Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista

Transkriptio

1 Tasa-asteisesti jatkuvien funktioperheiden suppenevista osajonoista Pro gradu -tutkielma Toni Vesikko Itä-Suomen yliopisto 7. heinäkuuta 2016

2 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Perusteet ja merkintöjä 2 3 Funktionaalianalyysin perusteita Lineaarioperaattorit Funktioavaruudet Funktioperheistä 16 5 Tasa-asteinen jatkuvuus ja suppenevat osajonot Arzelà-Ascolin lause Tuloksen sovelluksia Viitteet 40

3 1 Johdanto Tässä pro gradu -tutkielmassa tutkitaan funktioperheiden tasa-asteista jatkuvuutta ja suppenevien osajonojen olemassaoloa. Italialaiset matemaatikot Cesare Arzelà ja Giulio Ascoli vakiinnuttivat funktioperheen tasa-asteisen jatkuvuuden käsitteen käyttöön 1800-luvun lopulla. Ascoli esitteli käsitteen vuonna 1884 ja todisti sen avulla riittävät ehdot funktioperheiden suppenevien osajonojen olemassaololle. Noin kymmenen vuotta myöhemmin Arzelà paransi tulosta vuonna 1895 asettamalla tasa-asteisen jatkuvuuden avulla välttämättömät ehdot suppenevien osajonojen olemassaololle ja tulosta alettiin kutsua heidän mukaansa Arzelà-Ascolin lauseeksi [10, s. 154]. Tutkielma jakautuu johdannosta eteenpäin neljään lukuun, joista Luvuissa 2-4 käsitellään riittävä pohjateoria niin työn päätuloksen kuin sen sovelluskohteiden käsittelyyn. Luvussa 2 määritellään tutkielmassa käytettävät merkinnät ja esitetään riittävä pohjateoria. Erityisesti todistetaan Lause 2.7, joka osoittautuu hyödylliseksi työkaluksi suppenevien osajonojen avulla tehtävissä kompaktiustarkasteluissa. Luku 3 on omistettu funktionaalianalyysin perusteorian käsittelemiseen lineaarioperaattoreiden ja funktioavaruuksien osalta. Tämän lisäksi esitetään riittävä mittateorian koneisto tutkielman kannalta olennaisen L p -avaruuden määrittelemiseksi sekä olennaisimmat L p - avaruudessa esiintyvät arviot. Luvussa 4 käsitellään funktioperheiden tasaasteista jatkuvuutta ja johdetaan riittävä kompleksisten funktioperheiden teoria tutkielman sovellusosiossa esiintyville normaaliperhetarkasteluille. Työn keskeisin tulos on Luvussa 5 käsiteltävä Arzelà-Ascolin lause, joka antaa riittävät ehdot funktioperheiden suppenevien osajonojen olemassaololle. Tuloksesta esitetään versiot sekä kompleksifunktioiden että yleisten metristen avaruuksien välillä määriteltyjen funktioperheiden tapauksessa. Arzelà-Ascolin lauseesta johdetaan edelleen Lauseessa 5.5 esitetty tulos, jonka avulla voidaan tutkia funktioavaruuksien sisäisten funktioperheiden kompaktiutta. Tutkielman loppuosa koostuu pitkälti näiden tulosten sovelluksista muun muassa kompaktiustarkasteluihin ja normaaliperhepäättelyihin. Tutkielmassa ei pääsääntöisesti todisteta lauseita, jotka on todistettu matematiikan aineopintotasoisilla kursseilla. Näistä tutkielman kannalta olennaisimmat tarvittavat tulokset kuitenkin esitellään, jolloin annetaan viite lähteistä löytyvään kirjallisuuteen. Erityisesti lukijalta oletetaan ainakin reaalija kompleksianalyysin perusteorian kattavat pohjatiedot, joita ei tutkielman puitteissa esitetä. Näiden klassisia perustuloksia käytettäessä lukija ohjataan lähdekirjallisuuteen. 1

4 2 Perusteet ja merkintöjä Tutkielmassa käytetään lukujoukoille perinteisiä merkintöjä siten, että N = {1, 2, 3,...} on luonnollisten lukujen joukko, Q on rationaalilukujen joukko, R on reaalilukujen joukko ja C on kompleksilukujen joukko eli kompleksitaso. Laajennettuja reaali- ja kompleksilukujen kuntia merkitään vastaavasti R = R {, + } ja C = C { }. Lisäksi kompleksitason avointa yksikkökiekkoa merkitään D = {z C : z < 1}, yksikköympyrää T = {z C : z = 1} ja yleisen normiavaruuden E suljettua yksikköpalloa B E = {x E : x 1}. Kompleksitason alueella Ω C tarkoitetaan tässä tutkielmassa avointa ja yhtenäistä joukkoa. Vektoriavaruuksien skalaarikunnalla K tarkoitetaan joko reaalilukujen tai kompleksilukujen kuntaa, ellei toisin mainita. Joukon potenssijoukkoa merkitään P() ja äärellistä pistejoukkoa merkitään {x 1,..., x p } = {x j } p j=1. Edelleen jonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa ja merkitään lyhyesti {x n } n=1 = {x n } ilman indeksointia. Määritellään alkuun olennaisimmat tutkielmassa tarvittavat matemaattiset avaruudet. Määritelmä 2.1. Olkoon E vektoriavaruus skalaarikuntanaan K. Jos kuvaus : E R toteuttaa ehdot (a) x 0 kaikilla x E, (b) x = 0 jos ja vain jos x = 0 E, (c) x + y x + y kaikilla x, y E, (d) λx = λ x kaikilla x E ja λ K, niin on normi ja pari (E, ) on normiavaruus. Ehtoa (c) kutsutaan normin kolmioepäyhtälöksi. Määritelmä 2.2. Olkoon M joukko. Jos d : M M R toteuttaa kaikilla x, y, z M ehdot (a) d(x, y) 0, (b) d(x, y) = 0 x = y, (c) d(x, y) = d(y, x), (d) d(x, z) d(x, y) + d(y, z), niin kuvaus d on metriikka ja pari (M, d) on metrinen avaruus. Ehtoa (d) kutsutaan metriikan kolmioepäyhtälöksi. 2

5 Kompleksitason z-keskistä ja r-säteistä kiekkoa merkitään D(z, r), mutta yleisen metrisen avaruuden tapauksessa vastaavalle pallolle käytetään merkintää B d (z, r) tai B(z, r), mikäli käytetty metriikka on asiayhteydestä selvä. Erityisesti tulee huomata, että normi indusoi metriikan vektoriavaruuteen vektorien erotuksen normina, eli yhtäsuuruuden d (x, y) = x y mukaisesti kaikilla x, y E. Kaksi joukossa määriteltyä metriikkaa d 1 ja d 2 ovat ekvivalentit, mikäli on olemassa positiiviset luvut c, C > 0 siten, että cd 1 (x, y) d 2 (x, y) Cd 1 (x, y) kaikilla x, y. Määritellään seuraavaksi metristä avaruutta hieman yleisempi, mutta erittäin tarpeellinen matemaattinen avaruus. Määritelmä 2.3. Olkoon joukko ja T P() sen osajoukkojen kokoelma. Mikäli T toteuttaa kaikilla U i T ehdot (a), T, (b) i A U i T, (c) k i=1 U i T, missä A on mielivaltainen indeksijoukko ja k N, niin tällöin pari (, T ) on topologinen avaruus ja kokoelma T on topologia. 1 Edelleen joukkoja U i kutsutaan tällöin avoimiksi joukoiksi. Topologisia ja metrisiä avaruuksia merkitään yleisesti pelkkien joukkojensa avulla vastaavasti ja M, kun asiayhteydestä on selvää, mitä topologiaa tai metriikkaa käytetään. Edelleen tulee huomata, että metrinen avaruus on aina myös topologinen avaruus, sillä metriikka indusoi tarkasteltavaan avaruuteen topologian metrisen avaruuden avointen pallojen avulla. Topologisen avaruuden pisteen x ympäristöksi kutsutaan sellaista avointa joukkoa U x T, joka sisältää pisteen x. Edelleen kahden topologisen avaruuden välillä määritelty funktio f : Y on jatkuva pisteessä x, mikäli jokaista avointa joukkoa V Y siten, että f(x) V vastaa avoin joukko U siten, että f(u) V. Mikäli f on jatkuva kaikilla x, niin sanotaan että f : Y on jatkuva. Topologisten avaruuksien välillä jatkuvien funktioiden joukkoa merkitään C(, Y ). Pidetään tunnettuna, että topologisen avaruuden osajoukko A on joukon B tiheä osajoukko, jos joukon A sulkeuma on joukko B, eli A = B. 1 Termi topologia tulee Kreikan kielen sanoista topos, paikka ja logos, oppi. 3

6 Määritelmä 2.4. Topologinen avaruus on separoituva, mikäli se sisältää numeroituvan tiheän osajoukon. Lemma 2.5. [14, s. 105, Lemma 3.44] Olkoon M metrinen avaruus. Jos jokaisella joukon M jonolla on joukossa M suppeneva osajono, niin M on separoituva. Todistus. Olkoon ε > 0, m, n N ja oletetaan, että jokaisella joukon M jonolla on joukossa M suppeneva osajono. Nyt väitetään, että on olemassa äärellinen joukko A ε M jolle pätee d(x m, x n ) ε, x m, x n A ε, m n, (2.1) A ε B(x, ε) kaikilla x M. (2.2) Oletetaan nyt väitettä vastaan, ettei tällaista joukkoa ole olemassa. Olkoon x 1 M. Valitaan nyt pisteet x 1,..., x p M siten, että d(x m, x n ) ε, kun m n. Tällöin joukko {x j } p j=1 M toteuttaa ehdon (2.1), eikä se näin ollen voi toteuttaa ehtoa (2.2). Näin ollen on olemassa x p+1 M siten, että {x j } p j=1 B(x p+1, ε) =, joten d(x p+1, x j ) ε kaikilla 1 j p. Täten voidaan induktiivisesti muodostaa jono {x j } M siten, että d(x m, x n ) ε, kun m, n N ja m n. Tällä jonolla ei selvästikään ole suppenevaa osajonoa, sillä mikäli {x jn } {x j } siten, että x jn x M kun n, niin d(x jm, x jn ) d(x jm, x) + d(x, x jn ) < ε, kun m ja n valitaan riittävän suuriksi. Tämä on ristiriita, joten halutunlainen joukko A ε on olemassa. Määritellään nyt A = j=1 A 1/j, joka on selvästi äärellisten joukkojen numeroituvana yhdisteenä numeroituva. Olkoon nyt x M ja 0 < 1/j < ε. Tällöin ehdon (2.2) nojalla = B(x, 1/j) A 1/j B(x, ε) A, joten joko x A tai x on joukon A kasaantumispiste. Näin ollen A = M, joten M on separoituva. Topologisen avaruuden osajoukkojen kokoelmaa {U i } i A P(), kutsutaan joukon A avoimeksi peitteeksi, mikäli A i A U i ja U i T kaikilla i A. Tämän avulla voidaan antaa määritelmä joukon kompaktiudelle. 4

7 Määritelmä 2.6. Olkoon topologinen avaruus ja K jokin sen epätyhjä osajoukko. Tällöin K on kompakti, mikäli sen jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite, eli jos U on joukon K avoin peite, niin on olemassa U 1,..., U k U siten, että K k U i U i. i=1 U i U Joukon kompaktius osoittautuu monenlaisten funktioiden ominaisuuksien tarkasteluissa hyödylliseksi ominaisuudeksi sekä lähtö- että maaliavaruudelle. Edelleen jos joukon sulkeuma on kompakti, niin joukkoa kutsutaan relatiivikompaktiksi (engl. relatively compact). Relatiivikompakteihin joukkoihin tullaan nojaamaan etenkin eräissä funktioperheisiin liittyvissä tarkasteluissa. Huomautus. Kirjallisuudessa esiintyy runsaasti relatiivikompaktiuden kaltaisia kompaktiutta heikompia ehtoja. Esimerkiksi metrisen avaruuden (M, d) osajoukon M sanotaan olevan prekompakti, mikäli jokaista ε > 0 vastaa äärellinen pistejoukko {x j } p j=1 siten, että p B d (x j, ε). j=1 Tällaista joukkoa kutsutaan usein myös täysrajoitetuksi (engl. totally bounded) ja tämän tutkielman puitteissa nämä määritelmät ovat samat. Täydellisen metrisen avaruuden relatiivikompaktit ja prekompaktit joukot ovat samoja [15, s. 13] ja termejä käytetäänkin tässä tapauksessa kirjallisuudessa synonyymeina. Metristen avaruuksien tapauksessa on voimassa seuraava erittäin käyttökelpoinen kompaktiutta karakterisoiva tulos. Lause 2.7. [14, s. 105, Theorem 3.43] Olkoon M metrinen avaruus. Tällöin seuraavat kolme ehtoa ovat ekvivalentteja: (a) M on kompakti; (b) Jokaisella avaruuden M äärettömällä osajoukolla on kasaantumispiste joukossa M; (c) Jokaisella avaruuden M jonolla on joukossa M suppeneva osajono. Todistus. Oletetaan, että (c) on voimassa ja osoitetaan, että tästä seuraa (a). Nyt Lemman 2.5 nojalla M on separoituva, joten löydetään numeroituva 5

8 tiheä osajoukko A M. Määritellään B = {B(x, r) : x A, r Q, r > 0}, joka on selvästi numeroituva joukko. Olkoon nyt U joukon M avoin peite ja merkitään B 0 = {B B : B U jollakin U U}. Valitaan jokaisella B B 0 joukko U B U siten, että B U B. Merkitään edelleen V = {U B : B B 0 }, joka on vastaavasti numeroituva joukko, ja osoitetaan tämä avaruuden M avoimeksi peitteeksi. Olkoon z M ja valitaan U U siten, että z U. Nyt koska U on avoin joukko, niin B(z, ε) U jollakin ε > 0. Valitaan seuraavaksi joukon A tiheyden nojalla x A siten, että d(x, z) < ε/2 sekä r Q siten, että d(x, z) < r < ε/2. Tällöin jos y B(x, r), niin d(y, z) d(y, x) + d(x, z) < r + ε/2 < ε, joten z B(x, r) B(z, ε) U. Näin ollen B(x, r) B 0, joten z U B(x,r) V. Näin ollen V = B B 0 U B = M, jolloin väite seuraa siinä tapauksessa, että V on äärellinen. Muussa tapauksessa se voidaan numeroituvana joukkona numeroida muotoon V = {V k } k N. Olkoon n N ja merkitään W n = n k=1 V k. Tällöin W n W n+1 kaikilla n ja lim n W n = V = M. Nyt tulee näyttää, että W n = M jollakin n N. Oletetaan antiteesinä, ettei näin ole. Tällöin jokaisella n N voidaan valita x n M \ W n. Nyt oletuksen (c) nojalla jonolla {x n } on suppeneva osajono {x nk }, joka suppenee johonkin x M. Valitaan täten N N siten, että x W N. Tällöin x n / W N kaikilla n N. Toisaalta suppenevan osajonon osalta x nk W N riittävän suurella k N. Tämä on ristiriita, joten oletuksesta (c) seuraa osoitetusti väite (a). Oletetaan seuraavaksi, että (a) on voimassa ja osoitetaan, että tällöin myös (b) on voimassa. Oletetaan antiteesinä, ettei (b) ole voimassa. Tällöin on olemassa ääretön osajoukko D M siten, ettei sillä ole kasaantumispistettä avaruudessa M. Nyt jokaisella x D on olemassa avoin ympäristö V x siten, että D V x = {x}. Edelleen koska joukolla D ei ole kasaantumispisteitä, se on suljettu joukko ja perhe U = {V x : x D} (M \ D) on joukon M ääretön avoin peite. Tällä peitteellä ei ole äärellistä osapeitettä, sillä jonkin joukon V x poistaminen peitteestä johtaa siihen, ettei piste x kuulu mihinkään peitteen avoimeen joukkoon. Näin ollen M ei ole kompakti, mikä on ristiriita joten myös (b) on voimassa. Oletetaan lopuksi, että (b) on voimassa ja osoitetaan, että tästä seuraa (c). Olkoon {x n } M jono ja merkitään E = {x n : n N}, jolloin ehdon (b) nojalla sille löydetään kasaantumispiste x M. Valitaan n 1 ja r 1 > 0 siten, että x n1 E B(x, r 1 ). Nyt kun kasaantumispisteen mielivaltaisessa ympäristössä on äärettömän monta joukon E pistettä, niin valitaan edelleen luvut n k, k N, siten, että x nk E B(x, r 1 /k). Tämä määrittelee induktiivisesti osajonon {x nk }. Nyt mielivaltaisella pisteen x ympäristöllä B(x, r) 6

9 voidaan valita k 0 N siten, että B(x, r 1 /k) B(x, r) kaikilla k k 0. Täten x nk B(x, r) kaikilla k k 0, joten x nk x kun k. Näin ollen jokaisella avaruuden M jonolla on osoitetusti samassa avaruudessa suppeneva osajono, eli (c) on voimassa ja todistus on valmis. Ehtoa (c) kutsutaan yleisesti jonokompaktiudeksi, ja tulos osoittaa sen olevan kompaktiuden kanssa ekvivalentti ominaisuus metrisessä avaruudessa. Määritelmä 2.8. Metrisen avaruuden (M, d) jonoa {x n } M kutsutaan Cauchy-jonoksi, mikäli jokaista ε > 0 vastaa N = N ε N siten, että d(x n, x m ) < ε (2.3) kaikilla n, m N ε. Erityisesti metristä avaruutta M sanotaan täydelliseksi, mikäli jokainen sen Cauchy-jono suppenee johonkin avaruuden M alkioon. Normiavaruuden sanotaan olevan Banachin avaruus, mikäli jokainen sen Cauchy-jono suppenee kyseessä olevan normin indusoiman metriikan suhteen, ts. Banachin avaruus on täydellinen normiavaruus. 7

10 3 Funktionaalianalyysin perusteita Tässä luvussa esitellään riittävä funktionaalianalyysin pohja tutkielman päätuloksen sovelluskohteille funktionaalianalyysiin liittyen. Tavoitteena on esittää oleellisimmat tarvittavat määritelmät ja tulokset sekä operaattoriteorian että funktioavaruuksien osalta. 3.1 Lineaarioperaattorit Määritelmä 3.1. Kahden normiavaruuden välistä kuvausta T : E F kutsutaan lineaarikuvaukseksi tai lineaarioperaattoriksi, mikäli (a) T (x + y) = T (x) + T (y), (b) T (λx) = λt (x) kaikilla x, y E ja λ K. Edelleen jos F = K eli lineaarikuvaus on lähtöavaruudelta kerroinkunnalle, niin kuvausta sanotaan lineaariseksi funktionaaliksi. Määritelmä 3.2. Olkoon T : E F lineaarioperaattori. Operaattorin T operaattorinormi on T E F = sup{ T x F : x E 1} = sup { } T x F : x E \ {0}. x E Merkitään lyhyesti T E F = T jos on selvää, minkä avaruuksien välillä T operoi. Operaattorinormin määritelmästä nähdään suoraan hyödyllinen epäyhtälö T x F T x E. Operaattorin T sanotaan olevan rajoitettu, mikäli T on äärellinen. Edelleen rajoitettujen eli jatkuvien [12, s. 96, Theorem 5.4] lineaarioperaattoreiden joukkoa merkitään L(E, F ). Jos F = E, niin merkitään lyhyesti L(E, E) = L(E). Jatkuvien lineaarioperaattoreiden joukosta L(E, F ) saadaan normiavaruus ja jopa Banachin avaruus, mikäli maaliavaruus F on Banachin avaruus, varustamalla se näin määritellyllä operaattorinormilla [9, s. 39]. Määritelmä 3.3. [12, s. 108, Remarks 5.21] Olkoon E normiavaruus. Tällöin kaikkien avaruuden E rajoitettujen lineaaristen funktionaalien joukkoa merkitään E ja sitä kutsutaan avaruuden E duaaliavaruudeksi. Edelleen tämän duaalia E kutsutaan avaruuden E biduaaliksi. Määritelmä 3.4. [8, s. 232, Denition 4.5-1] Olkoon E ja F normiavaruuksia sekä T L(E, F ). Operaattorin T liitto-operaattori eli adjungaatti T : F E määritellään yhtäsuuruuden (T y )(x) = y (T x) 8

11 toteuttavana operaattorina, missä y F. Lause 3.5. [4, s ] Olkoon E ja F Banachin avaruuksia ja T L(E, F ). Tällöin operaattorin T : E F rajoittuma joukkoon E kuvauksen J : E E, J(x) = T (x), määräämän upotuksen avulla on operaattori T. Todistus. Olkoon T L(E, F ), y B F = {y F : y 1} ja x B E. Tällöin saadaan arvio (T y )(x) = y (T x) T (x) F T. Näin ollen T y T kun y B F, joten T T. Nyt (T ) = T : E F voidaan määritellä (T x )(y ) = x (T y ), kun x E ja y F. Tulkitaan nyt x E biduaalin E alkiona kuvauksen J avulla. Tällöin kun y F, niin saadaan Näin ollen T E = T ja väite seuraa. (T x)(y ) = x(t y ) = (T x)(y ). Määritelmä 3.6. Kahden normiavaruuden välillä määritelty lineaarioperaattori T : E F on kompakti, jos suljetun yksikköpallon B E = {x E : x 1} kuva kuvauksessa T on relatiivikompakti avaruudessa F. Lause 3.7. [8, s. 407, Theorem 8.1-3] Olkoon E ja F normiavaruuksia ja T L(E, F ). Tällöin T on kompakti jos ja vain jos jokaisen rajoitetun jonon {x n } E kuvalla {T (x n )} F on olemassa suppeneva osajono. Todistus. Olkoon T L(E, F ) kompakti ja {x n } E rajoitettu. Tällöin on olemassa M > 0 siten, että x n E M kaikilla n N, josta seuraa x n /M E 1, eli jono {x n /M} kuuluu avaruuden E suljettuun yksikköpalloon. Edelleen operaattorin T kompaktiuden nojalla tämän jonon kuva sisältyy relatiivikompaktiin joukkoon, jolloin kuvajonolla on olemassa suppeneva osajono sen sulkeumassa Lauseen 2.7 nojalla. Kääntäen jos kuvajonolla {T (x n )} F on olemassa suppeneva osajono kaikilla rajoitetuilla jonoilla {x n } E, niin operaattorin T kompaktius seuraa määritelmästä vastaavalla päättelyllä Lauseen 2.7 nojalla. Määritellään seuraavaksi erityisesti funktionaalianalyysissa keskeinen avaruus. Määritelmä 3.8. Olkoon E vektoriavaruus skalaarikuntanaan K. Jos kuvaus, : E E C toteuttaa kaikilla x, y, z E ja λ K ehdot 9

12 (a) x + z, y = x, y + z, y, (b) x, y = y, x, (c) λx, y = λ x, y, (d) x, x 0, x E siten, että x, x = 0 jos ja vain jos x = 0 E, niin kuvaus, on sisätulo ja pari (E,, ) on sisätuloavaruus. Helposti nähdään, että sisätulo määrittelee normin kyseiseen vektoriavaruuteen kaavalla x, x = x 2. Näin ollen sisätuloavaruudet ovat aina metrisiä avaruuksia sisätuloa vastaavan normin indusoiman metriikan suhteen. Edelleen jos avaruus on tämän metriikan suhteen täydellinen, kutsutaan sitä Hilbertin avaruudeksi. Lause 3.9. (Cauchy-Schwarzin epäyhtälö) [12, s. 77, Theorem 4.2] Olkoon E sisätuloavaruus. Tällöin kaikilla x, y E on voimassa x, y x y. Todistus. Olkoon λ K. Tällöin x + λy 2 = x + λy, x + λy = x, x + λ y, x + λ x, y + λ 2 y, y x λ x, y + λ 2 y 2, joten normin ollessa aina ei-negatiivinen saadaan toisen asteen positiivikertoiminen epäyhtälö x λ x, y + λ 2 y 2 0, joka tunnetusti toteutuu, kun diskriminantille pätee D = b 2 4ac 0. Näin ollen ja väite seuraa. D = b 2 4ac = (2 x, y ) 2 4 y 2 x 2 0, 3.2 Funktioavaruudet Määritellään tutkielman kannalta oleellisimmat funktioavaruudet. Muistetaan, että jos on kompakti metrinen avaruus, niin C() = {f : C : f on jatkuva} on Banachin avaruus varustettuna normilla f = sup x f(x), kun f C(). Tyypillisesti on mielekästä tutkia esimerkiksi suljetun yksikkövälin 10

13 vastaavaa avaruutta C([0, 1]). Myös vastaavien avaruuksien suljetut yksikköpallot B C() = {f C() : f 1} osoittautuvat hyödyllisiksi työkaluiksi lineaarioperaattorien kompaktiutta tutkiessa. Eräs keskeisimmistä funktionaalianalyysissä esiintyvistä funktioavaruuksista on L p -avaruus. Tämän määrittelemiseen tarvitaan kuitenkin mittateorian perusteita, joista käsitellään oleellisimmat pyrkimyksenä määritellä L p - avaruudet. Määritelmä [3, s. 3, Denitions ] Olkoon epätyhjä joukko. Tällöin sen osajoukkojen kokoelmaa Σ P() kutsutaan joukon σ-algebraksi, mikäli seuraavat ehdot ovat voimassa: (a), Σ, (b) Jos A Σ, niin \ A Σ, (c) Jos A i Σ kaikilla i N, niin i N A i Σ. Tällöin pari (, Σ) on mitallinen avaruus. Määritelmä Olkoon epätyhjä joukko, Σ sen σ-algebra ja µ : Σ [0, ] = [0, ) {+ } kuvaus. Tällöin mikäli µ täyttää ehdot (a) µ( ) = 0, (b) Jos A i Σ ovat erillisiä kaikilla i N, niin µ ( i N A ) i = i N µ (A i), niin kuvaus µ on mitta ja edelleen kolmikkoa (, Σ, µ) kutsutaan mittaavaruudeksi. Toista ehtoa kutsutaan usein σ-additiivisuudeksi ja alkioita A i Σ mitallisiksi joukoiksi. Joukkoa E kutsutaan σ-äärelliseksi, jos on olemassa numeroituva kokoelma joukkoja E n siten, että n N E n = E ja µ(e n ) < kaikilla n N. Tämän tutkielman puitteissa riittää tarkastella Lebesguen mittaa. Muistetaan, että Lebesguen ulkomitta määritellään joukolle A R n ehdolla { } m n(a) = inf l(i i ) : A I i, I i on n-ulotteinen väli, i N i=1 i=1 missä n-ulotteisella välillä tarkoitetaan avoimien välien n-kertaista karteesista tuloa ja l(i i ) on välin I i geometrinen mitta l(i i ) = n (b k a k ) = (b 1 a 1 ) (b 2 a 2 ) (b n a n ). k=1 11

14 Edelleen joukkoa A sanotaan Lebesgue-mitalliseksi, mikäli se toteuttaa Carathéodoryn ehdon m n(a) = m n(a E) + m n(a E c ) kaikilla joukoilla E R n. Näin määritellyt Lebesgue-mitalliset joukot muodostavat σ-algebran ja mikäli joukko A R n on Lebesgue-mitallinen, merkitään sen Lebesguen mittaa m n (A) = m n(a). Edelleen funktiota f : A R m sanotaan mitalliseksi funktioksi, mikäli f 1 (B) on Lebesgue-mitallinen joukko kaikilla avoimilla joukoilla B R m. Epätyhjän joukon A karakteristinen funktio on { 1, x A, χ A (x) = 0, x / A. Lebesguen integraali määritellään joukossa ensin mitalliselle yksinkertaiselle funktiolle n ψ = a i χ i, (3.1) i=1 missä i = ψ 1 (a i ) = {x : ψ(x) = a i }, joukkojen i mittojen avulla. Näin määritelty funktio ψ saa joukossa arvot a 1,..., a n. Lisäksi joukot i ovat tyypillisesti erillisiä joukkoja ja arvot a i erisuuria toistensa kanssa. Määritelmä [11, s. 71] Olkoon (, Σ, µ) mitta-avaruus ja ψ : R yksinkertainen mitallinen funktio. Tällöin funktion ψ integraali yli joukon on n ψ dµ = a i µ( i ), missä ψ on määritelty kuten yhtäsuuruudessa (3.1) ja µ( i ) on vastaavan joukon mitta. i=1 Määritelmä [11, s. 73] Olkoon (, Σ, µ) mitta-avaruus ja f : R rajoitettu reaaliarvoinen funktio, missä on äärellismitallinen. Määritellään tällöin yksinkertaisilla funktioilla ψ ja ϕ Lebesguen ala- ja yläintegraalit vastaavasti { } sup ψ dµ : ψ f joukossa, { inf } ϕ dµ : f ϕ joukossa, 12

15 ja mikäli näin määritellyt ala- ja yläintegraalit ovat samat, niin tätä lukua kutsutaan funktion f Lebesguen integraaliksi. Otetaan yleisen Lebesguen integraalin määritelmää kohti siirryttäessä käyttöön merkinnät f + (x) = max{f(x), 0} ja f (x) = max{ f(x), 0} joukossa määritellylle funktiolle f kaikilla x. Määritelmä Olkoon (, Σ, µ) mitta-avaruus ja f : R mitallinen funktio. Tällöin funktion f integraali määritellään asettamalla f dµ = f + dµ f dµ, ja mikäli f : C, niin funktion f integraali on f dµ = R(f) dµ + i I(f) dµ, kun yhtälöiden oikeat puolet on hyvin määritelty. Tällöin funktio f on integroituva, mikäli f dµ <. Lebesguen integraalin määritelmästä tulee huomata, että Määritelmän nojalla Lebesguen mielessä integroituvia funktioita voidaan approksimoida mielivaltaisen tarkasti yksinkertaisilla funktioilla, mikä osoittautuu hyödylliseksi ominaisuudeksi eräissä Lebesguen integraaleihin liittyvissä todistustekniikoissa. Nyt hyvin määritellyn integrointiteorian avulla pystytään määrittelemään funktionaalianalyysin perustassa keskeistä roolia näyttelevät L p -avaruudet. Määritelmä Olkoon (, Σ, µ) mitta-avaruus ja 1 p <. Merkitään Tällöin ( f p = ) 1 f(x) p p dµ(x). L p () = {f : C on mitallinen : f p < } ja sitä kutsutaan Lebesguen avaruudeksi. Edelleen jos R n ja käytetään tavallista Lebesguen mittaa, niin merkitään dµ(x) = dm(x). 13

16 Kuvauksesta p saadaan normi samaistamalla joukossa nollamittaisen joukon ulkopuolella eli melkein kaikkialla samat funktiot ekvivalenssiluokiksi. Tälloin L p () on Banachin avaruus tällä normilla varustettuna, kun sen alkiot ymmärretään vastaavina ekvivalenssiluokkina [2, s. 93, Theorem 4.8]. Edelleen tärkeä erikoistapaus L p -avaruuksista on L 2 -avaruus, joka on Hilbertin avaruus [12, s. 78, Examples 4.5 (b)], kun se varustetaan sisätulolla f, g L 2 = f(x)g(x) dµ(x), f, g L 2 (). Muistetaan, että positiiviset luvut p ja q ovat toistensa konjugaattieksponentteja, mikäli 1 p + 1 q = 1. Helposti nähdään, että määritelmän nojalla tulee olla 1 < p, q < ja mikäli p = 1, niin sovitaan q = ja kääntäen vastakkaisessa tapauksessa. Symmetrinen erityistapaus tästä on p = q = 2. Lause (Hölderin epäyhtälö) [12, s. 63, Theorem 3.5] Olkoot p ja q toistensa konjugaattieksponentteja, (, Σ, µ) mitta-avaruus ja f, g mitallisia funktioita joukossa. Tällöin ( fg 1 = fg dµ ) 1 ( ) 1 f p p dµ g q q dµ = f p g q. Lause (Minkowskin epäyhtälö) [12, s. 63, Theorem 3.5] Olkoon p [1, ), (, Σ, µ) mitta-avaruus ja f mitallinen funktio joukossa. Tällöin ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 f + g p = f + g p p dµ f p p dµ + g p p dµ = f p + g p. Näiden lisäksi tullaan tarvitsemaan Fubinin lauseena tunnettua tulosta, joka antaa riittävät ehdot sisäkkäisten integraalien integrointijärjestyksen vaihtamiselle ja vastaavien integraalien suppenemiselle. Tulosta varten tarvitaan tulomitan käsitettä. Määritelmä [12, s. 164, Denition 8.7] Olkoon (, Σ, µ) ja (Y, Γ, ν) σ-äärellisiä mitta-avaruuksia ja Q Σ Γ. Asetetaan tällöin (µ ν)(q) = ν(q x ) dµ(x) = µ(q y ) dν(y) (3.2) missä Q x = Q ({x} Y ) kaikilla x ja Q y = Q ( {y}) kaikilla y Y. Tällöin kuvausta (µ ν) : Σ Γ [0, ] kutsutaan mittojen µ ja ν tulomitaksi. 14 Y

17 Yhtälön (3.2) toinen yhtäsuuruus seuraa tuloksesta [12, s. 163, Theorem 8.6]. Yhtäsuuruus on tämän tutkielman puitteissa hyvin määritelty, sillä käsittelyssä olevat mitat ovat oletusarvoisesti positiivisia. Lause (Fubinin lause) [15, s. 18] Olkoon (, Σ, µ) ja (Y, Γ, ν) σ- äärellisiä mitta-avaruuksia ja olkoon f avaruudessa ( Y ) määritelty positiivinen (µ ν)-mitallinen funktio. Tällöin integraalit f(x, y) (µ ν)(x), f(x, y) dν(y) dµ(x), Y Y f(x, y) dµ(x) dν(y) Y suppenevat samanaikaisesti ja ovat supetessaan yhtäsuuret. 15

18 4 Funktioperheistä Tässä luvussa käsitellään riittävä funktioperheiden perusta tutkielman päätuloksen esittämiseen ja todistamiseen. Määritelmä 4.1. [14, s. 165, Denition 3.141] Olkoon topologinen avaruus, Y metrinen avaruus ja F C(, Y ) epätyhjä. Tällöin perhe F on tasa-asteisesti jatkuva pisteessä x, jos jokaista ε > 0 vastaa ympäristö U x siten, että d (f(t), f(x)) < ε kaikilla t U x ja f F. Perhe F on tasa-asteisesti jatkuva joukossa, mikäli se on tasa-asteisesti jatkuva sen jokaisessa pisteessä. Esimerkki 4.2. Olkoon R n konveksi ja avoin joukko, F perhe joukossa dierentioituvia funktioita f : R ja M 0 siten, että f(x) R n M kaikilla x, missä gradientin f : R n Euklidinen normi on ( f(x) ) 2 ( ) 2 ( ) 2 f(x) f(x) f(x) R n = M x 1 x 2 x n kun x = (x 1, x 2,..., x n ) R n. Nyt sisältää konveksina joukkona kaikki kahden pisteen väliset janat. Näin ollen kun t [0, 1], niin merkitsemällä g(t) = f(x + t(y x)) saadaan väliarvolauseen nojalla f(x) f(y) = g(0) g(1) = g(t 0 ) R n = (y x) f(x + t 0 (y x)) R n M x y R n, kun tarkastelu tehdään n-ulotteisen Euklidisen normin R n mielessä ja t 0 [0, 1]. Näin ollen F on tasa-asteisesti jatkuva. Esimerkki 4.3. Tarkastellaan perhettä F = {f n : n N} C(D, C), missä f n : D [0, ) ja f n (z) = z n kaikilla n N. Nyt kaikilla z T ja w D pätee f n (z) f n (w) = z n w n = 1 w n 1, kun n. Näin ollen F ei ole tasa-asteisesti jatkuva. Määritelmä 4.4. Alueessa Ω C määritelty perhe F kompleksiarvoisia funktioita on pisteittäin rajoitettu, jos jokaiselle z Ω pätee sup{ f(z) } <. f F Määritelmä 4.5. [13, s. 12, Denition 1.5.1] Funktioperhe F kompleksiarvoisia funktioita on lokaalisti rajoitettu alueessa Ω C, jos jokaista z 0 Ω vastaa luku M = M(z 0 ) ja ympäristö D(z 0, r) Ω siten, että f(z) M kaikilla z D(z 0, r) ja kaikilla f F. 16

19 Merkitään kompleksitarkasteluissa alueessa Ω C analyyttisten funktioiden joukkoa 2 H(Ω) ja vastaavasti kyseisessä alueessa meromorsten funktioiden joukkoa M(Ω). Määritelmä 4.6. [6, s. 326, Denition 9.1.4] Olkoon Ω C alue. Funktioperhettä F H(Ω) kutsutaan normaaliksi alueessa Ω, jos jokaisella perheen F jonolla {f n } on joukon Ω kompakteissa osajoukoissa suppeneva osajono. Määritelmä 4.7. Olkoon topologinen avaruus, Y metrinen avaruus ja {f n } C(, Y ) jono funktioita. Tällöin mikäli on olemassa funktio f siten, että jokaista ε > 0 vastaa N ε N siten, että d Y (f(x), f n (x)) < ε kaikilla x ja n N ε, niin jono {f n } suppenee tasaisesti kohti funktiota f. Osoitetaan seuraavaksi kompleksisten funktioperheiden tarkastelussa hyödyllinen Weierstrassin lauseena tunnettu tulos. Lause 4.8 (Weierstrassin lause). [13, s. 9] Olkoon {f n } jono alueessa Ω analyyttisia funktioita siten, että se suppenee tasaisesti alueen Ω kompakteissa osajoukoissa rajafunktioon f. Tällöin f on analyyttinen alueessa Ω ja derivaattoja vastaavat jonot {f n (k) } suppenevat alueen Ω kompakteissa osajoukossa tasaisesti vastaaviin rajafunktioihin {f (k) }, kun k N on kiinnitetty. Todistus. Olkoon {f n } H(Ω) siten, että suppeneminen rajafunktioon f n f on tasaista alueen Ω kompakteissa osajoukoissa. Valitaan nyt jokaisella ξ Ω kiekko D(ξ, r) Ω ja merkitään γ = {z Ω : z ξ = r}. Nyt oletuksen nojalla jokaista ε > 0 vastaa N ε N siten, että f(η) f n (η) < ε kaikilla η γ, kun n N ε. Määritellään seuraavaksi F k (z) = k! 2πi γ f(η) dη (z η) k+1 kaikilla z D(ξ, r/2), missä k N. Tällöin kaikilla n N ε saadaan Cauchyn integraalikaavan [1, s. 119, Theorem 6] avulla F k (z) f n (k) (z) k! f(η) f n (η) dη k! ε 2π z η k+1 ( 2π r k+1 dη 2) γ k! 2πrε2 k+1 2π r k+1 = k!ε2k+1 r k, 2 Merkintä H tulee sanasta holomornen, jota käytetään synonyymina analyyttisen kanssa. 17 γ

20 jolloin pisteittäinen suppeneminen f n (k) (z) F k (z) on tasaista pienemmässä kiekossa D(ξ, r/2), kun k N {0}. Nyt tapauksessa k = 0 on oletuksen nojalla f n (z) f(z) ja edellä esitetyn päättelyn nojalla f n (z) F 0 (z). Tällöin on f(z) F 0 (z), joka on analyyttinen funktio kiekossa D(ξ, r/2). Edelleen koska piste ξ Ω valittiin mielivaltaisesti, on f analyyttinen joukossa Ω. Lisäksi f n (k) f (k) tasaisesti joukossa D(ξ, r/2). Näin ollen jos K Ω on kompakti joukko, voidaan sille muodostaa avoin peite vastaavista kiekoista siten, että K D(ξ, r/2), ξ K jolle löydetään äärellinen osapeite. Väite seuraa. Meromorfunktioiden tapauksessa on mielekästä tarkastella jonojen tasaista suppenemista Riemannin pallolla stereograseen projektioon liitetyn metriikan suhteen, jolloin myös pistettä z = voidaan käsitellä luonnollisella tavalla. Tätä varten muistetaan kompleksianalyysin perusteista, että pisteiden z, w C palloetäisyys on χ(z, w) = z w 1 + z w 2, ja se määrittelee metriikan [13, s. 2-3]. Nyt jos w =, niin saadaan χ(z, ) = lim w z w z 2 1 w = z 2. Riemannin palloon C kuuluvan käyrän γ pituuselementiksi saadaan palloetäisyyden avulla ds = dz 1 + z, 2 jonka avulla käyrän γ pituudeksi saadaan dz L(γ) = 1 + z. 2 γ Olkoon nyt z, w C. Määritellyn käyräpituuden avulla voidaan muodostaa Riemannin palloon metriikka kaavalla σ(z, w) = inf γ(z,w) L(γ), missä inmum otetaan kaikkien pisteitä z ja w yhdistävien sileiden käyrien yli. Edelleen nähdään, että χ(z, w) σ(z, w) π χ(z, w), joten kyseiset metriikat ovat 2 ekvivalentit [13, s. 3]. 18

21 Määritellään meromorfunktion f M(Ω) palloderivaatta f #, joka saadaan suoralla laskulla muotoon f # (z) = lim w z χ(f(z), f(w)) z w = f (z) 1 + f(z) 2. Palloderivaatan määritelmästä saadaan helposti hyödyllinen yhtäsuuruus ( f # 1 #. (z) = f(z)) Edelleen jos γ on sileä käyrä alueessa Ω, niin käyrän γ Riemannin pallolle muodostuvan kuvakäyrän f(γ) pituuselementti on ds = f # (z) dz ja kyseisen käyrän pituus saadaan integraalina ds = f # (z) dz. f(γ) Määritelmä 4.9. [13, s. 71, Denition 3.1.1] Alueessa Ω C määritelty perhe meromorsia funktioita F M(Ω) on normaali, jos jokainen jono {f n } F sisältää suppenevan osajonon {f nk } siten, että suppeneminen on palloetäisyyden suhteen tasaista alueen Ω kompakteissa osajoukoissa. Osoitetaan seuraavaksi meromorsten funktioperheiden normaaliustarkasteluja helpottava aputulos. Tätä varten tullaan tarvitsemaan seuraavia lemmoja. Lemma [13, s. 3, Theorem 1.2.2] Jos alueessa Ω määritelty funktiojono {f n } suppenee palloetäisyyden suhteen tasaisesti rajoitettuun funktioon f : Ω C, niin {f n } suppenee tasaisesti funktioon f alueessa Ω. Todistus. Olkoon f(z) M alueessa Ω. Tällöin χ(0, f(z)) χ(0, M) = γ M 1 + M 2 < 1. Valitaan täten 0 < ε < 1 M 1+M 2. Nyt oletuksen nojalla on olemassa N ε N siten, että kaikilla n N ε on voimassa χ(f(z), f n (z)) < ɛ, jolloin saadaan f n (z) 1 + fn (z) 2 = χ(0, f n(z)) χ(0, f(z)) + χ(f(z), f n (z)) < M 1 + M 2 + ε = m < 1. x Nyt jos 0 < x < m, niin tarkastelemalla epäyhtälöä 1+x 2 < m nähdään suoralla laskulla hyödyllinen arvio x < m 1 m 2. Näin ollen päätellään f n (z) < m 1 m 2 = M 1, 19

22 kaikilla n N ε. Tällöin saadaan f(z) f n (z) = 1 + f(z) f n (z) 2 χ(f(z), f n (z)) kun n N ε. Väite seuraa. < 1 + M M 2 1 χ(f(z), f n (z)) Lemma [13, s. 14, Proposition 1.6.2] Olkoon {f n } jono alueessa Ω palloetäisyyden suhteen jatkuvia funktioita ja f rajafunktio, jota kohti kyseinen jono suppenee palloetäisyyden suhteen tasaisesti alueen Ω kompakteissa osajoukoissa. Tällöin jono {f n } on tasa-asteisesti jatkuva palloetäisyyden suhteen ja rajafunktio f on palloetäisyyden suhteen tasaisesti jatkuva alueen Ω kompakteissa osajoukossa. Todistus. Olkoon K Ω kompakti joukko ja z K. Nyt jokaista ε > 0 vastaa N ε N siten, että χ(f n (z), f(z)) < ε/3 kaikilla n N ε. Erityisesti jatkuvuuden nojalla on olemassa δ = δ(ε, K) > 0 siten, että χ(f Nε (z), f Nε (w)) < ε/3, kun z, w K ja z w < δ. Tällöin saadaan χ(f(z), f(w)) χ(f(z), f Nε (z)) + χ(f Nε (z), f Nε (w)) + χ(f Nε (w), f(w)) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, kun z w < δ. Tällöin rajafunktio f on palloetäisyyden suhteen tasaisesti jatkuva joukossa K. Edelleen saadaan χ(f n (z), f n (w)) χ(f n (z), f(z)) + χ(f(z), f(w)) + χ(f n (w), f(w)) < ε 3 + ε + ε 3 = 5ε 3 kaikilla n N ε ja z w < δ, jolloin tasa-asteinen jatkuvuus joukossa K seuraa ja todistus on valmis. Lause [13, s. 72, Theorem 3.1.3] Olkoon {f n } jono alueessa Ω C meromorsia funktioita. Tällöin {f n } suppenee tasaisesti palloetäisyyden suhteen rajafunktioon f alueen Ω kompakteissa osajoukoissa jos ja vain jos jokaista pistettä ξ Ω vastaa suljettu kiekko D(ξ, r) Ω siten, että jompi kumpi ehdoista (a) f n f 0, (b) 1 0, f n 1 f on tasaisesti voimassa kyseisessä kiekossa, kun n. 20

23 Todistus. Helposti nähdään, että palloetäisyyden määritelmän nojalla on voimassa epäyhtälöt χ(z, w) z w ja χ(z, w) 1 1. Näin ollen jos jompi z w kumpi ehdoista on voimassa kiekossa D(ξ, r), niin χ(f n, f) 0 vastaavassa kiekossa ja näin ollen alueen Ω kompakteissa osajoukoissa. Oletetaan kääntäen, että χ(f n, f) 0 tasaisesti alueen Ω kompakteissa osajoukoissa, jolloin todistus jakaantuu kahteen osaan. Oletetaan aluksi, että f(ξ). Nyt Lemman 4.11 nojalla f on palloetäisyyden suhteen jatkuva joukossa Ω, jolloin on olemassa jokin riittävän pieni suljettu kiekko D(ξ, r), jossa f on rajoitettu. Tällöin Lemman 4.10 nojalla on f n f, kun n, tasaisesti vastaavassa kiekossa, jolloin ehto (a) on voimassa. Oletetaan seuraavaksi, että f(ξ) =. Tällöin löydetään vastaavanlaisella päättelyllä jokin suljettu kiekko, jossa on rajoitettu. Tällöin koska 1 ( ) f(z) 1 vastaavasti on χ f n, 1 0, on Lemman 4.10 nojalla 1 f f n 1, jolloin ehto f (b) on voimassa ja väite seuraa. 21

24 5 Tasa-asteinen jatkuvuus ja suppenevat osajonot Tässä luvussa esitetään ja todistetaan tutkielman päätulos ensin kompleksiarvoisille funktioperheille, jonka jälkeen edetään lauseen luonnolliseen yleistykseen metristen avaruuksien tapauksessa. Tutkielman loppu koostuu Arzelà- Ascolin lauseen sovelluskohteista matematiikan eri osa-alueilla. 5.1 Arzelà-Ascolin lause Esitetään ja todistetaan alkuun kompleksiarvoisiin funktioihin rajoitettu erikoistapaus Arzelà-Ascolin lauseesta. Lause 5.1 (Arzelà-Ascolin lause). Olkoon Ω C alue ja F pisteittäin rajoitettu tasa-asteisesti jatkuva funktioperhe kompleksiarvoisia funktioita alueessa Ω. Tällöin jokaisella funktiojonolla {f n } F on alueen Ω kompakteissa osajoukoissa tasaisesti suppeneva osajono siten, että rajafunktio on jatkuva. Todistus. Olkoon Ω Q = {x + iy Ω : x, y Q} = {z k } k N, jolloin Ω Q = Ω. Osoitetaan ensiksi, että jonolla {f n } F on joukossa Ω Q suppeneva osajono. Jonolla {f i (z 1 )} i N on pisteittäisen rajoittuneisuuden ja Bolzano-Weierstrassin lauseen nojalla olemassa suppeneva osajono {f 1,i (z 1 )} i N. Edelleen jonolla {f 1,i (z 2 )} i N on suppeneva osajono {f 2,i (z 2 )} i N. Näin ollen {f 2,i } {f 1,i } {f n } suppenee pisteissä z 1 ja z 2. Induktiivisesti prosessia jatkamalla voidaan muodostaa ääretön kokoelma jonon {f n } osajonoja siten, että {f n } {f 1,i } {f 2,i } missä {f k,i } suppenee pisteissä {z k } i k=1. Tällöin diagonaalijono {f k,k} k N suppenee kaikissa pisteissä z k Ω Q. Merkitään muodostettua osajonoa tarkastelun helpottamiseksi alkuperäisen funktiojonon mukaisesti {f n } = {f k,k } k N. Osoitetaan seuraavaksi, että joukossa Ω Q suppeneva osajono {f n } suppenee koko joukossa Ω. Olkoon tätä varten ε > 0, z Ω sekä δ > 0 funktioperheen F tasa-asteisen jatkuvuuden takaama luku. Nyt koska määritelty apujoukko on tiheä tarkastelualueessa, on olemassa z Q Ω Q siten, että z z Q < δ, kun z Ω. Nyt funktiojono {f n (z Q )} on osoitetusti suppenevana jonona tunnetusti myös Cauchyn jono, jolloin on olemassa N ε N siten, että f n (z Q ) f m (z Q ) < ε 3. 22

25 kaikilla n, m N ε. Edelleen {f n (z)} on Cauchyn jono, sillä tasa-asteisen jatkuvuuden nojalla on voimassa f n (z) f m (z) f n (z) f n (z Q ) + f n (z Q ) f m (z Q ) + f m (z) f m (z Q ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, kun z z Q < δ ja n, m N ε. Tällöin jono {f n (z)} on suppeneva kaikilla z Ω kompleksitason C täydellisyyden nojalla. Määritellään seuraavaksi g : Ω C siten, että g(z) := lim n f n (z) ja osoitetaan se jatkuvaksi. Tasa-asteisen jatkuvuuden nojalla jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että kun z w < δ eli z D(w, δ), niin f n (w) f n (z) < ε/3 kaikilla n N. Näin ollen funktion g määritelmän nojalla g(z) g(w) g(w) f n (w) + f n (w) f n (z) + f n (z) g(z) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, kun n valitaan riittävän suureksi. Täten g on jatkuva ja F {g} on tasaasteisesti jatkuva. Olkoon nyt K Ω kompakti joukko. Muodostetaan tälle avoin peite siten, että K D(w, δ) w K missä δ > 0 valitaan siten, että tasa-asteista jatkuvuutta voidaan lokaalisti soveltaa. Joukon K kompaktiuden nojalla on olemassa äärellinen pistejoukko {w j } p j=1 K ja näiden pisteiden palloympäristöt {D(w j, δ)} p j=1 jotka muodostavat joukon K äärellisen osapeitteen. Edelleen jokaisella w j K on olemassa N j siten, että g(w j ) f n (w j ) < ε 3, kun n N j ja 1 j p. Olkoon ξ K. Nyt on olemassa j {1,..., p} siten, että ξ kuuluu pisteen w j ympäristöön. Tällöin valitsemalla N = max 1 j p {N j} = max{n 1,..., N p }, on pisteessä ξ D(w j, δ j ), eli kun pätee ξ w j < δ j, voimassa g(ξ) f n (ξ) g(ξ) g(w j ) + g(w j ) f n (w j ) + f n (w j ) f n (ξ) < ε + ε 3 + ε 3 = 5ε 3, kun n N ja ξ K, joten funktiojono {f n } suppenee tasaisesti kohti funktiota f joukossa K. Näin ollen suppeneminen on tasaista alueen Ω kompakteissa osajoukoissa. 23

26 Lause 5.1 voidaan yleistää metrisiin avaruuksiin, kun lähtö- ja maaliavaruuksille oletetaan edellisessä todistuksessa oleellisesti käytetyt ominaisuudet. Tyypillisesti metristen avaruuden tapauksen käsittelyssä korvataan oletus funktioperheen pisteittäisestä rajoittuneisuudesta sillä lähes analogisella oletuksella, että funktioperheen jokaisen funktion yhdestä pisteestä muodostamien kuvien joukko on relatiivikompakti, jolloin Bolzano-Weierstrassin lausetta voidaan käyttää suppenevan osajonon muodostamiseen separoituvan avaruuden tiheässä osajoukossa. Lause 5.2. [14, s. 167, Theorem 3.145] Olkoon separoituva topologinen avaruus, Y täydellinen metrinen avaruus ja F C(, Y ) epätyhjä tasaasteisesti jatkuva funktioperhe siten, että kaikilla x joukon {f(x) : f F} Y sulkeuma on kompakti. Tällöin jokaisella funktiojonolla {f n } F on joukossa pisteittäisesti suppeneva osajono siten, että osajono suppenee funktioon f C(, Y ). Edelleen suppeneminen on tasaista joukon kompakteissa osajoukoissa. Lauseen todistamiseen tullaan tarvitsemaan kahta lemmaa, joita tarkastellaan seuraavaksi. Lemma 5.3. [14, s.166, Theorem 3.144] Olkoon D epätyhjä numeroituva joukko ja {f n } jono funktioita joukolta D metriseen avaruuteen Y siten, että jokaisella x D joukon {f n (x) : n N} Y sulkeuma on kompakti. Tällöin on olemassa osajono {f nk } {f n } joka suppenee jokaisessa joukon D pisteessä johonkin pisteeseen avaruudessa Y. Todistus. Merkitään kyseessä olevaa numeroituvaa joukkoa D = {x i : i N}. Nyt koska funktiojono {f n } kuvaa jokaisen joukon D pisteen relatiivikompaktiksi joukoksi, voidaan muodostaa sen osajono {f 1,n } siten, että {f 1,n (x 1 )} suppenee. Edelleen näin muodostetusta osajonosta voidaan edelleen muodostaa osajono {f 2,n } vastaavasti siten, että {f 2,n (x 2 )} suppenee. Jatkamalla päättelyä induktiivisesti voidaan muodostaa kokoelma alkuperäisen funktiojonon {f n } osajonoja siten, että {f n } {f 1,n } {f 2,n } {f 3,n } missä {f i,n } suppenee pisteissä x 1,..., x i. Näin voidaan analogisesti kompleksitason todistuksen kanssa muodostaa uusi osajono valiten diagonaalijono {f i,i } i N = {f 1,1, f 2,2, f 3,3,...}, joka suppenee jokaisessa joukon D pisteessä. Näin ollen muodostettu osajono suppenee kaikilla x i D ja väite on todistettu. Lemma 5.4. [14, s. 165, Theorem 3.143] Olkoon topologinen avaruus, Y täydellinen metrinen avaruus ja {f n } C(, Y ) tasa-asteisesti jatkuva jono 24

27 siten, että se suppenee pisteittäisesti jokaisessa avaruuden tiheän osajoukon D pisteessä. Tällöin on olemassa jatkuva rajafunktio f C(, Y ) siten, että funktiojono {f n } suppenee tähän rajafunktioon tasaisesti avaruuden kompakteissa osajoukoissa. Todistus. Olkoon x ja ε > 0. Tasa-asteisen jatkuvuuden nojalla on olemassa pisteen ympäristö x U x siten, että d (f n (t), f n (x)) < ε 3 kaikilla n N ja t U x. Nyt avaruuden osajoukon D tiheyden nojalla on olemassa t U x D. Edelleen koska jono {f n (t)} suppenee pisteittäisesti oletuksen nojalla, niin se on Cauchy-jono. Näin ollen on olemassa N ε N siten, että d (f m (t), f n (t)) < ε 3 kaikilla n, m N ε. Edelleen kaikilla x on voimassa d (f n (x), f m (x)) d (f n (x), f n (t)) + d (f n (t), f m (t)) + d (f m (t), f m (x)) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, kun n, m N ε, joten jono {f n (x)} Y on Cauchy-jono. Täten koska Y on oletuksen nojalla täydellinen, on olemassa piste y Y siten, että tarkasteltu funktiojono suppenee sitä kohti pisteittäin. Täten koska piste x valittiin mielivaltaisesti, saadaan funktio f : Y, f(x) = y, siten, että jono {f n } suppenee tähän funktioon pisteittäisesti koko avaruudessa. Rajafunktion f jatkuvuuden tarkastamiseksi olkoon edelleen x sekä ε > 0. Nyt mikäli U x valitaan taas siten, että tasa-asteista jatkuvuutta voidaan soveltaa kaikilla t U x, niin pisteittäisen suppenemisen nojalla saadaan d (f(x), f(t)) d (f(x), f n (x)) + d (f n (x), f n (t)) + d (f n (t), f(t)) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε, kun n N ε, joten rajafunktion jatkuvuus seuraa. Lopuksi osoitetaan suppenemisen olevan tasaista avaruuden kompakteissa osajoukoissa. Olkoon tätä varten K kompakti joukko sekä olkoon ε > 0. Muodostetaan joukon K avoin peite x K U x valiten ympäristöt U x siten, että tasa-asteista jatkuvuutta voidaan soveltaa. Nyt joukon K kompaktiuden nojalla on olemassa äärellinen pistejoukko {x j } p j=1 K sekä näiden pisteiden ympäristöt {U xj } p j=1 jotka muodostavat joukon K äärellisen osapeitteen. Edelleen jokaista pistettä x j vastaa N j N siten, että d (f(x j ), f n (x j )) < ε 3, 25

28 kun n N j. Valitaan nyt N = max 1 j p {N j} = max{n 1,..., N p }. Olkoon nyt t K ja valitaan j {1,..., p} siten, että t U xj. Tällöin päätellään, että kaikilla n N on voimassa d (f(t), f n (t)) d (f(t), f(x j )) + d (f(x j ), f n (x j )) + d (f n (x j ), f n (t)) < ε + ε 3 + ε 3 = 5ε 3 riippumatta pisteestä t K. Näin ollen {f n } suppenee tasaisesti rajafunktioon f joukossa K. Lauseen 5.2 todistus. Olkoon nyt D separoituvan avaruuden tiheä, numeroituva osajoukko. Käytetään tätä joukkoa Lemman 5.3 tavoin tarkasteltavaan funktiojonoon {f n }, jolloin saadaan joukossa D suppeneva osajono {f nk }. Tällöin haluttu rajafunktio f saadaan Lemman 5.4 avulla vastaavalla tavalla ja väite seuraa. Arzelà-Ascolin lauseesta voidaan johtaa seuraava versio kompakteille metrisille avaruuksille. Lause 5.5. [14, s. 167, Corollary 3.146] Olkoon kompakti metrinen avaruus ja F C() epätyhjä, pisteittäin rajoitettu joukossa tasa-asteisesti jatkuva funktioperhe. Tällöin F on joukon C() relatiivikompakti osajoukko. Edelleen jokaisella jonolla {f n } F on olemassa osajono, joka suppenee tasaisesti funktioon f F joukossa. Todistus. Osoitetaan ensin, että perhe F on tasa-asteisesti jatkuva joukossa. Olkoon x ja ε > 0. Valitaan nyt pisteen x ympäristö B d (x, r) sopivalla r > 0 siten, että f(t) f(x) < ε/3 kaikilla f F ja t B d (x, r). Nyt jos g F, valitaan f F siten, että f(t) g(t) < ε/3 kaikilla t. Edelleen sulkeuma F on pisteittäin rajoitettu, sillä kaikilla g F, x ja sopivalla valinnalla f F saadaan g(x) g(x) f(x) + f(x) ε 3 + M F funktioperheen F pisteittäisen rajoittuneisuuden nojalla. Nyt kun t B d (x, r), niin on voimassa g(t) g(x) g(t) f(t) + f(t) f(x) + f(x) g(x) < ε 3 + ε 3 + ε 3 < ε, 26

29 joten F on tasa-asteisesti jatkuva joukossa. Nyt koska on Lauseen 2.7 nojalla kompaktina metrisenä avaruutena separoituva, voidaan soveltaa Arzelà- Ascolin lausetta perheeseen F. Näin ollen jokaisella perheen F jonolla on olemassa kompaktissa joukossa tasaisesti johonkin funktioon f C() suppeneva osajono. Edelleen koska F on suljettu, niin f F. Täten F on Lauseen 2.7. nojalla kompakti. 5.2 Tuloksen sovelluksia Käydään tutkielman lopuksi läpi Arzelà-Ascolin lauseen sovelluksia. Tulos osoittautuu monikäyttöiseksi, sillä sovelluskohteita löytyy reaalianalyysin, kompleksianalyysin, funktionaalianalyysin sekä dierentiaaliyhtälöiden osaalueilta. Esimerkki 5.6. Olkoon F = {f α : 0 α 1}, missä f α : [0, 1] R määritellään 1 f α (t) = 1 + αt, 2 kun α, t [0, 1]. Tällöin selvästi F C([0, 1]). Edelleen jokaisella t [0, 1] on voimassa 1 f α (t) sup t [0,1] 1 + αt = 1, 2 joten F on pisteittäin rajoitettu. Edelleen jos t 0 [0, 1], niin f α (t) f α (t 0 ) = αt αt 2 = 1 + αt αt 2 0 (1 + αt 2 )(1 + αt 2 0) = α(t 0 t)(t 0 + t) (1 + αt 2 )(1 + αt 2 0) 2 t t 0, joten perhe F on tasa-asteisesti jatkuva ja täten Lauseen 5.5 nojalla avaruuden C([0, 1]) relatiivikompakti osajoukko. Tarkastellaan seuraavaksi kompleksianalyysistä löytyviä sovelluskohteita. Tyypillisesti Arzelà-Ascolin lauseen sovellukset perustuvat kompleksisen funktioteorian saralla normaaliperhepäättelyihin. Ensimmäinen Montelin lauseena tunnettu tulos antaa riittävät ehdot analyyttisista funktioista koostuvan funktioperheen normaaliudelle. Lause 5.7 (Montelin lause). [1, s. 216, Theorem 12] Olkoon Ω C alue ja F H(Ω) tasaisesti rajoitettu alueen Ω kompakteissa osajoukoissa. Tällöin F on normaaliperhe. 27

30 Todistus. Arzelà-Ascolin lauseen nojalla riittää osoittaa, että perhe F on tasa-asteisesti jatkuva alueen Ω kompakteissa osajoukoissa. Olkoon tätä varten ξ Ω ja valitaan r-säteinen kiekko siten, että D(ξ, r) Ω ja olkoon C K > 0 perheen F tasainen yläraja kiekossa D(ξ, r). Jos nyt z, w D(ξ, r/2) ja valitaan γ = D(ξ, r), niin Cauchyn integraalikaavan [1, s.119, Theorem 6] nojalla kaikilla f F saadaan ( f(z) f(w) = 1 f(η) 2πi γ z w 2π D(ξ,r) z w 2π η z f(η) η w D(ξ,r) = 4C K z w. r ξ K ) dη f(η) η z η w dη C K ( r 2) 2 dη (5.1) Näin ollen F on tasa-asteisesti jatkuva kiekossa D(ξ, r/2). Olkoon K Ω kompakti joukko ja valitaan sen avoimeksi peitteeksi K ( D ξ, r ). 4 Muodostetaan nyt joukon K äärellinen osapeite {D(ξ j, r j )} p j=1, missä p N. Nyt jokaista kiekkoa vastaa M j > 0 siten, että f(z) M j kiekossa D(ξ j, r j ). Valitaan edelleen r = min 1 j p {r j} M = max 1 j p {M j}, jolloin myös on M C K, kun kaikki ylärajat valitaan optimaalisesti. Olkoon ε > 0 ja valitaan δ > 0 siten, että { r δ = min 4, εr }, 4M jolloin ylärajan valinta on suotuisa sekä epäyhtälön (5.1) että kompaktin joukon äärellisen osapeitteen lokaalin tarkastelun kannalta. Olkoon nyt z w < δ. Nyt jos w D(ξ j, r j /4), eli pätee w ξ j < r j /4, niin saadaan z ξ j z w + w ξ j < δ + r j 4 r j 2, 28

31 joten voidaan käyttää epäyhtälöä (5.1). Tällöin kaikilla f F saadaan f(z) f(w) z w 4C K r < εr 4C K 4M r ε, kun M C K. Näin ollen väite seuraa Arzelà-Ascolin lauseen nojalla. Montelin lauseesta on olemassa Martyn lauseena tunnettu versio meromorsista funktioista koostuville perheille. Lause 5.8 (Martyn lause). [13, s. 75] Olkoon Ω C alue ja F M(Ω). Tällöin F on normaaliperhe jos ja vain jos sen palloderivaatat ovat tasaisesti rajoitettuja alueen Ω kompakteissa osajoukoissa. Todistus. Oletetaan ensin, että perheen F funktioiden palloderivaatat ovat tasaisesti rajoitettuja alueen Ω kompakteissa osajoukoissa. Olkoon z Ω ja r > 0 siten, että D(z, r) Ω. Valitaan jokaisella w D(z, r) käyräksi γ pisteitä z ja w yhdistävä jana. Tällöin saadaan χ(f(z), f(w)) f # (η) dη M dη = M z w γ kaikilla f F. Näin ollen perheen F tasa-asteinen jatkuvuus palloetäisyyden suhteen seuraa, joten F on Arzelà-Ascolin lauseen nojalla normaaliperhe. Oletetaan kääntäen, että F on normaali, mutta on olemassa kompakti joukko K Ω ja jono {z n } K sekä funktiot {f n } F siten, että f n # (z n ), kun n. Nyt on olemassa osajono {f nk } joka suppenee joukossa K palloetäisyyden suhteen tasaisesti rajafunktioon f. Edelleen Lauseen 4.12 nojalla jokaista ξ K vastaa suljettu kiekko D(ξ, r) K siten, että joko 1 f nk f tai f nk 1 tasaisesti, kun k. f Ensimmäisessä tapauksessa f on tasaisen suppenemisen nojalla analyyttinen ja rajoitettu kiekossa D(ξ, r 1 ) kun valitaan r 1 > r riittävän pieneksi. Näin ollen f nk on analyyttinen kiekossa D(ξ, r 1 ) riittävän suurella k N ja edelleen Weierstrassin lauseen nojalla f n # k f # tasaisesti vastaavassa kiekossa. Nyt koska rajafunktio f # on jatkuvana rajoitettu kiekossa D(ξ, r 1 ), pätee sama myös jonolle {f n # k (z)}. Jälkimmäisessä tapauksessa korvataan f nk ja f vastaavasti kuvauksilla 1 f nk ja 1. Tällöin ensimmäisen tapauksen kanssa identtinen päättely johtaa samaan lopputulokseen, sillä palloderivaatalle pätee g # 1 #. f ( (z) = g(z)) Tällöin muodostetaan joukolle K todistuksessa käytetyistä kiekoista D(ξ, r 1 ) avoin peite, jolloin palloderivaatat f n # k ovat rajoitettuja jokaisessa näistä kiekoista ja näin ollen myös avoimessa peitteessä. Edelleen joukon K kompaktiuden 29 γ