S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän impulssivase h() unneaan. Impulssivase h() on järjeselmän siirofunkion H(f) kääneismuunnos. ukiaan esimerkin avulla suorakaidepulssin muuumisa, kun pulssi ajeaan RC-alipääsösuodaimeen. x() d = /2 R x() C y() h() H(f) Kaavoja: x d rec = d :n verran viiväsey suorakaidepulssi, jonka ampliudi on ja keso. Lausuaan rec - d (kaua). Sulkujen sisässä ei siis ole jakomerkki. Viive d miaaan pulssin keskikohdasa. F / h e u Hf RC j2 f h() = impulssivase, τ = RC = aikavakio, H(f) = siirofunkio, f = aajuus., kun u() = yksikköaskel(funkio) eli u, kun Piirreään h() ja x() aika-aseikolle: h() /τ x() d = /2
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu 2/5 Molemma konvoloiava ova kausaalisia. Muuoin saaaisi esiin ulla ilanne, jossa lähdösä saaaisiin signaalia ulos ennen kuin uloon on kykey miään signaalia. Siksi impulssivaseen kaavassa on yksikköaskel u(), joka määrielee signaalin odeksi aika-arvolla >. x():n yksikkö on voli, h():n yksikkö on /s. Näin ollen konvoluuion loppuuloksen yksikkö on voli, koska inegraalin d ai du ms. yksikkö sekuni kumoaa h():n yksikön. Konvoluuiossa ehdään aikainegraali. Sen vuoksi kaavoissa korvaaan muuuja ilapäisellä muuujalla (esim. u, v, jne.). luksi siis signaali ova näin: h() /τ x() d = /2 h e u / d x rec ämän jälkeen oinen signaali käänneään -alueessa nurinpäin. Saranakohana on y-akseli :n arvolla. Yleensä kannaaa valia ns. helpompi apaus. ässä se lienee suorakaidepulssi. x(-) d x rec d ika-arvon (-arvon) -kohaan kirjoieaan (siis ulee) muuuja. ämä pise määriää ( piirää ) loppuuloksessa lähösignaalin y() arvon. Kun suorakaidepulssia liu ueaan vasemmala oikealle, kulkee ensimmäisenä. Konvoluuion loppuulos ulee sien vasaavaan kohaan y():n kuvassa. Kaavassa muuujan paikalle kirjoieaan siis. Siis signaalin, joa ei käänneä, kaavaan :n paikalle ulee ja käänneyn signaalin :n paikalle ulee.
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu 3/5 Piirreään käänämäön ja käänney signaali -aseikolle: d h() /τ - Käänneyn pulssin vasempaan reunaan ulee siis merkinä. Konvoluuion kaava on x h x h d x h d / d / d rec e d rec e d Konvoluuion loppuuloksen kannala on siis sama, kumpi pulsseisa käänneään. Inegraalin akana on kahden pulssin kerolasku. Eli ensin kerroaan ja sien inegroidaan. Esimerkkimme apauksessa ulee esiin kolme ilannea eli a) pulssi eivä ole päällekkäin, b) pulssi ova osiain päällekkäin ja c) pulssi ova kokonaan päällekkäin. a) Pulssi eivä ole päällekkäin. h x ämä johuu siiä, eä kerolasku ehdään joka ajanheki. Kun siirryään -akselilla vasemmala oikealle, on kerolaskun ulos joka paikassa nolla. - d
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu 4/5 b) Pulssi ova osiain päällekkäin. / x h e d e / e e - Pulssi ova siis päällekkäin -alueessa välillä. ämä päällekkäisyys määrää inegroiniraja. /τ Konvoluuioinegraalin akana on siis kerolasku, jonka ulos on ässä yllä. Konvoluuion loppuulos on väliuloksena synyneen kuvion pina-ala (osoieu nuolella). Pina-ala eli loppuulos piiryy aika-aseikolla :n osoiamaan kohaan. Siä mukaa, kun käänney suorakaidepulssi liukuu oikealle, kasvaa pina-ala. Sillä seliyy loppuuloksen (pulssin) nouseva osuus. c) Pulssi ova kokonaan päällekkäin. / x h e d / e e e e e Kun aika-arvo on yliäny -kohdan, pienenee konvoluuion ulos. Sillä seliyy lähöpulssin laskeva osuus. -
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu 5/5 Loppuuloksena on seuraavan kalainen ulos. y() e iiviselmä konvoluuion laskemisesa: ) ukiaan kumpi pulsseisa on helpompi käänää y-akselin ympäri. Siis ukiaan, kumman kaavaa on helpompi käsiellä muuujalla. 2) seeaan konvoloinnin ajaksi käänämäömän pulssin :n paikalle muuuja ja käänneyn pulssin muuujan paikalle. 3) Huomaaan, eä konvoloinnin aikana muuuja ulee käänneyn pulssin oikeaan reunaan. Vasempaan reunaan ulee. 4) ukiaan päällekkäisyyksien eri apaukse. Eli havaiaan ilanee, joissa pulssi eivä ole päällekkäin, osiain päällekkäin (voi olla useia eri ilaneia!) ja kokonaan päällekkäin (näiäkin ilaneia voi olla mona). Ja lopuksi ulee vielä mahdollisesi ilanne, jossa pulssi eivä ole päällekkäin. 5) Kun vaihee on selviey, selviävä samalla inegroiniraja. Eli ilanee, joissa joain inegroiavaa on. Inegroidaan vain alueilla, joissa pulssi ova päällekkäin. 6) Sien yöseään inegraalin akana oleva kerolasku ja inegroidaan se. Sen jälkeen sijoieaan raja, ja loppuulos on selviey. Näiä inegroineja voi jouua ekemään useia erilaisisa päällekkäisyysilaneisa johuen. 7) Jos loppuulos jouduaan esiämään graafisesi, kasoaan jokaisen päällekkäisyysilaneen loppuulos (siis arvo voleina ai symbolisena), ja kirjoieaan se konvoluuiossa siiryvän piseen kohdalle y()-aseikolle. Näin saadaan käsin hahmoelua lähösignaalin muoo.