Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b) (R, ), missä tarkoittaa reaalilukujen tavallista kertolaskua, on ryhmä. a) (R, ) ei ole ryhmä, sillä liitännäisyys ei päde: Esimerkiksi mutta 1 (2 3) = 1 (2(2 + 3)) = 1 10 = 2(1 + 10) = 22, (1 2) 3 = (2(1 + 2)) 3 = 6 3 = 2(6 + 3) = 18. (Myöskään neutraalialkiota ei löydy: Jos olisi olemassa sellainen x R, että a x = a kaikilla a R, niin 2(a + x) = a, joten oltava x = 1 a kaikilla a R, mikä ei tietenkään ole mahdollista.) 2 b) (R, ) ei ole ryhmä, sillä nollalla ei ole käänteisalkiota. Selvästi luku 1 on neutraalialkio, mutta 0 x = 0 1 aina, kun x R. Olkoon G = R\{ 1}. Määritellään laskutoimitus joukossa G asettamalla a b = a + b + ab aina, kun a, b G, missä + on tavanomainen reaalilukujen yhteenlasku. Mitkä Abelin ryhmän määritelmän ehdoista ovat voimassa? Onko G Abelin ryhmä? Mielekkyys: Olkoot a, b G. Osoitetaan, että a b G. Nimittäin a b / G a b = 1 a + b + ab = 1 a(1 + b) = 1 b a = 1 b 1 + b a = 1 a / G (b 1)
mikä on ristiriita. Vaihdannaisuus: Olkoot a, b G. Tällöin a b = a + b + ab = b + a + ba = b a. Liitännäisyys: Olkoot a, b, c G. Tällöin a (b c) = a (b + c + bc) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = (a + b + ab) c = (a b) c Neutraalialkio: Kaikilla a G joten 0 on neutraalialkio. a 0 = a + 0 + a 0 = a, Käänteisalkiot: Olkoon a G. Halutaan löytää sellainen b G, että a b = 0. Huomataan, että 3. a b = 0 a + b + ab = 0 b(1 + a) = a b = a 1 + a Siispä luvun a G käänteisalkio on a 1+a. On siis osoitettu, että (G, ) on Abelin ryhmä. (1 + a 0 koska a 1) Olkoon X joukko ja (G, ) Abelin ryhmä. Tarkastellaan joukkoa F (X, G) = {kuvaukset X G}. Jos f, g F (X, G), niin määritellään tulo f g asettamalla (f g)(x) = f(x) g(x) kaikilla x X. Onko (F (X, G), ) tällöin Abelin ryhmä?
Vaihdannaisuus: Olkoot f, g F (X, G). Tällöin kaikilla x X (f g)(x) = f(x) g(x) = g(x) f(x) (vaihdannaisuus ryhmässä G) = (g f)(x), joten f g = g f. Liitännäisyys: Olkoot f, g, h F (X, G). Tällöin kaikilla x X (f (g h))(x) = f(x) (g h)(x) = f(x) (g(x) h(x)) = (f(x) g(x)) h(x) (liitännäisyys ryhmässä G) = (f g)(x) h(x) = ((f g) h)(x), joten f (g h) = (f g) h. Neutraalialkio: Määritellään kuvaus f e : X G asettamalla f e (x) = e kaikilla x X (neutraalialkio e on olemassa, koska G on ryhmä). Nyt, jos f F (X, G), niin kaikilla x X pätee (f e f)(x) = f e (x) f(x) = e f(x) = f(x). Siis f e f = f, joten f e on neutraalialkio. Käänteisalkiot: Olkoon f F (X, G). Määritellään kuvaus g : X G asettamalla g(x) = f(x) 1 aina, kun x X (alkiolla f(x) on olemassa käänteisalkio, koska G on ryhmä). Tällöin kaikilla x X (f g)(x) = f(x) g(x) = f(x) f(x) 1 = e = f e (x). Siispä f g = f e, joten g on alkion f käänteisalkio. 4. Näin ollen (F (X, G), ) on Abelin ryhmä. Olkoon (G, ) ryhmä. a) Osoita, että (x 1 ) 1 = x aina, kun x G. b) Oletetaan, että x 2 = e aina, kun x G. Osoita, että G on Abelin ryhmä.
a) Olkoon x G. Koska x 1 x = x x 1 = e, niin x on alkion x 1 yksikäsitteinen käänteisalkio lauseen 2.2 perusteella. Siis x = (x 1 ) 1. b) Tiedetään jo, että G on ryhmä. Riittää osoittaa vaihdannaisuus. Oletuksen nojalla g = g 1 aina, kun g G. Olkoot x, y G. Tällöin x y = (x y) 1 (g = g 1 ) = y 1 x 1 (lause 2.4) = y x (g = g 1 ). 5. 6. Kirjoita kaikki mahdolliset neljän alkion ryhmän kertotaulut. Merkitään G = {e, a, b, c}. Saadaan kertotaulut e a b c e a b c a a e c b a a e c b b b c e a b b c a e c c b a e c c b e a e a b c a a b c e b b c e a c c e a b e a b c a a c e b. b b e c a c c b a e a) Haluttaisiin määritellä laskutoimitus joukossa Z 7 seuraavasti: a b = max{a, b} aina, kun a, b Z. Onko tämä mielekästä? b) Jos onkin vastaava joukon Z laskutoimitus (siis a b = max{a, b}, kun a, b Z), niin onko (Z, ) Abelin ryhmä? a) Nythän (1, 2) = (8, 2). Koska 1 < 2, niin 1 2 = 2. Toisaalta 8 > 2, joten 8 2 = 8. Täten 1 2 8 2, joten ei ole mielekäs laskutoimitus. b) (Z, ) ei ole Abelin ryhmä, sillä neutraalialkiota ei löydy: Jos olisi olemassa neutraalialkio e Z, niin erityisesti pätisi mikä on ristiriita. e 1 = e (e 1) = max{e, e 1} = e, 7. Laske a) ryhmän Z 58 kertaluku b) alkion 23 käänteisalkio (tai vasta-alkio) ryhmissä Z 82 ja Z 82.
a) Etsitään sellaisia kokonaislukuja x {1,..., 57}, että syt(x, 58) = 1. Tähän voidaan soveltaa Erastotheneen seulaa: Koska alkutekijähajotelmana 58 = 2 29, niin riittää yliviivata kaikki lukujen 2 ja 29 monikerrat. Jäljelle jää tällöin kaikki joukon parittomat luvut paitsi 29. Näitä on 28 kappaletta. b) Alkion 23 vasta-alkio ryhmässä Z 82 on 59, sillä 23 + 59 = 23 + 59 = 82 = 0. Toisaalta soveltamalla laajennettua Eukleideen algoritmia lukuihin 23 ja 82 saadaan 1 = 25 23 7 82, joten 1 = 25 23 7 82 = 25 23 7 82 = 25 23. Siis ryhmässä Z 82 käänteisalkio 23 1 = 25. 8. Ratkaise ryhmässä Z 12 yhtälöt a) 8x = 3 b) 8x = 4. a) Huomataan aluksi, että Täten 8x = x + + x = x + + x = 8x. 8x = 3 8x = 3 8x 3 mod 12 12 8x 3 8x 3 = 12k jollakin k Z 8x + 12k = 3 jollakin k Z. Tämähän on Diofantoksen yhtälö. Koska syt(8, 12) = 4 3, niin ratkaisua ei löydy. b) Vastaavasti kuin kohdassa a) saadaan Diofantoksen yhtälö 8x + 12k = 4,
jolla on ainakin yksittäisratkaisu x = 2, k = 1. Ratkaisukaavasta nähdään, että erityisesti x = 2 + 3n, n Z, joten alkuperäisen yhtälön ratkaisu on x {2, 5, 8, 11}.