Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia, se on stationäärisessä tilassa. Mikä on sen aaltofunktio? Määritellään kulmataajuus w ja aaltoluku k mekaniikan aaltoliikkeen tapaan: π π h p k = = =, λ h λ h π E ω = πf = hf =. h h Mekaniikassa liikkuvaa aaltoa kuvataan funktiolla Ψ ( x, t = A cos ( k x ωt + B sin( k x ωt. uento 8 Tämä on itse asiassa myös vapaan hiukkasen aaltofunktio kvanttimekaniikassa, kun vakiot A ja B valitaan sopivasti, nimittäin B = ia. Tällöin voimme näet kirjoittaa* Ψ = ( x, t = A cos ( k x ωt + iasin( k x ωt A [ cos ( k x ωt + isin( k x ωt ] = Ae = Ae e i( kx ωt iωt. Eulerin kaavat: e ix = cos x + isinx, e ix = cosx isinx.
Aikaisemmin todettiin, että stationäärisen tilan aaltofunktio on muotoa y(xe -iet/ñ = y(xe -iwt. Edellä oleva aaltofunktio on tätä samaa muotoa; siinä ajasta riippumaton osa on ψ ( x = Ae. Sijoitetaan tämä Schrödingerin yhtälön h d ψ ( x + U( x ψ ( x = Eψ ( x. m dx vasemmalle puolelle ja otetaan huomioon, että vapaan hiukkasen tapauksessa potentiaalienergia on U(x = 0: h d m ( Ae dx + 0 ( Ae h = ( ik m p = ψ ( x. m Ae h k = m Ae Koska vapaan hiukkasen energia on E = p /m, voimme todeta, että aaltofunktio y(x = Ae toteuttaa vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälön. Kun aaltoluku k = p/ñ on positiivinen, aaltofunktio y(x = Ae esittää positiivisen x-akselin suuntaan liikkuvaa vapaata hiukkasta, kun k on negatiivinen se esittää negatiivisen x-akselin suuntaan liikkuvaa vapaata hiukkasta. Schrödingerin yhtälö toteutuu on liikemäärä p mitä tahansa, joten vapaan hiukkasen energia ei ole kvantittunut vaan se voi saada kaikki arvot. Myöhemmin nähdään, että jos hiukkanen ei ole vapaa eli vuorovaikutukseen liittyvä potentiaali-energia U(x ei häviä, vain tietyt kvantittuneet energiat ovat mahdollisia. Schrödingerin yhtälö antaa mahdolliset energian arvot ja niitä vastaavat aaltofunktiot.
Esimerkki On helppo nähdä, että myös funktio ψ ( x = Ae toteuttaa Schrödingerin yhtälön ja myös siihen liittyy energia E=p /m. Silloin tietenkin myös kaikki seuraavaa muotoa olevat aaltofunktiot toteuttavat saman Schrödingerin yhtälön: ψ ( x + = A e + A e jossa A ja A ovat mielivaltaisia kompleksilukuvakioita. Ensimmäinen termi kuvaa x-akselin positiiviseen suuntaan (liikemäärä p > 0 ja toinen termi negatiiviseen suuntaan (liikemäärä p < 0 etenevää hiukkasta. Aaltofunktion kuvaamalla hiukkasella ei ole hyvin määriteltyä liikemäärää. Sillä on kuitenkin hyvin määritelty energia, E=p /m. Aaltofunktio on kahden eri liikemäärään liittyvän aaltofunktion superpositio, ja se kuvaa seisovaa aineaaltoa., Jos vapaalla hiukkasella on määrätty liikemäärä, on liikemäärän epämääräisyys Dp = 0. Epämääräisyysperiaatteen mukaan hiukkasen paikka on silloin täysin tuntematon, Dx Ø. Paikan tntiheys on ψ ( x = Ae = A = vakio. Hiukkanen voi olla samalla todennäköisyydellä kaikkialla avaruudessa. 3
Huomaa, että dx ψ (x = dx A = A dx = A. Tuloksen pitäisi olla =, mutta se ei tässä ääritapauksessa toteudu. Käytännössä tarkasteltavien hiukkasten paikka tunnetaan jollakin tarkkuudella eli hiukkanen on lokalisoitunut. Silloin eo. integraalissa on äärelliset integroimisrajat ja kokonaistodennäköisyydeksi saadaan, kun aaltofunktio normitetaan sopivasti eli valitaan A:lle sopiva arvo. Tässä tapauksessa liikemäärä ei ole tarkasti tunnettu vaan Dp > 0. Aaltofunktio on silloin usean tietyyn liikemäärätilaan liittyvän aaltofunktion (osa-aallon yhdistelmä eli superpositio. Painottamalla eri osa-aaltoja sopivasti, saadaan aikaan aaltopaketti: ψ ( x = dk A( k e. Se kuvaa johonkin avaruuden osaan tai osiin paikallistunutta eli lokalisoitunutta hiukkasta. Kahdesta osa-aallosta muodostunut superpositio, jossa aaltoluvut poikkeavat hieman toisistaan. 4
Usean vapaata hiukkasta kuvaavan aaltofunktion eräs superpositio. Mukana on suuri määrä eli aaltolukuja (liikemääriä, ja tuloksena on Dx levyiselle alueelle keskittynyt aaltopaketti, jossa aallonpituus on eräänlainen keskiarvo osaaaltojen aaltoluvuista. Aaltopaketilla on sekä hiukkasmainen (lokalisoituminen että aaltomainen luonne. Mitä kapeammalta aaltolukualueelta osa-aallot ovat, sitä leveämpi paketti. Jos aaltopaketissa on osa-aaltoja laajalta aaltolukualueelta, paketti on vastaavasti tarkemmin lokalisoitunut. 5
4. Kvanttimekaniikka Hiukkanen laatikossa Aaltofunktioiden muodostaminen ja normitus Potentiaalikuoppa Potentiaalivalli, tunneloituminen Harmoninen oskillaattori, molekyylien värähtely Kvanttimekaniikka kolmessa ulottuvuudessa 6
Hiukkanen laatikossa Tässä luvussa tarkastellaan sidottujen tilojen kvanttimekaniikkaa. Tarkastellaan hiukkasia, jotka ovat vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa. Kappaleeseen vaikuttaa voima, ja voima ilmenee potentiaalienergiana U(x Schrödingerin yhtälössä. Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen eli aaltofunktioiden ja energioiden selville saaminen ei ole niin suoraviivaista kuin vapaan hiukkasen tapauksessa, mutta kuitenkin mahdollista useiden potentiaalien tapauksessa. Tarkastelemme pääasiassa yksiulotteisia tilanteita. aatikkopotentiaalilla tarkoitetaan tilannetta, jossa hiukkanen on pakotettu liikkumaan tietyllä äärellisellä osalla x-akselia, jossa siihen ei vaikuta voimia eli U(x = 0. Alueen ulkopuolella U(x =. aatikon ulkopuolella eli kun x < 0 tai x > Schrödingerin yhtälöllä on vain ratkaisu y(x = 0. Todennäköisyys löytää hiukkanen sieltä on 0, koska todennäköisyystiheys y(x = 0. 7
aatikon sisällä eli kun 0 x hiukkasen Schrödingerin yhtälö on h d ψ ( x = Eψ ( x. m dx Tämä on vapaan hiukkasen yhtälö, mutta nyt tilanne poikkeaa aikaisemmasta reunaehtojen takia. Jotta aaltofunktion itseisarvon neliö y(x voidaan tulkita todennäköisyysteheydeksi, aaltofunktion tulee täyttää seuraavat reunaehdot y(x on jatkuva funktio. y(x = 0 alueilla, joissa hiukkanen ei voi liikkua. y(x Ø 0, kun xø + ja xø -. y(x on normalisoituva funktio. Jatkuvuusehto merkitsee laatikkopotentiaalin tapauksessa, että ψ ( x = 0, kun x = 0 ja x =. Selvästi vapaan hiukkasenratkaisut e ja e - eivät toteuta tätä ehtoa. Entä niiden superpositio? ψ ( x + = A e + A e Eulerin kaavojen avulla tämä voidaan esittää muodossa. ψ ( = x = A ( coskx + isin kx + A ( cos( kx + isin( kx ( A + A coskx + i( A A sin kx. 8
Reunaehdot alueiden rajoilla toteutuvat, kun kertoimet A ja A valitaan sopivasti. Pisteessä x = 0 saadaan ψ ( 0 = A + A = 0 eli A = A. Tästä seuraa, että aaltofunktio on ψ ( x = ia sin kx = C kx, sin jossa tuntematon kompleksiluku ia on korvattu lyhyyden vuoksi kompleksiluvulla C. Pisteessä x = reunaehto on ψ ( = C sin k = 0. Tämä toteutuu silloin, kun sini sattuu olemaan 0 (C = 0 ei käy, sillä silloin aaltofunktio häviäisi kaikkialla. Sini häviää silloin, kun sen argumentti on jokin p:n monikerta: (,,,... k = nπ, n = 3 aatikkopotentiaalissa liikkuvan hiukkasen aaltoluku ja aineaallon aallonpituus voivat siis olla vain k nπ π = ja λ = = n = k n (,, 3,... Mahdollisia liikemääriä ovat siis p n h nh = = n λ n ( =,, 3,... 9
aatikkopotentiaalissa hiukkasella voi olla seuraavat energiat: E n pn n h n π h = = = n m 8m m ( =,, 3,... Energiatasot laatikkopotentiaalissa Näitä energiatasoja vastaavat aaltofunktiot ovat ψ nπ x ( x = C sin kx = Csin, ( n =,, 3,... Kuvassa vasemmalla ovat viiden ensimmäisen tilan aaltofunktiot (ne piirretty selvyyden vuoksi päällekkäin; katkoviivat tarkoittavat aaltofunktion arvoa 0. Oikealla ovat näitä tiloja vastaavat energiatasot. Huomaa, että E n = n E. 0
Aaltofuntioiden normittaminen Aaltofunktioissa esiintyy kompleksinen vakio C. Se pitää valita niin, että todennäköisyystulkinnan asettama ehto dx ψ (x = Normitusehto toteutuu. Tätä kutsutaan aaltofunktion normittamiseksi. = dx ψ (x 0 dx C = 0 dx 0 + nπx ( cos( = C 0 nπx dx C sin =, + dx 0 josta seuraa C = (/ /. Voimme valita C:n reaaliseksi, jolloin normitetuiksi aaltofunktioiksi laatikon alueella 0 < x < saadaan ψ nπ x ( x = sin, ( n =,, 3,... aatikkopotentiaalissa olevan hiukkasen aaltofunktio. aatikon ulkopuolella y(x = 0. Hiukkasen paikan todennäköisyysjakautuma saadaan laskemalla y. Kuvassa on paikan tn-jakautuma laatikkopotentiaalin kolmen alimman energiatilan tapauksessa. Huomaa, että alinta tilaa lukuunottamatta laatikossa on kohtia, joissa hiukkanen ei ole koskaan.