. Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y. Suora u: (, y ) = (0, 0) (, y ) = (, ) 0 0 Suoran yhtälö on y. b) Lasetaan suorien t ja u leiauspisteen B oordinaatit. Leiauspisteessä y -oordinaatit ovat yhtä suuret eli : 0
Kosa y, niin leiauspisteen y-oordinaatti Suorien leiauspiste on siis,. y. c) Piste B =, Lasetaan lisäsi suorien s ja u leiauspiste A. ( ) Kosa y, niin y. Piste A = (, ) Janan AB pituus on d d ( ),99...,. a) 4,5,, lg, 5,,8 lg,8 lg, lg,8 lg,8 lg, 0,9078... 0,9 :4,5 :lg,
b) 7 8 7 :7 8 8 0,48... 8 0,48... 0,8995... 0,90. Suora ulee pisteen (, ) autta, joten oordinaatit totuttavat suoran yhtälön eli sijoitetaan = ja y = suoran yhtälöön c ( ) c c c 5c c Suoran yhtälö on siis 0 0 5 :5 y 0 5 5 y ( ) 5 5 y 5 5 5 Suorat y ja y ovat ohtisuorassa, jos niiden ulmaertoimien 5 5 tulo on. Kulmaertoimien tulo on 5 5 Suorat ovat siis ohtisuorassa toisiaan vastaan.
4. a) Kuuausittain iinteinä uluina lasutetaan,5,60,95. Kolmen uuauden aiana iinteitä uluja on siis,95 8,85. Jos sähön ulutus uuauden aiana on Wh, niin tällöin iinteiden ulujen lisäsi lasutetaan 4,45,9 7,8 (snt) Tämä määrä euroina on 0,078 ( ) Kolmen uuauden aiana sähömasuja yhteensä uvaa siis funtio f ( ) 0,078 8,85. b) Jos sähönulutus on = 80 Wh, niin f (80) 0,078 80 8,85,4,( ) Vastaus: a) f ( ) 0,078 8,85 b), 5. a) Myryn määrä alussa on 9 g. Myryn määrä vähenee 8, % eli tulee 0,98- ertaisesi tunnissa. Myryä on jäljellä 4 h uluttua 9 0,98 4 g,47 g,4 g
b) Lasetaan milloin myryä on jäljellä puolet aluperäisestä määrästä eli 9g: 9,5g. 90,98 0,98 lg 0,98 9,5 0,5 lg 0,5 lg 0,98 lg 0,5 lg 0,5 lg 0,98 8,0... 8, (h) :9 :lg 0,98 Vastaus: a),4 g b) 8, h 6. Meritään päästöjen määrää irjaimella a ja ysyttyä vuosien määrää irjaimella. Päästöt vähenevät 5 % vuosittain eli 0,85- ertaistuvat. a) Lopputilanteessa päästöt ovat neljäsosa aluperäisestä eli 0,5a, un a0,85 0,5 a : a 0 0,85 0,5 lg 0,85 lg 0,5 lg 0,85 lg 0,5 :lg 0,85 lg 0,5 lg 0,85 8,50... 8,5 (vuotta) 4
b) Meritään vuotuista muutoserrointa irjaimella. Päästöjen määrä pitäisi vähentyä määrään 0,5 a olmessa vuodessa, joten a 0,5a 0,5 : a ( 0) 0,5 0,699... Vuotuisen vähennysen pitää siis olla 0,699 = 0,700 7 %. Vastaus: a) 8,5 a b) 7 % 5
. Harjoitusoe. f ( ) 7 0 0 7 7 75 7 y-aselin leiausohta on f (0) 07 7. -aselin leiausohdasi eli nollaohdasi saadaan 7 0 7,5 : Vastaus: Aselien leiauspisteet ovat (0, 7) ja (,5; 0). a) 6 8 : 6 64 6 64 6
b) 5 lg5 5 lg5 lg5 lg5 lg5 lg5 :lg5. a) Kirjoitetaan suoran yhtälö rataistussa muodossa. y 5 80 y 5 8 Suoran ulmaerroin on siis 5. Kysytty suora on yhdensuuntainen annetun suoran anssa, joten senin ulmaerroin on 5. Suora ulee lisäsi pisteen (, ) autta, joten sen yhtälösi saadaan y ( ) 5( ) y 5 0 y 5 7 b) Suora ulee pisteiden (, 0) ja (, ) autta, joten ulmaerroin on Suoran yhtälösi saadaan 0 ( ) y 0 ( ( ) y ( ) y 7
4. Suora : y 5 Suora : 4 y 60 y 4 6 : y 8 Leiauspisteessä y -oordinaatit ovat yhtä suuret eli 5 8 : Kosa y 5, niin leiauspisteen y-oordinaatti on y 5 6. Leiauspiste on siis (, 6). Piste (, 6) uuluu suoralle y 8, jos sen oordinaatit totuttavat suoran yhtälön. Sijoitetaan = ja y = 6 suoran y 8 yhtälöön. 68 6 4 Epätosi Piste (, 6) ei ole suoralla. Vastaus: (, 6), piste ie uulu suoralle y 8 8
5. Meritään viioittaista oroerrointa irjaimella. Lainan määrä alussa 00,00. Laina-aia on olme viioa, jona jäleen vela on 08,00. Saadaan yhtälö 00,00 08,00,08,059... :00,00 Koroprosentti on,059-0,059,6% Vastaus:,6 % 6. Meritään teeren sijaintia oordinaatistossa irjaimella C. Piste on suorien y ja y 50 leiauspiste. Leiauspisteessä y-oordinaatit ovat yhtä suuret 5 50 0 50 :5 Leiauspisteen y-oordinaatti on y 0 0 Teeri sijaitsee pisteessä C =(0, 0). Tutijan A etäisyys teerestä on d A 0 0 0 0 000,6... 9
Tutijan B etäisyys teerestä on d A 0 0 46 0 7,88... d A Vastaus: Tutija B on lähempänä. 7. a) Meritään vuotuista muutoserrointa irjaimella. Vuonna 998 oppilaita oli 9 ja uuden vuoden jäleen eli vuonna 004 oppilaita oli 55. 9 6 6 55,... 6,...,05... :9 Muutoserroin positiivinen, joten,05... Jos muutoserroin säilyy samana, niin vuonna 00 eli 6 vuoden uluttua vuodesta 004 oppilaita on 55,05... 6 40,9... 40 (oppilasta) b) Jos muutoserroin säilyy samana, niin vuonna 990 eli 4 vuotta ennen vuotta 004 oppilaita oli 4 55,05... 6,84... 7 (oppilasta) 0
c) Meritään vuodesta 004 uluneiden vuosien määrää irjaimella n. Oppilasmäärä on 000, un 55,05...,05... lg,05... n n n 000,86... :55 lg,86... n lg,05... lg,86... :lg,05 lg,86... n lg,05... n,7... 004,7... 06,7... Oppilasmäärä ylittää 000 oppilaan rajan vuonna 07. Vastaus: a) 40 b) 7 c) 07 8. Meritään valon määrää pinnalla irjaimella a ja muutoserrointa ymmentä senttimetriä ohden irjaimella. Valon määrä 0 cm syvyydessä on 0,97 a. a 0,97a 0,97 0,97 0,9898... : a Valon määrä tulee siis 0,9898 -ertaisesi aina 0 cm matalla.
Oloon ysytty syvyys a, un 0 cm. Valon määrä on vähentynyt puoleen eli se on 0,5 0,9898... a 0,5 a : a 0 0,9898... 0,5 lg 0,9898... lg 0,5 lg 0,9898... lg 0,5 :lg 0,9898... lg 0,5 68,69... lg 0,9898... Syvyys on 68,69... 0 cm 68,69 cm 6,8 m Vastaus: 6,8 m
. Harjoitusoe. a) Suora s ulee origon autta, joten se leiaa y-aselin ohdassa y = 0. Lisäsi sen ulmaerroin on, joten suoran s yhtälö on y. Suoran t ulmaerroin on 5 ( ). 0 Suoran t yhtälö on y ( 5) 0 y 5 y 5 b) Leiauspisteessä y-oordinaatit ovat yhtä suuret. 5 5 5 :5 Leiauspisteen y-oordinaatti on y Leiauspiste on siis (, ). c) Suoran, joa on yhdensuuntainen suoran s anssa, ulmaerroin on. Kosa lisäsi suora ulee pisteen (0, ) autta, suoran yhtälö on y 0 y y
. Kylä A sijaitsee pisteessä (,5; 0). Kylä B sijaitsee pisteessä (,5; 7). Pisteiden autta ulevan suoran ulmaerroin on 0 ( 7),5 (,5) 7 4 4,5. Pisteiden A ja B autta ulevan suoran yhtälösi saadaan y 0 4,5,5 y 0 4,5 6,75 y 4,5,65 Kylä C sijaitsee pisteessä (0, 5). Kylä D sijaitsee pisteessä (0, ). Pisteet sijaitsevat y-aselilla, joten pisteiden autta ulevan suoran yhtälö on = 0. Lasetaan risteysen oordinaatit sijoittamalla = 0 yhtälöön y 4,5, 65. y 4,5 0,65,65 Kironylä sijaitsee origossa eli pisteessä (0, 0). Teiden risteys on pisteessä (0;,65) eli,65 m,6m ironylästä pohjoiseen. Vastaus:,6 m ironylästä pohjoiseen. Suoran yhtälö rataistussa muodossa on y 4 0 y 4 : y 4
Meritään suoran normaalin ulmaerrointa irjaimella. Kohtisuoruusehdosta johtuen, ulmaertoimien tulon pitää olla. Kosa lisäsi normaali ulee pisteen (, ) autta, normaalin yhtälösi saadaan y ( ) y y Lasetaan ensin normaalin ja suoran leiauspiste. 5 Leiauspisteen y-oordinaatisi saadaan Leiauspiste on siis y 5 5 4 4 5 5 5 4, 5 5. Leiauspisteen etäisyys pisteestä (, ) on d d 4 5 5,8,4...,4 Vastaus:,4 5
4. a) 6 0 lg6 lg0 lg6 lg0 :lg6 lg0 lg6,85..., 9 b) 6 0 6 0,4677...,47 c) 4 : 4 lg 4 lg lg4 lg :lg4 lg lg4 0,46... 0,46 6
5. Väiluu alussa on 0 500. Meritään vuotuista muutoserrointa irjaimella. Viiden vuoden jäleen väiluu saa olla enintään 7 000. 0500 5 7000 :0500 5,69... 5,69...,0... Vuotuinen asvuprosentti on,0... 0,0... 0 % Vastaus: 0 % 6. Meritään pääomaa alussa irjaimella a ja ysyttyä vuosien määrää irjaimella. Vuotuinen arvonnousu on 5 %, joten pääoma,5-ertaistuu vuosittain.,5 a 5a : a,5 5 lg,5 lg 5 lg,5 lg 5 lg 5 lg,5,55... : lg,5 Vastaus: vuodessa 7
7. Testiarvo Toteuttaao yhtälön Johtopäätös > 8 <,5,5, 75 <,5,,,97 <,,,,78 >,,5,5,95 >,5,6,6,000 <,6,55,55,97... >,55 Kosa,55 < <,6 on vastaus ahden desimaalin taruudella, 6. 8