Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate

Transkriptio

1 Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain määrätyssä avaruuden pisteesssä ja sen liike voidaan kuvata tyjentävästi nopeuden kolmen komponentin avulla. Atomaarisessa maailmassa kuvailun pitää olla toinen, sillä muutoin iukkasten dualistista luonnetta iukkas- ja aalto-ominaisuuksia ei voi selittää ja ymmärtää. Hiukkasten käyttäytymistä kuvaillaan todennäköisyyksien avulla. Diffraktio kapeasta raosta Ammutaan elektroneja kapean raon läpi. Oletetaan, että elektronien aineaaltojen aallonpituus l on paljon pienempi kuin raon leveys a. Olkoon q 1 pääintensiteettimaksimin ja ensimmäisen minimin välinen kulma. Diffraktiokaavasta (ks. ed. luento) saadaan (kulma on pieni radiaaneissa) λ sin θ 1 θ 1 =, a 1

2 Koe voidaan järjestää niin, että elektroneilla on yvin tarkasti sama suunta ja sama nopeus, siis myös sama de Broglien aallonpituus. Suurin osa elektroneista päätyy ilmaisimessa päämaksimin alueelle, mutta osa diffraktoituu voimakkaammin sivusuuntaan eri sivumaksimien kodalle. Kuvio on odotetun kaltainen, jos elektronit ovat aaltoja, mutta se on vaikea ymmärtää, jos elektroneja ajatellaan iukkasina. Miksi elektronit eivät kaikki kulje samaa reittiä pitkin, vaikka ne ovat kaikki alun perin samanlaisia? Luonnon perusluonteeksi on paljastunut, että yksittäisen iukkasen alkutila ei kerro, mitä rataa iukkanen tulee liikkumaan. Voidaan vain sanoa, että suurin osa elektroneista päätyy tietylle kotaa ilmaisinta, pienempi osa jonnekin muualle jne. Fysiikka antaa vain todennäköisyyden osua jollekin ilmaisimen alueelle. Diffraktiokuvion väittäinen muodostuminen.

3 Kaksoisrakokokeessa iukkasuiku ammutaan levyyn, Jossa on kaksi läellä toisiaan olevaa kapeaa rakoa. Tomas Young teki tämän kokeen valolle 1800 ja osoitti valon interferenssi-ilmiön: eri rakojen kautta tulevat valot vavistivat tai eikensivät toisiaan riippuen siitä, missä vaieessa ne olivat toisiinsa kodatessaan. Sama koe on toistettu elektroneilla eli elektronin aineaalloilla ja tuloskin on sama eli myös aineaallot interferoivat. Jos varjostimelle lisättäisiin laite, joka rekisteröisin sen, minkä reiän kautta kukin yksittäinen elektroni kulkee, interferenssiä ei syntyisi. 3

4 Epämääräisyysperiaate Aaltoiukkasdualismin oella toinen atomiatson ilmiöissä ilmenevä peruspiirre on suureiden epämääräisyys. Koska sattuma näyttelee osaa, liittyy suureiden arvoiin epämääräisyyttä: ne poikkeavat keskimääräisen arvon molemmin puolin. Poikkeamisen mittana käytetään tilastotieteessä ns standardipoikkeamaa. Niinpä esimerkiksi liikemäärän p x arvoilla on standardipoikkeama keskiarvosta eli epämääräisyys D p x ja iukkasen paikalla x epämääräisyys Dx. Werner Heisenberg esitti 197 epämäärärisyysperiaatteen, jonka mukaan eräiden suureparien epämääräisyydet ovat yteydessä toisiinsa, esim. ΔxΔp x. Heisenbergin epämääräisyysperiaate Tässä on merkitty = π = (18) J s (" - viiva"). Epämääräisyysperiaatteen mukaan iukkasen paikkaa eikä liikemäärää voi tietää mielivaltaisen tarkasti, toisin kuin klassisessa mekaniikassa. Se, miten tarkasti toinen voidaan tietää, riippuu siitä, miten tarkasti toinen tunnetaan. Mitä tarkemmin esimerkiksi paikka tiedetään, sitä epämääräisempi on tieto liikemäärästä. 4

5 Pätee myös Δy Δp, ΔzΔp. y z Huomaa, että Borin atomimalli ei ole sopusoinnussa epämääräisyysperiaatteen kanssa, sillä Borin mallissa sekä etäisyys origosta että liikemäärä ovat tarkasti määrättyjä eli Dr = 0 ja Dpr = 0, vaikka pitäisi olla DrDpr Ñ. Borin ennustukset vetyatomin energioille ovat kuitenkin onnekkaasti oikeat. Tarkastellaan sivun 1 rakokoetta. Koska raon leveys on a, on rakoon tulleen iukkasen paikan epämääräisyys y-suunnassa Dy = a. Epämääräisyysperiaatteen mukaan iukkasen liikemäärää y-suunnassa ei voida tarkasti tietää, vaan sillä on epämääräisyys Δ p y Δy. a Tämä epämääräisyys merkitsee myös, että iukkasen diffraktiokulma q tiedetään epätarkasti; se on jossain nollan ja arvon välillä. θ Δ p p y = ap π ap = 1 λ π a Epämääräisyysperiaatteella ei ole mitään tekemistä mittaustarkkuuden kanssa. Vaikka olisi kuinka tarkka mittalaite tai menetelmä taansa, paikkaa ja liikemäärää ei voi saman aikaisesti määrittää mielivaltaisen tarkasti. 5

6 Energian epämääräisyys Myös energiaan liittyy epämääräisyys. Tilan energian epämääräisyys DE riippuu siitä ajasta Dt, jonka systeemi on tässä tilassa: Δ E Δ t. Jos systeemi pysyy pitkään (Dt suuri) metastabiilissa tilassa, systeemin energia melko tarkasti määrätty (DE pieni). Esimerkki Elektroni on pakotettu liikkumaan alueella, jonka leveys on m. Laske elektronin liikemäärän pienin epämääräisyys. Mikä on elektronin liike-energia, jos sillä on tämän epämääräisyyden mukainen liikemäärä? Tiedämme elektronin olevan jossakin kotaa annetulla välillä, mutta emme sen tarkemmin, joten Dx = m. Täten J s m ( Δ ) = = = kg m/s. p x min Δx 6

7 Liike-energiaksi tulee tällä liikemäärällä p 19 K = = J = 3. 8 ev. m Annettu liikkuma-alue oli suunnilleen atomin kokoa ja saatu liikeenergia on samaa luokkaa kuin elektronin energia atomeissa. Epämääräisyysperiaate siis on oleellinen atomin mittaluokan ilmiöissä. Huomaa, että iukkanen, jonka liike on rajoitettu tietylle alueelle, ei voi epämääräisyysperiaatteen mukaan olla koskaan levossa. Levossa oleminen tarkoittaisi, että Dp = 0, mutta silloin pitäisi Dx eli iukkasen pitäisi saada olla missä päin maailmaa taansa, myös laatikon ulkopuolella. Esimerkki Tarkastellaan pientä pölyiukkasta (alkaisija 1.0 mm, massa kg), joka on suljettu 10 mm pitkään laatikkoon. Onko madollista tietää, onko iukkanen laatikossa paikallaa? Jos ei, niin minkä suuruinen iukkasen nopeus todennäköisesti olisi? Jos tietäisimme, että iukkanen on paikallaan, niin silloin Dp = 0 ja niin muodoin Dx. Vaikka kuinka yrittäisimme mittauksillamme osoittaa, että iukkanen on paikallaan, jää liikemäärän arvoon epämääräisyys Δp x = Δx L Nopeudessa tämä vastaa epämääräisyyttä Δpx Δ vx = = = m ml 13 m/s. Hiukkasen voi sanoa olevan käytännössä levossa. 7

8 Aaltofunktiot ja Scrödingerin ytälö Mekaniikassa poikittain värätelevän jousen poikkeamaa tasapainoasemasta kodassa x ja etkellä t merkittiin aaltofunktiolla y(x,t). Tämä kertoo kaiken ko. värätelystä. Harmonisen värätelyn tapauksessa aaltofunktio on sinimuotoinen funktio. Vastaavalla tavalla voidaan kuvata säkömagneettisia aaltoja antamalla säkökenttä ja magneettikenttä kussakin avaruuden pisteessä ja kullakin etkellä. Hiukkasten aineaaltojen kuvailemiseen tarvitaan myös aaltofunktio. Sitä on tapana merkitä kirjaimella psi : ψ ( x, y, t) ajasta ja paikasta ( x,y,z) paikasta riippuva aaltofunktio. riippuva aaltofunktio, Kvanttimekaniikka kertoo, miten aaltofunktio määrää iukkasen keskimääräisen paikan, nopeuden, liikemäärän, energian ja liikemäärämomentin. Aaltofunktiot eivät esitä missään väliaineessa etenevää aaltoa, niillä ei ole mitään aineellista sisältöä. Ne vain liittyvät eräisiin iukkasia koskeviin avaintosuureisiin, eivät miinkään muuun. Osoittautuu, että aaltofunktiot ovat kompleksisia: = Re + i Im. Koska mitattavat suureet ovat tavallisia lukuja, Y sellaisenaan kerro mistään mitattavasta seikasta, ainoastaan itseisarvon neliö 8

9 = * = = ( Re i Im )( Re + i Im ) ( Re ) + ( Im ). Jos iukkanen, jota aaltofunktio kuvaa, liikkuu kolmessa ulottuvuudessa, silloin ( x, y, t) dv on todennäköisyys sille, että iukkanen on pistettä (x,y,z) ympäröivässä tilavuusalkiossa etkellä t. Koska iukkanen löytyy varmasti jostain, pitää olla dv ( x, y, t) = 1. Suuretta ( x, y, t) kutsutaan todennäköisyystieydeksi pisteessä (x,y,z) etkellä t. 9

10 Stationääriset tilat Todennäköisyystieys Y riippuu yleensä ajasta, mutta ei aina. Jos iukkasen energia on vakio, tn-tieys on ajan suteen vakio, esimerkiksi elektroni atomin energiatasolla. Tällaisia tiloja kutsutaan stationäärisiksi tiloiksi. Hiukkanen voi olla muuussakin tilassa kuin stationäärisessä tilassa, mutta silloin sen energialla ei ole mitään määrättyä arvoa. Tällainenkin tila voidaan kuitenkin aina esittää stationääristen tilojen avulla. Stationääriset tilat muodostavat ikään kuin (ääretönulotteisen) koordinaatiston kantavektorit, joiden avulla kaikki avaruuden vektorit (tilat) voidaan esittää. Kvanttimekaniikan mukaan stationäärisessä tilassa, joka vastaa energiaa E, aaltofunktio on muotoa iet / ( x, y, t) = ψ ( x, y, z) e. Stationäärisen tilan aaltofunktio Koska ( x, y, t) = * ( x, y, t) ( x, y, t) iet / = ψ * ( x,y,z) ψ ( x,y,z) e = ψ ( x,y,z), e + iet / on stationäärisen tilan todennäköisyystieys ajasta riippumaton. 10

11 Scrödingerin ytälö Miten stationääristen tilojen energiat ja aaltofunktiot saa sitten selville? Klassisessa mekaniikassa kappleen rata saadaan Newtonin toisesta ytälöstä, säkömagnetismissa ovat käytössä Maxwellin ytälöt. Kvantti-ilmiöissä nämä ytälöt eivät toimi, sillä atomaariset ilmiöt eivät noudata klassisen fysiikan sääntöjä, kuten olemme uomanneet. Erwin Scrödinger keksi ytälön, jonka ratkaisuina saadaan sekä energiat että aaltofunktiot. Ytälöä ei voi jotaa mistään, se piti keksiä. Scrödingerin ytälö on d ψ ( x ) + U( m dx x ) ψ ( x ) = Eψ ( x ). Yksiulotteinen Scrödingerin ytälö Tässä U(x) on iukkasen potentiaalienergia ja E on vakio. Hiukkaseen vaikuttava voima on oletettu konservatiiviseksi, jolloin sen vaikutus voidaan kuvata potentiaalienergian avulla. Mistä tietää, että tämä ytälö on oikea? Siitä, että se toimii! Vapaan iukkasen Scrödingerin ytälö (yksiulotteinen) Vapaaseen iukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x) = 0. Vapaan iukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Määritellään kulmataajuus w ja aaltoluku k mekaniikan aaltoliikkeen tapaan: 11

12 Esimerkki 1