mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Mtemtiikn j mtriisilskennn kertust Yleistä Kirjoittelen tänne joitin kurssin keskeisiä sioit niille, jotk eivät io investoid trvittv pääomosuutt oppikirjn hnkintn, vn ikovt hyödyntää sen jollin premmll tvll. ässä esityksessä on vrmsti joitin virheitä, joist toivon vlppn lukijn ilmoittvn minulle. Nottiost (Nottion) Nimike Merkintä tekstissä Muu merkintä Srkevektori ti pystyvektori n n n Mtriisi, joss on m n n riviä j n srkett n n m m mn m m mn Derivtt dy x yx y, xx y'( x) Dx yx dx x det Determinntti Mtriisin jälki (toistuv indeksi, joten utomttinen summus) Määrätty integrli Virtulinen siirtymä (oik. Chndruptl) Virtulinen venymä (oik. Chndruptl) Viivkuorm [N/m, N/mm] Pinekuorm [N/m, N/mm ] ilvuuskuorm [N/m 3, N/mm 3 ] rce n i ii ii rce n I f xdx Fx I f x dx F x u x, u N Q x, N x, qx q y q px p y p fx f y f B Q, / B px p y p x y fx f y f
mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Rivi- j srkevektorit (Row nd column vectors) Rivivektori Srkevektori n n Yhteenlsku (ddition nd sutrction) C B eli c mn mn mn ij ij ij Sklrill kertominen (Multipliction y sclr) n n m m mn Kertolsku (Multipliction) C B eli c mn mp pn ij ik kj ik kj k p Huom. Mtriisien välissä voidn käyttää ti oll käyttämättä ns. pisteoperttori. Vert khden vektorin pistetulo, joss pistettä on syytä käyttää. Lisäksi voidn käyttää myös ns. kksoispistetulo (Doule Dot Product) m n : B eli, R mn mn ij ij ij ij i j rnspoosi (rnspose) n m n m m m mn n n mn
mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Derivointi j integrointi (Differenttion nd integrtion) x y x xy d x y B B 6 x y dx 0 3 3 3 x x xy y yx y x y x xy 3 d dx dy dy 3 B dy 0 0 6x y 0 x 0 6xy yx 6y y y y y y 3 4 y y 6y 3 3 4 6 0 0 Huom! Integrointilueen oletetn olevn suorkide, jonk leveys on j korkeus on. Yleisemmillä integrointirjoill integrointi hnkloituu. Digonlimtriisi (Digonl mtrix) D nn d 0 0 0 d 0 0 0 dnn Identiteettimtriisi (Identity mtrix) I nn 0 0 0 0 0 0 Symmetrinen mtriisi (Symmetric mtrix) nn nn
mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Yläkolmiomtriisi (Upper tringulr mtrix) U nn u u u n 0 u u n 0 0 unn Huom! det Unn u u unn Determinntti (Determinnt) Kurssill käsitellään neliömtriisej, joiden rivien lukumäärä on, ti 3, mikäli on trkoitus lske determinntti käsipelin. det det 3 3 det 3 3 3 33 3 3 3 33 3 33 3 3 Käänteismtriisi (Inverse mtrix) Kurssill käsitellään neliömtriisej, joiden rivien lukumäärä on, ti 3, mikäli on trkoitus lske käänteismtriisi käsipelin. Neliömtriisin käänteismtriisi määritellään yhteydellä: I
mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. 3 C C C3 3 C C C 3 det C C C 3 3 33 3 3 33 C C C 3 3 3 3 33 3 33 3 3 C C C C 3 3 3 3 33 3 33 3 3 3 3 C3 C33 3 3 3 Huom! det 0 nn Yhtälöryhmä (System of simultneous equtions) ällä kurssill lskentmllin solmusiirtymät rtkistn yhtälöryhmästä K K KmQ F K K K m Q F KQF K K K Q F m m mm m m yhtälöryhmä voidn rtkist käsipelillä m<4 käyttäen käänteismtriisi Q K F jos m>3, niin voidn käyttää esimerkiksi Gussin elimintiomenetelmää ti jotin vlmisohjelmn yhtälöryhmän rtkisufunktiot, jolloin (yleensä) ei oll kiinnostuneit käänteismtriisist vn inostn rtkisuvektorist Q. Ominisrvot j vektorit (Eigenvlues nd eigenvectors) Yhtälöryhmän x x mxm rtkisu i on mtriisin ominisrvo, jos ryhmällä on ei-trivilirtkisu ts., xm x x x 0. ällöin vektori x on ominisrvoon i liittyvä ominisvektori. Symmetrisellä positiividefiniitillä neliömtriisill mxm on m kpplett positiivisi (ei välttämättä erisuuri) ominisrvoj j sille voidn vlit m kpplett keskenään ortogonlisi ominisvektoreit.
mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Mtriisin ominisrvot sdn rtkisemll krkteristisen yhtälön m m det 0 I m m mm juuret. Ominisrvoon i liittyvä ominisvektori x i on homogeenisen ryhmän i i I x 0 ei-trivili rtkisu. (Ominisvektoriss x i i on yläindeksinä, jott lindeksiä voidn käyttää ominisvektorin komponentille x ). Esimerkki: Erään levyrkenteen (tsojännitystil) pisteen P jännityskomponentit ovt: x y xy 4 95 65 MP Jännitystil vstv jännitysmtriisi on x xy 4 65 MP xy y 65 95 Lsketn jännitysmtriisin ominisrvot (ilmn dimensioit) j ominisvektorit. i j 4 65 det 0 65 95 95055 0 3.57 3.57 Ensimmäiseen ominisrvoon liittyvä (eräs) ominisvektori sdn 4 3.57 65 x 0 65 95 3.57 x 0 8.57 65 x 0 65 77.57 x 0 8.57 x 65x 0
mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Viimeinen yhtälö stiin ensimmäiseltä riviltä. Sm yhtälö stisiin myös lemmlt riviltä (tote). Kosk ominisvektorin pituutt ei ole nnettu, niin vlitn (premmn tiedon puutteess) ominisvektorin ensimmäisen komponentin pituus ykköseksi, jolloin x 0.856 Vstvll tvll toiseen ominisrvoon liittyvä ominisvektori sdn 4 3.57 65 x 0 65 95 3.57 x 0 7.57 65 x 0 65 8.57 x 0 65x 8.57x 0 joten x 3.5 käy toiseksi ominisvektoriksi. ll olevss kuvss on vielä hvinnollistettu ominisrvoj j nuolill j ominisvektoreit elementin kiertymisellä. Ominisongelm käsitellään tällä kurssill ominisvärähtelytehtävän yhteydessä.
mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Positiividefiniitti mtriisi (Positive definite mtrix) Symmetristä neliömtriisi mxm snotn positiividefiniitiksi, jos sen kikki ominisrvot ovt idosti positiivisi (>0). oinen määritelmä positiividefiniittisyydelle: Symmetristä mtriisi snotn x x x 0, xm positiividefiniitiksi, jos kikill vektoreill x x 0 ällä kurssill oletetn, että jos lskentmllin jäykän kppleen liike on estetty j mterilirvot ovt järkevät, niin lskentmllin gloli jäykkyysmtriisi K on symmetrinen j positiividefiniitti. Gussin elimintio (Guss elimintion) Gussin elimintio on tehoks menetelmä rtkist yhtälöryhmä x kun neliömtriisin :n dimensio on pienehkö. Gussin elimintion iden on suoritt yhtälöryhmälle vkrivimuunnoksi siten, että jäljelle jää yhtälöryhmä, joss kerroinmtriisi on muuttunut yläkolmiomtriisiksi. Gussin elimintiot käytetään myös mtriisin determinntin lskentn. http://mtt.hut.fi/mttfi/linis/pdf/gussdeterminntti.pdf