Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät kvanttimekaaniseen systeemiin avaruudessa L 2 (R) X on mielivaltainen Hilbert-avaruus sisätulolla x, y C kun x, y X = b a, kun a, b C n, missä b on b:n konju- C n on varustettu sisätulolla a, b C n gaattitranspoosi. Nyt merkinnöillä on seuraavanlaiset samankaltaisuudet bra/ket X C n ψ, φ L 2 (R) x, y X a, b C n φ, y b φ ψ x, y b a ψ φ, y x ab 1 Johdanto Kuten edellisestä esitelmästä muistetaan, tarkastellaan kvanttimekaniikassa hiukkasia niitä vastaavien aaltofunktioiden ψ(r) L 2 (U) avulla. Tässä esitelmässä U R N jollakin N N ja siis L 2 (U) = { f : U C f(r) 2 dr < }. Lisäksi aaltofunktion tulkittiin vastaavan todennäköisyystiheyttä, jolla hiukkanen löydetään jostain paikasta. Tarkemmin ilmaistuna oletettiin, että tiheysfunktio p(r) hiukkaselle, jolla on aaltofunktio ψ(r) on p(r) = U ψ(r) 2 U ψ(r) 2 ja että todennäköisyys, jolla hiukkanen löytyy alueesta V U, on p(r)dr. V 1
1 JOHDANTO 2 Tässä esitelmässä tarkastellaan aaltofunktion, eli samalla myös tämän todennäköisyystiheyden, kehittymistä ajan funktiona. Kvanttisysteemin tilavektorille käytetään merkintää ψ, liittyen aaltofunktioon ψ(r). Suurinpiirtein tämä tarkoittaa vain sitä, puhutaan koko funktiosta/kuvauksesta r ψ(r), joka on avaruuden L 2 (U) alkio, eikä funktion arvosta ψ(r) jollain yksittäisellä r U. Toisin merkittynä ψ = ψ( ) L 2 (U). Vastaavasti, kun tarkastellaan kvanttisysteemin tilan kehittymistä ajan funktiona, merkitään ajasta riippuvalle aaltofunktiolle (t, r) ψ(t, r) kaikilla t 0. ψ(t) = ψ(t, ) L 2 (U) Kun kvanttisysteemiä ei häiritä kokeilla, kuvaa sen tilan kehittymistä alkutilasta ψ(0) lähtien Schrödinger-yhtälö i d ψ(t) = H ψ(t), (1) dt missä H on systeemin Hamiltonin operaattori. Jos yhteen avaruudessa liikkuvaan hiukkaseen vaikuttaa potentiaali V (r), saadaan hiukkasen klassinen tila, kun Hamiltonin operaattori on H(r, p) = p2 2m + V (r). Kvanttimekaanisen systeemin Hamiltonin operaattori saadaan tästä sijoittamalla p ja r paikoille vastaavat kvanttimekaaniset operaattorit ˆp ja ˆr, missä (edellisestä esitelmästä) (ˆrψ)(r) = rψ(r), (ˆpψ(r)) = i ( ) T dψ(r) = i. dr Näin saadaan lopulta Hamiltonin operaattori H : D(H) L 2 (U) L 2 (U) siten, että (Hψ)(r) = 2 ( ψ)(r) + V (r)ψ(r), 2m ψ( ) D(H), jonka määrittelyjoukkoon D(H) kuuluvat kaikki funktiot, jotka toteuttavat edellisessä esitelmässä esitetyt lisäoletukset. 1.1 Esitelmän tavoitteet Esitelmässä on tarkoitus käsitellä milloin Schrödinger-yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu ja näyttää, että yhtälö voidaan tietyillä oletuksilla palauttaa Hamiltonin operaattorin H ominaisarvojen ja -funktioiden etsimiseen.
1 JOHDANTO 3 1.1.1 Esitys kirjassa Oletetaan, että H on hermiittinen operaattori, jolla on diskreetti spektri σ(h) = {E 1, E 2,...} ja täysi määrä lineaarisesti ortonormaaleja ominaistiloja ψ 1, ψ 2 jne. Tällöin jokaisella ajanhetkellä t 0 Schrödinger-yhtälön ratkaisu voidaan esittää muodossa ψ(t) = ψ m ψ(t) ψ m, Sijoittamalla tämä Schrödinger-yhtälöön (1) saadaan i d dt ψ m ψ(t) ψ m = E m ψ m ψ(t) ψ m. (2) Vaatimalla, että kertoimet ovat molemmilla puolilla yhtä suuret, saadaan i d dt ψ m ψ(t) = E m ψ m ψ(t) ψ m ψ(t) = e Emt/ ψ m ψ(0) ja tästä saadaan, että Schrödinger-yhtälön ratkaisu on ψ(t) = e Emt/ ψ m ψ(0) ψ m. (3) (Tässä on näytetty vain ratkaisun yksikäsitteisyys, mutta päättely kääntämällä voitaisiin näyttää, että (3) on Schrödinger-yhtälön ratkaisu.) 1.1.2 Ongelmat Päättelyssä on seuraavat ongelmat Yhtälöön sijoittamisessa kohdassa (2) täytyy pitää huolta, että funktiot ψ m ψ( ) ovat derivoituvia. Jos ratkaisun ψ(t) oletetaan olevan derivoituva t:n suhteen, tämä toteutuu kyllä. Toiseen suuntaan edetessä pitäisi todistaa, että (3) on jatkuvasti derivoituva. Yhtälön (2) oikean puolen sarjan suppeneminen on ongelma. Jos ψ(t) D(H) jokaisella t 0, niin tämä tulee toteutumaan, mutta sitä ei voida tietää tähän mennessä esitetyn perusteella. Edellinen tarkastelu ei kerro meille, mihin avaruuteen mahdollinen ratkaisu kuuluu. Jos käytämme järjestelyä, jossa S L 2 (U) S, haluaisimme todennäköisesti, että ratkaisu toteuttaisi ψ(t) S kaikilla t 0. Tällaista ei voida päätellä edellisestä. Myös ratkaisun derivoituvuus pitäisi todistaa erikseen.
2 LÄHESTYMINEN PUOLIRYHMÄTEORIAN KAUTTA 4 2 Lähestyminen puoliryhmäteorian kautta Esitelmän tarkoituksena on liittää Schrödinger-yhtälön tarkastelu yleisempään ääretönulotteisten abstraktien Cauchy-ongelmien teoriaan. Tällä tavalla pyritään saavuttamaan yhtälön ratkaisujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyystuloksia suoraan tunnetun puoliryhmäteorian [1, 2] avulla ja perustelemaan matemaattisesti, miksi yleensä tarkastellaan ajasta riippumattomaksi Schrödinger-yhtälöksi kutsuttua ominaisarvo-ongelmaa. 2.1 Vahvasti jatkuva puoliryhmä Tässä kappaleessa määritellään vahvasti jatkuva puoliryhmä T (t) ja sen generaattori A : D(A) X X, ja tarkastellaan joitain näiden ominaisuuksia. Puoliryhmä T (t) on operaattoriarvoinen funktio, t T (t), ja sen voi ajatella olevan yleistys eksponenttimatriisista t e At, missä A C n n. Vaikka puoliryhmän määrittely saattaa tuntua abstraktilta, on tarkoituksena ainoastaan, kuten matriisienkin tapauksessa, saada käyttöön työkalu, jolla ilmaista differentiaaliyhtälön d x(t) = Ax(t), dt x 0 X ratkaisu. Kun A on matriisi, niin ratkaisu saadaan matriisieksponenttifunktion avulla x(t) = e At x 0. Tämän kappaleen määritelmien jälkeen näytetään seuraavassa kappaleessa, että jos yllä olevassa differentiaaliyhtälössä A onkin ääretönulotteinen operaattori, vaikkapa A = + reunaehdot, ja se generoi vahvasti jatkuvan puoliryhmän, voidaan yhtälön ratkaisu taas antaa muodossa x(t) = T (t)x 0. Motivaationa tälle yleistykselle on se, että tätä kautta päästään tarkastelemaan tavallisten differentiaaliyhtälöiden lisäksi vastaavalla tavalla myös esimerkiksi osittaisidifferentiaaliyhtälöitä (A on differentiaalioperaattori) tai viiveyhtälöitä (A on aikasiirto). Vaikka tilanne on eksponenttifunktiota monimutkaisempi ei-rajoitetun operaattorin A tapauksessa, käytämme seuraavassa vahvasti jatkuvalle puoliryhmälle kuitenkin merkintää tapausten yhteyden korostamiseksi. Olkoon X Hilbert-avaruus. e At Definition 1. Kuvaus e A : [0, ) L(X) on vahvasti jatkuva puoliryhmä tai C 0 - puoliryhmä jos e A0 = I (4a) e A(t+s) = e At e As, t, s 0 (4b)
2 LÄHESTYMINEN PUOLIRYHMÄTEORIAN KAUTTA 5 ja jos se on vahvasti jatkuva pisteessä t = 0, eli lim t 0+ eat x x = 0 x X. (4c) Vahvasta jatkuvuudesta pisteessä t = 0 ja ominaisuudesta (4b) seuraa, että e At on vahvasti jatkuva kaikissa pisteissä t 0 (eli t e At x on jatkuva kaikilla t 0 ja x X). Definition 2. Olkoon e At vahvasti jatkuva puoliryhmä. Sen infinitesimaali generaattori on operaattori A : D(A) X X siten, että 1 Ax = lim t 0+ t (eat x x), D(A) = { x X x D(A) 1 lim t 0+ t (eat x x) olemassa } Example 3. Jos A on rajoitettu operaattori (erityisesti jos A on matriisi), niin A generoi vahvasti jatkuvan puoliryhmän e At t n A n =, n! missä sarja suppenee operaattorinormin suhteen kaikilla t 0. n=0 Puoliryhmän ja sen generaattorin ominaisuuksia löytyy esimerkiksi viitteistä [1, 2]. Tärkeimpiin näistä kuuluu Hillen-Yosidan lause, joka antaa puoliryhmän generoinnin karakterisoinnin operaattorin resolventin avulla. Abstraktin Cauchy-ongelman ymmärtämisen kannalta meille oleellisin ominaisuus on seuraavan apulauseen kohta (a). Lemma 4. Oletetaan, että A : D(A) X X generoi vahvasti jatkuvan puoliryhmän e At. Tällöin a) Jos x D(A), niin e At x D(A) kaikilla t 0 ja d dt (eat x) = e At Ax = Ae At x kaikilla t > 0. b) A on suljettu ja tiheästi määritelty operaattori. Puoliryhmäteorian avulla voimme todistaa seuraavan apulauseen, jonka avulla saamme lopuksi ilmaistua Schrödinger-yhtälön ratkaisun. Yhteyden selkiyttämiseksi käytetään braja ket-merkintöjä ja todistetaan tulos avaruudessa L 2 (U), vaikka se pätee (pienin rajoituksin) yleisessä Hilbert-avaruudessa [1, Thm. 2.3.5].
2 LÄHESTYMINEN PUOLIRYHMÄTEORIAN KAUTTA 6 Lemma 5. Olkoon L 2 (U) Hilbert-avaruus ja operaattori A : D(A) L 2 L 2 (U) määritelty siten, että {E m } m N R, joukko { ψ m } m N on avaruuden L 2 (U) ortonormaali kanta ja A φ = φ D(A) = { φ L 2 (U) ie m ψ m φ ψ m, 2 ie m ψ m φ 2 < } = { φ L 2 (U) E m 2 ψ m φ 2 < }. Operaattori A generoi puoliryhmän e At, jolle pätee e At φ = e iemt/ ψ m φ ψ m. 2.2 Abstrakti Cauchy-ongelma Olkoon A : D(A) X X. Tähän operaattoriin ja alkioon x 0 X liittyvä abstrakti Cauchy-ongelma on ẋ(t) = Ax(t), x(0) = x 0 X. (ACP) Yhtälön (ACP) toteuttavaa funktiota x(t) kutsutaan sen klassiseksi ratkaisuksi jos (ACP) toteutuu, x(t) on jatkuvasti derivoituva ja x(t) D(A) kaikilla t 0. Jos A generoi puoliryhmän, löytyy klassisen ratkaisun olemassaololle yksinkertainen karakterisointi. Theorem 6 ([2, Prop. II.6.2]). Jos A generoi vahvasti jatkuvan puoliryhmän e At avaruudessa X, niin yhtälöllä (ACP) on yksikäsitteinen klassinen ratkaisu täsmälleen silloin kun x 0 D(A). Tällöin ratkaisu on x(t) = e At x 0. 2.3 Schrödingerin yhtälön tapaus Olkoon Tarkasteltaessa Schrödinger-yhtälöä Hilbert-avaruudessa L 2 (U), missä U R N jollakin N N. Nyt i d ψ(t) = H ψ(t) dt voidaan kirjoittaa muotoon d dt ψ(t) = i H ψ(t),
3 AJASTA RIIPPUMATON SCHRÖDINGER-YHTÄLÖ 7 joka on abstrakti Cauchy-ongelma Hilbert-avaruudessa L 2 (U). Koska operaattori A = i H on täsmälleen sama kuin apulauseessa 5, tiedämme, että se generoi puoliryhmän e At. Voimme soveltaa tätä suoraan Schrödinger-yhtälöön. Jos yhtälön alkutila ψ(0) D(H), eli E m 2 ψ m ψ(0) 2 <, niin lauseen 6 mukaan Schrödinger-yhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu ψ(t) = e At ψ(0) = e iemt/ ψ m ψ(0) ψ m joka on ajan suhteen jatkuvasti derivoituva ja ψ(t) D(H) kaikilla t 0. 3 Ajasta riippumaton Schrödinger-yhtälö Edellisestä kappaleesta nähtiin, että voimme konstruoida Schrödinger-yhtälön ratkaisun jos tiedämme Hamiltonin operaattorin H ominaisarvot ja niihin liittyvät ortonormaalit ominaisvektorit. Toisinsanoen tulee ratkaista yhtälö H ψ m = E m ψ m, m N. Tätä kutsutaan ajasta riippumattomaksi Schrödinger-yhtälöksi. 4 Esimerkki, vapaa hiukkanen äärettömässä potentiaalikaivossa Tarkastellaan yksiulotteisessa tapauksessa vapaata hiukkasta äärettömässä potentiaalikaivossa, jossa V (z) = 0 kun z [0, 1] ja V (z) = muulloin. Tämä tarkoittaa, että hiukkaseen ei vaikuta ulkoista potentiaalia, mutta se on rajoitettu välille [0, 1] ja välin päätepisteissä Schrödinger-yhtälön ratkaisu toteuttaa ψ(0) = ψ(1) = 0. Ratkaistaan ajasta riippumaton Schrödinger-yhtälö tässä tapauksessa ja käytetään sitä ajasta riippuvan Schrödinger-yhtälön ratkaisemiseen. Valitaan avaruudeksi L 2 (0, 1). Nyt i d ψ(t) = H ψ(t) dt Hφ = 2 2 φ = 2m 2m φ, φ D(H) = { φ L 2 (0, 1) φ, φ tas. jvia, φ L 2 (0, 1), φ(0) = φ(1) = 0 }.
VIITTEET 8 Nyt ajasta riippumattomasta Schrödinger-yhtälöstä tulee ominaisarvotehtävä H ψ k = E k ψ k 2 2m φ k(z) = E k φ k (z), φ(0) = φ(1) = 0, missä k N. Tämän yhtälön ratkaisut ovat φ k (z) = sin(πkz), eli ψ = sin(πk ) ja vastaaviksi energioiksi saadaan E k = π2 k 2 2 2m kun k N. Jos kvanttisysteemi on alkutilassa ψ(0) = ϕ( ) D(H), niin kvanttisysteemin tilaa kuvaa aaltofunktio ψ(t) = ψ(t, ), jolle pätee ψ(t, z) = e iekt/ ψ k ψ(0) ψ k (z) = e i π2 k 2 1 2m t ϕ(ξ) sin(πkξ)dξ sin(πkz) k=1 k=1 0 Viitteet [1] Ruth F. Curtain and Hans J. Zwart. An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory. Springer-Verlag, New York, 1995. [2] Klaus-Jochen Engel and Rainer Nagel. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer-Verlag, New York, 2000.