EDE Introduction to Finite Element Method

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "EDE Introduction to Finite Element Method"

Emilia Tamminen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Tampere Universiy of Technology EDE- Inroducion o Finie Elemen ehod.. Eercise 7 A We divide he srucure o hree beam elemens wih wo nodal degrees of freedom. The nodes, elemens and global degrees of freedom are drawn in he figure below Q Q The acive degrees of freedom are presened by he ID-able below Elem Node Node Node dof dof The elemen siffness marices are formed ne EI 6 6 EI 6 6 k k k 6 6 EI The model siffness mari is scaered wih he elemen siffness mari componens. EI K k i i 8 Elemen eernal equivalen load f p F / F / 8 F / + F / 8

2 Tampere Universiy of Technology EDE- Inroducion o Finie Elemen ehod.. Elemen eernal equivalen load (q is negaive) f p q / F q / F / 6 q / F q / + F / 6 The elemen eernal equivalen loads are colleced o he able below Ele f f f f -F/ -F/8 -F/ F/8 -F -F/6 -F F/6 The global load vecor is assembled from he elemen eernal loads F / 8 F / 6 F F F / 6 Now we may solve he global displacemens Q F 8 F 8 Q Q EI 9 EI 5 The elemen force vecors are calculaed ne 6 6 F / 8 p EI 6 6 F / 8 5 F F f kq f EI F / F / F 6 p EI 6 6 F 8 F / 6 F f k q f EI F F / EI F F f k q 6 6 EI

3 Tampere Universiy of Technology EDE- Inroducion o Finie Elemen ehod.. F y F OK 55 F 5F 6F righ OK 55 We check he verical equilibrium by F ( ) and he momen sum ( ) To draw a bending momen curve we need o consider hree differen cases in our model. A firs we sar from lef edge owards o he poin load. f V f f f + f + f Ne we consider he posiion afer he poin load F f / F V f ( / ) ( / ) f f + F + f + f F Finally we consider he case where a force densiy acs on he elemen edge f q V f f f + q + f + f q The eremum value of is obained by seing he variaion of he momen o zero (ai derivoi ihan normaalisi :n suheen ja asea lauseke nollaksi) f δ f δ q δ q By subsiuing he values 6 F f F and q 55

4 Tampere Universiy of Technology EDE- Inroducion o Finie Elemen ehod.. we find ha 6 will produce he (local) eremum value of he momen. Now we are ready o draw he bending momen curve. We will sill collec he resuls above o he able Disance from lef 5F 8 z + F F 8 z < + F F z < 6 F F + F z 5 75 F + F The calculaed bending momen is presened in he figure below. Bending momen.5..5 / F / Noe for finnish sudens. Suomessa on joskus apana piirää aivuusmomenikuvio alla olevan kuvan mukaisesi. Huomaa aivuusmomeniakselin posiiivinen suuna. Palaaan rasiuskuvioiden merkkisäänöihin myöhemmin

5 Tampere Universiy of Technology EDE- Inroducion o Finie Elemen ehod.. Poisamalla ranslaaiosiirymä jokaisela elemenilä huomaaan, eä kunkin elemenin jäykkyysmariisi on muooa k i EI i Ainu globaalisiirymä Q on piseen A kierymä, jonka jäykkyys EI k e z ( ) EI EI EI K Elemenin AB ekvivaleninen solmukuormiusvekori on kuormiusvekori f p AB F 8, joen globaali F F 8 Piseen A kierymä Q A F F F EI 8.5 EI ( ) EI ( ) askeaan sien elemenin AB solmuvoima käyäen neljän vapausaseen elemeniä, joa saadaan mukaan myös pysysuunaise voima 6 6 F /.7 p EI 6 6 F / 8.7 F f kq f + F EI F / F / 8.

6 Tampere Universiy of Technology EDE- Inroducion o Finie Elemen ehod.. kuvassa on elemenin A-B oikeanpuoleinen osuus ennen pisekuormiusa F. omeniasapainosa piseen suheen saadaan V f ( ) ( ) + f + f + f + f ( / ) +.57F. F +.95 F f.5 Elemenin AB aivuusmomeni..5 [F] X/

7 Tampere Universiy of Technology EDE- Inroducion o Finie Elemen ehod.. Tehävä Pylväs Nosopuomi Q 9 Q 5 Q6 Q Q Q Q A 6 5 Q Q Q D 7 Q 5 Q 6 Q Elemenien solmu Elem Node Node ID-aulukko Solmu Q Qy Rz Thea as.698 rad B Q 5 Q 7 Q C Nososylineri (sauva) 5 Q Q 8 Q 6 allin vapausaseiden lukumäärä on 6 (ID-aulukon ma.). Elemenin 6 solmu on solmu nr., joen jäykkyysmariisin kaksi ens. riviä ja sarakea menevä globaalin jäykkyysmariisin riveille ID(,) ja ID(,). Elemenin 6 solmu on solmu nr. 5, joen jäykkyysmariisin rivi ja ja sarakkee ja menevä globaalin jäykkyysmariisin riveille ID(5,)8 ja ID(5,)9 ja sarakkeille. K(ID(,), ID(,)) K(ID(,), ID(,))+k(,) eli K(,) K(ID(,), ID(,)) K(ID(,), ID(,))+k(,) eli K(,) K(ID(,), ID(5,)) K(ID(,), ID(5,))+k(,) eli K(,8) K(ID(,), ID(5,)) K(ID(,), ID(5,))+k(,) eli K(,9) jne. Q 5 Q 9 Q 8 Nososylineri 766. mm *COS(Thea) y mm +*SIN(Thea) s 8.66 mm l.68 Suunakosini m.968 E Pa A mm EA/ 5. N/mm 8 9 ID

8 Tampere Universiy of Technology EDE- Inroducion o Finie Elemen ehod ID Kasoaan vielä ilannea, jossa globaaliin jäykkyysmariisiin K on sijoielusummau ainoasaan sauvan jäykkyysmariisi

Samankaltaiset tiedostot

Q Q 3. [mm 2 ] 1 1 = L

Q Q 3. [mm 2 ] 1 1 = L EDE-00 Elementtimenetelmän perusteet. Harjoitus 5r Syksy 03. 400 mm 0 kn 600 mm A 400 mm B 8 kn 300 mm 5 kn 000 mm 8 kn 300 mm 300 mm 00 mm. Määritä pisteiden A ja B siirtymät elementtimenetelmällä, kun