Jatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
|
|
- Viljo Mäkelä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Jatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen
2 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti kvanttimekaniikan perusteita matemaattisesta näkökulmasta ja esitellä siihen liittyvää terminologiaa. 1
3 Luku 1 Perusosaset kvarkit leptonit <2.2 ev ν Fermionit (aine) I II III 2.4 MeV 2/3 uup 4.8 MeV -1/3 d down e electron neutrino e electron.511 MeV GeV 2/3 c charm s strange 14 MeV -1/3 <.17 MeV 15.7 MeV -1 ν µ muon neutrino µ muon GeV 2/3 ttop 4.2 GeV -1/3 b bottom <15.5 MeV ν τ tau neutrino GeV -1 τtau Bosonit (voima) γ 1 fotoni GeV 1 z 8.4 GeV ±1 1 w g gluoni weak force ± weak force 2
4 Luku 2 Kvanttimekaanisen systeemin perusteita Tässä luvussa esittelemme matemaattiset käsitteet, joita tarvitaan fysikaalisen systeemin esittämiseen kvanttimekaniikan mielessä. Käytämme havainnollistavana esimerkkinä koko luvun ajan elektronidiffraktiota. Huomaamme, että kvanttimekaniikka ja todennäköisyyslaskenta ovat vahvasti yhteydessä toisiinsa. 2.1 Tila-avaruus Tarkastellaan elektronidiffraktio, joka syntyy kun elektroni kulkee hilan (esimerkiksi rako tai kide) läpi ja osuu sen jälkeen tasaiseen pintaan (kalvoon) muodostaen diffraktiokuvion (samanlainen kuin valolla havaittu). Kukin elektroni aiheuttaa tasolle vain pienen pisteen, joten kuvio, joka syntyy useista elektroneista, on oikeastaan tilastollisen todennäköisyyden aikaansaama. Siis voidaan ajatella, että löytyy tiheysfunktio p(r), joka kertoo (karkeasti kuvattuna) että elektroni on avaruuden pisteen r sellaisessa (pienen) pienessä ympäristössä, jonka tilavuus on dv, todennäköisyydellä p(r)dv. Siis todennäköisyys sille, että elektroni löytyy alueesta V on P = V p(r)dv (2.1) Koska elektroneilla havaittu diffraktiokuvio on samanlainen kuin valolla, voimme ajatella elektroneilla olevan aaltoluonteen. Kun aallon poikkeamaa tas- 3
5 apainoasemasta paikassa r ajanhetkellä t merkataan f(r, t), niin voidaan kirjoittaa missä f(r, t) = A(r) cos(ωt + φ(r)) = Re ( ψ(r)e iωt), ψ(r) = A(r)e iφ(r). (2.2) Funktiota ψ kutsumme elektronin aaltofunktioksi. Koska diffraktio kuvio on elektronien todennäiköisyysjakauman mukaisesta käyttäytymisestä ja toisaalta aaltoluonteen mukaisesti elektronin käyttäytyminen taas riippuu amplitudista ja vaihekulmasta, niin voimme päätellä todennäköisyysfunktion itseasiassa olevan amplitudin ja vaihekulman funktio, eli voidaan kirjoittaa p(r) = k ψ(r) 2. (2.3) Yllä k = 1/ ψ(r) 2 dv, sillä todennäköisyys sille, että elektronin löytyy jostain on oltava 1. Edellä esitetyssä esimerkissä määriteltiin elektronille aaltofunktio (2.2), jonka voidaan yhtälön (2.3) perusteella ajatella edustavan tilaa, jossa elektroni kulloinkin on, ja kertovan mistä se (todennäköisesti) löytyy. Jotta yhtälössä (2.3) olisi järkeä täytyy integraalin ψ(r) 2 dv olla äärellinen. Lisäksi haluamme jatkossa käyttää operaattoreita, jotka määritellään polynomilla kertomalla ja derivaatan avulla, joten aaltofunktiolle ψ esitetaan seuraavat postulaatit: Postulaatti 1. W1 ψ on neliöllisesti integroituva W2 Funktiolla ψ on kaikkien kertalukujen osittaisderivaatat ja ne ovat tasaisesti jatkuvia ja toteuttavat postulaatin W1 W3 Jos f(r) on polynomi, niin fψ toteuttaa myös postulaatin W1 On helppo havaita, että funktiojoukko, joka toteuttaa postulaatit W1-W3 muodostaa lineaarisen vektoriavaruuden, johon määritellään sisätulo asettamalla ψ φ = ψ(r)φ(r)dv. Yleisessä tapauksess merkitsemme kvanttisysteemin tilavektoria ψ ja postuloimme tilojen joukon seuraavasti: 4
6 Postulaatti 2 (The principle of superpositioning). Kvanttisysteemin tilavektorit muodostavat kompleksisen lineaarisen sisätuloavaruuden. Jokainen nollasta eroava vektori ψ edustaa jotain systeemin tilaa. Jos c on nollasta eroava skalaari, niin c ψ edustaa samaa tilaa kuin ψ. Jokaista systeemin tilaa edustaa joku nollasta eroava tilavektori ja sen skalaarimonikerrat, mutta ei mikään muu tilavektori. Kahden tilavektorin summalle voidaan antaa seuraava fysikaalinen tulkinta: Jos ψ 1 ja ψ 2 ovat tilavektoreita, niin c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 on sellainen tila, jossa systeemi voi käyttäytyä kuin jos se olisi tilassa ψ 1 tai tilassa ψ 2 ja todennäköisyys sille käyttäytyykö systeemi tilan ψ 1 vai ψ 2 mukaisella tavalla riippuu vakioiden c 1 ja c 2 suuruudesta. 2.2 Tila-avaruuden ja fysikaalisen kokeen välinen yhteys Fysikaaliset kokeet voidaan jakaa kahteen luokkaan, ensimmäisen ja toisen tyypin kokeisiin. Ensimmäisen tyypin koe ei vaikuta mitattavaan ominaisuuteen. Siis toistettaessa ensimmäisen tyypin koe se antaa täsmälleen saman tuloksen. Toisen tyypin kokeessa mitattava ominaisuus muuttuu ja toistettaessa koe heti ensimmäisen jälkeen saamme yleensä eri tuloksen. Kvanttisysteemin ominaistila on sellainen systeemin tila, jossa kokeen tulos voidaan tietää varmasti ennen koetta. Jos kyseinen tila on ainoa, jossa saadaan kyseinen tulos, niin tuloksen ja tilan sanotaan olevan ei-degeneroituneita. Oletetaan, että kokeen E tulos α on degeneroitunut, eli löytyy ainakin kaksi ominaistilaa ψ 1 ja ψ 2, jotka vastaavat kyseistä tulosta. Vektorisumman fysikaalisen tulkinnan mukaan systeemi käyttäytyy tilassa c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 jomman kumman ominaistilan mukaisesti. Koska molempiin ominaistiloihin liittyy käyttäytyminen α, niin voimme päätellä, että myös c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 on tulokseen α liittyvä ominaistila. Siis ominaistilat virittävät aliavaruuden, jota kutsumme tulokseen α liittyväksi ominaisavaruudeksi ja merkitsemmme Ψ α. Ortogonaaliprojektoria, joka avaruuteen Ψ α merkitsemme P α. Nyt antaa seuraavat postulaatit Postulaatti 3. Jos kokeessa E tulosta α vastaavat ominaisvektorit ovat ψ i ja ominaisavaruuden ortogonaaliprojektori on P α, niin todennäköisyys sille, että 5
7 tilassa ψ oleva systeemi antaa kokeessa E tuloksen α on p E (α ψ) = ψ P α ψ ψ ψ = i ψ i ψ 2. ψ ψ Postulaatti 4. Jos ensimmäistä tyyppiä olevan kokeen E tulos on α, niin heti kokeen jälkeen systeemi on tilassa P α ψ. 2.3 Observaabelit :) Observaabeli on fysikaalinen suure, joka voidaan mitata kokeessa ja joka saa arvokseen reaaliluvun. Mitattua tulosta sanotaan ominaisarvoksi ja niistä kukin liittyy johonkin ominaistilaan. Ominaisarvojen avulla voimme rakentaa observaabelille A vastaavan lineaarisen operaattorin Â. Tarkastellaan ensiksi äärellisulotteista tapausta. Oletetaan nyt, että observaabelin A ominaistilat ( ψ i ) muodostavat kannan ja joukko (α i ) on niihin liittyvät ominaisarvot. Operaattori  määritellään asettamalla Jos ψ = i c i ψ i, niin Âψ = i c i α i ψ i. Siis ominaistilat α i ovat operaattorin  ominaisarvoja normaalissa (matemaattisessa) mielessä. Määritelmästä ja ominaisarvojen positiivisuudesta seuraa, että yllä määritelty operaattori on aina hermiittinen. Edellä on oletettu, että löytyy täysi määrä ominaisvektoreita. On kuitenkin varsin tavallista, että observaabelilla A ei toteuta tätä vaatimusta. Ääretönulotteisen tila-avaruuden kohdalla löytyy helposti fysikaalisesti merkittäviä operaattoreita, joilla ei ole kyseistä ominaisuutta. Tarkastellaan ehdot W1-W3 täyttävien funktioiden joukkoa, joiden määrittelyjoukko on yksiulotteinen. Siis erityisesti funktiojoukko on suljettu derivoinnin ja polynomilla kertomisen suhteen, eli voimme määritellä operaattorit ˆX ja ˆK asettamalla ( ˆXψ)(x) = xψ(x) ja ˆKψ = i dψ dx. Nämä ovat paikka- ja liikemääräoperaattorit. Nimet selvinnevät myöhemmin. 6
8 Selvästi molemmat operaattorit ovat hermiittisiä, mutta niillä ei ole yhtään ominaisvektoria. Voimme kuitenkin yleistää ominaisvektorien käsitettä esittelemällä bravektorit, eli käsiteltävän avaruuden lineaariset funktionaalit, ja ominaisbravektorit. (Jos  on lineaarinen kuvaus, niin ominaisbravektori on sellainen lineaarinen funktionaali H, että H ψ = λh ψ ja λ on tällöin yleistetty ominaisarvo). Merkitään ɛ k (x) = e ikx, missä k R. Nyt voimme esitellä ominaisbravektorit (lineaariset funktionaalit) ɛ k ja δ a asettamalla ja ɛ k ψ = ɛ k (x)ψ(x) dx δ a ψ = ψ(a). Kyseisiin ominaisbravektoreihin liittyvät yleistetyt ominaisarvot ovat k ja a, sillä ɛ k ˆK = k ɛ k. ja δ a ˆX = a δ a. Nyt voimme esittää jokaisen bravektorin ψ ( ψ kuvaa vektorin φ alkiolle ψ φ ) esiteltyjen operaattoreiden integraalina kuten alla esitetään ja siksi voimme ajatella, että kyseiset ominaisbravektorit muodostavat täydellisen joukon. (Kaikkia bravektoreita ei kuitenkaan voida esittää niiden avulla, mutta pääasia on että kaikki systeemin tiloihin liittyvät pystytään). Yksinkertainen laskutoimitus osoittaa, että voimme kirjoittaa jokaista fuktiota (tilaa) ψ kohti formaalisti ψ ( ) = c a δ a ( ) da, missä c a = ψ(a). Vastaavasti, kun asetetaan c k = 1 2π ψ(k), missä ψ on funktion ψ Fourrier-muunnos ψ(k) = 1 2π ψ(x)e ikx dx, niin Fourrierin käänteismuunnoskaava antaa ψ(x) = c ke ikx dk. Edelleen ψ φ = = c k ɛ k φ dk, 7 e ikx φ(x) dx dk
9 eli ψ = c k ɛ k dk. Yleisesti ottaen hermiittisellä operaattorilla voi olla normaaleja ominaisarvoja ja niihin liittyviä ominaisvektoreita, sekä yleistettyjä ominaisarvoja ja niihin liittyviä ominaisbravektoreita. Normaaleja ominaisarvoja kutsutaan diskreeteiksi ja yleistettyjä ominaisarvoja jatkuviksi. Yhdessä ne muodostavat operaattorin spektrin. Tarkastellaan operaattoria Â. Olkoot ψ i erillisiin diskreetteihin ominaisarvoihin α i liittyvät ominaisvektorit ja ψ α jatkuvaan ominaisarvoon α liittyvä ominaisbravektori. Saadaan esitys ψ = ψ i + c α ψ α dα, i missä c i = ψ i ψ ja c α = ψ α ψ. Tässä tapauksessa sanotaan, että ominaisarvot on normeerattu operaattorin  suhteen. Postulaatteja 3 ja 4 voidaan nyt täydentää seuraavilla postulaateilla. Postulaatti 5. Jos α on ei-degeneroitunut observaabelin A jatkuva minaisarvo ja ψ α siihen liittyvä ominaisbravektori, joka on normeerattu operaattorin  suhteen, niin todennäköisyys sille, että A antaa tuloksen, joka on välillä [α, α + dα] on p A (α ψ)dα, missä p A (α ψ) = ψ α ψ 2. (2.4) ψ ψ Postulaatti 6. Jos mittaus antaa tuloksen, joka on välillä [α 1, α 2 ], niin heti mittauksen jälkeen systeemi on tilassa, joka on tilan ψ ortogonaaliprojektio aliavaruuteen, joka on ortogonaalinen kaikkia niitä vektoreita ψ vastaan, jotka toteuttavat ehdon α2 ψ α ψ dα =. α 1 Annetaan operaattoreille ˆX ja ˆK ja niiden edustamille observaabeleille vielä fysikaalinen merkitys. Ajatellaan, että X ja K ovat observaaneleita, jotka liittyvät jollain tapaa kappaleen liikeeseen annetulla suoralla. Vaikka esitelty ɛ k ei kuulukkaan tilavektoreiden joukkoon, niin voidaan sen ajatella olevan idealisoitu aaltofunktio joka edustaa kappaletta, joka löytyy kaikista paikoista samalla todennäköisyydellä, sillä Todennäköisyys, että a 1 < X < a 2 Todennäköisyys, että a 3 < X < a 4 = 8 a2 a 1 a4 ɛ k 2 dx a 3 ɛ k 2 dx.
10 Funktio ɛ k edustaa jaksollista aaltofunktiota, joka aallon pituus on λ = 2π/k ja de Broglien relaation mukaan p = h λ = k. Koska k on operaattorin ˆK itseisarvo, niin havaitsemme, että observaabeli K on suoraan verrannollinen liikemäärään. Vastaava aaltofunktio idealisointi voidaan tehdä myös observaabelin X kohdalla. Jos ψ on normeerattu, niin yhtälö (2.4) antaa tiheysfunktion p(a) = ψ(a) 2. Jos vertaamme tätä tulosta elektronidiffraktio esimerkkiin, niin huomataan että X on kappaleen paikka. Jos merkataan, että δ a = δ(x a), missä δ on Diracin δ-funktio, jolla on ominaisuudet b a δ(x) =, jos x δ(x) dx = 1, jos a < < b f(x)δ(x) dx = f(), millä tahansa funktiolla f. Fysikaalisesti δ a siis edustaa sellaisen kappaleen aaltofunktiota, joka löytyy varmasti paikasta a. Sekä ɛ k ja δ a ovat fyysisesti mahdottomuuksia, mutta ne voidaan käsittää raja-arvona mittauksista, jotka tehdään kasvavalla tarkkuudella. Kuten me kaikki huomasimme ei elektrodiffraktioesimerkin mukainen ehdot W1-W3 täyttävien funktioiden avaruus ole Hilbert-avaruus, koska se ei ole täydellinen. Tämä on ongelma matemaattisen teorian kehityksen kannalta ja voisimme täydentää avaruuden L 2 avaruudeksi. Täydentämisestä puolestaan seuraa ongelmia, sillä haluamme määritellä operaattoreita, joiden määrittelyjoukko ei olisi koko L 2 ( ˆK, ˆX). Formaalisti ongelman saa kierrettyä käyttämällä varustettua Hilbertin avaruutta (rigged Hilbert space), joka on kolmikko Φ H Φ, missä H on Hilbert-avaruus, Φ sen tiheä osajoukko ja Φ on kaikkien lineaariavaruuden Φ lineaaristen funktionaalien joukko. Siis erityisesti kuvaukset, jotka ovat muotoa ψ ψ φ, missä φ H kuuluvat joukkoon Φ ja siten H = H (Rieszin esityslause) on osajoukko avaruudessa Φ. 9
11 2.4 Systeemien yhdistäminen Olkoon S ja T kaksi erillistä systeemiä, joiden tila-avaruudet ovat S ja T. Niistä saadaan yhdistetty systeemi ST, jonka tila-avaruutena toimii tensoritulo S T. Aaltofunktioiden tapauksessa tensoritulo saadaan muodostettua tavallisen kertolaskun avulla. Mikäli yhdistetyn systeemin osat ovat samoja (esim. kaksi samanlaista partikkelia), niin voidaan määrittää vaihto-operaatio X asettamalla X( ψ φ ) = φ ψ. Fyysisesti emme pysty tekemään eroa kahden tilan ψ φ ja φ ψ välille (superpositioperiaate), joten niiden on oltava samoja. Täten X( ψ φ ) = ɛ φ ψ. Koska X 2 on identiteettikuvaus, niin ɛ = ±1. Tiloja joilla ɛ = 1 sanotaan symmetrisiksi ja tiloja joilla ɛ = 1 antisymmetrisiksi. Se ovatko kahden partikkelin muodostamat tilat symmetrisiä vai antisymmetrisiä riippuu partikkeleista: Kahden fermionin tilat ovat aina antisymmetrisiä ja kahden bosonin tilat ovat aina symmetrisiä. Edelleen useampien systeemien muodostamia systeemejä saadaan luonnollisesti ottamalla tensoritulo yli useamman tila-avaruuden. Jos Ψ on n:n systeemin muodostaman systeemin tila ja X ij vaihto-operaattori, joka vaihtaa i. ja j. tilan paikat, niin mikäli X ij Ψ = Ψ kaikilla i, j, niin vektoria Ψ sanotaan totaalisesti symmetriseksi. Mikäli X ij Ψ = Ψ kaikilla i, j, niin vektoria Ψ sanotaan totaalisesti antisymmetriseksi. Postulaatti 7. Kahden systeemin S ja T muodostaman yhdistetyn systeemin ST tila-avaruus on osasysteemien S ja T tensoritulo. Jokainen elementaarinen partikkeli on joko fermioni tai bosoni. Usean samanlaisen partikkelin muodostaman systeemin tila on totaalisesti antisymmetrinen mikäli partikkelit ovat fermioneja ja totaalisesti symmetrinen mikäli partikkelit ovat bosoneita. Jos kaksi kaksi partikkelia olisi mahdollista erottaa toisistaan (klassinen tulkinta), niin tällöin kahden tilan ortogonaalisia tiloja olisi neljä kappaletta φ φ, ψ ψ, φ ψ, ψ φ. Jos partikkelit ovat bosoneita, niin löytyy kolme ortogonaalista tilaa φ φ, ψ ψ, φ ψ + ψ φ. 1
12 Mikäli partikkelit ovat fermioneja, löytyy vain yksi tila φ ψ ψ φ Tämä on Paulin eksluusioperiaate: Kaksi identtistä fermionia ei voi olla samassa tilassa. Voidaan myös sanoa, että systeemi, jossa on m bosonia ja n fermionia on bosoni mikäli n on parillinen ja fermioni jos n on pariton. 11
13 Kirjallisuutta [1] Sudbery, Anthony: Quantum mechanics and the particles of nature: An outline for mathematicians. Cambridge university press,
Tilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotLineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:
Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotKvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.
Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotPaulin spinorit ja spinorioperaattorit
Paulin spinorit ja spinorioperaattorit Spinoreita on useita erilaisia. Esimerkiksi Paulin, Dirackin ja Weyelin spinorit. Yhteisenä piirteenä eri spinoreilla on se, että kukin liittyy tavallisesti johonkin
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotAlijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia
T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian seminaari 0..008 1 Alijärjestelmän mittaus ja muita epätäydellisiä mittauksia Loepp & Wootters, Protecting Information, luvut.4-.5 T-79.4001 Tietojenkäsittelyteorian
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 4. Martikainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 4 Martikainen Jani- Petri Viimeksi Ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö Alkuarvo- ongelman ratkaisu Aaltofunktio Tänään Mittauspostulaatti Diracin merkintätapa. Hermiittiset operaattorit
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45
Ratkaisuehdotukset LH 3 / alkuvko 45 Tehtävä : Olkoot A, B, X R n n, a, b R n ja jokin vektorinormi. Kätetään vektorinormia vastaavasta operaattorinormista samaa merkintää. Nätä, että. a + b a b, 2. A
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
LisätiedotNyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),
Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotLaskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotSymmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin
Symmetrisistä ryhmistä symmetriaryhmiin 16. marraskuuta 2006 1 Symmetrisistä ryhmistä... Bijektiivistä kuvausta {1,..., n} {1,..., n} kutsutaan n-permutaatioksi. Merkitään n-permutaatioden joukkoa S n.
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotExcursio Cliordin analyysiin. 13. helmikuuta 2006
Excursio Cliordin analyysiin 13. helmikuuta 2006 1 Sisältö 1 Cliordin algebra 3 2 Monogeeniset funktiot 5 3 Cauchyn integraalikaava monogeenisille funktioille 9 2 1 Cliordin algebra Tutustutaan tässä kappaleessa
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
LisätiedotAlkeismuunnokset matriisille, sivu 57
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
Lisätiedot3.2.2 Tikhonovin regularisaatio
3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotDiracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on I 0. 0 i 1 0
Diracin spinorit. Määritelmiä Diracin yhtälö Björkenin ja Drellin formulaation mukaan on γ µ (i µ ea µ ψ = mψ, ψ C 4, missä matriisit γ µ ovat ( γ = γ = I I, γ k = γ k = ( σ k σ k missä edelleen I on 2
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotKvanttimekaniikan perusteet
Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot