakastyypeille erikseen asiakkaiden maksuhalukkuuden mukaan. Tätä kutsutaan ensimmäisen asteen tai täydelliseksi hintadiskriminaatioksi. (first degree or perfect price discrimination) Asiakkaan hyöty on aina 0.
Epätäydellinen informaatio Jos kauppias ei pysty varmasti havaitsemaan asiaakkan tyyppiä, ei äskeinen ratkaisu toimikaan Koska 2 q 1 * t 1 * = 2 1 q 1 * 0= 2 q 2 * t 2 * teeskenteleekin sivistynyt asiakas olevansa kitupiikki ja vain halpa viini menee kaupaksi.
t Epätäydellinen informaatio Kauppias voisi parantaa voittojaan tarjoamalla kaikille pistettä A. Vain Sivistyneet hyväksyisivät tarjouksen t=c(q)+k 2 t=θ 2 q Tämä ei ole kuitenkaan optimiratkaisu A t=c(q)+k 1 t=θ 1 q q q * 1 q * 2
Epätäydellinen informaatio Kauppias voi saada selville asiakastyyppien jakautumisen. Jos kitupiikkien osuus on π on sivistyneiden tietenkin (1 - π). Kauppiaan hyöty on tällöin [t 1 C q 1 ] 1 [t 2 C q 2 ]
Epätäydellinen informaatio Kauppias maksimoi hyötynsä max { [t 1 C q 1 ] 1 [t 2 C q 2 ]} t 1, q 1, t 2, q2 Neljällä ehdolla: 1 q 1 t 1 1 q 2 t 2 2 q 2 t 2 2 q 1 t 1 1 q 1 t 1 0 2 q 2 t 2 0 IC 1 IC 2 IR 1 IR 2
Kannustinrajoitteet 1 q 1 t 1 1 q 2 t 2 2 q 2 t 2 2 q 1 t 1 IC 1 IC 2 Ehtoja IC 1 ja IC 2 kutsutaan kannustinrajoitteiksi (incentive compability constraints). Kannustinrajoitteet tarkoittavat että kumpikin agenttityyppi valitsee mieluummin itselleen räätälöidyn sopimuksen.
Osallistumisrajoitteet 1 q 1 t 1 0 2 q 2 t 2 0 IR 1 IR 2 Ehtoja IR 1 ja IR 2 kutsutaan Osallistumisrajoitteiksi (individual rationality constraints). Kun nämä ehdot täyttyvät, hyväksyy kumpikin agenttityyppi itselleen räätälöidyn sopimuksen.
Optimissa 1. (IR 1 ) on aktiivinen, eli t 1 = θ 1 q 1 2. (IC 2 ) on aktiivinen, eli t 2 t 1 = θ 2 (q 2 q 1 ) 3. q 2 q 1 4. (IC 1 ) ja (IR 2 ) voidaan jättää huomiotta 5. Sivistyneen asiakkaan ostama laatu on tehokasta, ts q 2 = q * 2
Optimissa Sijoitetaan nämä kauppiaan hyötyfunktioon saadaan t 1 = 1 q 1 q 2 =q 2 * t 2 = 1 q 1 2 q 2 * q 1 [t 1 C q 1 ] 1 [t 2 C q 2 ] [ 1 q 1 C q 1 ] 1 [ 1 q 1 2 q 2 * q 1 C q 2 * ]
Optimissa Järjestetään termit uudelleen [ 1 q 1 C q 1 ] 1 [q 1 2 1 2 q 2 * C q 2 * ] Tämä maksimoidaan q 1 :n suhteen, joten vakiotermit voidaan jättää pois. max q 1 { [ 1 q 1 C q 1 ] 1 [q 1 2 1 ]}
Optimissa Jaetaan π:llä C q 1 ={[ 1 q 1 ] 1 ja derivoidaan [q 1 2 1 ]} C ' q 1 = 1 1 2 1 1
Optimissa Nyt q 1 < q *, joten kitupiikeille myydään 1 tehokasta halvempaa laatua. Jos π eli kitupiikkien suhteellinen osuus on matala, on C'(q 1 ) negatiivinen, jolloin viininmyyjä voi hinnoitella pelkästään sivistyneiden mukaan.
Diskreetit mallit Optimaalisella mekanismilla on seuraavat ominaisuudet: Korkein tyyppi saa tehokkaan allokaation Alinta tyyppiä lukuunottamatta kukaan ei tee eroa oman ja seuraavaksi alimmalle tyypille tehdyn sopimuksen välillä. Kaikki paitsi alin tyyppi saavat positiivista hyötyä niin, että hyöty kasvaa tyypin mukana. He siis hyötyvät tiedostaan. Allokaatio muille kuin ylimmälle tyypille ei ole tehokas Alimmalle tyypille ei jää ylijäämää
Informaatiovuokra Hyöty, joka saadaan tiedosta jota päämies ei tunne, sanotaan informaatiovuokraksi (informational rent). Tyypin 2 agentti (esimerkin sivistynyt) voi saada informaatiovuokran tuottaman hyödyn, koska hän voi teeskennellä olevansa tyypin 1 agentti ja ostaa halpaa viiniä. Hän saisi silti positiivisen hyödyn 2 q 1 t 1
Informaatiovuokra Tyypin 1 agentti eli kitupiikki ei voi saada hyötyä teeskentelemällä sivistynyttä, koska 1 q 2 t 2 0 Jos agentteja on n tyyppiä, voivat kaikki paitsi ensimmäinen saada informaatiovuokran, ja vuokra kasvaa mentäessä θ 2 : sta θ n :ään
Yhteenveto Jos haitallista valikoitumista ei tapahdu, kannattaa päämiehen käyttää ensimmäisen asteen hintadiskriminaatiota. Asiakkaan hyöty on tällöin 0. Haitallinen valikoituminen antaa agenteille mahdollisuuden saada hyötyä informaatiovuokran kautta.
Kotitehtävä (5p) a) Esitä jokin käytännön tilanne jota kahden tyypin malli kuvaa hyvin. b) Mitkä IC- ja IR -rajoitteet ovat voimassa jos agentteja on n tyyppiä niin että θ 1 <θ 2 <...θ n?
Liite: Optimissa, väitteiden todistukset 1. (IR 1 ) on aktiivinen, eli t 1 = θ 1 q 1 2. (IC 2 ) on aktiivinen, eli t 2 t 1 = θ 2 (q 2 q 1 ) 3. q 2 q 1 4. (IC 1 ) ja (IR 2 ) voidaan jättää huomiotta 5. Sivistyneen asiakkaan ostama laatu on tehokasta, ts q 2 = q * 2
Liite: Todistus 1. (IR 1 ) on Käytetään (IC 2 ):ta aktiivinen 2 q 2 t 2 2 q 1 t 1 1 q 1 t 1 Jos (IR 1 ) ei olisi aktiivinen, ei myöskään (IR 2 ) olisi, ja kauppias voisi korottaa molempia hintoja samalla summalla vaikuttamatta (IC) -ehtoihin ts piste ei olisi optimissa.
Liite: Todistus 2. (IC ) on 2 aktiivinen Jos (IC 2 ) ei olisi aktiivinen, eli 2 q 2 t 2 2 q 1 t 1 1 q 1 t 1 =0 kauppias voisi nostaa hintaa t 2 ja lisätä voittojaan joten mekanismi ei olisi optimaalinen.
Liite: Todistus 3. q 2 q 1 Lasketaan (IC 1 ) ja (IC 2 ) yhteen. Saadaan 2 q 2 q 1 1 q 2 q 1 Koska θ 2 > θ 1, on (q 2 q 1 ) oltava 0 tai positiivinen.
Liite: Todistus 4. (IC 1 ) ja (IR 2 ) voidaan jättää huomiotta Koska (IC 2 ) on aktiivinen, voidaan (IC 1 ) jättää huomioimatta. t 2 t 1 = 2 q 2 q 1 1 q 2 q 1 Todistuksesta 1. nähdään että (IR 2 ) voidaan jättää huomioimatta.
Liite: Todistus 5. q 2 = q * 2 C'(q * 2 ) = θ 2. Jos C'(q 2 ) < θ 2, voidaan valita pieni luku ε > 0, ja uusi mekanismi q 1, t 1, q 2 '=q 2,t 2 '=t 2 Uusi mekanismi täyttää kaikki rajoitteet
Koska Liite: Todistus 5. jatkuu t ' 2 C q 2 ' t 2 C q 2 2 C ' q 2 Toisi tämä paremman voiton kuin optimi, mikä on mahdotonta. Samalla tavoin voidaan todistaa että C'(q 2 ) > θ 2 on mahdotonta, joten C'(q 2 ) = θ 2 ja q 2 = q * 2