Äärellisten Borel-mittojen Fourier-muunnoksista euklidisissa avaruuksissa

Äärelliste Borel-mittoje Fourier-muuoksista euklidisissa avaruuksissa Jooas Niiikoski Matematiika Pro Gradu -tutkielma Jyväskylä yliopisto Matematiika ja tilastotietee laitos Kesä 2016

Tiivistelmä: Jooas Niiikoski, Äärelliste Borel-mittoje Fourier-muuoksista euklidisissa avaruuksissa (egl. O The Fourier Trasforms of Fiite Borel Measures i Euclidea Spaces), matematiika pro gradu -tutkielma, 101 sivua, Jyväskylä yliopisto, Matematiika ja tilastotietee laitos, kesä 2016. Tutkielmassa esitellää euklidise avaruude äärellisille Borel-mitoille Fourier-muuokset kompleksiarvoisia kuvauksia ja tutkitaa iide väheemistä metäessä äärettömä kauas origosta. Keskeiseä kysymykseä o, millä reuaehdoilla aetu kompkatikatajaise ja äärellise Borel-mita Fourier muuos väheee polyomiaalisesti (eli sitä voidaa domioida jollai euklidise ormi egatiivisella potessilla) kaikkialla riittävä kaukaa tai aiaki keskimääräisesti. Mikäli tällaie Borel-mitta o absoluuttisesti jatkuva Lebesgue mita suhtee kompaktikatajaisella ja sileällä tiheysfuktiolla, ii se Fourier-muuos väheee aia polyomiaalisesti kaikkialla. Ogelmaa tarkastellaa keskeisesti potetiaaliteoria avulla. Jokaiselle äärelliselle ja kompaktikatajaiselle Borel-mitalle asetetaa Rieszi eergia. Tällöi Rieszi eergia äärellisyys implikoi mita Fouriermuuokse polyomiaalise väheemise keskimääri. Rieszi eergia avulla määritellää myös s. kapasitiivie dimesio jokaiselle euklidise avaruude Borel-joukolle. Työssä käydää läpi myös klassie Frostmai lemma euklidise avaruude F σ -joukoille, joka perusteella tällaiste joukkoje kapasitiiviset dimesiot yhtyvät iide Hausdorff-dimesioihi. Toie äkökulma ogelmaa otetaa tarkastelemalla yksikköväli irratioaalilukuje Gaussi kuvaukse dyaamista systeemiä ja siiä olevia Gibbsi mittoja. Sopivalla reuaehdolla tällaiset mitat väheevät aia polyomiaalisesti. Tarkastelu edellyttää kuiteki symbolista dyamiikkaa, joka o myös työssä yksi käsitelty aihe. Avaisaat: äärellie Borel-mitta, Fourier-muuos, Rajchma-mitta, polyomiaalie väheemie, Rieszi eergia, kapasitiivie dimesio, Frostmai lemma, symbolie dyamiikka, termodyaamie formalismi, Gaussi kuvaus, vase siirto, Gibbsi mitta, Ruelle siirto-operaattori.

Sisältö 1 Johdato 1 2 Esitietoja 3 2.1 Merkitöjä............................................ 3 2.2 Mitta- ja itegroimisteoriaa................................... 4 2.2.1 Mitta-avaruus ja mitta.................................. 4 2.2.2 Mitalliset kuvaukset................................... 6 2.2.3 Mittaitegraaleista.................................... 7 2.2.4 Muuttujavaihto itegroiissa............................. 9 2.3 Metrisistä avaruuksista...................................... 11 2.3.1 Merkiöistä ja jatkuvista kuvauksista......................... 11 2.3.2 Fuktioavaruus C B (X; R)................................ 12 2.3.3 Mittoje heikko kovergessi ja jookompaktius.................... 14 2.4 Euklidisista avaruuksista..................................... 16 2.4.1 Merkitöjä ja mittateoreettisia tuloksia........................ 16 2.4.2 Lebesgue mitasta.................................... 18 2.4.3 Hausdorff-mitoista ja -dimesioista........................... 19 3 Harmoista aalyysia 21 3.1 Kovoluutiot ja approksimaatioperheet............................. 21 3.2 Fourier-muuoksista fuktioille................................ 29 3.3 Äärelliste Borel-mittoje Fourier-muuoksista....................... 36 4 Rieszi eergia 38 4.1 Kapasitiivie dimesio ja Rieszi eergia........................... 38 4.2 Frostmai lemma........................................ 41 4.3 Eergiakaava........................................... 46 4.4 Rieszi eergia ja Fourier-muuoste yhteys........................ 52 5 Symbolista dyamiikkaa jooavaruudessa 56 5.1 Jooavaruus............................................ 56 5.2 Dyaamisista systeemeistä ja ergodisuudesta......................... 58 5.3 Paie............................................... 60 5.4 Etropia.............................................. 62 5.5 Variaatioperiaate......................................... 66 5.6 Gibbsi mitat........................................... 70 5.7 Ruelle siirto-operaattori.................................... 73 5.7.1 Ruelle siirto-operaattori................................ 73 5.7.2 Siirto-operaattori ja Gibbsi mita yhteys...................... 77 5.8 Kojugaattisysteemeistä..................................... 82 6 Rajchma-mitoista Gaussi kuvaukselle 86 6.1 Ketjumurtolukukehitelmät ja Gaussi kuvaus......................... 86 6.2 Gaussi kuvaukse dyamiikasta................................ 88 6.3 Eksakti dimesioaalisuus ergodisille mitoille......................... 89 6.4 Gibbsi mita Fourier-muuokse väheemie....................... 96 6.4.1 Alustus.......................................... 96 6.4.2 Suuret poikkeamat ja sääölliset syliterit...................... 97 6.4.3 Vakioide kiiitys ja Fourier-muuokse hajotelma................ 98 6.4.4 Sääöllise ja epäsääöllise osa itegraali arvioiti............... 98

1 Johdato Fuktioille tutut Fourier-itegraalimuuokset voidaa yleistää esimerkiksi euklidise avaruude R Borel-mitoille. Mikäli µ o avaruude R Borel-mitta, ii sillä o pisteessä x R Fourier-muuos kompleksisea itegraalia ˆµ(x) = e i x y dµ(x), R mikäli kyseie itegraali o määritelty. Mikäli se o kaikissa pisteissä x R määritelty, ii saotaa, että kuvaus x ˆµ(x) o mita µ Fourier-muuos ˆµ. Tässä työssä tarkastellaa pääasiassa äärelliste Borel-mittoje Fourier-muuoksia, jotka ovat aia määritelty. Näillä o moia samakaltaisia omiaisuuksia fuktioide Fourier-itegraalimuuoste kassa. Riittävä siisti fuktio Fourier-muuos ataa paljo iformaatiota alkuperäisestä fuktiosta, jote yksi Borel-mittoje Fourier-muuoste tarkastelu motivaatio o, että e atavat mahdollisesti jotai iformaatiota alkuperäisestä mitasta. Tutkielma keskeiseä tarkastelu kohteea ovat yt äärelliset Borel-mitat ˆµ avaruudessa R, joide Fourier-muuokset ˆµ väheevät äärettömyydessä, ts. ˆµ(x) 0, ku muuttuja x euklidie ormi x kasvaa rajatta. Näitä kutsutaa s. Rajchma-mitoiksi. Yhteä tuettua perustuloksea työssä todetaa, että kaikki R : Lebesgue mita suhtee absoluuttisesti jatkuvat äärelliset Borel-mitat ovat Rajchma-mittoja. Erityise mielekiio kohteea ovat kompaktikatajaiset Rajchma-mitat ˆµ, joide muuos ˆµ väheee polyomiaalisesti, ts. löytyy C, s R + site, että tarpeeksi isoilla x ˆµ(x) C x s. Keskeiseä teemaa työssä o tutkia, milloi Fourier-muuokset kompaktikatajaisille ja äärellisille Borelmitoille väheevät polyomiaalisesti. Tätä voidaa lähestyä potetiaaliteoria äkökulmasta. Avaruude R sigma-äärelliselle Borel-mitalle µ ja luvulle s R + voidaa asettaa eergiaitegraali I s (µ) = x y s dµ(y)dµ(x), R R jota kutsutaa Rieszi s-eergiaksi. Yksi työ päätavoitteista o johtaa s. eergiakaava Borel-mitoille. Tämä ojalla jokaiselle kompaktikatajaiselle ja äärelliselle Borel-mitalle µ sekä luvulle 0 < s < voidaa eergia I s (µ) kirjoittaa itegraalia Lebesgue mita suhtee I s (µ) = 1 (2π) R c(, s)k s (x) ˆµ(x) 2 dx, missä c(, s) o luvusta s ja dimesiosta riippuva vakio. Tällöi voidaa osoittaa, että mita µ Rieszi s-eergia äärellisyys takaa, että se Fourier-muuokselle ˆµ(x) c s 2 keskimääräisesti. Rieszi eergia äärellisyys kertoo toisaalta jotai mita käytöksestä. Työssä tarkastellaa kompkatikatajaise ja äärellise Borel-mita µ Rieszi s-eergia äärellisyyde yhteyttä suljettuje palloje µ-mita kotrolloituvuutee sätee potessilla s R +. Tämä tarkoittaa siis sitä, että löytyy C R + site, että kaikille B(x, r) µ(b(x, r)) Cr s. ( ) Jokaiselle Borel-joukolle A R voidaa yt määritellä kapasitiivie dimesio dim c (A). Mikäli tämä o positiivie, ii jokaiselle 0 < s < dim c (A) löytyy jouko A katama äärellie ja kompktikatajaie mitta µ, jolle ehto ( ) o voimassa. Klassie Frostmai lemma saoo käytäössä, että avaruude R F σ -joukkoje (eli joukot, jotka voidaa esittää suljettuje joukkoje umeroituvaa yhdisteeä) kapasitiivie dimesio yhteee Hausdorff-dimesioo. Rieszi eergia äärellisyys takaa, että kompaktikatajaise ja äärellise Borel-mita Fourier-muuos väheee keskimääräisesti. Kuitekaa tällaise mita ei tarvitse olla edes olisi Rajchma-mitta. Työ eräää tavoitteea oki tarkastella ogelmaa erilaisesta äkökulmasta ja huomattavasti rajatummasta asetelmasta läpikäymällä Jordai ja Sahlstei artikkeli [10], jossa o esitetty riittävä ehto sille, milloi Gaussi kuvaukse dyamiikassa Gibbsi mitat ovat Rajchma-mittoja. Gaussi kuvaus väli [0, 1] irratioaaliluvuille asetetaa kuvauksea x 1 x mod 1. 1

Gaussi kuvaus muodostaa väli [0, 1] irratioaalilukuje joukkoo X dyaamise systeemi, joho voidaa määritellä Gibbsi mitat väli [0, 1] katamia Borel-mittoia. Joukko X luoollisella metriikalla varustetu reaalilukujouko metriseä aliavaruutea o homeomorfie luoollisista luvuista koostuvie jooje (a 1, a 2,...) jooavaruudessa N ketjumurtolukukehitelmä (a 1, a 2,...) a 1 + 1 1 a 2 + 1... kautta. Edellee Gaussi kuvaukse dyaamie systeemi o jooavaruude N vasemma siirro (a 1, a 2,...) (a 2, a 3,...) kojugaattisysteemi irratioaalilukuje ketjumurtolukukehitelmä kautta, jolloi tarkastelut pohjautuvat yt paitsi irratioaalilukuje ketjumurtolukuesityksii, ii myös jooavaruude symbolisee dyamiikkaa. Gibbsi mitta µ vasemma siirro systeemissä o se suhtee ivariatti Borel-todeäköisyysmitta, joka toteuttaa tiettyjä sääöllisyysomiaisuuksia sopiva potetiaalikuvaukse N N suhtee. Gibbsi mitat Gaussi kuvaukse dyamiikassa asetetaa vastaavasti Gaussi kuvaukse suhtee. Tavoitteea o käydä jooavaruude symbolista dyamiikkaa artikkeli [10] vaatimustaso verra. Ideaa o, että tämä työ tarkastelu jälkee aiheesee perehtymätö lukija ymmärtäisi hiema perusteellisemmi artikkeli [10] hyödytämää symbolista dyamiikkaa. Käydää johdao lopuksi työ struktuuri läpi. Työ o jaoteltu lukuihi, luvut kappaleisii ja tarvittaessa kappaleet pykälii. Toisessa luvussa käydää työ vaatimat esitiedot melko kattavasti läpi lähtie liikkeelle perustaso määritelmistä. Kolmaessa luvussa käsitellää perusteoriaa kovoluutioille ja Lebesgue mita suhtee itegroituvie kuvauste Fourier-muuoksille. Lisäksi esitellää ja käsitellää Fourier-muuoksia äärellisille Borel-mitoille. Neljäessä luvussa käsitellää läpi aiemmi maiitut Rieszi eergia, Frostmai lemma ja eergiakaava. Nämä ovat pitkälti Mattila [17] esityksie tarkempaa (ja ehkä paikkailevaa) läpikäytiä. Viideessä luvussa esitellää melko yksityiskohtaisesti artikkeli [10] tarvitsema symbolie dyamiikka läpi. Tämä luku o koottu pitkälle lähteide [20] ja [25] esityste pohjalta. Itse artikkelia käsitellää viimeisessä luvussa. Aettavat epätriviaalit todistukset pohjautuvat pääsäätöisesti vastaavii viitattuihi todistuksii lähdeteoksissa, tosi usei sovellettuia. Varsiaie poikkeus o lemma 4.15 todistus, joka o omaa kotribuutiota, ts. sitä ei ole katsottu mistää lähteestä. 2

2 Esitietoja Tässä luvussa o esitelty melkei kaikki työssä tarvittavat aputulokset ja koseptit. Esitietoia työhö riittää tiedot joukko-opista, alkeisaalyysistä reaali- ja kompleksiluvuille ja perusaalyysistä euklidissa avaruuksissa sekä topologia perusteide hallita, erityisesti metriste avaruuksie osalta. Mittateoria perusteet o luoollisesti myös hyvä osata ja fuktioaaliaalyysistä tarvitaa myös joitai tuloksia, mutta esitiedoissa o pyritty mahdollisimma kattavaa ja kertaavaa esityksee. Kaikki tosi tehdää melko ylimalkaisesti ja juuri mitää ei todisteta, jote lukija tehtäväksi jää (jos tarvitsee) paikkailla aukot vaikka esitelly viitekirjallisuude avulla. Aluksi esitellää joitai käytettäviä merkitöjä. Seuraavaksi käydää kertaavasti peruskoseptit ja mittateoriasta sekä esitellää eriäisiä tuloksia. Metrisistä avaruuksista käydää myös joitai huomoita läpi ja erityisesti mittoje heikko kovergessi metrisissä avaruuksissa. Lopuksi tarkastellaa euklidisia avaruuksia ja Lebesgue mittaa. 2.1 Merkitöjä Pääosi tutkielmassa käytetää stadardimerkitöjä, mutta käydää läpi joitai otaatioita ja huomioita. Joukko-opi suhtee käytetää tavaomaisia merkitöjä, mutta symboli tarkoittaa yt kaikkia ikluusioita eikä aitoa ikluusiota: muita ikluusiosymboleja ei käytetä. Lisäksi mikäli joukot A i epätyhjällä ideksijoukolla I ovat pareittai pistevieraat, ii iide yhdistettä merkitää A = i I A i ja saotaa, että e muodostavat A: (erää) ositukse. Luoolliste lukuje joukkoa merkitää N = {1, 2,...}. Huomaa, että olla ei ole tässä kovetiossa luoollie luku. Tavaomaisesti merkitää edellee kokoaislukuje joukkoa Z, ratioaalilukuje joukkoa Q ja reaalilukuja tai reaaliakselia R. Reaaliluvuille a < b merkitää tavaomaisee tapaa avoita väliä ]a, b[, suljettua väliä [a, b], puoliavoimia välejä ]a, b] ja [a, b[, sekä rajoittamattomia välejä ], a], ], a], ]a, [ ja [a, [. Erityisesti positiivisia reaalilukuja merkitää R + = ]0, [. Kompleksilukuja tai kompleksitasoa merkitää symbolilla C. Reaaliakseli ja kompleksitaso ovat yt varustettu luoollisilla topologioillaa. Tavaomaisee tapaa kompleksiluvu z C reaaliosaa merkitää Rez, imagiääriosaa Imz ja kompleksikojugaattia z. Jatkossa käytetää myös laajeettua reaaliakselia R = R {, }. Joukossa R muute sama järjestysrelaatio kute reaaliluvuilla, mutta lisäksi jokaiselle a R pätee < a <. Lukujooje R suppeemie määritellää laajeetulla reaaliakselilla kute reaaliakselilla. Huomaa, että yt jokaisella mootoisella lukujoolla o raja-arvo joukossa R, kute myös se jokaisella epätyhjällä osajoukolla siellä hyvi määritelty supremum ja ifimum. Lisäksi yt a, b R, a < b voidaa määritellä suljettu väli [a, b] joukossa R, erityisesti yt R = [, ]. Jos R ei ole tuttu, ii katso vaikka [13, s.3-4]. Epätyhjä jouko A joo (a ) =1 o periaatteessa kuvaus N A, mutta toisiaa käytetää hiema epämääräistä merkitää (a ) =1 A, ku halutaa korostaa alkioide kuuluvuutta joukkoo A. Reaaliakseli tai laajeetu reaaliakseli jooille (a ) =1 määritellää tavaomaisee tapaa arvot lim sup a = lim sup i a i ja lim if a = lim sup i a i. Näide omiaisuudet oletetaa tuetuiksi. Mikäli (a ) =1 o joo ei-egatiivisia lukuja ja kuvaus f : N [0, ], ii merkitä a = O(f()) tarkoittaa, että löytyy 0 N ja C [0, [ site, että a Cf() kaikilla 0. Epätyhjille joukoille A ja B vakiofuktiota A B, x b B, merkitää usei lyhyesti b tai b A. Mikäli A o epätyhjä joukko ja f, g ovat fuktioita joukolta A joko reaaliakselille tai laajeetulle reaaliakselille, ii merkitä f g tarkoittaa, että f(x) g(x) kaikilla x A. Vastaavasti merkitää f > g tarkoittaa, että f(x) > g(x) kaikilla x A. Edellee joolle R tai R-arvoisia kuvauksia (f ) =1 joukolta A määritellää pisteittäi kuvaukset sup f : A R, N lim sup f : A R, x sup f (x), N if f : A R, N x lim sup f (x) ja lim if f : A R, x if N f (x), x lim if f (x). Vastaavasti määritellää pisteittäie raja-arvo lim f mikäli se o olemassa. Tämä määritellää vastaavasti kompleksisessa tapauksessa, jos se o olemassa. 3

Mikäli V o reaali- tai kompleksikertoimie vektoriavaruus, ii jokaiselle x V, epätyhjille A, B V ja kerroikua luvulle t asetetaa tavaomaisee tapaa x + A = {x + y : y A}, ta = {ty : y A} ja A + B = {y + z : y A, z B}. Topologia osalta työssä käytetää seuraava kovetiota: kaikki topologiset kaat sisältävät tyhjä jouko. 2.2 Mitta- ja itegroimisteoriaa 2.2.1 Mitta-avaruus ja mitta Epätyhjälle joukolle X se potessijouko P(X) osakokoelma tai osajoukko A o sigma-algebra, mikäli seuraavat omiaisuudet ovat voimassa. (i) Aia X A. (ii) Jos A A, ii X \ A A. (iii) Jos A i A umeroituvalla ideksijoukolla I, ii i I A i A. Ehdoista (i) ja (ii) seuraa, että aia A. Ehdoista (ii) ja (iii) seuraa joukko-opi peruslaskusääöillä, että mikäli A i A umeroituvalla ideksijoukolla I, ii i I A i A. Paria (X, A) kutsutaa yleesä mitta-avaruudeksi. Kokoelma A joukkoja kutsutaa A-mitallisiksi tai koteksti ollessa selvillä vai mitallisiksi joukoiksi. Mikäli (X, τ) o topologie avaruus, ii jouko X Borel-sigma-algebra B(X) o topologia τ geeroima, eli piei sigma-algebra, joka sisältää kaikki topologia τ (avoimet) joukot. Kokoelma B(X) joukkoja kustutaa Borel-joukoiksi. Tässä tutkielmassa tutkittavat sigma-algebrat ovat käytäössä aia Borel-sigma-algebroja. Mitta-avaruutee tai oikeammi se sigma-algebraa voidaa määritellä mitta sopivaa joukkokuvauksea. Määritelmä 2.1 (Mitta). Olkoo X epätyhjä joukko ja A se sigma-algebra. Joukkokuvaus µ : A [0, ] o mitta, mikäli (i) µ( ) = 0 ja (ii) joukot A i A ovat pareittai pistevieraat ja iide ideksijoukko I o umeroituva, ii tällöi µ ( i I A ) i = i I µ(a i). Omiaisuutta (i) kutsutaa usei umeroituvaksi additiivisuudeksi tai vai additiivisuudeksi. Ituitio mukaa sigma-algebra mitta määrittelee jokaiselle sigma-algebra jäseelle koo. Triviaalei mitta sigma-algebrassa o ollamitta, joka ataa jokaise sigma-algebra alkio kooksi olla. Tapauksessa µ(x) = 1 saotaa, että µ o todeäköisyysmitta ja (X, A, µ) todeäköisyysavaruus. Mikäli µ(x) <, ii saotaa, että µ o äärellie, ja mikäli löytyy joukot A i A umeroituvalla ideksijoukolla I, µ(a i ) < jokaisella i I ja X = i I A i, ii saotaa, että µ o sigma-äärellie. Mita µ suhtee joukko A A o ollamittaie, jos µ(a) = 0. Edellee saotaa, että joki omiaisuus o voimassa mita µ mielessä melkei kaikkialla tai µ-melkei kaikkialla tai µ-melkei kaikilla pisteillä joukossa B A, mikäli löytyy µ: suhtee ollamittaie joukko A site, että omiaisuus o voimassa joukossa B \ A. Sovitaa, että tyhjässä joukossa kaikki o voimassa, jote saota pätee aia ollamittaiselle joukolle. Mikäli jokaise µ-ollamittaise jouko osajoukko kuuluu sigma-algebraa A, ii saotaa, että µ o täydellie. Mikäli µ ja ν ovat mitta-avaruude (X, A) mittoja, ii mikäli jokaie µ-ollamittaie joukko o myös ν-ollamittaie, ii saotaa, että ν o absoluuttisesti jatkuva mita µ suhtee. Topologise avaruude (X, τ) mittoja Borel-sigma-algebralla B(X) kutsutaa Borel-mitoiksi. Merkitää äide mittoje kokoelmaa symbolilla B X (älä sekoita Borel-sigma-algebraa). Edellee merkitää Boreltodeäköisyysmittoje osakokoelmaa symbolilla M X. Mita µ B X kataja asetetaa joukkoa spt µ = X \ A. A τ:µ(a)=0 4

Kataja o siis aia suljettu joukko, joka ulkopuolella ei site tapahdu mita µ suhtee mitää mielekiitoista. Triviaalille ollamitalle kataja o aia tyhjä joukko. Saotaa, että joukko kataa mita, mikäli se sisältää mita kataja. Se o helppo ähdä pieimmäksi suljetuksi joukoksi C, jolle µ(x \ C) = 0. Mikäli spt µ o kompakti puhutaa kompaktikatajaisesta mitasta. Mitta-avaruude (X, A, µ) seuraavat perusomiaisuudet voidaa todetaa mitalle µ, katso todistusta varte [2, Propositio 3.5 s.14-15]. (i) Mootoisuus: mikäli A, B A ja A B, ii µ(a) µ(b). (ii) Numeroituva subadditiivisuus: mikäli A i A umeroituvalla ideksijoukolla I, ii tällöi µ ( i I A ) i i I µ(a i). (iii) Jatkuvuusomiaisuudet: mikäli o umeroituva mota joukkoa A 1, A 2,... A site, että a) A i A i+1 kaikilla i N, ii µ ( i=1 A i) = lim i µ(a i ). b) A i+1 A i kaikilla i N ja µ(a 1 ) <, ii µ ( i=1 A i) = lim i µ(a i ). Numeroituvaa subadditiivisuutta kutsutaa jatkossa pelkäksi subadditiiviisuudeksi. Näitä perusomiaisuuksia käytetää jatkossa ahkerasti ilma isompaa maiitaa. Joukkokuvausta µ : P(X) [0, ], joka toteuttaa mootoisuude ja subadditiivisuude, sekä µ ( ) = 0, kutsutaa ulkomitaksi. Toisiaa ulkomitta o kätevämpi työkalu, sillä se avulla voidaa mitata kaikkie osajoukkoje kokoa. Sopivissa topologisissa avaruuksissa äärellisiä Borel-mittoja voidaa approksimoida avoimilla ja suljetuilla joukoilla. Lemma 2.2. Olkoo (X, τ) topologie avaruus site, että jokaiselle suljetulle joukolle C X löytyy avoimet joukot U 1, U 2,... τ, joille U +1 U jokaisella N ja C = N U. Toisi saoe jokaie suljettu joukko o G δ -joukko. Tällöi mikäli µ B X o äärellie, ii jokaiselle Borel-joukolle A pätee µ(a) = if {µ(u) : U τ, A U} = sup {µ(c) : C o suljettu, C A}. Huomaa, että lemma 2.2 o voimassa erityisesti metriste avaruuksie äärellisille Borel-mitoille. Katso todistusta varte [25, Lause 6.1 s.147]. Todistus o esitetty vai metrise avaruude Borel-todeäköisyysmitoille mutta se yleistyy sellaiseaa lemma 2.2 laajuutee. Lemma omiaisuutta kutsutaa toisiaa Borelmita sääöllisyydeksi. Pykälä loppuu käydää läpi muutama tavallisi tapa kostruoida uusia mittoja. Näistä ehkä yksikertaisi esimerkki o summamitat: mikäli µ k ovat mitta-avaruude (X, A) mittoja umeroituvalla ideksijoukolla I, ii kuvaus k I C kµ k : A [0, ], missä C k [0, [ jokaisella k I ja jokaiselle A A asetetaa ( ) C k µ k (A) = C k µ k (A), k I o helppo todeta mitaksi. k I Toie esimerkki o s. rajoittumamitat: mikäli µ o mitta ja B A, ii kuvaus µ missä jokaiselle A A asetetaa µ B(A) = µ(b A), o myös helppo todeta mita µ suhtee absoluuttiseksi jatkuvaksi mitaksi. B : A [0, ], Ulkomittoje avulla voidaa myös idusoida mittoja. Mikäli X o epätyhjä joukko ja µ o se ulkomitta, ii saotaa, että joukko A P(X) o µ -mitallie, mikäli jokaiselle E P (X) µ (E) = µ (E A) + µ (E \ A). Merkitää µ -mitalliste osajoukkoje kokoelmaa symbolilla M µ. Nyt s. Caratheodory lause, katso vaikka [2, Lause 4.6 s.22-24], saoo, että M µ o sigma-algebra ja ulkomita µ rajoittuma tähä sigmaalgebraa o täydellie mitta. Sytyyttä mittaa kutsutaa usei sisämitaksi. Moessa tapauksessa 5

rajoitutaa kuiteki M µ : katamii pieempii sigma-algebroihi, jolloi puhutaa µ : idusoimasta mitasta. 2.2.2 Mitalliset kuvaukset Tarkastellaa seuraavaksi tavaomaisia mitallisia kuvauksia mitta-avaruudelta laajeetulle reaaliakselille R ja kompleksitasolle C Muodollie määritelmä asetetaa tällöi seuraavasti Määritelmä 2.3 (Mitallie kuvaus laajeetulle reaaliakselille R ja kompleksitasolle C). Olkoo (X, A) mitta-avaruus ja kuvaus f : X R. Tällöi f o mitallie mitta-avaruude suhtee, mikäli jokaiselle a R joukko {x X : f(x) > a} A. Sovitaa, että kuvaus kompleksitasolle g : X C o mitallie mitta-avaruude suhtee täsmällee silloi, ku se reaali- ja imagiääriosat ovat mitallisia. Jokaie reaaliarvoie kuvaus voidaa mieltää aia laajeetuksi reaaliarvoiseksi kuvaukseksi, jote mitallisuude määritelmä meee äille määritelmä 2.3 mukaisesti. Kuvauste mitallisuus ei siis riipu suoraa mitasta vaa mitta-avaruudesta. Määritelmä 2.3 perusteella o helppo ähdä, että kaikki vakiokuvaukset ja sigma-algebra joukkoje A A karaksteristiset fuktiot χ A ovat aia mitallisia. Mikäli X o topologie avaruus ja A = B(X), ii mitallisia kuvauksia kutsutaa Borel-kuvauksiksi. Tällöi erityisesti kaikki jatkuvat kuvaukset ovat määritelmäsä perusteella Borel-kuvauksia. Mitallisuus säilyy myös erilaisissa pisteittäisissä rajaprosesseissa jooille: mikäli (X, A) o mitta-avaruus ja (f ) =1 joo mitallisia kuvauksia X R, ii (i) supremum sup N f ja ifimum if N f ovat aia mitallisia, (ii) lim sup f ja lim if f ovat aia mitallisia ja (iii) mikäli joo pisteittäie raja-arvo lim f o määritelty, ii se o mitallie. Katso todistusta varte [14, Propositio 1.8 s.9-10]. Lukija o tosi helppo huomata, että kohta (iii) seuraa suoraa kohdasta (ii). Seuraavat tavaomaiset pisteittäiset operaatiot kahde mitallise kuvaukse välillä säilyttävät mitallisuude, katso [14, Propositio 1.9 s.10-11]. Olkoo mitta-avaruus (X, A) ja f, g : X R mitallisia kuvauksia. Tällöi (iv) tulo f g o aia mitallie (erityisesti mitalliste fuktioide reaalikerrat), (v) maksimimi ja miimi max{f, g} ja mi{f, g} ovat aia mitallisia ja (vi) summa f + g o mitallie, mikäli se o määritelty. Kuvaukse f : X R positiiviosa f + ja egatiiviosa f asetetaa kuvauksia f + = max{f, 0} ja f = max{ f, 0}. Tällöi f = f + f ja edelliste omiaisuuksie perusteella fuktio o mitallie täsmällee silloi, ku positiivi- ja egatiiviosat ovat sitä. Huomaa, että yt fuktio f : X R itseisarvo voidaa kirjoittaa f = f + + f, jolloi mitallise fuktio X R itseiarvo o aia mitallie. Mitallise fuktio f : X C itseisarvo o muotoa (Ref) 2 + (Imf) 2, joka mitallisuus seuraa yt aiemma ojalla havaiosta: mikäli g : X R o mitallie ja ei-egatiivie, ii g o myös mitallie. Tämä o lukija helppo verifioida suoraa määritelmä 2.3 avulla. Mitta-avaruudessa (X, A) yksikertaiset fuktiot ovat muotoa C k χ Ak, k=1 missä N, A k A ja C k R jokaisella k = 1,...,. Mikäli esityksessä olevat joukot muodostavat X: ositukse, ii kyseessä o ormaaliesitys. Jokaisella yksikertaisella fuktiolla o ormaaliesitys, mutta se ei ole välttämättä yksikäsitteie. Merkitää mitta-avaruude (X, A) yksikertaiste fuktioide kokoelmaa Y(X, A) ja iide ei-egatiiviste fuktioide osakokoelmaa symbolilla Y + (X, A). Jokaiselle ei-egatiiviselle mitalliselle kuvaukselle f : X R löytyy ouseva joo kuvauksia (f ) N Y + (X, A), site että f = lim f, katso kostruktiota varte [13, Lause 4.9 s.30]. 6

2.2.3 Mittaitegraaleista Tässä pykälässä esitellää kertaukseomaisesti mitta-itegraalie keskeiset perusomiaisuudet ja kovergessilauseet. Pykälä pohjautuu pääosi Kilpeläise luetomoiseesee [13, Luvut 5, 6 ja 14 s.32-43 ja s.90-95] katso myös [14, Luvut 3 ja 4 s.35-60]. Huomaa, että Kilpeläie o käsittelyissä käyttäyt erityistä mitta-avaruutta ja mittaa 1, mutta todistukset toimivat lähes sellaiseaa yleisessä mitta-avaruudessa Mitta-avaruude (X, A) ei-egatiivisille ja mitallisille kuvauksille f : X R määritellää itegraalit avaruude X yli mita µ suhtee luoka Y + (X, A) kuvauste alkeisitegraalie (mita µ suhtee) avulla. Tällöi kyseistä itegraalia merkitää tavaomaisesti f dµ. Erityisesti jokaiselle A A voidaa X kirjoittaa µ(a) = χ A dµ. X Lebesgue mootoise kovergessi lause sallii sopivat rajakäyit ei-egatiivisite fuktiojooje itegraaleille. Lause 2.4 (Lebesgue mootoise kovergessi lause). Olkoo mitta-avaruus (X, A), se mitta µ, (f ) =1 ouseva joo ei-egatiivisia mitallisia fuktiota X R ja f = lim f. Tällöi lim f dµ = f dµ. X X Lausetta käytetää jatkossa ahkerasti ilma eri viittausta puhue vai mootoise kovergessi lauseesta. Seuraavaksi laajeetaa itegraali määritelmää. Mikäli f : X R o mitallie, ii se itegraali mita µ suhtee o olemassa, mikäli X f + dµ < tai X f dµ < ja tällöi asetetaa f dµ = f + dµ f dµ. X X Edellee mitalliselle f : X R o määritelty itegraali yli epätyhjä jouko A mikäli kuvaukselle χ A f o itegraali olemassa ja tällöi taas f dµ = χ A f dµ. Toisiaa itegroiissa halutaa korostaa muuttujaa x A, jolloi merkitää f(x)dµ(x). A A Itegraali µ-ollamittaise jouko yli o aia määritelty mielivaltaiselle mitalliselle f : X R ja tällöi se o olla. Mitalliste kuvauste f, g : X R mahdollisesti määritellyille itegraaleille ovat seuraavat perusomiaisuudet voimassa. X (i) Mootoisuus: mikäli A f dµ ja g dµ ovat määritelty jolleki A A ja f g joukossa A, ii A A f dµ A g dµ. (ii) Positiivisuus: mikäli f > 0 joukossa A A, jolle µ(a) > 0, ii f dµ > 0. A (iii) Lieaarisuus: mikäli summa αf + βg o määritelty joukossa A A, itegraalit A f dµ ja A g dµ ovat määritelty ja luku α A f dµ + β g dµ o määritelty laajeetulla reaaliakselilla joilleki A α, β R, ii αf + βg dµ = α f dµ + β g dµ. A A A (iv) Additiivisuus: mikäli A k A umeroituvalla ideksijoukolla I ja itegraali k I A f dµ o k määritelty, ii tällöi A k f dµ o määritelty jokaisella k I ja k I A k 1 Euklidie avaruus, Lebesgue mitta ja mitalliset joukot f dµ = k I X A k f dµ. 7

Additiivisuude seurauksea saadaa, että mikäli mitalliset f ja g ovat samat melkei kaikkialla joukossa A A ja iide itegraalit ovat määritelty jouko yli, ii kyseiset itegraalit ovat samat. Mikäli ei-egatiivise ja mitallise fuktio itegraali yli mitallise jouko yli o olla, ii kyseie fuktio melkei kaikkialla joukossa olla vastaava mita suhtee. Jokaise mitallise fuktio f : X R itseisarvo itegraali jouko A A yli o yt f dµ = f + dµ + f dµ. A A Saotaa, että mitallie f : X R o itegroituva mikäli X f + dµ, X f dµ <. Huomaa, että tämä o yhtäpitävää ehdo f dµ < kassa. Erityisesti mikäli f ja g ovat µ-itegroituvia, ii max{f, g} X ja αf + βg ovat µ-itegroituva kaikilla α, β R. Tärkeä arvioitivälie o itegraali kolmioepäyhtälö: mikäli f : X R o mitallie ja f dµ o määritelty jolleki A A, ii tavallise kolmioepyhtälö A suoraa seurauksea f dµ = f dµ. A Mootoise kovergessi lause muotoiltii vai ei-egatiivisille fuktioille. Esitellää seuraavaksi toie klassie kovergessilause, joka toimii laajemmassa fuktiojoukossa. Lause 2.5 (Lebesgue domioidu kovergessi lause). Olkoo mitta-avaruus (X, A), se mitta µ ja (f ) =1 joo µ-itegroituvia fuktioita. Mikäli joo kovergoi pisteittäi rajafuktioo f ja löytyy µ-itegroituva g site, että g f kaikilla N, ii f o µ-itegroituva ja lim f dµ = f dµ. X X Lausetta 2.5 hyödyetää myös ahkerasti jatkossa ilma eri viittausta puhumalla vai domioidu kovergessi lauseesta. Mootoise ja domioidu kovergessi lauseet yleistyvät tapauksii, joissa joot kovergoivat mita mielessä melkei kaikkialla mitallisee rajafuktioo. Jokaiselle ei-egtiiviselle ja mitalliselle f : X R ja mitalle µ kuvaus µ f : A [0, ], missä jokaiselle A A, µ f (A) = f dµ, (2.1) o mita µ suhtee absoluuttisesti jatkuva mitta. Sopivissa tilateissa Rado Nikodymi lause takaa myös kääteise päättely. Lause 2.6 (Rado Nikodym). Olkoo (X, A) mitta-avaruus µ sigma-äärellie mitta A:ssa. Mikäli ν o A:ssa äärellie mitta, joka o absoluuttisesti jatkuva mita µ suhtee, ii löytyy mitta-avaruude suhtee mitallie ja ei-egatiivie f : X R site, että f o µ-itegroituva ja ν = µ f, missä µ f asetetaa yhtälö 2.1 mukaisesti. Lisäksi f o mita µ suhtee melkei kaikkialla yksikäsitteie. Lausee 2.6 muotoilu pohjautuu yt Bassi esityksee, katso [2, Lause 13.4 s.101-103]. Huomaa, että Bass käsittelee kuvauksia vai reaaliakselille ei laajeetulle, mutta tällä ei ole väliä. Mitalliselle fuktiolle kompleksitasolle itegraali yleistetää melko ituitiivisesti. Mitallie f : X C o µ-itegroituva täsmällee silloi, ku se reaali- ja imagiääriosat ovat sitä. Tällöi asetetaa f dµ = Ref dµ + i Imf dµ. X X Itegraali yli mitallise jouko määritellää kute aiemmi. Erityisesti itegraali lieaarisuus ja additiivisuus o helppo yleistää kompleksiste fuktioide itegraaleille. Itegraali kolmioepäyhtälö yleistämie vaatii se sijaa hiema mielikuvitusta, katso malliksi vaikka [2, Propositio 6.4 s.49]. Nyt mootoisuude ojalla { } Ref + Imf dµ (Ref)2 + (Imf) 2 dµ max Ref dµ, Imf dµ, X X X X 8 A A A X

jote mitallise f : X C µ-itegroituvuus o yhtäpitävää ehdo f dµ < kassa (kute reaalisessa tapauksessa). Myös domioidu kovergessi lause yleistyy sellaiseaa kompleksisee X tapauksee. Mitta-avaruude (X, A) suhtee mitalliselle kuvaukselle f asetetaa jokaise mitta-avaruude mita µ suhtee L p µ-semiormi itegraalia ( f p,µ = missä p [1, [. Edellee asetetaa L µ -semiormi X ) 1 f p p dµ, (2.2) f,µ = sup{t 0 : µ({x X : f(x) t}) > 0}. (2.3) Nyt fuktiota f, jolle f p,µ < jollai p [1, ], kutsutaa L p µ-fuktioksi. Tällöi L 1 µ-fuktio o yhtäpitävä µ-itegroituva fuktio kassa. Ogelmaksi mitta-avaruudelle (X, A) ja se mitalle µ muodostuvat tapaukset, joissa mitalliste kuvauste f ja g summa αf(x) + βg(x) o määritelty joillai α, β R mita µ mielessä melkei kaikilla x X, mutta ei välttämättä kaikilla x X. Nyt kuiteki löytyy mitallie kuvaus h, jolle h(x) = αf(x) + βg(x) µ-melkei kaikilla x X ja ogelma kiertämiseksi sovitaaki, että kuvaus αf + βg mita µ suhtee tarkoittaa tällaista mitallista kuvausta. Määritelmä o µ-ollamittaista joukkoa lukuuottamatta yksikäsitteie. Mikäli f ja g ovat µ-itegroituvia, ii itegraali additiivisuude ojalla äi asetettu αf + βg o määritelty itegroituvaa ja αf + βg dµ = α f dµ + β g dµ. A A A jokaisella A A. Mikäli µ-ollamittaisessa joukossa toisistaa poikkeavat mitalliset fuktiot samaistetaa ekvivalessiluokiksi, ii jokaiselle p [1, ] R- tai C-arvoiste L p µ-fuktioide joukosta saadaa reaalikertoimie L p µ-avaruus, L p µ-semiormista tulee kyseisessä avaruudessa L p µ-ormi ja tämä o ormiavaruutea Baach-avaruus, katso vaikka [13, s.67-73] (käsitelty Lebegue mitalle, mutta tarkastelut yleistyvät lähes sellaiseaa) tai [9, s.50-51]. Aiemmi esitetyissä kovergessilauseissa lähdetää liikkelle pisteittäisestä kovergessista rajafuktioo. Hiema päivastaise tyyppie päättely o myös voimassa. Lemma 2.7. Olkoo (X, A) mitta-avaruus, µ mitta A:ssa, (f ) =1 joo mitallisia ja µ-itegroituvia kuvauksia X R ja f : X R mitallie ja µ-itegroituva. Mikäli lim X f f dµ = 0, ii joolla o osajoo, joka suppeee µ-melkei kaikkialla pisteittäi kuvauksee f. Lemma pohjautuu yt Kilpeläise moistee esityksee, katso [13, s.72-73] ja erityisesti sieltä lause 10.8. Tarkastelut o taas tehty vai Lebesgue mitalle, mutta e yleistyvät lähes sellaiseaa yleisee tapauksee. 2.2.4 Muuttujavaihto itegroiissa Edellisessä pykälässä määriteltii mitalliset kuvaukset mitta-avaruudelta laajeetulle reaaliakselille. Palataa taaksepäi tarkastelemaa kuvauksia mitta-avaruudelta (X, A) aetulle epätyhjälle joukolle Y. Olkoo kuvaus F : X Y. Aluksi o helppo todeta, että kokoelma A F = { A P(Y ) : F 1 (A) A } o sigma-algebra, jolloi kuvaus F idusoi uude mitta-avaruude (Y, A F ). Tällöi kuvausta F voi pitää luoollisea mitta-avaruuksie (X, A) ja (Y, A F ) välillä. Tämä ataa aihee seuraavii määritelmii. 9

Määritelmä 2.8 (Mitallisuus ja mitallisuude säilyttämie). Olkoo (X, A) ja (Y, B) mitta-avaruuksia, sekä kuvaus F : X Y. Saotaa, että kuvaus F o mitallie mitta-avaruuksie (X, A) ja (Y, B) välillä, mikäli jokaiselle B B alkukuva F 1 (B) A. Mikäli taas F (A) B kaikilla A A, ii saotaa, että F säilyttää mitallisuude em. mitta-avaruuksie välillä. Mikäli (X, A) o mitta-avaruus ja F : X X o mitallie mitta-avaruudelta itsellee, ii saotaa, että F o A-mitallie. Mitallisuude määritelmää 2.8 voi pitää yt määritelmä 2.3 yleistykseä. Sillä yt mitalliset kuvaukset mitta-avaruudelta (X, A) laajeetulle reaaliakselille ovat määritelmä 2.8 ojalla mitallisia kuvauksia mitta-avaruudelta (X, A) mitta-avaruudelle (R, S(R)), missä S(R) o suppei sigmaalgebra joukossa R, joka sisältää joukot ]a, ] kaikilla a R. Tällöi S(R) o helppo ähdä leikkaukseksi kaikista iistä sigma-algebroista, jotka sisältävät joukot ]a, ]. Määritelmä 2.8 kosepteja käytetää usei tuottamaa uusia mittoja. Seuraava havaito o lähes triviaali todistaa. Lemma 2.9. Olkoo (X, A) ja (Y, B) mitta-avaruuksia, µ A: mitta ja ν B: mitta, sekä kuvaus F : X Y. Mikäli (i) F o mitallie, ii joukkokuvaus µ F 1 (µ F 1 )(B) = µ(f 1 (B)), o mitta. : B [0, ], missä jokaiselle B B asetetaa (ii) F o mitallisuude säilyttävä ja ijektiivie, ii joukkokuvaus ν F : A [0, ], missä jokaiselle A A asetetaa (ν F )(A) = ν(f (A)), o mitta. Tapauksessa (i) sytyyttä mittaa kutsutaa etee työetyksi mitaksi kuvaukse F suhtee ja tapauksessa (ii) sytyyttä mittaa kuvamitaksi. Seuraavaksi esiteltävä klassie muuttujavaihtolause mahdollistaa itegroii vaihdo mitta-avaruudesta toisee. Lause 2.10 (Muuttujavaihtolause). Olkoo (X, A) ja (Y, B) mitta-avaruuksia, µ mitta A:ssa, g : Y K, missä K = R tai K = C, mitallie mitta-avaruude (Y, B) suhtee ja F : X Y mitallie kuvaus em. mitta-avaruuksie välillä. Nyt itegraali Y g d(µ F 1 ) o määritelty täsmällee silloi, ku itegraali g F dµ o määritelty. X Tällöi g d(µ F 1 ) = g F dµ. Y Erityisesti yt g o µ F 1 -itegroituva täsmällee silloi, ku g F o µ-itegroituva. Voidaa olettaa, että kyseessä o kuvaus laajeetulle reaaliakselille. Edellee itegraali lieaarisuude ojalla o riittävää o osoittaa, että g: ollessa ei-egatiivie yhtälö g d(µ F 1 ) = g F dµ. (1) Y o voimassa. Huomaa, että yt g F : X R o mitallie mitta-avaruude (X, A) suhtee ja lemma 2.9 ojalla µ F 1 o mitta sigma-algebrassa B. Mikäli g o jouko B B karakteristie fuktio, ii g F o jouko F 1 (B) karakteristie fuktio ja oletukse perusteella F 1 (B) A. Tällöi g d(µ F 1 ) = χ B d(µ F 1 ) = (µ F 1 )(B) = µ(f 1 (B)) = χ F 1 (B) dµ = g F dµ. Y Y Tästä edellee lieaarisuude ojalla o helppo päätellä, että yhtälö (1) o voimassa kaikille yksikertaisille g Y + (Y, B). Mikäli g o ei-egatiivie ja mitallie, ii edellise pykälä perusteella löytyy ouseva joo yksikertaisia fuktioita (g ) =1 Y + (Y, B), site että lim g = g. Tällöi fuktiojoo (g F ) =1 Y + (X, A) o ouseva ja lim g F = g F. Site soveltamalla tätä tietoa, yhtälö (1) voimassaoloa luoka Y + (Y, B) kuvauksille ja mootoise kovergessi lausetta ähdää, että yhtälö (1) o voimassa kuvaukselle g. X X X X 10

Muuttujavaihtolauseesta o yt helppo keksiä erilaisia variatteja. Erityisesti mikäli F : X Y o bijektio, F ja kääteiskuvaus F 1 ovat mitallisia mitta-avaruuksie (X, A) ja (Y, B) välillä, ν o B: mitta ja g : Y R mitallie (Y, B): suhtee, ii lausee 2.10 ojalla itegraali Y g dν = Y g d(ν F F 1 ) o määritelty täsmällee silloi, ku itegraali g F d(ν F ) o määritelty. Lisäksi tällöi X g dν = g F d(ν F ). 2.3 Metrisistä avaruuksista 2.3.1 Merkiöistä ja jatkuvista kuvauksista Y X Metriset avaruudet oletetaa tuetuiksi, jote käsitellää ja kerrataa tässä pykälässä lähiä käytettäviä merkitöjä ja muutama aputulos. Metristä avaruutta merkitää muodollisesti (X, d), missä X tarkoittaa epätyhjää perusjoukkoa ja d siiä olevaa metriikkaa. Yleesä kuiteki puhutaa vai metrisestä avaruudesta X. Metrisee avaruutee (X, d) määritellää jokaiselle x X ja r R + tavaomaisee tapaa avoi pallo B(x, r) = {y X : d(y, x) < ε} ja suljettu pallo B(x, r) = {y X : d(y, x) ε}. Avoimet pallot täydeettyä tyhjällä joukolla muodostavat kaa metriika idusoimaa topologiaa ja avoita palloa vastaava suljettu pallo o suljettu kyseisessä topologiassa (mutta ei välttämättä ole vastaava avoime pallo sulkeuma). Mikäli topologisee avaruutee (X, τ) saadaa metriikka, joka idusoi topologia τ, puhutaa metristyvästä avaruudesta. Usei ei kuitekaa tarvita mitää erityise metriika omiaisuuksia, jolloi o mielekästä puhua vai metristyvästä avaruudesta. Työssä käsitellää lähiä separoituvia metrisiä avaruuksia, eli metrisiä avaruuksia, joilla o umeroituva tiheä osa. Tällaiset avaruudet ovat topologisia avaruuksia tuetusti aia N 2 -avaruuksia. Separoituville metrisille avaruuksille o helpohko todeta seuraava havaito. Lemma 2.11. Separoituva metrise avaruude jokaie epätyhjä osa separoituu. Mikäli (X, d) o metrie avaruus, ii epätyhjälle osajoukolle A X määritellää halkaisija diam(a) = sup d(x, y). x,y A Tyhjälle joukolle asetetaa diam( ) = 0. Edellee kahde epätyhjä osajouko A ja B välie etäisyys asetetaa dist(a, B) = if d(x, y). Tästä erikoistapauksea saadaa pistee etäisyys joukosta vastaava yksiö etäisyyteä joukosta. Tyhjä jouko etäisyys mielivaltaisesta joukosta asetetaa muodollisesti ollaksi. Tarkastellaa seuraavaksi reaaliarvoisia kuvauksia metristyviltä avaruuksilta. Olkoo X metrie tai metristyvä avaruus ja kuvaus f : X R. Kuvaukse kataja tai supportti asetetaa tavaomaisesti topologisea sulkeumaa sptf = {x X : f(x) 0}. Mikäli sptf o kompkti, ii saotaa, että f o kompaktikatajaie. Pääasiallie mielekiito keskittyy yt jatkuvii kuvauksii. Merkitää jatkuvie kuvauste X R luokkaa symbolilla C(X; R). Edellee C B (X; R) tarkoittaa rajoitettuje ja jatkuvie kuvauste osakokoelmaa ja C 0 (X; R) kompaktikatajaiste ja jatkuvie kuvauste osakokoelmaa. Huomaa ikluusioketju C 0 (X; R) C B (X; R) C(X; R). Mikäli metristyvä avaruus X o kompakti, ii tällöi C(X; R) = C B (X; R) = C 0 (X; R). Jokaie äistä kokoelmista voidaa varustaa reaalikertoimiseksi vektoriavaruudeksi. Kompleksiarvoisille kuvauksille määritellää vastaavasti kokoelmat C(X; C), C B (X; C) ja C 0 (X; C) kui reaalisessa tapauksessa. Nämä palautuvat yt vai vastaavie reaali ja -imagiääriosie tutkimisee. Pykälä lopussa esitellää muutama aputulos, jota tarvitaa jatkossa. Tasaisesti jatkuvat kuvaukset tiheissä joukoissa voidaa laajetaa yksikäsitteisesti metrisissä avaruuksissa. Lemma 2.12. Olkoo (X, d) metrie avaruus ja Γ X se tiheä osa ja f : Γ R tasaisesti jatkuva metriika d suhtee. Tällöi löytyy yksikäsitteie jatkuva kuvaus f : X R site, että f Γ = f. Lisäksi tällöi f o tasaisesti jatkuva. x A y B 11

Kiiitetää aluksi x X. Tällöi löytyy joo (x ) =1 Γ site, että lim d(x, x ) = 0 ja site sup k,l N d(x k, x l ) 0, ku N. Silloi f : tasaise jatkuvuude ojalla (f (x )) =1 o Cauchy-joo, joka suppeee reaaliakseli täydellisyyde ojalla. Olkoo ε > 0 aettu. Tällöi tasaise jatkuvuude ojalla löytyy δ ε R + site, että jokaiselle u, v Γ ehdosta d(u, v) < δ ε seuraa f (u) f (v) < ε 2. (1) Valitaa yt ε N site, että x ε B(x, δε 2 ) ja a) f (x ε ) lim f (x ) < ε 2. Tällöi kaikilla z B(x, δε 2 ) pätee kolmioepäyhtälö ojalla, että d(z, x ε ) < δ ε. Site f (z) lim f (x ) f (z) f (x ε ) + f (x ε ) lim f (x ) < ε 2 + ε 2 = ε. (1)+a) Tämä implikoi, että f (z) lim f (x ), ku z x joukossa Γ metriika d suhtee, eli raja-arvo o joosta (x ) =1 riippumato. Tällöi kuvaus f : X R, missä jokaiselle x X f(x) = lim f (z), z x z Γ o hyvi määritelty. Selvästi myös f Γ = f. Olkoo ε > 0 aettu ja δ ε kute aiemmi f : tasaisee jatkuvuute liittye. Olkoo sitte x, y X site, että d(x, y) < δε 2. Nyt fuktio f määritelmä ojalla löytyy x ε B(x, δε 4 ) Γ ja y ε B(y, δε 4 ) Γ site, että b) f (x ε ) f(x), f (y ε ) f(y) < ε 4. Kolmio-epäyhtälö ojalla d(x ε, y ε ) < δ ε ja site f(x) f(y) f(x) f (x ε ) + f (x) ε f (y ε ) + f (y ε ) f(y) (1)+b) < ε 4 + ε 2 + ε 4 = ε. Tämä implikoi kuvaukse f tasaise jatkuvuude. Yksikäsitteisyys o edellee helppo päätellä. Palautetaa mielee, että metrise avaruude jatkuvie reaaliarvoiste fuktioide perhe {g k } k I o yhtäjatkuva, jos jokaiselle x X ja ε > 0 löytyy δ x,ε R + site, että g k (B(x, δ x,ε )) ]g k (x) ε, g k (x) + ε[ jokaiselle k I. Mikäli e ovat tasaisesti jatkuvia, ii puhutaa tasaisesti yhtäjatkuvasta perheestä. Perhe o rajoitettu, mikäli sup x X k I g k (x) <. Seuraava Arzelà Ascoli-tyyppie tulos o voimassa separoituvissa metrisissä avaruuksissa. Lemma 2.13. Olkoo (X, d) separoituva metrie avaruus ja (f ) =1 rajoitettu joo tasaisesti yhtäjatkuvia reaaliarvoisia kuvauksia. Tällöi löytyy tasaisesti jatkuva f : X R ja osajoo (f k ) k=1 site, että f k f pisteittäi, ku k. Aetaa vai todistukse pääidea ja yksityiskohdat jätetää lukijalle. Aluksi rajoitteueisuutta ja diagoaaliargumettia hyödytäe löytyy osajoo (f k ) k=1 joka suppeee pisteittäi avaruude X jossai umeroituvassa ja tiheässä osassa johoki kuvauksee f : Γ R. Tämä o helppo ähdä yt tasaisesti yhtäjatkuvaksi kuvauste f k Γ kassa. Lemma 2.12 ojalla tämä voidaa laajetaa yksikäsitteisesti tasaiseksi jatkuvaksi kuvaukseksi f : X R. Viimeie vaihe o päätellä, että (f k ) k=1 suppeee pisteittäi kuvauksee f kaikkialla. Huomaa, että lemmassa esiityvä kuvaus ei ole välttämättä yksikäsitteie. Tarkastele esimerkiksi jooa (f ) =1, jossa f 2k (x) = 0 ja f 2k+1 (x) = 1 kaikilla x X ja k N. 2.3.2 Fuktioavaruus C B (X; R) Käsitellää tässä joitai fuktioaaliaalyysi perusfaktoja metristyvie avaruuksie X reaaliarvoiste, jatkuvie ja rajoitettuje fuktioide fuktioavaruuksista C B (X; R). Tässä pykälässä X o metristyvä avaruus. Jokaiselle f C B (X; R) määritellää tasaise suppeemise ormi tai sup-ormi asettamalla f = sup f(x). x X 12

Tällöi tuetusti o ormi vektoriavaruudessa C B (X; R) ja ormiavaruus. Jatkossa puhutaa usei vai ormiavaruudesta C B (X; R), jolloi tarkoitetaa ormiavaruutta (C B (X; R), ). Mikäli (f ) =1 o Cauchy-joo ormiavaruudessa C B (X; R), o helppoa ähdä, että joo suppeee ormi mielessä johoki kuvauksee f C B (X; R). Siispä ormiavaruus C B (X; R) o Baach-avaruus, mutta C 0 (X; R) ei ole välttämättä eää se suljettu ormialiavaruus. Mikäli L : C B (X; R) R o lieaarikuvaus, ii fuktioaaliaalyysistä muistetaa, että L o ormi suhtee jatkuva täsmällee silloi, ku se operaattoriormi, joka asetetaa L op = sup { L(f) : f 1}, o äärellie, eli L o rajoitettu fuktioaali. Normiavaruude C B (X; R) ormiduaali asetetaa yt kokoelmaa C B (X; R) = {L : C B (X; R) R o lieaarie : L op < }. Tämä o reaalikertoimie vektoriavaruus ja varustettua operaattoriormilla se o tuetusti Baachavaruus. Normiavaruudessa C B (X; R) jatkuva lieaarikuvaukse W : C B (X; R) (X; R) duaalikuvaus W : C B (X; R) C B (X; R) asetetaa jokaiselle T C B (X; R) W (T ) = T W. Selvästi duaalikuvaus o tällöi hyvi määritelty lieaarikuvaus ja jatkuva operaattoriormi suhtee. Mikäli fuktiojoo (f ) =1 C B (X; R) suppeee ormi mielessä fuktioo f C B (X; R), ii tällöi lim L(f ) = L(f) jokaisella L C B (X; R), koska ämä ovat jatkuvia em. ormi suhtee. Käätäe saotaa, että rajoitettuje fuktioaalie joo (L ) =1 C B (X; R) suppeee heikosti rajoitettuu fuktioaalii L C B (X; R), mikäli jokaisella f C B (X; R) lim L (f) = L(f). Mikäli jokaiselle f C B (X; R) asetetaa kuvaus H f : C B (X; R) R, missä jokaiselle L C B (X; R) asetetaa H f (L) = L(f), (2.4) ii o helppo ähdä, että kuvaus H f o jatkuva lieaarikuvaus operaattoriormi op suhtee. Tällöi joo (L ) =1 C B (X; R) suppeee heikosti rajoitettuu fuktioaalii L C B (X; R) täsmällee silloi, ku lim H f (L) = H f (L) jokaisella f C B (X; R). Tästä päästää s. heikko*-topologia määritelmää. Määritelmä 2.14. Olkoo X metristyvä avaruus. Tällöi heikko*-topologia ormiduaalissa C B (X; R) o suppei topologia site, että yhtälö 2.4 mukaie kuvaus H f : C B (X; R) R o jatkuva jokaisella f C B (X; R). Suppei topologia o hyvi määritelty tässä tapauksessa, katso kostruktiota varte [21, s.16-19]. Seuraavat faktat voidaa yt verifioida heikko*-topologiaa liittye. (i) C B (X; R) varustettua heikko*-topologialla o Hausdorff-avaruus. (ii) Joukot {T C B (X; R) : H f (T ) H f (W ) < ε}, missä W C B (X; R) ja ε > 0, muodostavat ormiduaali C B (X; R) heikko*-topologia alikaa, eli kata saadaa kaikista äide joukkoje keskiäisistä äärellisistä leikkauksista. (iii) C B (X; R) varustettua heikko*-topologialla o lokaalisti koveksi, eli jokaiselle T C B (X; R) ja joukolle U, joka o avoi heikko*-topologiassa ja T U, löytyy koveksi ja heikko*-topologiassa avoi V, jolle T V U. (iv) C B (X; R) varustettua heikko*-topologialla o topologie vektoriavaruus, eli vektoriavaruude laskutoimitukset summaus + ja skaalarilla kertomie { + : C B (X; R) C B (X; R) C B (X; R) : R C B (X; R) C B (X; R) ovat jatkuvia vastaavie tuloavaruustopologioide suhtee. 13

(v) Lieaarikuvaus H : C B (X; R) R o jatkuva heikko*-topologia suhtee täsmällee silloi, ku H = H f jollai f C B (X; R). (vi) Kuvaus F : Y C B (X; R), missä Y o epätyhjä topologie avaruus ja C B (X; R) o varustettu heikko*-topologialla, o jatkuva täsmällee silloi, mikäli yhdiste H f F : Y R o jatkuva jokaisella f C B (X; R). Faktat pohjautuvat yt Nagy moistee kappalee 4 esityksee, katso erityisesti [21, s.79-82]. Joo (L ) =1 C B (X; R) suppeemie heikossa topologiassa o yt helppo ähdä aiemmi määritellyksi heikoksi suppeemiseksi kohda (ii) perusteella. Saotaa edellee, että rajoitettuje fuktioaalie joukko A C B (X; R) o heikosti kompakti, mikäli se o kompakti heikko*-topologiassa. Edellee saotaa, että A o heikosti jookompakti, mikäli se o sitä heikko*-topologiassa sitä, ts. jokaisella A: joolla o osajoo, joka suppeee johoki se pistesee heikko*-topologiassa eli heikosti. Lieaarikuvaukse jatkumie operaattoriormi mielessä takaa myös se duaalikuvaukse jatkuvuude operaattoriormi suhtee. Näi käy myös heikko*-topologiassa. Lemma 2.15. Olkoo W : C B (X; R) C B (X; R) lieaarie ja jatkuva ormi suhtee. Tällöi se duaalikuvaus W : C B (X; R) C B (X; R) o jatkuva heikko*-topologiassa. Koskapa yt jokaisella f C B (X; R) yhdiste H f W = H W (f) o määritelmä ojalla jatkuva heikko*- topologiassa, ii väite seuraa edellä todetusta omiaisuudesta (vi) heikko*-topologialle. Päättely toisee suutaa o luoollisesti myös voimassa, sillä heikko*-topologia sisältyy operaattoriormi idusoimaa topologiaa. Topologisii vektoriavaruuksii liittye työssä tarvitaa myös erittäi epätriviaalia Schauder Tihoovi kiitopistelausetta, katso [6, Lause 2.1.1 s.36]. Lause 2.16 (Schauder Tihoov). Olkoo X topologie vektoriavaruus, joka o lokaalisti koveksi ja Hausdorff-avaruus. Mikäli V X o epätyhjä, kompakti ja koveksi, sekä F : V V o jatkuva, ii kuvauksella F o kiitopiste joukossa V, eli löytyy z V site, että F (z) = z. Huomaa, että lausetta 2.16 voidaa yt soveltaa yt ormiaduaalissa C B (X; R), joka o varustettu heikko*-topologialla. 2.3.3 Mittoje heikko kovergessi ja jookompaktius Tarkastellaa edellee metristyvä avaruude X fuktioavaruutta C B (X; R), joka o siis varustettu supormilla. Nyt jokaiselle äärelliselle µ B X itegraalioperaattori T µ : C B (X; R) R, missä jokaiselle f C B (X; R) T µ (f) = f dµ, (2.5) o lieaarie. Nyt itegraali mootoisuude ja kolmioepäyhtälö ojalla o helppo todeta, että T µ : operaattoriormi T µ op = X 1 dµ = µ(x) <, jolloi T µ C B (X; R). Itegraali mootoisuudesta johtue kyseie fuktioaali o positiivie, eli T µ (f) 0, ku f 0. Koska X o metristyvä, ii äärelliste Borel-mittoje sääöllisyyttä hyödytäe (lemma 2.2) voidaa osoittaa, että mikäli äärellisille µ, ν B X pätee T µ = T ν, ii µ = ν. Katso todistusta varte [25, Lause 6.2 s.147-148] (todistus o aettu Borel-todeäköisyysmitoille, mutta yleistyy sellaiseaa). Tällöi jokaie mitta µ B X voidaa samaistaa vastaavaa itegraalioperaattorii T µ. Kompaktissa metristyvässä avaruudessa K tuettu Rieszi esityslause takaa myös päivastaise päättely. Huomaa, että tällöi C B (K; R) = C(K; R). Lause 2.17 (Rieszi esityslause). Olkoo K kompakti metristyvä avaruus ja T : C(K; R) R lieaarie ja positiivie. Tällöi löytyy yksikäsitteie µ B K site, että jokaiselle f C(K; R) T (f) = f dµ. X K 14

Todistusta varte katso esimerkiksi [2, Lause 17.3 s.159-162]. Huomaa, että kuvaukselta T ei vaadita itse asiassa a priori jatkuvuutta ormi suhtee. Palataa takaisii yleisee metristyvää avaruutee X. Aalogisesti saotaa, että äärelliste Borelmittoje joo (µ ) =1 B X kovergoi heikosti äärellisee Borel-mittaa µ B X, mikäli vastaava itegraalioperaattorijoo (T µ ) =1 suppeee heikosti itegraalioperaattorii T µ. Tällöi seuraava arvio o voimassa, vertaa [17, Lause 1.24 s.19]. Lemma 2.18. Olkoo X metristyvä avaruus ja (µ k ) k=1 joo se äärellisiä Borel-mittoja, jotka kovergoivat heikosti avaruude X äärellisee Borel-mittaa µ. Tällöi jokaisella avoimella U X µ(u) lim if µ k(u). k Oletetaa, että avaruudessa X o yt joku topologia kassa yhteesopiva metriikka d. Määritellää metriika d avulla jokaiselle j N kuvaus f j : X R, missä jokaiselle x N f j (x) = mi { 1, dist(x, X \ U) j 1 Jokaie f j o selvästi jatkuva kuvaus, a) 0 f 1 f 2... χ U ja lim j f j = χ U. Tällöi soveltamalla b) mootoise kovergessi lausetta saadaa µ(u) = χ U dµ = b) lim f j dµ = lim lim f j dµ k X j X j k X a) = lim sup lim if f j dµ k lim sup lim if χ j k X j k U dµ k X = lim if χ k U dµ k = lim if µ k(u). k X }. Metristyvä avaruude äärelliste Borel-mittoje mielivaltaista joukkoa saotaa edellee heikosti kompaktiksi, mikäli vastaavie itegraalioperaattorie kokoelma o sitä heikko*-topologiassa. Vastaavasti saotaa, että äärelliste Borel-mittoje mielivaltaie joukko o heikosti jookompakti, mikäli vastaavie itegraalioperaattorie kokoelma o sitä heikko*-topologiassa. Tällöi jouko jokaie joo sisältää osajoo, joka suppeee heikosti johoki jouko mittaa. Voidaa osoittaa, että kompakti metristyvä avaruude todeäköisyysmittoja vastaavie itegraalioperaattorie joukko o aia kompakti ja metristyvä heikko*-topologiassa. Katso tarkasteluja varte [25, s.148-150]. Lause 2.19. Olkoo K kompakti metristyvä avaruus. Tällöi {T µ : µ M K } C(K; R) o metristyvä heikko*- topologiassa. Edellee se o kompakti heikko*-topologiassa. Metristyvyyde ojalla kompaktius o yt ekvivalettia jookompaktiude kassa. Saotaa, että metristyvä avaruude Borel-mittoje mielivaltaie osakokoelma E B X o tiivis, mikäli jokaiselle ε > 0 löytyy kompakti joukko K ε X site, että µ(x \ K ε ) < ε jokaiselle µ E. Prokhorovi lause toteaa, että tiiviys metristyvä avaruude Borel-todeäköisyysmittoje joolle implikoi osajoo heikkoa kovergessia johoki todeäköisyysmittaa. Lause 2.20 (Prokhorov). Olkoo X metristyvä. Mikäli Borel-todeäköisyysmittoje joo (µ ) =1 M X o tiivis, ii sillä o osajoo, joka suppeee heikosti johoki mittaa µ M X. Katso todistusta varte esimerkiksi [3, Lause 30.4 s.239-240]. Prokhorovi lausetta voi site pitää lausee 2.19 yleistykseä separoituvissa avaruuksissa. 15

2.4 Euklidisista avaruuksista 2.4.1 Merkitöjä ja mittateoreettisia tuloksia Symbolilla R, N, merkitää tavaomaista -ulotteista reaalista euklidista sisätuloavaruutta, joka algebralliset ja topologiset struktuurit oletetaa tuetuiksi. Käydää muodollisesti läpi muutama perusotaatio ja -tulos. Merkiällä e i, missä i = 1,...,, tarkoittaa i. stadardikatavektoria. Jokaiselle pisteelle x R o yksikäsitteie esitys x = i=1 x ie i stadardikaassa, missä x i R o i. koordiaatti tai karteesie kompoetti. Tavaomaisempi merkitä o tällöi x = (x 1,..., x ). Tavaomaie euklidie sisätulo määritellää pisteide x, y R välille stadardikaassa asettamalla x y = i=1 x iy i. Tämä idusoi euklidise ormi, joka asetetaa jokaiselle x R x = x x. Euklidie avaruus R o o siis varustettu euklidisella sisätulolla ja ormilla. Tällöi se o ormiavaruutea tuetusti täydellie, jolloi se o ormiavaruute Baach-avaruus ja sisätuloavaruutea Hilbert-avaruus. Euklidise ormi idusoimassa euklidisessa metriikassa avoimia ja suljettuja palloja merkitää kute yleisissä metrisissä avaruuksissa. Sisätulolle o voimassa klassie CBS 2 -epäyhtälö, joka saoo, että jokaiselle x, y R pätee x y x y. (Tätä käytetää yleesä hyödyksi, ku halutaa osoittaa, että euklidie ormi o todellaki ormi.) Kute ei-egatiivisille jooille fuktoille f, g : R [0, ] merkitä f(x) = O(g(x)) tarkoittaa, että löytyy C, R [0, [ site, että f(x) Cg(x) kaikilla x R \ B(0, R). Fuktoide jatkuvuus euklidisessa avaruudessa tarkoittaa jatkossa luoollisesti jatkuvuutta euklidise ormi suhtee. Käytetää tässä yhteydessä yksikertaistetumpia merkitöjä jatkuvie ja jatkuvie kompaktikatajaiste fuktioide luokista C(R ) := C(R ; R) ja C 0 (R ) := C 0 (R ; R). Jatkossa tarvitaa alhaalta puolijatkuvia fuktioita. Alhaalta puolijatkuvuus ei-egatiivisille fuktioille voidaa avaruudessa R määritellä seuraavalla tavalla. Määritelmä 2.21 (Ei-egatiivise fuktio alhaalta puolijatkuvuus). Ei-egatiivie kuvaus f : R R o puolijatkuva, mikäli löytyy ouseva joo ei-egatiivisia ja kompkatikatajaisia kuvauksia f i : R R, i N, site, että f o äide pisteittäie raja-arvo f = lim i f i. Differetiaalilasketa euklidisissa avaruuksissa oletetaa myös tuetuksi, jote esitellää lähiä muutama otaatio ja määritelmä. Kuvauksella f : R R o pisteessä x R osittaisderivaatta i. karteesise kompoeti suhtee, mikäli raja-arvo f(x + te i ) f(x) lim t 0 t o olemassa. Mikäli tämä o olemassa jokaisella x R, ii kuvaukselle f o määritelty i. osittaisderivaatta kuvauksea i f : R R, missä jokaiselle x R i f(x) = lim t 0 t 1 [f(x + te i ) f(x)]. Näide avulla määritellää rekursiivisesti k. kertaluvu osittaisderivaatat tavaomaisee tapaa. Erikoistapauksea merkitä k i f(x) tarkoittaa k. kertaista peräkkäistä osittaiderivaattaa pisteessä x R i. karteesise kompoeti suhtee, mikäli se o olemassa. Vastaavaa osittaisderivaattaa (jos se o olemassa) merkitää k i f. Merkitää symbolilla Ck (R ) iide kuvauste R R luokkaa, joille kaikki k. kertaluvu osittaisderivaatat ovat jatkuvaa olemassa, ja symbolilla C k 0 (R ) C k (R ) kompaktikatajaiste kuvauste osakokoelmaa. Luoka C k (R ) kuvaukset ovat luoollisesti jatkuvia ja luoka C k 0 (R ) kuvaukset rajoitettuja. Huomaa, että C k (R ) C l (R ), mikäli k l. Sileide fuktoide luokka asetetaa C (R ) = C k (R ), k=1 eli sileillä fuktioilla o kaikkie kertalukuje osittaisderivaatat jatkuvia olemassa. Näide kaikkie kertalukuje osittaisderivaatat ovat edellee sileitä. Erityise mielekiio kohteea o kompaktikatajaiste fuktioide osakokoelma C 0 (R ) C (R ), jota kutsutaa s. testifuktioide luokaksi. Jatkossa mittateoreettiset tarkastelut euklidisessa avaruudessa pysyvät euklidise ormi idusoima topologia Borel-sigma-algebrassa B(R ), eli melkei kaikki avaruude R joukot, joita tarkastellaa, ovat Borel-joukkoja. Euklidise avaruude yhteydessä Borel-mitoilla tarkoitetaa kokoelma B R mittoja. Lähes kaikki jatkossa esiityvät fuktiot R R, C ovat Borel-fuktioita. Huomaa, että määritelmä 2 Cauchy Schwartz Bujakowski 16

2.21 perusteella kaikki ei-egatiiviset ja alhaalta puolijatkuvat fuktiot ovat Borel-fuktioita. Mikäli µ o avaruude R, ii saotaa, että R- tai C-arvoie Borel-kuvaus f o lokaalisti itegroituva µ: suhtee, mikäli χ A f o µ-itegroituva jokaisella rajoitetulla Borel-joukolla A R. Edellee saotaa, että avaruude R Borel-mitta o lokaalisti äärellie, mikäli jokaiselle pisteelle x R löytyy r > 0 site, että µ(b(x, r)) <. Tämä o yt yhtäpitävää avaruudessa R se kassa, että µ(k) < jokaisella kompaktilla K R. Omiaisuus implikoi sigma-äärellisyyde. Lokaalisti äärelliste Borel-mittoje suhtee itegroituvia Borel-kuvauksia voidaa approksimoida itegraali mielessä luoka C 0 (R ) kuvauksilla. Lause 2.22. Olkoo µ avaruude R lokaalisti äärellie Borel-mitta ja f : R R Borel-fuktio ja µ-itegroituva. Tällöi jokaiselle ε > 0 löytyy f ε C 0 (R ) site, että R f ε f dµ < ε. Todistusideaa varte katso esimerkiksi [2, Lause 8.4 s.65-66]. Tämä tarkastelu o yt tehty vai Lebesgue mitalle reaaliakselilla, mutta todistus yleistyy lausee 2.22 tapauksee. Kaikki palautuu siihe, että mikäli A R o rajoitettu Borel-joukko, ii se karakteristista fuktiota voidaa approksimoida lausee mukaisella tavalla. Tätä varte hyödyetää Borel-mittoje sääöllisyysomiaisuutta. Ts. jokaiselle ε > 0 löytyy suljettu C ε ja avoi U ε site, että C ε A U ε ja µ(u ε \C ε ) < ε. Mikäli µ o äärellie tämä o suora seuraus lemmasta 2.2. Mikäli µ o lokaalisti äärellie, ii omiaisuus saadaa pääteltyä rajoittumalla avoimee palloo B(0, R) site, että A B(0, R), ja käyttämällä rajoittumamittaa µ B(0, R) (lokaalista äärellisyydestä seuraa rajoittumamita äärellisyys). Klassisista peitelauseista jatkossa tarvitaa Vitali peitelausee seuraavalaista versiota. Lause 2.23 (Vitali peitelause). Olkoo µ avaruude R lokaalisti äärellie Borel-mitta, Borel-joukko A ja suljettuje palloje kokoelma S site, että jokaiselle pisteelle x A pätee if{r : B(x, r) S} = 0. Tällöi löytyy pisteet x i A ja pallot B(x i, r i ) S umeroituvalla ideksijoukolla I site, että pallot B(x i, r i ) ovat keskeää pareittai pistevieraat ja ( ) µ A \ i I B(x i, r i ) Todistusta varte katso [17, Lause 2.8 s.34-35]. Muotoilu ja todistus o yt tehty Rado-ulkomitoille, mutta lausee 2.23 tapaus meee oleellisesti samaa tapaa. Fubii lause tarvitaa tässä työssä vai euklidisissa avaruuksissa, mutta Fubii toimii yleisissä mittaavaruuksissa sigma-äärellisille mitoille. Lause pohjautuu tulosigma-algebroihi ja tulomittoihi. Luodaa aluksi äihi pikaie katsaus. Yleisesti mikäli (X, A) ja (Y, B) ovat mitta-avaruuksia, ii iide tulosigmaalgebra A B tulojoukolla X Y o kokoelma {A B : A A, B B} geeroima sigma-algebra, eli suppei sigma-algebra, joka sisältää kyseiset joukot. Mikäli µ o A: sigma-äärellie mitta ja ν o A: sigma-äärellie mitta, ii iide tulomitta µ ν tulosigma-algebraa A B määritellää asettamalla jokaiselle E (µ ν)(a) = ν({y Y : (x, y) E}dµ(x). X Kyseessä o todella mitta sigma-algebrassa A B, katso yksityiskohtaisia tarkasteluja varte [8, s.379-384] ja erityisesti lause 21.10. Huomaa, että ituitiivisesti jokaiselle A A ja B B = 0. (µ ν)(a B) = µ(a)ν(b). Palataa takaisi euklidisii avaruuksii. Nyt voidaa osoittaa, että jokaiselle m, N pätee B(R m+ ) = B(R m ) B(R ), katso [9, Propositio 5.3 s.56]. Näide pohjalta voidaa esitellä Fubii lause tai se eräs versio euklidisissa avaruuksissa. Lause 2.24 (Fubii lause). Olkoo m, N, µ sigma-äärellie Borel-mitta avaruudessa R m, ν sigma-äärellie Borel-mitta avaruudessa R ja f : R m+ K, missä K = R tai K = C, Borel-kuvaus. Tällöi seuraavat omiaisuudet ovat voimassa. 17

(i) Kuvaukset R m R, x f(x, y) jokaiselle y R ja R R, y f(x, y) jokaiselle x R m ovat Borel-kuvauksia. (ii) Kuvaukset R m R, x R f(x, y) dν(y) ja R R, y R m f(x, y) dµ(x) ovat Borelkuvauksia. (iii) f(x, y) dµ(x)dν(y) = f(x, y) d(µ ν)(x, y) = R R m R m+ R m f(x, y) dν(y)dµ(x). R (iv) Mikäli joku kohda (ii) itegraaleista o äärellie, ii f o µ ν-itegroituva ja f(x, y)dµ(x)dν(y) = f(x, y)d(µ ν)(x, y) = f(x, y)dν(y)dµ(x). R R m R m+ R m R Lisäksi tällöi löytyvät Borel-kuvaukset f m : R m R ja f : R R site, että µ-melkei kaikilla x R ja ν-melkei kaikilla y R m f m (x) = f(x, y)dν(y), R f (y) = f(x, y)dµ(x). R m Lause 2.24 seuraa yt melko helposti tuloksesta [8, Lause 21.12 s.384-386] ja tulo-omiaisuudesta B(R m+ ) = B(R m ) B(R ). Lauseesee 2.24 viitataa jatkossa puhumalla lyhyesti Fubii lauseesta. 2.4.2 Lebesgue mitasta Käydää seuraavaksi joitai merkitöjä ja perusfaktoja liittye klassisee -ulotteisee Lebesgue mittaa m avaruudessa R. Ellei muuta maiita, ii kaikki pohjautuu Huteri ja Kilpeläise moisteisii, katso [9, s.10-31 ja s.55-62] ja [13, s.6-20]. Lebesgue mitta m saadaa Lebesgue ulkomita m kautta rajoittumalla Carathéodory kriteerio mukaisesti m -mitalliste joukkoje sigma-algebraa. Tässä sigmaalgebrassa Lebesgue mitta m o täydellie, kute kaikki muutki ulkomittakostruktioista saatavat mitat. Edellee kaikki Borel-joukot kuuluvat tähä sigma-algebraa. Tässä tutkielmassa Lebesgue mitta m o rajoitettu aia Borel-joukkoje sigma-algebraa B(R ), jolloi täydellisyys meetetää. Moi omiaisuus, joka esitellää seuraavaksi, toimii ulkomitalle m tai m -mitalliste joukkoje sigmaalgebrassa ja periytyy site Borel-joukkoje sigma-algebraa. Lebesgue mitta vastaa avaruudessa R yt ituitiota geometrisesta tilavuudesta, erityisesti -välille I = I 1 I R, missä jokaie I i R o avoi, puoliavoi tai suljettu väli, saadaa Lebesgue mitaksi m (I) = i=1 diam(i i). Seuraavat perusomiaisuudet ovat yt voimassa Lebesgue mitoille rajoitettuia Borel-sigma-algebroihi. (i) Lebesgue mitta m o avaruudessa R lokaalisti äärellie. (ii) Siirto-ivariattius: jokaiselle A B(R ) ja x R pätee m (A + x) = m (A). (iii) Käyttäytymie skaalauksissa: jokaiselle t R + ja A B(R ) pätee m (ta) = t m (A). (iv) Lebesgue mitta o tulomitta: m k+l = m k m l jokaiselle k, l N. Kolme esimmäistä omiaisuutta seuraavat vastaavie Lebesgue ulkomittoje omiaisuuksista. Viimeie omiaisuus ei ole voimassa Lebesgue mitalle ulkomita suhtee mitalliste joukkoje sigma-algebrassa. Jatkossa R- tai C-arvoise Borel-fuktio f itegraalia Lebesgue mita m suhtee merkitää R f(x)dx, mikäli kyseie itegraali o määritelty. Yksiulotteisessa tapauksessa käytetää merkitää b a f(x)dx, 18

missä a, b R ja a < b, tarkoittaa yli väli ]a, b[, mikäli se o määritelty. Koska yksittäiset pisteet ovat aia Lebesgue mita suhtee, ii merkiällä voidaa tarkoittaa myös itegraalia yli välie [a, b] (mikäli a, b R), [a, b[ (mikäli a R) tai ]a, b] (mikäli b R). Jatkuvie fuktioide itegraalit yli kompaktie välie mita m 1 suhtee yhtyvät iide Riema-itegraaleihi. Tällöi Riema-itegraaleista tuttu osittaisitegroiti o voimassa. Mikäli f ja g ovat suljetulla välillä [a, b] jatkuvia ja reaali- tai kompleksiarvoisia fuktioita ja avoimella välillä ]a, b[ jatkuvasti derivoituvia, ii b a f(x)g (x)dx = f(b)g(b) f(a)g(a) b a f (x)g(x)dx. Käyttämällä kovergessilasueita saadaa seuraava käyttökelpoie versio: mikäli f ja g ovat reaaliakselilla R jatkuvasti derivoituvia reaali- tai kompleksiarvoisia fuktioita, f g ja fg itegroituvia mita m 1 suhtee ja lim x f(x)g(x) = 0, ii R f(x)g (x)dx = f (x)g(x)dx. R Koska yt avaruude R skaalaukset ja siirrot ovat homeomorfismeja ja site mitallisia kuvauksia mitta-avaruudelta (R, B(R )) itsellee, ii soveltamalla muuttujavaihtolausetta 2.10 ja Lebesgue mita omiaisuuksia siirroille ja skaalauksille saadaa jokaiselle z R ja t R + sijoituksilla x = y + z ja x = ty f(x) dx = R f(y + z)dy ja R f(x) dx = t R f(ty)dy, R ku R- tai C-arvoise Borel-fuktio f itegraali Lebesgue mita suhtee o määritelty. Nämä ovat tavaomaisimmat muuttujavaihdot, mitä tarvitaa jatkossa itegroitaessa Lebesgue mita suhtee. Yksiulotteisessa tapauksessa tarvitaa välillä hieostueempaa versiota muuttujavaihdossa. Mikäli I R o avoi mahdollisesti rajoittamato väli, ϕ : I I jatkuvasti derivoituva bijektio, joka kääteiskuvaus o myös jatkuvasti derivoituva ja f o R- tai C-arvoie Borel-kuvaus, jolle f(x)dx o määritelty, ii I f(x)dx = f(ϕ(x)) ϕ (x) dx. I Tämä o erikoistapaus huomattavasti yleisemmästä tuloksesta, katso [15, Lause 6.2.2 s.251]. I Koska Lebesgue mitta o yt tulomitta Borel-joukkoje sigma-algebrassa, ii Fubii lausetta voidaa soveltaa se yhteydessä. Fubii lausee yksi hyödyllie lause seuraus o Cavalieri periaate, joka palauttaa ei-eagtiivise Borel-fuktio itegraali sigma-äärellise mita suhtee yksiulotteiseksi itegraaliksi Lebesgue mita suhtee. Lause 2.25 (Cavalieri periaate). Olkoo µ avaruude R sigma-äärellie Borel-mitta ja f : R R ei-egatiivie Borel-fuktio. Tällöi f(x)dµ(x) = µ ({x R : f(x) t}) dt. R 0 Todistusideaa varte katso vaikka [17, Lause 1.15 s.15]. Ideaa o yt todeta avaruude R +1 joukko A = { (x, t) R +1 : t > 0, f(x) t } Borel-joukoksi ja soveltaa Fubii lausetta se karakteristisee fuktioo χ A. 2.4.3 Hausdorff-mitoista ja -dimesioista Tarkastellaa kappalee lopuksi opeasti tavaomaisia Hausdorff-mittoja avaruudessa R. Pykälä o sovellettu yt Mattila esitykse pohjalta, katso [17, s.54-59]. Nii saotulla Carathéodory kostruktiolla saadaa yt määriteltyä avaruutee R Hausdorff-mitat. 19

Määritelmä 2.26 (Hausdorffi s-mitta). Olkoo s [0, [. Määritellää jokaiselle δ ]0, ] kuvaus Hδ s : B(R ) [0, [ asettamalla jokaiselle A B(R ) { } Hδ(A) s = if diam(e i ) s : A E i, diam(e i ) δ ja E i B(R ) kaikilla i N. i=1 i=1 Tässä joukoille E i käytetää tulkitaa tulkialla diam(e i ) 0 = 1, ku E i ja diam( ) 0 = 0. Tästä saadaa s-ulotteie Hausdorff-mitta tai Hausdorffi s-mitta H s asettamalla jokaiselle A B(R ) H s (A) = sup δ>0 H s δ (A). Määritelmä mitta o todella Borel-mitta. Tämä voidaa todeta ulkomittakostruktio kautta. Kuvausta H s kutsutaa s-ulotteiseksi Hausdorff-sisällöksi. Nyt o helppo ähdä, että jokaisella A B(R ) pätee H s δ 1 (A) H s δ 2 (A) aia, ku 0 < δ 2 δ 1. Tällöi ähdää, että jokaisella A B(R ) lim δ Hs δ(a) = H s (A). Mitä Hausdorff-mitat eri dimesioilla ituitiivisesti tarkoittavat? Esimerkiksi H 0 o lukumäärämitta (huomaa määritelmä tulkita halkaisijoide ollapotesseille), H 1 o yleistetty pituusmitta ja avaruudessa R mitta H o Lebesgue mita m skaalaus. Käydää seuraavaksi läpi joitai Hausdorff-mittoje perusomiaisuuksia. Jokaiselle s [0, [, A B(R ), t R + ja x A pätee H s (ta) = t s H s (A) ja H s (A + x) = H s (A). Hausdorffi mitat ovat siis siirtoivariatteja ja skaalaus o kotrolloitua kute Lebesgue mitalla. Lisäksi H s (A) = 0 täsmällee silloi, ku H s δ (A) = 0, missä δ ]0, ]. Mikäli o luvut 0 s < t < ja A B(R ), ii ehdosta H s (A) < seuraa, että H t (A) = 0 ja ehdosta H t (A) > 0 seuraa, että H s (A) =. Tästä päästää syvällisee koseptii Hausdorff-dimesioo. Määritelmä 2.27 (Hausdorff-dimesio). Jouko A R Hausdorff-dimesio asetetaa dim H (A) = sup{s > 0 : H s (A) > 0} tulkialla sup = 0. Koska yt H o Lebesgue mita skaalaus, o se lokaalisti äärellie ja site H (K) < kaikilla kompakteilla K R. Tällöi H s (K) = 0 kaikilla s >, jote o helppo ähdä, että H s o siiä tapauksessa o triviaali ollamitta. Tästä seuraa, että avaruude R mikää Borel-jouko Hausdorffdimesio ei voi ylittää avaruude dimesiota. Huomaa, että mikäli Borel-joukolle A R pätee m (A) > 0, ii myös H (A) > 0 ja site dim H (A) =. Nyt aia, ku dim H (A) < t <, ii H s (A) = 0 jokaiselle Borel-joukolle A R. Edellee mikäli dim H (A) > 0, ii aiemma perusteella H s (A) = kaikilla 0 s < dim H (A). Se sijaa luvu H dim H(A) (A) suurutta ei osata yleisesti päätellä. 20

3 Harmoista aalyysia Tässä luvussa käsitellää kertaukseomaisesti joitai peruskosepteja ja perustuloksia harmoisesta aalyysistä euklidisessa avaruudessa lähiä itegroituvie Borel-fuktiode ja äärelliste Borel-mittoje Fourier-muuoksista. Luku toimii pohjaa seuraavaa lukuu ja myös motivaattoria tutkielmaa. Merkiällä tarkoitetaa p yhtälö (2.2) tai (2.3) mukaista L p m -semiormia mita m suhtee, missä p [1, ]. Edellee merkiällä L p (R ) tarkoitetaa Borel-kuvauste f : R R joukkoa, joille f p <. Pääasiassa tarkastellaa itegroituvie fuktioide joukkoa L 1 (R ). Esimmäisessä kappaleessa esitellää kovoluutiot fuktioide välille sekä fuktioide ja mittoje välille avaruudessa R. Lisäksi tarkastellaa fuktio approksimitia kovoluutioilla ja approksimaatioperheitä. Toisessa kappaleessa esitellää klassiset Fourier-muuokset luoka L 1 (R ) kuvauksille sekä muuoste perusomiaisuuksia ja -tuloksia. Erityisesti esitellää Riema-Lebesgue-lemma, joka takaa kaikkie luoka L 1 (R ) muuoste häviävä äärettömyydessä, kääteiskaava itegroituville Fourier-muuoksille ja Parsevali kaava. Lisäksi määritellää yleistetyt Fourier-muuokset. Viimeisessä kappaleessa esitellää avaruude R äärelliste Borel-mittoje Fourier-muuokset ja äille joitai perustuloksia. Lopuksi esitellää Rajchma-mitat, joide Fourier-muuokset häviävät äärettömyydessä. Näitä mittoja käsitellää myöhemmi lisää tutkielmassa. Luku pohjautuu pääsasiassa Bassi teoksee [2], katso kappale 16 s.147-156, ja Mattila teoksee [17], katso s.19-21 ja s.159-161. Myös muita referessejä löytyy. Huomaa, että Mattila puhuu Rado-(ulko)mitoista. Tällä ei ole kuitekaa mitää merkitystä. 3.1 Kovoluutiot ja approksimaatioperheet Aloitetaa kappale määrittelemällä tavaomaie Borel-fuktioide välie kovoluutio Lebesgue-mita suhtee. Määritelmä 3.1 ( Kovoluutio). Olkoo kuvaukset f, g : R R Borel-fuktioita. Mikäli itegraali R f(x y)g(y)dy (3.1) o määritelty m -melkei kaikilla x R, ii saotaa, että kuvaus f g : R R, (f g)(x) = f(x y)g(y)dy melkei kaikilla x R R o fuktioide f ja g kovoluutio. Huomaa, että arvoiksi hyväksytää myös äärettömyyspisteet ±. Kovoluutio o aia yksikäsitteie ollamittaista joukkoa lukuuottamatta. Kuvaus (x, y) f(x y)g(y) o Borel-kuvaus. Tällöi hajottamalla se positiivi- ja egatiiviosii sekä käyttämällä Fubii lausetta (2.24 (i)) ja kovoluutio määritelmää voidaa osoittaa, että kovoluutio voidaa aia valita Borel-kuvaukseksi. Yksityiskohdat jätetää lukijalle. Jatkossa oletetaaki kovoluutio aia oleva Borel-kuvaus, ku se o määritelty. Käsitellää seuraavaksi muutama perustulos kovoluutioille. Esiksi yksikertaisella muuttujavaihdolla o helppo ähdä symmetria. Lemma 3.2. Jos Borel-fuktioide f ja g välie kovoluutio f g o määritelty, ii myös kovoluutio g f o määritelty ja (f g)(x) = (g f)(x) melkei kaikilla x R. Kovoluutio o aia määritelty luoka L 1 (R ) fuktioide välille luoka L 1 (R ) fuktioa, vertaa [2, Propositio 15.7 s.137]. Lemma 3.3. Olkoo f, g L 1 (R ). Tällöi f g L 1 (R ) ja f g 1 f 1 g 1. Mikäli f ja g ovat m -melkei kaikkialla ei-egatiivisia, ii yhtäsuuruus o voimassa. 21

Soveltae Fubii lausetta ja muuttujavaihtoa u = x y saadaa f(x y)g(y) d(y, x) = f(x y) g(y) dydx R 2 R R = f(x y) g(y) dxdy R R = f(u) g(y) dudy R R ( ) ( ) = g(y) dy f(u) du R R = g 1 f 1 <. (1) Tällöi kuvaus y f(x y)g(y) o itegroituva melkei kaikilla x R, jote kovoluutio f g o määritelty. Edellee f g (x) dx R R f(x y) g(y) dydx (1) g 1 f 1 <, R jote väittee arvio o totta ja siis f g L 1 (R ). Lisäksi yhtäsuuruus arvioissa olettae, että f ja g ovat m -melkei kaikkialla ei-egatiivisia, o helppo ähdä. Lemma 3.3 o erikoistapaus Yougi epäyhtälöstä kovoluutioille [7, Lause 4.1.1 s.142], joka saoo, että mikäli o luvut r, p, q [1, ] site, että 1 r + 1 = 1 p + 1 q, ii tällöi kaikille f Lp (R ) ja g L q (R ) saadaa f g L r (R ) ja f g r f p g q. Itegroituvaa Borel-fuktiota voidaa approksimoida L 1 -semiormi suhtee se kovoluutioilla sopiva kuvausperhee kassa, vertaa [2, Propositio 16.6 s.151-153]. Lemma 3.4. Olkoo perhe ei-egatiivisia fuktioita {h k } k N L 1 (R ) seuraavilla omiaisuuksilla (i) R h k (x)dx = 1 kaikilla k N ja (ii) jokaiselle ε > 0 ja R R + löytyy k(ε, R) N site, että kaikille luoollisille k k(ε, R) saadaa arvio h k (x)dx < ε. R \B(0,R) Tällöi jokaiselle f L 1 (R ) pätee lim k f f h k 1 = 0. Aluksi mielivaltaisille k N ja R R + saadaa seuraava arvio f f h k 1 = f(x) f(x y)h k (y)dy R R dx (i) = (f(x) f(x y))h k (y)dy dx R R f(x) f(x y) h k (y)dydx R R a) = h k (y) f(x) f(x y) dxdy R R 22

= + + b) = = B(0,R) R \B(0,R) B(0,R) R \B(0,R) B(0,R) B(0,R) h k (y) f(x) f(x y) dxdy R h k (y) f(x) f(x y) dxdy R h k (y) f(x) f(x y) dxdy R ( ) h k (y) f(x) dx + f(x y) dx R R h k (y) f(x) f(x y) dxdy + R h k (y) f(x) f(x y) dxdy + 2 f 1 R R \B(0,R) dy 2h k (y) f(x) dxdy R R \B(0,R) h k (y)dy. (1) Kohdassa a) o käytetty Fubii lausetta ja kohdassa b) o tehty muuttujavaihto x x+ y. Kiiitetää seuraavaksi ε > 0. Lausee 2.22 ojalla löytyy f ε C 0 (R ) site, että f f ε 1 < ε. Tällöi sisäitegraalille saadaa arvio f(x) f(x y) dx f(x) f ε (x) dx + f ε (x) f ε (x y) dx R R R + fε (x y) f ( x y) dx R c) = 2 f f ε 1 + R f ε (x) f ε (x y) dx. (2) Kohdassa c) o tehty taas muuttujavaihto x x + y. Yhdistämällä arviot (1) ja (2), sekä käyttämällä oletusta (i) saadaa f f h k 1 2 f f ε 1 + h k (y) f ε (x) f ε (x y) dxdy B(0,R) R + 2 f 1 h k (y)dy R \B(0,R) 2ε + h k (y) f ε (x) f ε (x y) dxdy B(0,R) R + 2 f 1 h k (y)dy. (3) R \B(0,R) Tällöi d) mikäli y B(0, R), ii f ε (x) f ε (x y) = 0 silloi, ku x / sptf ε + B(0, R). Site olettamalla R < 1 saadaa arvio h k (y) f ε (x) f ε (x y) dxdy B(0,R) R d) = = B(0,R) B(0,R) h k (y) sptf ε+b(0,r) h(y)m (sptf ε + B(0, R)) h(y)m (sptf ε + B(0, R)) R f ε (x) f ε (x y) dxdy sup x sptg ε yb(0,r) x y <R sup x,y R x y <R f ε (x) f ε (x y) dy f ε (x) f ε (x y) dy 23

= m (sptf ε + B(0, R)) sup f ε (x) f ε (x y) x,y R x y <R m (sptf ε + B(0, 1)) sup x,y R x y <R f ε (x) f ε (x y). (4) Koska f ε o tasaisesti jatkuva, ii löytyy R ε < 1 site, että Merkitää ε = k k( ε, R ε ) ε sup f ε (x) f ε (x y) < x,y R m (sptf ε + B(0, 1)) + 1. (5) x y <R ε ε f 1+1. Oletukse (ii) ojalla löytyy k( ε, R ε) N site, että kaikille luoollisille R \B(0,R ε) h k (y)dy < ε. (6) Yhdistämällä arviot (3), (4), (5) ja (6) saadaa kaikille idekseille k k( ε, R ε ) Tämä implikoi väittee. f f h k 1 < 5ε. Kovoluutioita käytetää jatkossa paljo siistie fuktioide yhteydessä, jote o syytä tutkia, mitä siisteysomiaisuuksia kovoluutio perii, vertaa [17, Lause 1.26 s.20-21]. Lemma 3.5. Olkoo f, g : R R jatkuvia kuvauksia ja g C 0 (R ). Tällöi: (i) Kovoluutio f g o jatkuva kuvaus ja f g = g f. Mikäli f o tasaisesti jatkuva o myös f g o tasaisesti jatkuva. (ii) Mikäli myös f C 0 (R ), ii f g C 0 (R ). (iii) Mikäli f tai g o C k -kuvaus, missä k N, ii myös f g o C k -kuvaus. Kuvaus y f(x y)g(y) o yt kaikilla x R kompaktikatajaie ja site itegroituva. Tällöi f g o yksikäsitteiseä määritelty jokaiselle x itegraalia (3.1). Symmetria seuraa tällöi muuttujavaihdolla. Todetaa seuraavaksi jatkuvuus. Olkoo sitä varte aettu x R ja 0 < δ < 1. Jos yt w B(x, δ) ja y spt g, ii w y B(x, δ) spt g K x jollai kompaktilla joukolla K x. Olkoo yt z B(x, δ), jolloi (f g)(z) (f g)(x) = (f(x y) f(z y))g(y)dy R f(x y) f(z y) g(y) dy R sup f(u) f(v) g(y) dy. u,v K x spt g u v <δ Koska f o joukossa K x tasaisesti jatkuva, ii arviosta seuraa kovoluutio jatkuvuus. Mikäli f o tasaisesti jatkuva saadaa arvio (f g)(z) (f g)(x) sup f(u) f(v) g(y) dy, u,v spt g u v <δ josta tasaie jatkuvuus seuraa olettae, että δ o riittävä piei. Kohta (i) o site selvä. 24

Oletukse perusteella löytyy R R +, jolle spt f spt g B(0, R). Jos yt x / B(0, 2R) ja x y spt f, ii välttämättä y > R ja tällöi g(y) = 0. Siispä spt f g B(0, 2R), eli f g C 0 (R ) ja kohta (ii) o selvä. Kohda (i) symmetria vuoksi tapaukset molemmat tapaukset ova samasuutaisia todistaa. Oletetaa siis, että f o C k kuvaus. Tässäki riittää todeta tapaus k = 1, loput seuraavat iduktiolla. Kohda (i) perusteella jokaie kovoluutio f j g, j = 1,...,, o jatkuva. Ituitiivisesti o selvää, että juuriki j (f g) = f j g kaikilla j. Todetaa, että äi käy pisteittäi. Määritellää esi jokaiselle j = 1,..., ja w R kuvaus f w,j : R R, f w,j (t) = f(w + te j ). Kuvaus f w,j derivoituu ja i f(w + te j ) = f x,j (t). Olkoo h [ 1, 1] \ {0}. Nyt Lagrage väliarvolausee ojalla löytyy h w ] mi{0, h}, max{0, h}[, jolle f(w + he j ) f(x) h = f w,j(h) f w,j (0) h Olkoo sitte x R aettu. Tällöi (f g)(x + he j ) (f g)(x) ( f j g)(x) h f(x y + he j ) f(x y) R j f(x y) h g(y) dy (1) = j f(x y + h x y e j ) j f(x y) g(y) dy R = j f(x y + h x y e j ) j f(x y) g(y) dy. spt g = f w,j(h w ) = i f(w + h w e j ). (1) Nyt x y +he j B(x y, 1). Site osittaisderivaatta j f voidaa ilmeisesti rajoittaa kompaktii joukkoo K x := {w R : dist(w, x spt g) 1}. Nyt voidaa arvioida j f(x y + h x y e j ) j f(x y) g(y) dy spt g sup j f(u) j f(v) g(y) dy. u,v K x spt g u v <h Nyt j f o tasaisesti jatkuva kompaktissa joukossa K x, jolloi saatu yläraja meee ollaa, ku h 0. Tällöi kovoluutiolla f g o jokaisella j osittaisderivaatta pisteessä x ja j (f g)(x) = ( f j g)(x). Kohta (iii) o site myös todettu. Lukija o helppo keksiä ja todistaa edellisestä lemmasta erilaisia variaatioita, erityisesti jatkuvuusoletuksista voidaa osittai luopua. Avaruude R Borel-mita ja Borel-fuktio välie kovoluutio määritellää aalogisesti määritelmä 3.1 kassa. Määritelmä 3.6 (Borel-mita kovoluutio). Olkoo µ avaruude R Borel-mitta ja f : R R Borel-fuktio. Mikäli itegraali R f(x y)dµ(y) o määritelty mita µ mielessä melkei kaikilla x, ii saotaa, että kuvaus f µ : R R, (f µ)(x) = f(x y)dµ(y) µ-melkei kaikilla x R R o fuktioide f ja mita µ kovoluutio. 25

Mita µ mielessä ollamittaista joukkoa lukuuottamatta kovoluutio o taas yksikäsitteie. Mikäli µ o siirtoivariatti ja f µ-itegroituva, ii kovoluutio o vakiokuvaus. Yougi epäyhtälö tyyppie arvio o voimassa sopivissa tilateissa myös fuktio ja äärellise Borel-mita väliselle kovoluutiolle. Lemma 3.7. Olkoo µ äärellie Borel-mitta ja f : R R Borel-fuktio site, että f µ o määritelty. Mikäli f L 1 (R ) m -melkei kaikilla x R, ii (f µ)(x) = f(x y)dµ(y) ja R f µ 1 f 1 µ(r ). Mikäli f o µ-melkei kaikkialla ei-egatiivie, ii yhtäsuuruus o voimassa epäyhtälössä. Oletukse perusteella itegraali f(x y)dµ(y) o määritelty µ-melkei kaikilla x R. Tarkastellaa R seuraavaksi Borel-kuvausta (x, y) f(x y). Tällöi f(x y) dµ(y)dx = a) f(x y) dxdµ(y) R R R R b) = f(w) dwdµ(y) R R = f 1 µ(r ) <. (1) Tässä kohta a) seuraa Fubii lauseesta ja kohdassa b) o tehty muuttujavaihto w = x y. Tällöi edellee kuvaus y f(x y) o µ-itegroituva Lebesgue mita mielessä melkei kaikialla. Site Lebesgue mita mielessä melkei kaikilla x R (f µ)(x) = f(x y)dµ(y). R Edellee Fubii lausee ojalla kovoluutio f µ o Borel-kuvaus. Arvio (1) perusteella helppo ähdä väittee arvio ja yhtäsuuruus, ku f o µ-melkei kaikkialla ei-egatiivie. Lemma 3.5 tavoi voidaa todeta, että myös fuktio ja Borel-mita välie kovoluutio perii siisteysomiaisuuksia. Lemma 3.8. Olkoo µ avaruude R Borel-mitta ja k N. Jos (i) f C k 0 (R ) tai (ii) f o C k -kuvaus ja spt µ o kompakti, ii kovoluutio f µ o C k -kuvaus. Jos molemmat ehdot pätevät, ii f µ C k 0 (R ). Tarkastellaa sitte seuraavalaisia fuktioperheitä luokassa C 0 (R ), jotka toteuttavat lemma 3.4 vaatimukset. Määritelmä 3.9 (Approksimaatioperhe). Kuvausperhettä {ψ ε } ε R+ C 0 (R) saotaa approksimaatioperheeksi, jos jokaisella ε R + kuvaus ψ ε o ei egatiivie, spt ψ ε B(0, ε) ja ψ ε (x)dx = 1. R Jos kuvaus ψ C 0 (R) toteuttaa määritelmä ehdo arvolla ε = 1, ii asettamalla kaikille ε R + ( x ) ψ ε (x) = ε ψ kaikille x R ε 26

saadaa geeroitu approksimaatioperhe ja kuvausta ψ kutsutaa se geeraattoriksi. Mikäli approksimaatioperhee kaikki fuktiot ovat C -kuvauksia, iitä kutsutaa siloittajaytimiksi. Tällaie (geeroitu) perhe saadaa esimerkiksi asettamalla geeroivaksi fuktioksi { c o e 1 /[1 x 2 ] x < 1, ϕ(x) = (3.2) 0 x 1, missä [ c o = e 1 /[1 x 2 ] dx B(0,1) o itegroimisvakio, katso [17, s.20]. Jatkossa tullaa hyödytämää kyseiseistä esimerkkiä. Huomaa, että tämä perhe koostuu radiaalisista fuktioista. Approksimaatioperhee avulla voidaa muodostaa uusi approksimaatioperhe. Lemma 3.10. Olkoo {ϕ ε } ε R+ (i) {ψ ε } ε R+ approksimaatioperhe. Asetetaa jokaiselle ε R + kuvaus ψ ε = ϕ ε 2 ϕ ε 2. Tällöi o approksimaatioperhe, (ii) mikäli {ϕ ε } ε R+ C k 0 (R ) jollai k N, ii myös {ψ ε } ε R+ C k 0 (R ), (iii) mikäli {ϕ ε } ε R+ o geeroitu perhe, ii myös {ψ ε } ε R+ o geeroitu perhe. Kohdat (i) ja (ii) pohjautuvat lemmoihi 3.3 ja 3.5. Erityisesti spt ϕ ε B(0, ε 2 2 ), jote lemma 3.5 todistukse perusteella spt ϕ ε ϕ ε B(0, ε). Viimeie kohta o seuraa osoittamalla, että kaikille 2 2 ε R + ja x R pätee ( x ) (ϕ ε ϕ ε )(x) = ε (ϕ 1 ϕ 2 2 1 ), 2 2 ε ku {ϕ ε } ε R+ o geeroitu perhe. Tämä o suoraviivaie lasku. Approksimaatioperhee {ψ} ε R+ idea o imesä mukaisesti approksimoida tutkittavaa kuvausta f kovoluutioide f ψ ε kautta. Lemma 3.4 todistusta tutkimalla ähdää suoraa, että jokaiselle f L 1 (R ) saadaa lim ε 0 f f ψ ε 1 = 0. Jatkuvie kuvauste kassa approksimaatio aia kovergoi pisteittäi. Lemma 3.11. Olkoo {ψ ε } ε R+ approksimaatioperhe ja f : R R jatkuva. Tällöi f ψ ε f pisteittäi, ku ε 0. Mikäli f o tasaisesti jatkuva, ii kovergessi o myös tasaista. Olkoo x R ja ε R +. Nyt (f ψ ε )(x) f(x) = f(x y)ψ ε (y)dy f(x) R = f(x y)ψ ε (y)dy f(x)ψ ε (y)dy R R f(x y) f(x) ψ ε (y)dy R f(x y) f(x) ψ ε (y)dy B(0,ε) sup B(0,ε) z B(0,ε) ] 1 f(x z) f(x) ψ ε (y)dy = sup f(x z) f(x). (1) z B(0,ε) Erotus meee yt ollaa, ku ε 0. Lisäksi, jos f o tasaisesti jatkuva, ii tasaie kovergessi ähdää suoraa arviosta (1). 27

Seurauksea saadaa seuraava tuettu approksimoititulos. Lause 3.12. Jokaista luoka L 1 (R ) kuvausta voidaa approksimoida mielivaltaise tarkasti C 0 (R ) fuktioilla L 1 - semiormi mielessä. Lausee 2.22 ojalla jokaista kuvausta luokassa L 1 (R ) voidaa approksimoida mielivaltaise tarkasti luoka C 0 (R ) kuvauksilla L 1 -semiormi mielessä. Olkoo f C 0 (R ). Tällöi jokaisella ε R + kovoluutio f ϕ ε, missä ϕ ε o yhtälö (3.2) mukaise fuktio geeroima siloittajaydi, o lemma 3.5 ojalla luokassa C 0 (R ). Lisäksi o helppo todeta, että löytyy komapkti K R site, että jokaisella 0 < ε < 1 pätee spt f ϕ ε K. Edellee lemma 3.11 ojalla f ϕ ε f tasaisesti, ku ε 0. Näistä o yt helppo päätellä, että f ϕ ε f L 1 -semiormi mielessä, ku ε 0. Sivuhuomioa tämä tarkoittaa, että testifuktioide ekvivalessiluokka o tiheä L 1 m -avaruudessa. Kappalee lopuksi todetaa tekie aputulos puolijatkuville ja ei-egatiivisille fuktioille, jota tarvitaa jatkossa, katso [18, Lemma 1.27 s.21]. Lemma 3.13. Olkoo {ψ ε } ε R+ approksimaatioperhe, µ äärellie Borel-mitta ja ei-egatiivie ja alhaalta puolijatkuva fuktio g : R R. Tällöi (g µ)(x) dµ(x) lim if R ε 0 ((g ψ ε ) µ)(x) dµ(x). R (1) Määritelmä 2.21 ojalla löytyy ouseva joo ei-egatiivisia fuktioita (ϕ i ) i=1 C 0(R ) site, että ϕ i g pisteittäi. Mootoise kovergessi lausee ojalla väittee epäyhtälössä olevat kovoluutiot ovat määritelmä 3.1 mielessä olemassa. Edellee lemma 3.11 ojalla ϕ i ψ ε ϕ i tasaisesti, ku ε 0 kaikilla i N. Tällöi (ϕ i ψ ε )(x y)dµ(y)dµ(x) ϕ i (x y)dµ(y)dµ(x) R R R R = (ϕ i ψ ε )(x y) ϕ i (x y)dµ(y)dµ(x) R R (ϕ i ψ ε )(x y) ϕ i (x y) dµ(y)dµ(x) R R sup (ϕ i ψ ε )(z) ϕ i (z) dµ(y)dµ(x) z R Siispä kaikille i, k N R R R = µ(r ) 2 sup (ϕ i ψ ε )(z) ϕ i (z) ε 0 0. z R R ϕ i (x y)dµ(y)dµ(x) = lim ε 0 R R (ϕ i ψ ε )(x y)dµ(y)dµ(x). (1) Käyttämällä kaksi kertaa mootoise kovergessi lausetta saadaa g(x y)dµ(y)dµ(x) = lim ϕ i (x y)dµ(y)dµ(y). (2) R R i R R Edellee, koska kaikilla ε R + ja x R (ϕ i ψ ε )(x) (g ψ ε )(x), (3) 28

ii R g(x y)dµ(y)dµ(x) (2) lim R i R (1) = lim i lim = lim lim if i ε 0 ϕ i (x y)dµ(y)dµ(y) R (ϕ i ψ ε )(x y)dµ(y)dµ(x) ε 0 R R (ϕ i ψ ε )(x y)dµ(y)dµ(x) R R lim if (g ψ ε )(x y)dµ(y)dµ(x) i ε 0 R R (g ψ ε )(x y)dµ(y)dµ(x). R R (3) lim = lim if ε 0 Väite o site selvä. 3.2 Fourier-muuoksista fuktioille Seuraavaksi luodaa suppea katsaus Fourier-itegraalimuuoksii ja tarkastellaa joitai perusomiaisuuksia ja tuloksia, joita tarvitaa jatkossa. Aetaa tavaomaie määritelmä Lebesgue-itegroituvie Borel-fuktiode R R Fourier-muuoksille. Määritelmä 3.14 (Fourier-muuos L 1 -fuktiolle). Olkoo f L 1 (R ). Tällöi se Fourier-muuos määritellää kuvauksea ˆf : R C, missä kaikille x R asetetaa ˆf(x) = cos x y f(y)dy i si x y f(y)dy. R R Määritelmä o hyvi asetettu, sillä aia cos x y f(y) f(y) ja si x y f(y) f(y), jolloi domioidu kovergessi lausee ojalla määritelmä kumpiki itegraali suppeee. Mikäli kuvaukselle f L 1 (R o pisteittäi äärellie, eli f <, ii klassise Euleri kaava ojalla voidaa kirjoittaa jokaiselle x R ˆf(x) = R e i v y f(y)dy. (3.3) Tämä o käyttökelpoie esitysmuoto, mutta ogelmaksi tulevat jouko L 1 (R )-kuvaukset, jotka saavat joissai pisteissä arvoja ±, koska tuloa z (± ) ei-reaalisille arvoille z ei ole määritelty tässä tutkielmassa. Ogelma o kuiteki kosmeettie, sillä jokaiselle fuktiolle f L 1 (R ) löytyy f L 1 (R ), jolle f < ja f = f m -melkei kaikkialla ja tällöi määritelmä ojalla ˆf = f ˆ. Nyt jatkossa ilma eri maiitaa kaikissa tarkasteluissa oletetaa tarvittaessa, että käytettävät jouko L 1 (R ) kuvaukset ovat pisteittäi äärellisiä, jolloi esitystä (3.3) voidaa hyödytää. Lukija o lähes triviaali todeta, että mikäli kaikki jatkossa esiteltävät tulokset pätevät pisteittäi äärellisille kuvauksille joukossa L 1 (R ), ii e pätevät kaikille jouko L 1 (R ) kuvauksille. Kovetiosta riippue esityksessä (3.3) voi olla esimerkiksi 2π-kerroi sisätulo edessä, tällä ei kuitekaa ole merkitystä jatko kaalta, koska muuttujavaihdo ojalla variaatiot, joissa kertoimet poikkeavat sisätulo edessä, poikkeavat toisistaa vakiokertoimella. Käytäö esimerkkiä yksikertaise fuktio χ [ 1,1] : R R Fourier-muuokseksi pisteessä x R saadaa laskettua { 2, x = 0 ˆχ [ 1,1] (x) = (3.4) 2 si x x, x 0. 29

Karakteristie fuktio χ [ 1,1] ja se Fourier-itegraalimuuos. Esimerki karakteristise fuktio voi tulkita esimerkiksi sigaaliksi aja fuktioa, jolloi se Fouriermuuos o sigaali esitys taajuude fuktioa. Esimerki Fourier-muuos o tasaisesti jatkuva, vaikka alkuperäie kuvaus ei ole jatkuva. Lisäksi muuos o täysi reaalie alkuperäise fuktio olessa parillie. Havaiot pätevät yleisemmi. Lemma 3.15. (i) Jokaiselle f L 1 (R ) Fourier-muuos o tasaisesti jatkuva ja sup ˆf f 1, (ii) jokaiselle f, g L 1 (R ) ja α, β R pätee αf + βg = α ˆf + βĝ ja (iii) mikäli f L 1 (R ) o melkei kaikilla x R parillie/parito, ii ˆf o puhtaasti reaalie/imagiäärie. Todetaa vai (i), sillä muut kohdat ovat lähes ilmeisiä. Esiäki esityksestä (3.3) o itegraali kolmioepäyhtälö avulla selvää, että kuvaukse f L 1 (R ) muuokselle pätee sup ˆf f 1. Jatkuvuutta varte kiiitetää mielivaltaie ε > 0. Itegroituvuudesta seuraa, että löytyy R ε R + site, että f(y) dy < ε 4. (1) R \B(0,R ε) Kuvaukse t e it jatkuvuude ojalla löytyy δ ε > 0 site, että kaikilla arvoilla t ] δ ε, δ ε [. e it 1 ε 2(1 + f 1 ) (2) Nyt jokaiselle u R valitsemalla v B(u, δε R ε ) saadaa jokaiselle y B(0, R ε ) arvio v u y v u y < δ ε ja site arvio (2) ojalla edellee Mutta tällöi ˆf(v) ˆf(u) = R mikä implikoi tasaise jatkuvuude. e i v u y 1 e i v y e i u y f(y) dy e i v u y 1 f(y) dy + 2 B(0,R ε) (1)+(3) < ε 2 + ε 2 = ε, ε 2(1 + f 1 ). (3) R \B(0,R ε) f(y) dy 30