Numeerinen integrointi.

Samankaltaiset tiedostot
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

6 Integraalilaskentaa

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

Pinta-alan laskeminen

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

Matematiikan tukikurssi

Riemannin integraali

Numeerinen integrointi

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

3 Integraali ja derivaatta

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

Matematiikan tukikurssi

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P

5 Epäoleellinen integraali

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Riemannin integraalista

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Matematiikan tukikurssi

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Lisää määrätystä integraalista Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

Numeerinen integrointi ja derivointi

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Viikon aiheet. Pinta-ala

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Kertausta ja täydennystä

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Aalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 6, mallivastaukset Syksy 2016

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Riemannin integraalista

Sinilause ja kosinilause

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

7 Numeerinen derivointi ja integrointi

4 Taso- ja avaruuskäyrät

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Jouni Sampo. 28. marraskuuta 2012

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Numeerinen integrointi

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

S Fysiikka III (EST), Tentti

Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita

Pertti Koivisto. Analyysi B

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

5.1. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

BM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

Integrointi ja sovellukset

Numeerinen integrointi

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

4 Pinta-alasovelluksia

Transkriptio:

Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015

Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun integrlej ei ost lske suljetuss muodoss. Esimerkiksi stelliitin kulkem mtk elliptisellä kiertordll on integrli muoto missä funktioll θ π/2 0 1 k 2 sin 2 (θ) dθ, 1 k 2 sin 2 (θ) ei ole ntiderivtt. Trpetsoidi- j Simpsonin menetelmä (verkkoluento 49). Käyttökelpoisi silloin, kun käytössä on mittusdt teoreettisten lusekkeiden semest.

Tylor-srjn pluu Anlyysin perusluse (F.T.I.C): toisin snoen f (x) f () = x f (t) dt, x f (x) = f () + f (t) dt. (1)

Tylor-srjn pluu Käytetään osittisintegrointi termiin x f (t) dt: setetn u = f (t), dv = dt, jost du = f (t) dt, v = t j sdn x f t=x [ (t) dt = tf (t) ] x tf (t) dt t= = xf (x) f () x tf (t) dt. (2)

Tylor-srjn pluu Anlyysin perusluse uudelleen nt f (x) = f () + x j sijoittmll tämä yhtälöön (2) sdn x f (t) dt = f ()(x ) + Siten yhtälö (1) s muodon f (x) = f () + f ()(x ) + f (t) dt, x x (x t)f (t) dt. (x t)f (t) dt. (3)

Sm termille x Tylor-srjn pluu (x t)f (t) dt: setetn u = f (t), dv = (x t) dt, jost j x (x t)f (t) dt = du = f (3) (x t)2 (t) dt, v = 2 t=x t= [ (x t) 2 2 = f () 2 (x )2 + f (t) ] x + x (x t) 2 f (3) (t) dt 2 (x t) 2 f (3) (t) dt. 2

Tylor-srjn pluu Siten yhtälö (3) s muodon f (x) = f ()+f ()(x )+ f () x 2 (x (x t) 2 )2 + f (3) (t) dt. 2 (4) x (x t) 2 Osittisintegrointi termille f (3) (t) dt: 2 u = f (3) (t), dv = (x t)2 2 dt, du = f (4) (t) dt, v = (x t)3 3!

Tylor-srjn pluu nt x (x t) 2 2 f (3) (t) dt = f (3) () x (x ) 3 + 3! (x t) 3 f (4) (t) dt, 3! j jtkmll osittisintegrointi (köyhän miehen induktio) yhtälö (4) s muodon f (x) = f () + n k=1 mielivltiselle n N. f (k) () x (x ) k + k! (x t) n f (n+1) (t) dt n!

Yhteenveto Tylor-srjn pluu Jos funktio f on n + 1 kert derivoituv j derivtt f (n+1) on integroituv pisteen ympäristössä, niin pätee missä f (x) = P n f P n f (x; ) = f () + n n (x; ) + Ef (x; ), k=1 f (k) () (x ) k k! on funktion f steen n Tylor-polynomi pisteen ympäristössä, j E n f (x; ) = x (x t) n f (n+1) (t) dt n! on steen n Tylor-pproksimtion virhe.

Tylor-srjn pluu Virhetermin toinen muoto Integrlilskennn välirvoluse (men vlue theorem of integrl clculus): jos g on jtkuv välillä [, b], niin b g(x) dx = g(c)(b ) jollekin c (, b). Soveltmll tätä virhetermiin Ef n (x; ) sdn E n f jollekin c (, x). (x c)n (x; ) = f (n+1) (c)(x ) n!

Tylor-srjn pluu Virhetermin kolms muoto (käyttökelpoinen) Edellä x c x, joten Ef n (x; ) f (n+1) (c) x n+1 n! jollekin c (, x).

Tylor-srjn pluu Esimerkki Lske 1 0 e x2 dx siten, että virhe on pienempi kuin 10 4. Funktion e x potenssisrjesitys origon ympäristössä on missä e x = 1 + x + x 2 2! + x 3 E n (x) 3! +... + x n n! + E n(x), e c (n + 1)! x n+1 jollekin 0 < c < x. (Oikell puolell ei trvit itseisrvoj, kosk x > 0 j e c > 0.)

Tylor-srjn pluu Esimerkki (jtkuu) Kun edellä sijoitetn x:n piklle x 2, sdn missä j 0 < c < x 2. Edelleen = 1 0 e x2 = 1 + x 2 + x 4 2! + x 6 1 e x2 0 dx E n (x 2 ) 3! +... + x 2n n! + E n(x 2 ), e c (n + 1)! x 2(n+1) (1 + x 2 + x 4 2! + x 6 3! +... + x 2n ) dx + n! 1 0 E n (x 2 ) dx.

Tylor-srjn pluu Esimerkki (jtkuu) Ensimmäinen os on helppo integroid, j kysymys kuuluukin: miten suuri on luvun n oltv, jott jälkimmäinen integrli on itseisrvoltn korkeintn 10 4? Tässä 1 0 E n (x 2 ) dx e c (n + 1)! 1 0 x 2(n+1) dx = e c (n + 1)!(2n + 3). Kosk 0 x 1, kosk 0 < c < x 2 1 j kosk eksponenttifunktio on ksvv, pätee e c e 1 3. Siten 1 E n (x 2 ) dx 3 (n + 1)!(2n + 3), 0

Tylor-srjn pluu Esimerkki (jtkuu) jok (kokeilemll) on pienempi kuin 10 4 silloin, kun n 6. Siispä 1 0 e x2 dx 1 0 =... 1, 46264 hlutun virherjn sisällä. (1 + x 2 + x 4 2! + x 6 3! + x 8 4! + x 10 5! + x 12 ) 6! dx

Trpezoid & Simpson Huomio Tässä jetn integroimisväli [, b] osväleihin tsisesti (tilnteen vtiess tästä voitisiin luopu). Jos väli [, b] jetn tsisesti n:ään osväliin [x k 1, x k ], k = 1,..., n, missä x 0 = j x n = b, niin kunkin osvälin pituus on h = 1/n. Jtkoss siis osvälien (tsiset) lukumäärää merkitään n:llä, j yhden osvälin pituutt merkitään h:ll.

Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Integrliss säilyy in yhtäsuuruus, kun integroimisväli [, b] jetn osväleihin [x k 1, x k ] j summtn: b f (x) dx = n k=1 xk x k 1 f (x) dx. Trpetsoidimenetelmässä pproksimoidn trpetsoidill välillä [x k 1, x k ] (kuv pdill): xk f (x) dx h f (x k 1) + f (x k ) x k 1 2 = h 2 ( yk 1 + y k ), missä y k = f (x k ).

Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Yhteensä: b f (x) dx h 2 = h =: T n. ( (y0 + y 1 ) + (y 1 + y 2 ) +... + (y n 1 + y n ) ) ( 1 2 y 0 + y 1 +... + y n 1 + 1 ) 2 y n

Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Jos f on jtkuv j f K välillä [, b], niin virheelle sdn ylärj b K(b )3 f (x) dx T n 12n 2. Kiinnostuneet voivt kiv todistuksen esimerkiksi Admsin Clculus-kirjst (7th Ed: 6.6. Thm. 4). Huomio Virhervioinniss yllä j seurvss esimerkissä oletetn, että trpetsoidimenetelmällä integroidn numeerisesti nnetun funktion f lusekett eikä mittusdt.

Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Esimerkki Tiedetään, että 2 1 1 x dx = ln 2 = 0, 69314718... Lsketn MATLABill T 4, T 8 j T 16 j verrtn teoreettisiin virhervioihin.

Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Esimerkki (jtkuu) Kirjoitetn seurv MATLAB-koodi skriptiksi ( New Script ) j tllennetn nimellä trpez.m. function Int=trpez(f,,b,n) h=(b-)/n; y=0;x=; for i=1:(n-1) x=x+h; y=y+f(x); end Int=h*((f()+f(b))/2+y);

Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Esimerkki (jtkuu) MATLAB-skripti tllennetn in smll nimellä kuin funktion määrittely; edellä tllennus trpez.m j määrittely trpez(f,,b,n). Kun skripti on tllennettu (selliseen hkemistoon, jost MATLAB sen löytää; ks. MATLAB-komento pth), niin skriptiä voidn kutsu MATLABin komentoriviltä. Määritellään komentorivillä nonyymi funktio (google: nonymous function mtlb) f (x) = 1/x komentmll f = (x) 1./x

Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Esimerkki (jtkuu) Edellä pistettä trvitn erottmn pisteittäinen jkolsku mtriisijkolskust, jonk MATLAB ilmn pistettä olett. (Tämä on yleinen filosofi: MATLAB olett, että kikki on mtriisi, ellei toisin minit. Pistettä trvitn usein vstvsti.) Nyt voidn koment esimerkiksi trpez(f,1,2,8) kun hlutn lske integrli trpetsoidimenetelmällä (n = 8 osväliä).

Trpetsoidi- eli puolisuunniksmenetelmä Esimerkki (jtkuu) Huomtn, että n:ää ksvttmll trpetsoidimenetelmä trkentuu verrten hitsti, joskin virhe pysyy teoreettisten virherjojen sisällä niinkuin pitääkin.

Simpsonin menetelmä Vditn, että toisen steen polynomi integroituu oikein kikill joill. Käyrä y = A + Bx + Cx 2 kulkee pisteiden y 0, y 1 j y 2 kutt, kun (kuv pdill) y 0 = A Bh + Ch 2 y 1 = A (5) y 2 = A + Bh + Ch 2. Toislt h h (A + Bx + Cx 2 ) dx = 2Ah + 2 3 Ch3 j toislt yhtälöistä (5) sdn A = y 1 j 2Ch 2 = y 0 2y 1 + y 2.

Simpsonin menetelmä Siten h h (A + Bx + Cx 2 ) dx = h 3 (y 0 + 4y 1 + y 2 ). Kun osvälien lukumäärä n on prillinen, niin b x2 x4 xn f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx +... + f (x) dx x 0 x 2 x n 2 h ( ) (y 0 + 4y 1 + y 2 ) + (y 2 + 4y 3 + y 4 ) +... + (y n 2 + 4y n 1 + y n ) 3 = h ) (y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 +... + 2y n 2 + 4y n 1 + y n 3 =: S n. Menetelmässä käytetäänkin in prillist määrää jkopisteitä.

Simpsonin menetelmä Jos f (4) on jtkuv j f (4) K välillä [, b], niin virheelle sdn ylärj b f (x) dx S n K(b )5 180n 4. (Todistus esim. Adms 7th Ed, 6.7. Thm. 5.) Huomio Virhervioinniss yllä j seurvss esimerkissä oletetn, että Simpsonin menetelmällä integroidn numeerisesti nnetun funktion f lusekett eikä mittusdt.

Simpsonin menetelmä Esimerkki Tiedetään, että 2 1 1 x dx = ln 2 = 0, 69314718... Lsketn MATLABill S 4, S 8 j S 16 j verrtn teoreettisiin virhervioihin.

Esimerkki (jtkuu) Simpsonin menetelmä Kirjoitetn seurv MATLAB-koodi skriptiksi ( New Script ) j tllennetn nimellä simpson.m. function Int = simpson(f,,b,n) h=(b-)/n; k=:h:b; Int= h/3*(f()+2*sum(f(k(3:2:end-2)))+4*sum(f(k(2:2:end)))+f(b)); Nyt voidn koment esimerkiksi simpson(f,1,2,8) kuten trpetsoidiesimerkissä (mutt Simpsonin menetelmä on merkittävästi nopempi kuin trpetsoidimenetelmä).