Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016

Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi 9 2.1 Signaali.............................. 9 2.2 Z-muunnos............................. 9 2.3 Systeemi.............................. 15 2.4 Stabiilisuus............................ 18 Lähdeluettelo 24 1

Johdanto Tutkielman tarkoituksena on esittää, kuten otsikkokin hieman kertoo, tapa määrittää diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus. Tätä varten tarvitaan kompleksianalyysin tuloksia, joten käytämme apuna teoksia [3] ja [4]. Teosta [2] käytetään apuna vain viimeisen lauseen todistukseen. Signaalianalyysin teoriaa varten käytämme teosta [1]. Systeemien määritelmä on hyvin yleinen, mutta systeemien avulla voidaan mallintaa esimerkiksi fysikaalisia prosesseja. Huomaa, että jos systeemiin ei syötetä minkäänlaista signaalia, ei systeemi ole käytössä. Näin ollen signaalit ja systeemit ovat erottamattomia. Sellaiset systeemit, jotka eivät ole BIBO-stabiileja, ovat käytännössä kelvottomia. Esimerkiksi, jos sähköjärjestelmä ei ole stabiili, niin voi tapahtua ylikuumenemista. Tästä syystä on tärkeää esittää tapa määrittää systeemin BIBO-stabiilisuus, mihin keskitymme tutkielman loppuosassa. Keskitymme tutkielmassa kausaalisiin signaaleihin, sillä ne helpottavat tarkastelua ja systeemiin syötettynä signaalin syöttäminen alkaa jostakin ajan hetkestä, jonka voi ajatella olevan 0. Lisäksi tarkastelemme lähinnä kausaalisia systeemejä, koska fysikaaliset järjestelmät eivät voi olla ei-kausaalisia. Palaamme loppuosassa tutkielmaa siihen, että mistä tämä johtuu. Lukijan oletetaan tuntevan perustiedot kompleksianalyysistä. Erityisesti sarjat ja niihin liittyvä teoria on hyvä olla tuttuja. Kuitenkin edellä mainittuja asioita, kuten signaalin, systeemin ja kausaalisuuden määritelmiä, otetaan esille myöhemmässä osassa tutkielmaa. Tutkielman alkupuolella käsitellään tarvittavia kompleksianalyysin tuloksia ja siirrymme myöhempänä signaaleihin ja systeemeihin. Lopuksi perehdymme systeemin stabiilisuuteen, kuten aiemmin hieman vihjattiin. Merkintöjä N = {0, 1, 2,...}. Z = {..., 2, 1}. Z + = {1, 2,...}. R + = {x R x > 0}. 2

1 Kompleksifunktiot Lause 1.1. Olkoon P polynomi, jonka aste on n N. Tällöin polynomilla P on n nollakohtaa ja se voidaan esittää muodossa P (z) = a n (z z i ), missä a C \ {0} ja z 1, z 2,..., z n C ovat polynomin P nollakohdat. Todistus. Katso [3, s. 99-101 ja s. 216, Theorem 22]. Lause 1.2. Jos R(z) = m i=0 a iz i r j=1 (z b j) d j on rationaalifunktio, missä a i, b j C, i = 0, 1,..., m, j = 1, 2,..., r, b i b j kaikilla i j ja deg( r (z b i) d i ) = r d i > m, niin rationaalifunktiolla R on osamurtokehitelmä muodossa R(z) = r d i k il (z b i ) l l=1 joillakin k il C, i = 1,..., r, l = 1,..., d i. Todistus. Katso [3, s. 105, Theorem 2]. Huomautus 1.3. Jos R(z) = m i=0 a iz i r j=1 (z b j) d j ja deg( r (z b i) d i ) = r d i = m, niin on olemassa sellaiset c i C, i = 0, 1,..., m 1, että a r m k=1 (z b k) d k + m 1 i=0 c iz i = m i=0 a iz i ja R(z) = m i=0 a iz i r j=1 (z b j) d j = a m r k=1 (z b k) d k + m 1 i=0 c iz i r j=1 (z b j) d j = a m + m 1 i=0 c iz i r j=1 (z b j) d j. Näin ollen rationaalifunktioon m 1 i=0 c iz i r j=1 (z b j) d j 3

voidaan soveltaa osamurtokehitelmää. Siis jos H(z) = l i=0 p iz i n j=1 (z q j) s j on sellainen rationaalifunktio, että deg( n j=0 (z q j) s j ) l, niin edellä mainitun ja osamurtokehitelmän avulla saadaan, että H(z) = a m + n s i k il (z q i ) l l=1 joillakin k il C, i = 1,..., n, l = 1,..., s i. Jos deg( n j=0 (z q j) s j ) > l, niin a m = 0. Lause 1.4. Olkoon funktio f analyyttinen joukossa {z C z z 0 < R} jollakin R R + ja z 0 C. Tällöin f voidaan esittää potenssisarjana f(z) = c j (z z 0 ) j j=0 kaikilla z {z C z z 0 < R}, missä kertoimet c j C, j = 0, 1,..., ovat yksikäsitteiset. Todistus. Katso [4, s. 84, Theorem 4]. Määritelmä 1.5. Lauseen 1.4 antamaa sarjaesitystä kutsutaan funktion f Taylorin sarjaksi pisteessä z 0. Lause 1.6. Olkoon funktio f analyyttinen joukossa {z C r < z z 0 < R}, missä 0 r < R, ja z 0 C. Jos z {z C r < z z 0 < R}, niin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kertoimet c j C, j = 0, ±1, ±2,..., että f(z) = j= Todistus. Katso [4, s. 89, Theorem 1]. c j (z z 0 ) j. Määritelmä 1.7. Lauseen 1.6 antamaa sarjaesitystä kutsutaan analyyttisen funktion f Laurentin sarjaksi joukossa {z C r < z z 0 < R}, missä 0 r < R. 4

Määritelmä 1.8. Olkoon r, R R sellaisia, että 0 r < R, ja olkoon analyyttisen funktion f Laurentin sarja joukossa {z C r < z z 0 < R} f(z) = j= c j (z z 0 ) j. Jos c m 0 jollekin m Z +, mutta c j funktion f kertalukua m oleva napa. = 0 kaikilla j < m, niin z 0 on Lause 1.9. Olkoon funktio f analyyttinen joukossa {z C 0 < z z 0 < r}. Jos funktiolla f on kertalukua m oleva napa pisteessä z 0 C, niin Todistus. Määritelmän nojalla f(z) = j= lim z z 0 f(z) =. c j (z z 0 ) j = kaikilla z {z C 0 < z z 0 < r}. Nyt j= m c j (z z 0 ) j F (z) := (z z 0 ) m f(z) = c j (z z 0 ) j+m = j= m c j m (z z 0 ) j. j=0 Koska edellä olevan perusteella F (z) voidaan esittää potenssisarjana, joka suppenee, kun z {z C 0 < z z 0 < r}, niin lim z z 0 F (z) = c m 0. Siis on olemassa sellainen 0 < δ < r, että kaikilla 0 < z z 0 < δ. Edelleen F (z) c m < c m 2 c m F (z) < F (z) c m < c m 2, mistä saadaan, että 0 < c m 2 < F (z) 5

kaikilla 0 < z z 0 < δ. Näin ollen f(z) > c m 2 z z 0 m kaikilla 0 < z z 0 < δ. Olkoon R > 0. Valitaan δ = min { r 2, m f(z) > c m 2 z z 0 m > R kaikilla 0 < z z 0 < δ. Siis lim z z0 f(z) =. c m }, jolloin 2R Lause 1.10. Olkoon funktio f analyyttinen joukossa {z C 0 < z z 0 < r}. Tällöin funktiolla f on kertalukua m oleva napa pisteessä z 0 C jos ja vain jos on olemassa sellainen δ > 0, että f(z) = g(z) (z z 0 ) m kaikilla z {z C 0 < z z 0 < δ}, missä g on analyyttinen funktio joukossa {z C z z 0 < δ} ja g(z 0 ) 0. Todistus. Oletetaan, että funktiolla f on kertalukua m oleva napa pisteessä z 0. Määritelmän nojalla f(z) = j= c j (z z 0 ) j = kaikilla z {z C 0 < z z 0 < r}. Nyt j= m c j (z z 0 ) j (z z 0 ) m f(z) = c j (z z 0 ) j+m = j= m c j m (z z 0 ) j =: g(z), j=0 jolloin f(z) = g(z) (z z 0 ) m kaikilla z {z C 0 < z z 0 < r} ja δ = r. Siis g(z) voidaan esittää potenssisarjana, ja se suppenee, kun z {z C 0 < z z 0 < r}. Navan määritelmän nojalla c m 0, joten asettamalla g(z 0 ) := c m saadaan, että g(z 0 ) 0. Lisäksi potenssisarjana funktio g on analyyttinen joukossa {z C z z 0 < r}. Oletetaan sitten, että on olemassa sellainen δ > 0, että f(z) = g(z) (z z 0 ) m 6

kaikilla z {z C 0 < z z 0 < δ}, missä g on analyyttinen funktio joukossa {z C z z 0 < δ} ja g(z 0 ) 0. Tällöin funktion g Taylorin sarja pisteessä z 0 on g(z) = b j (z z 0 ) j, kun z {z C z z 0 < δ}. Siis j=0 f(z) = = g(z) (z z 0 ) = 1 m (z z 0 ) m j= m b j+m (z z 0 ) j b j (z z 0 ) j = j=0 b j (z z 0 ) j m j=0 kaikilla z {z C 0 < z z 0 < δ}, missä b 0 = g(z 0 ) 0. Koska j= m b j+m (z z 0 ) j on Laurentin sarja funktiolle f ja se on yksikäsitteinen, niin z 0 on funktion f kertalukua m oleva napa. Seuraus 1.11. Olkoon H(z) jokin rationaalifunktio. Tällöin piste z 0 C on funktion H kertalukua m oleva napa jos ja vain jos z 0 on funktion m-kertainen nollakohta. G(z) := 1 H(z) Todistus. Oletetaan, että z 0 on funktion H kertalukua m oleva napa. Merkitään H(z) = P (z) Q(z), missä P ja Q ovat polynomeja. Voidaan olettaa, että polynomeilla P ja Q ei ole yhteisiä tekijöitä. Rationaalifunktiona H on analyyttinen kaikkialla paitsi polynomin Q nollakohdissa. Tällöin on olemassa sellainen r > 0, että H on analyyttinen joukossa {z C 0 < z z 0 < r}. Siis Lauseen 1.9 perusteella on olemassa sellainen δ > 0, että H(z) = g(z) (z z 0 ) m 7

kaikilla z {z C 0 < z z 0 < δ}, missä g on analyyttinen funktio joukossa {z C z z 0 < δ} ja g(z 0 ) 0. Edelleen G(z) := 1 H(z) = (z z 0) m, g(z) joten koska g(z 0 ) 0, niin z 0 on funktion G m-kertainen nollakohta. Oletetaan sitten vastaavasti, että z 0 on funktion G(z) := 1 H(z) m-kertainen nollakohta. Merkitään taas H(z) = P (z) Q(z), missä P ja Q ovat polynomeja. Voidaan olettaa, että polynomeilla P ja Q ei ole yhteisiä tekijöitä. Koska funktiolla G(z) = Q(z) P (z) on m-kertainen nollakohta pisteessä z 0, niin P (z 0 ) 0 ja Q(z) = (z z 0 ) m q(z), missä q on sellainen polynomi, että q(z 0 ) 0. Siis Merkitään H(z) = 1 (z z 0 ) m P (z) q(z). g(z) = P (z) q(z). Nyt g on analyyttinen kaikkialla paitsi polynomin q nollakohdissa ja g(z 0 ) 0, joten on olemassa sellainen δ > 0, että funktio g on analyyttinen joukossa {z C z z 0 < δ}. Siis H(z) = g(z) (z z 0 ) m kaikilla z {z C z z 0 < δ}, missä g(z 0 ) 0. Lisäksi rationaalifunktiona H on analyyttinen kaikkialla paitsi polynomin Q nollakohdissa. Tällöin on olemassa sellainen r > 0, että H on analyyttinen joukossa {z C 0 < z z 0 < r}. Siis Lauseen 1.9 nojalla funktiolla H on pisteessä z 0 kertalukua m oleva napa. 8

2 Signaalianalyysi 2.1 Signaali Määritelmä 2.1. Signaalit ovat ajasta riippuvia funktioita, jotka sisältävät informaatiota. Signaaleja merkitään u(k), missä k Z. Signaali u(k), k Z, on kausaalinen, jos u(k) = 0, kun k < 0. Huomautus 2.2. Käsittelemme tekstissä vain diskreettejä signaaleja, jotka ovat signaaleja määritelty aikamuuttujan kokonaislukuarvoilla. Lisäksi diskreetit signaalit ovat periaatteessa jonoja, mutta suosimme kuitenkin edellä määriteltyä esitystapaa. Esimerkki 2.3. Funktiot q(k) = { 1, k 0 0, k < 0, ja ovat diskreettejä signaaleja. u 1 (k) = δ(k) = ( ) k 1 q(k) 2 { 1, k = 0 0, k 0, Huomautus 2.4. Edellä esiteltyä diskreettiä signaalia { 1, k = 0 δ(k) = 0, k 0 kutsutaan yksikköimpulssiksi. Määritelmä 2.5. Diskreetin signaalin u(k) sanotaan olevan rajoitettu, jos on olemassa sellainen K R +, että u(k) K kaikilla k Z. 2.2 Z-muunnos Määritelmä 2.6. Kausaalisen signaalin u(k) z-muunnos määritellään U(z) := Z[u(k)] = kaikilla z C, joilla sarja suppenee. u(k)z k 9

Lause 2.7. Olkoot u 1 (k) ja u 2 (k) kausaalisia signaaleja sekä R 1, R 2 R + sellaisia, että z-muunnos U 1 (z) = Z[u 1 (k)] = u 1 (k)z k suppenee, kun z 1 < R 1, ja hajaantuu, kun z 1 > R 1, sekä U 2 (z) = Z[u 2 (k)] = u 2 (k)z k suppenee, kun z 1 < R 2, ja hajaantuu, kun z 1 > R 2. Jos U 1 (z) = U 2 (z) kaikilla sellaisilla z C \ {0}, että z 1 < min{r 1, R 2 }, niin u 1 (k) = u 2 (k) kaikilla k Z. Todistus. Merkitään w = z 1 sekä U 3 (w) = ja U 4 (w) = kaikilla w < min{r 1, R 2 }, jolloin u 1 (k)w k u 2 (k)w k U 3 (w) = u 1 (k)w k = u 2 (k)w k = U 4 (w) kaikilla sellaisilla w C\{0}, että w < min{r 1, R 2 }. Kun w < min{r 1, R 2 }, niin sarjat u 1 (k)w k ja suppenevat tasaisesti. Tällöin u 2 (k)w k lim w 0 u 1 (k)w k = lim u 1(k)w k = u 1 (0) w 0 10

ja sekä lim U 3(w) = lim w 0 w 0 Näin ollen lim w 0 u 2 (k)w k = lim u 2(k)w k = u 2 (0) w 0 u 1 (k)w k = u 1 (0) = u 2 (0) = lim w 0 U 3 (0) = U 4 (0). Todistetaan induktiolla, että kun w < min{r 1, R 2 }, niin kaikilla m Z +. Koska kaikilla w < min{r 1, R 2 }, niin d m U 3 dw m (w) = dm U 4 dw m (w) U 3 (w) = U 4 (w) du 3 dw (w) = du 4 dw (w) u 2 (k)w k = lim w 0 U 4 (w). kaikilla w < min{r 1, R 2 }. Siis väite on voimassa, kun m = 1. Oletetaan, että d l U 3 dw (w) = dl U 4 l dw (w) l kaikilla w < min{r 1, R 2 }, kun m = l. Tällöin d l+1 U 3 d d l U 3 (w) = dwl+1 dw dw (w) = d d l U 4 l dw dw (w) = dl+1 U 4 l dw l+1 (w) kaikilla w < min{r 1, R 2 }. Siis väite on voimassa, kun m = l + 1. Induktioperiaatteen nojalla d m U 3 dw (w) = dm U 4 m dw (w) m kaikilla m Z +, kun w < min{r 1, R 2 }. Erityisesti d m U 3 dw m (0) = dm U 4 dw m (0) kaikilla m Z +. Olkoon n Z +. Kun w < min{r 1, R 2 }, niin sarjat u 1 (k)w k 11

ja u 2 (k)w k voidaan derivoida termeittäin. Näin ollen, koska niin eli d n U 3 dw n (0) = dn U 4 dw n (0), u 1 (k)0 k n = k=n u 2 (k)0 k n k=n u 1 (n) = u 2 (n). Siis u 1 (k) = u 2 (k) kaikilla k N. Koska signaalit u 1 (k) ja u 2 (k) ovat kausaalisia, niin u 1 (k) = u 2 (k) kaikilla k Z. Määritelmä 2.8. Olkoon U(z) jokin funktio ja u(k) sellainen kausaalinen signaali, että on olemassa sellainen R R +, että sarja suppenee, kun z 1 < R, ja u(k)z k Z[u(k)] = u(k)z k = U(z) kaikilla sellaisilla z C, että z 1 < R. Tällöin signaalia u(k) merkitään Z 1 [U(z)] = u(k) ja sanotaan, että u(k) on funktion U(z) z-käänteismuunnos. Huomautus 2.9. Lauseen 2.7 nojalla z-käänteismuunnos on hyvin määritelty. Lisäksi jonkin funktion U(z) z-käänteismuunnos saadaan etsimällä sellainen signaali u(k), että se toteuttaa Määritelmän 2.8 ehdot. Lause 2.10. Olkoon u(k) ja v(k) kausaalisia signaaleja, U(z) = Z[u(k)], V (z) = Z[v(k)], α 1, α 2 C ja m Z +. Tällöin Z[α 1 u(k) + α 2 v(k)] = α 1 U(z) + α 2 V (z) 12

kaikilla z C, joilla U(z) ja V (z) ovat määriteltyjä, sekä ja Z[ku(k)] = z du(z) dz Z[u(k m)] = Z[u(k m)q(k m)] = z m U(z) kaikilla z C, joilla U(z) on määritelty. Todistus. Kun z C on sellainen, että U(z) ja V (z) ovat määriteltyjä, niin Z[α 1 u(k) + α 2 v(k)] = (α 1 u(k) + α 2 v(k))z k = α 1 u(k)z k + α 2 = α 1 U(z) + α 2 V (z). Todistetaan sitten seuraava väite. Sarjalle u(k)z k v(k)z k voidaan määritellä suppenemissäde R R niin, että edellä oleva sarja suppenee, kun z 1 < R, mutta hajaantuu, kun z 1 > R. Kun z 1 < R, niin sarja u(k)z k voidaan derivoida termeittäin, jolloin du(z) dz = ( ku(k)z k 1 ). Kertomalla edellinen yhtälö puolittain termillä z saadaan z du(z) dz = ku(k)z k. Näin ollen Z[ku(k)] = z du(z) dz 13

kaikilla z C, joilla U(z) on määritelty. Todistetaan seuraavaksi viimeinen väitteistä. Koska signaali u(k) on kausaalinen, niin korostamalla kausaalisuutta saadaan Z[u(k m)] = Z[u(k m)q(k m)] = = u(k m)z k = z m k=m u(k m)q(k m)z k k=m = z m u(k)z k = z m U(z) kaikilla z C, joilla U(z) on määritelty. u(k m)z (k m) Lause 2.11. Olkoon m N, a C sekä δ(k) ja q(k) kuten Esimerkissä 2.3. Kausaalisten signaalien δ(k) ja z-muunnokset ovat u m (k) = kaikilla z C \ {0} ja m n=1 (k n) a k m 1 q(k m 1) m! Z[δ(k)] = 1 Z[u m (k)] = 1 (z a) m+1 kaikilla z 1 < 1 a. Todistus. Nyt Z[δ(k)] = δ(k)z k = 1 z 0 = 1 kaikilla z C\{0}. Todistetaan jälkimmäinen väite induktiolla. Kun az 1 < 1 eli z 1 < 1 a, niin Z[a k q(k)] = a k q(k)z k = (az 1 ) k = 1 1 az 1 = z z a. Lauseen 2.10 nojalla Z[u 0 (k)] = Z[a k 1 q(k 1)] = z 1 Z[a k q(k)] = z 1 z z a = 1 z a 14

kaikilla z 1 < 1. Siis väite on voimassa, kun m = 0. Oletetaan seuraavaksi, a että väite pätee, kun l N ja m = l. Merkitään U(z) = Z[u l (k)] = 1 (z a) l+1, jolloin käyttämällä Lausetta 2.10 uudestaan saadaan Z[ku l (k)] = ( z) du(z) dz (l + 1) (l + 1)z = ( z) = (z a) l+2 (z a) l+2 kaikilla z 1 < 1 a. Lisäksi l n=1 (k 1 n) (k 1)u l (k 1) = (k 1) a k 1 l 1 q(k 1 l 1) l! l n=1 (k (n + 1)) = (k 1) a k (l+1) 1 q(k (l + 1) 1) l! l+1 n=2 (k n) = (k 1) a k (l+1) 1 q(k (l + 1) 1) l! l+1 n=1 (k n) = (l + 1) a k (l+1) 1 q(k (l + 1) 1) (l + 1)! = (l + 1)u l+1 (k), joten Z[u l+1 (k)] = Z [ ] 1 l + 1 (k 1)u l(k 1) = 1 l + 1 Z[(k 1)u l(k 1)] = 1 l + 1 z 1 Z[ku l (k)] = 1 (l + 1)z z 1 l + 1 (z a) l+2 1 = (z a) l+2 kaikilla z 1 < 1. Näin ollen väite on voimassa, kun m = l + 1. Induktioperiaatteen nojalla a 1 Z[u m (k)] = (z a) m+1 pätee kaikilla z 1 < 1, kun m N. a 2.3 Systeemi Määritelmä 2.12. Tässä tekstissä systeemin ajatellaan olevan musta laatikko, jolla on yksi tuloportti ja yksi lähtöportti. Laatikon sisällöstä tai sisäisestä struktuurista ei välttämättä ole tietoa, mistä johtuu nimitys musta laatikko. 15

Herätteeksi kutsutaan systeemiin syötettävää signaalia ja vasteeksi systeemin herätteen tuottamaa signaalia. Määritelmä 2.13. Olkoon u 1 (k) sellainen heräte, että kun se syötetään johonkin tiettyyn systeemiin, niin se tuottaa vasteen y 1 (k), ja vastaavasti heräte u 2 (k) sellainen, että se tuottaa kyseiseen systeemiin syötettynä vasteen y 2 (k). Edellä olevaa voidaan merkitä ja u 1 (k) y 1 (k) u 2 (k) y 2 (k). Systeemin sanotaan olevan lineaarinen, jos α 1 u 1 (k) + α 2 u 2 (k) α 1 y 1 (k) + α 2 y 2 (k) kaikilla α 1, α 2 C. Aikainvariantti systeemi toteuttaa ehdon u 1 (k + k 1 ) y 1 (k + k 1 ) kaikilla k 1 Z. Jos systeemiin syötettävä diskreetti heräte u(k) tuottaa aina yksikäsitteisen diskreetin vasteen y(k), niin systeemiä kutsutaan diskreetiksi. Näin voidaan määritellä diskreetti lineaarinen aikainvariantti systeemi eli diskreetti LTI-systeemi. Määritelmä 2.14. Diskreetin LTI-systeemin impulssivaste h(k) on vaste yksikköimpulssiin δ(k). Toisin sanoen, δ(k) h(k). Huomautus 2.15. Yksikköimpulssin avulla voidaan diskreetin LTI-systeemin heräte u(k) esittää u(k) = u(i)δ(k i). Koska edellä olevassa yhtälössä u(i) ei riipu ajasta k, niin LTI-systeemin lineaarisuutta ja aikainvarianttisuutta hyväksi käyttäen saadaan u(k) = u(i)δ(k i) u(i)h(k i). Jos herätteen u(k) vaste on y(k), niin y(k) = u(i)h(k i) =: (u h)(k). Edellä (u h)(k) on herätteen u(k) ja impulssivasteen h(k) diskreetti konvoluutio. Siis herätteen vaste on esitettävissä herätteen ja impulssivasteen diskreettinä konvoluutiona. 16

u(k) h(k) y(k) = (u h)(k) Kuva 1: Diskreetti LTI-systeemi, jonka impulssivaste on h(k). Määritelmä 2.16. Diskreetti systeemi on kausaalinen, jos herätteen arvot u(k 0 + n), n = 1, 2,..., eivät vaikuta vasteen arvoon y(k 0 ), kun k 0 Z. Huomautus 2.17. Jos diskreetti systeemi ei olisi kausaalinen eli vasteen arvo y(k 1 ) jollakin ajanhetkellä k 1 Z riippuisi herätteen arvosta u(k 2 ) tulevaisuudessa hetkellä k 2 > k 1, niin systeemi pystyisi ennustamaan ajanhetkellä k 1, mitä syötetään hetkellä k 2. Tämä ei ole mahdollista millekään fysikaaliselle järjestelmälle. Tästä syystä tarkastelemme pelkästään kausaalisia systeemejä. Lemma 2.18. Diskreetin LTI-systeemin herätteen u 0 (k) 0, vaste on y 0 (k) 0. Todistus. Merkitään herätteen u 0 (k) vastetta y 0 (k). LTI-systeemin lineaarisuuden nojalla u 0 (k) = 0 u 0 (k) 0 y 0 (k) = 0. Siis y 0 (k) = 0 kaikilla k Z. Lause 2.19. Diskreetti LTI-systeemi on kausaalinen jos ja vain jos h(k) = 0 kaikilla k Z, missä h(k) on systeemin impulssivaste. Todistus. Oletetaan, että systeemi on kausaalinen. Olkoon k 0 Z. Koska kausaalisen systeemin määritelmän nojalla yksikköimpulssin arvot δ(k 0 + n), missä n Z +, eivät vaikuta sen vasteen arvoon h(k 0 ) ja δ(k) = 0 kaikilla k Z, niin Lemman 2.18 nojalla h(k) = 0 kaikilla k Z. Oletetaan sitten, että h(k) = 0 kaikilla k Z. Olkoon u(k) jokin systeemin heräte ja y(k) sitä vastaava vaste. Tällöin Huomautuksen 2.15 perusteella k y(k) = u(i)h(k i) = u(i)h(k i) kaikilla k Z, joten vasteen arvo y(k 0 ) ei riipu herätteen arvoista u(k 1 ), k 1 = k 0 + 1, k 0 + 2,..., kun k 0 Z. Siis systeemi on kausaalinen. 17

Lause 2.20. Olkoon kausaalisen diskreetin LTI-systeemin impulssivaste h(k) sekä u(k) kyseisen systeemin kausaalinen heräte ja y(k) sitä vastaava vaste. Merkitään H(z) = Z[h(k)], U(z) = Z[u(k)] ja Y (z) = Z[y(k)]. Tällöin Y (z) = H(z)U(z) kaikilla z C, joilla H(z) ja U(z) ovat määriteltyjä. Todistus. Koska systeemi on kausaalinen ja u(k) = 0, kun k < 0, niin Lauseen 2.19 nojalla y(k) = u(i)h(k i) = k u(i)h(k i). i=0 Cauchyn tulosarjan [3, s. 247, Denition 4, ja s. 248, Theorem 6] perusteella Y (z) = Z[ = k u(i)h(k i)] = i=0 k u(i)h(k i)z k i=0 ( k ) ( ) u(i)h(k i)(z 1 ) k = u(i)z i h(j)z j i=0 = U(z)H(z) = H(z)U(z) i=0 kaikilla z C, joilla H(z) ja U(z) ovat määriteltyjä. Huomautus 2.21. Kausaalisen diskreetin LTI-systeemin impulssivasteen h(k) z-muunnosta H(z) kutsutaan siirtofunktioksi. Lauseen 2.19 nojalla kun U(z) 0. H(z) = Y (z) U(z), j=0 2.4 Stabiilisuus Määritelmä 2.22. Systeemin sanotaan olevan BIBO-stabiili (bounded-input bounded-output), jos vaste on rajoitettu jokaisella rajoitetulla herätteellä. Lause 2.23. Diskreetti LTI-systeemi, jonka impulssivaste on h(k), on BIBOstabiili jos ja vain jos pätee jollakin M R +. k= h(k) M 18

Todistus. Oletetaan, että k= h(k) M jollakin M R +. Systeemin vaste voidaan esittää muodossa y(k) = u(i)h(k i). Jos heräte u(k) on rajoitettu eli on olemassa sellainen K R +, että u(k) K kaikilla k Z, niin y(k) = u(i)h(k i) u(i) h(k i) K h(k i) K h(i) K M. Siis vaste on rajoitettu jokaisella rajoitetulla herätteellä. Edelleen systeemi on BIBO-stabiili. Oletetaan sitten, että systeemi on BIBO-stabiili. Tällöin vaste on rajoitettu jokaisella rajoitetulla herätteellä. Valitaan rajoitetuksi herätteeksi { 1, h( k) 0 u(k) = 1, h( k) < 0, jolloin u(k) 1 kaikilla k Z. Tällöin on olemassa sellainen K R +, että y(0) = u(i)h( i) = h(i) = h(i) K. Esimerkki 2.24. Olkoon jonkin diskreetin LTI-systeemin impulssivaste h(k) sellainen, että Tällöin h(k) = k= { 1 k k Z + 0, k Z \ Z +. h(k) = k=1 1 k M jokaisella M R +. Siis tällainen systeemi ei ole BIBO-stabiili. 19

Lause 2.25. Olkoon kausaalisen diskreetin LTI-systeemin siirtofunktio rationaalifunktio H(z) = N(z) D(z), missä polynomeilla N ja D ei ole yhteisiä tekijöitä sekä deg N(z) deg D(z). Systeemi on stabiili jos ja vain jos jokainen siirtofunktion H(z) napa on kompleksitasossa yksikköympyrän sisällä. Todistus. Oletetaan, että systeemi on stabiili eli k= h(k) = h(k) M jollakin M R +. Tällöin H(z) = h(k)z k, missä h(k) on systeemin impulssivaste. Jos z 1, niin H(z) = h(k)z k h(k)z k = h(k) z k = h(k) 1 k = h(k) <. h(k) z k Koska lim z z0 H(z) =, kun z 0 C on siirtofunktion H(z) napa, niin edellä olevan nojalla kaikille siirtofunktion H(z) navoille z 1 C pätee z 1 < 1. Siis jokainen siirtofunktion H(z) napa on kompleksitasossa yksikköympyrän sisällä. Oletetaan sitten, että jokainen siirtofunktion H(z) napa on kompleksitasossa yksikköympyrän sisällä eli kaikille siirtofunktion H(z) navoille z 0 C pätee z 0 < 1. Merkitään siirtofunktion H napoja a i, i = 1,..., m, ja kunkin navan a i kertalukua d i Z +, i = 1,..., m. Olkoon deg D(z) = n, jolloin Lauseen 1.1 mukaan polynomilla D on n kompleksista nollakohtaa. Polynomin D johtokertoimen a C \ {0} voidaan olettaa olevan 1, sillä jos a 1, niin polynomit N ja D voidaan jakaa luvulla a, jolloin saadaan H(z) = A(z) B(z), missä A(z) = N(z) a 20

sekä B(z) = D(z) a ja polynomin B johtokerroin on 1. Koska z 0 C on siirtofunktion H napa jos ja vain jos z 0 on polynomin D nollakohta, niin saadaan Huomautuksen 1.3 nojalla H(z) = N(z) D(z) = N(z) m (z a i) d i. H(z) = c 0 + m d i c il (z a i ), l l=1 missä c il C, i = 1,..., m, l = 1,..., d i. Nyt systeemin impulssivaste h(k) on kausaalinen, sillä tarkasteltava systeemi on kausaalinen. Edelleen Lauseen 2.11 ja Huomautuksen 2.9 perusteella systeemin impulssivaste on h(k) = c 0 δ(k) + = c 0 δ(k) + m d i l=1 l=0 c il l 1 n=1 (k n) (l 1)! a k (l 1) 1 i q(k (l 1) 1) m d i 1 c l i,l+1 n=0 (k n 1) a k l 1 i q(k l 1), l! 21

jonka z-muunnos on siirtofunktio H. Koska h(k) on kausaalinen signaali, niin h(k) = h(k) k= = Edellä sarjan c 0δ(k) + c 0 δ(k) + c 0 + c 0 + c 0 + c 0 + m d i 1 l=0 m d i 1 l=0 m d i 1 m l=0 d i 1 l=0 suppenemissäde on 1, sillä lim k m c l i,l+1 n=0 (k n 1) a k l 1 i q(k l 1) l! m d i 1 c l i,l+1 n=0 (k n 1) a k l 1 i q(k l 1) l! d i 1 l=0 l=0 c i,l+1 ln=0 k n 1 a i k l 1 q(k l 1) l! c i,l+1 l! c i,l+1 l! c i,l+1 l! n=0 n=0 k=l+1 n=0 l n=0 (k + l n) n=0 l k n 1 a i k l 1 q(k l 1) l k n 1 a i k l 1 l (k + l n) a i k. l (k + l n) a i k l n=0 ((k + 1) + l n) = lim k Koska lisäksi oletuksen nojalla a i < 1, niin n=0 jollakin M il R +. Näin ollen k= h(k) c 0 + c 0 + l (k + l n) a i k M il m m d i 1 l=0 d i 1 l=0 c i,l+1 l! n=0 c i,l+1 M il L l! 22 k k + l + 1 = 1. l (k + l n) a i k

jollakin L R +. Siis systeemi on BIBO-stabiili. Esimerkki 2.26. Oletetaan, että dierenssiyhtälö y(k) = 1 y(k 2) + u(k) + u(k 1) u(k 2) 4 kuvaa jotakin tiettyä diskreettiä LTI-systeemiä, missä u(k) on heräte ja y(k) vaste. Tällöin, kun k 0 Z, niin vasteen arvo y(k 0 ) ei riipu herätteen arvoista u(k 1 ), missä k 1 = k 0 + 1, k 0 + 2,.... Siis tarkasteltava LTI-systeemi on kausaalinen. Z-muuntamalla saadaan Y (z) = 1 4 z 2 Y (z) + U(z) + z 1 U(z) z 2 U(z), missä U(z) = Z[u(k)] ja Y (z) = Z[y(k)]. Näin ollen systeemin siirtofunktio on H(z) = Y (z) U(z) = 1 + z 1 z 2 1 + 1 = z2 + z 1 4 z 2 z 2 + 1. 4 Koska z 2 + 1 = 0 4 jos ja vain jos z = ± i, niin siirtofunktion H(z) navat ovat 2 z 1 = i 2 ja z 2 = i 2. Edelleen z 1 = z 2 = 1 < 1 eli siirtofunktion H(z) navat 2 ovat kompleksitasossa yksikköympyrän sisällä. Siis tarkasteltava systeemi on BIBO-stabiili. 23

Lähdeluettelo [1] C. Chen: System and signal analysis. Saunders College Publishing, New York, 1989. [2] K. Ruotsalainen: Kompleksianalyysi. Oulun yliopisto, Oulu, 2015. [3] E. B. Sa, A. D. Snider: Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science. Upper Saddle River: Pearson / Prentice Hall, New Jersey, 2003. [4] V. S. Serov: Complex analysis. University of Oulu, Oulu, 2015. 24