Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Transkriptio

1 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella y œ Y on olemassa ainakin yksi sellainen x œ X, että f(x)= y. Logiikan symboleiden avulla surjektion määritelmän ehto voidaan kirjoittaa seuraavasti: y x(f(x)=y). Havaitaan, että surjektio tarkoittaa kuvausta, jossa kaikille maalin alkioille kuvautuu yksi tai useampi alkio. Surjektion käsitettä on havainnollistettu alla kuvassa X f g h X Y X Y Y Kuva 5.18: Kuvaukset f ja g ovat surjektioita, kuvaukset h ei ole surjektio. Esimerkki Tarkastellaan funktiota f : R æ R, jolla f(x) =x x kaikilla x œ R. Funktion f kuvaajasta havaitaan, että f ei ole surjektio, sillä f(x) Ø 1 kaikilla x œ R. Kuva 5.19: Funktio x æ x x ei ole surjektio. 61

2 Perustellaan vielä täsmällisesti, että edellä tarkasteltu funktio f : R æ R, jolla f(x)=x x kaikilla x œ R, ei ole surjektio. Tehdään vastaoletus, että f on surjektio. Silloin surjektion määritelmän mukaan jokaista y œ R kohti on olemassa sellainen x œ R, että f(x) = y. Erityisesti esimerkiksi lukua œ R kohti on olemassa sellainen a œ R, ettäf(a) =. Tällöin a a =. Lisäämällä tämän yhtälön molemmille puolille luku 1 saadaan yhtälö a a +1= 1. Koska (a 1) = a a +1, voidaan saatu yhtälö kirjoittaa muodossa (a 1) = 1. Näin on päädytty ristiriitaan, sillä minkään reaaliluvun toinen potenssi ei ole 1. Koska vastaoletus johti ristiriitaan, on alkuperäinen väite tosi. Siis f ei ole surjektio. Toinen tapa osoittaa, että funktio f ei ole surjektio, on tarkastella yhtälöä f(x) =. Havaitaan, että f(x)= x x = x x +=0. Huomataan, että yhtälöllä x x +=0ei ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa, sillä sen diskriminantti on negatiivinen: Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan x = ( ) ± apple ( ) = ± Ô 4. Tästä nähdään, että yhtälön x x +=0diskriminantti on 4. Tarkastellulla yhtälöllä ole ratkaisuja reaalilukujen joukossa, koska negatiivisen luvun neliöjuuri ei ole määritelty. Siis f(x) = kaikilla x œ R, joten f : R æ R ei ole surjektio. Esimerkki Olkoon g : R æ R funktio, jolle g(x) = 0,5x kaikilla x œ R. Osasen kuvaajasta on piirretty kuvaan 5.0. Kuvaajan perusteella funktio g näyttäisi olevan surjektio, sillä sen kuvaaja leikkaa minkä tahansa vaaka-akselin suuntaisen suoran ainakin kerran (jotkin niistä kuvan 5.0 ulkopuolella). Siitä voidaan päätellä, että funktio g saa jokaisen arvon ainakin yhdessä kohdassa. Kuva 5.0: Funktio x æ 0,5x on surjektio. 6

3 Osoitetaan vielä täsmällisesti, että edellä tarkasteltu funktio g : R æ R, jolle g(x) = 0,5x kaikilla x œ R, on surjektio. Oletetaan, että y œ R. Tällöin myös 4y + 8 œ R ja lisäksi g( 4y + 8) = 0,5 ( 4y + 8) = + y =y. Näin on näytetty, että jokaista y œ R kohti on olemassa sellainen x = 4y +8 œ R, että g(x)= y. Siis g on surjektio. y 4y +8 Kuva 5.1: Jokaista lukua y œ R kohti löytyy luku x = 4y +8œ R, jolla g(x)=y. Nyt herää kysymys, miten edellä osattiin ryhtyä tarkastelemaan juuri lukua 4y + 8. Se löydettiin ratkaisemalla x yhtälöstä g(x)= y: g(x)=y 0,5x = y 0,5x = y x = 4(y ) = 4y +8. Tätä etsintävaihetta ei kuitenkaan tarvitse ottaa mukaan varsinaiseen perusteluun, vaan sen voi tehdä esimerkiksi suttupaperilla. Kun sopiva alkio on löytynyt, riittää perustella, että se kuuluu tarkastellun kuvauksen lähtöön ja että sen kuva-alkio on alkuperäinen y. Esimerkki Tarkastellaan kuvausta τ : R æ [ 1, Œ[, jolle τ(x)=x x kaikilla x œ R. Osa sen kuvaajasta on piirretty kuvaan 5.. Kuvaajan perusteella funktio τ näyttäisi olevan surjektio, sillä sen maaliksi on valittu sopivasti [ 1, Œ[. Kuva 5.: Funktio x æ x x, jonka maali on [ 1, Œ[, on surjektio. 63

4 Osoitetaan, että kuvaus τ on surjektio. Oletetaan, että y [ 1, [. Tällöin y 1, joten y Näin 1+ y +1on määritelty ja lisäksi τ(1 + apple y + 1) = (1 + apple y + 1) (1 + apple y + 1) =1+ apple y +1+(y + 1) apple y +1 =1+y +1 = y. Näin on näytetty, että jokaista y [ 1, [ kohti on olemassa sellainen x =1+ y +1 R, että τ(x)= y. Siis τ on surjektio. y 1+ y +1 Kuva 5.3: Jos y 1, niinτ(1 + y + 1) = y. Jälleen herää kysymys, miten edellä osattiin ryhtyä tarkastelemaan juuri lukua 1+ y +1.Se löydettiin ratkaisemalla x yhtälöstä τ(x)= y: τ(x)=y x x = y x x y =0 x = ± apple 4 4( y) Ratkaisut voidaan sieventää: x = ± apple 4 4( y) = ± apple 4(1 + y) = ± 1+y =1± apple 1+y =1± apple y +1 Huomataan, että todistuksessa olisi yhtä hyvin voinut käyttää lukua 1 y +1. Esimerkki Tarkastellaan funktiota h: Rr{1} R, jolla h(x)= x x 1 kaikilla x Rr{1}. Osa sen kuvaajasta on piirretty kuvaan 5.4. Tutkitaan funktion h surjektiivisuutta tutkimalla yhtälöä h(x) = y. Jos x Rr{1}, voidaan päätellä seuraavasti: h(x)=y x = y x = y(x 1) x = yx y x yx = y x 1 (1 y)x = y. Jos y =1, alin yhtälö saa muodon 0x = 1. Tämä yhtälö ei toteudu millään x Rr{1}. Mikään joukon Rr{1} alkio ei siis kuvaudu luvuksi 1, joten kuvaus h ei ole surjektio. 64

5 Kuva 5.4: Funktio x æ x/(x 1), jonka maali on R, ei ole surjektio. Perustellaan vielä toisella tavalla, että edellä tarkasteltu funktio h ei ole surjektio. Tehdään vastaoletus, että h on surjektio. Silloin surjektion määritelmän mukaan jokaista y œ R kohti on olemassa sellainen x œ Rr{1}, että h(x)=y. Erityisesti esimerkiksi lukua 1 œ R kohti on olemassa sellainen a œ Rr{1}, ettäh(a)=1eli a a 1 =1. Tästä seuraa, että a = a 1 ja siten 0= 1. Tämä on ristiriita. Siis vastaoletus on epätosi ja alkuperäinen väite pätee. Näin ollen h ei ole surjektio. Kuvauksen surjektiivisuus tarkoittaa, että lähdön kuva on koko maali. Tämä osoitetaan seuraavassa lauseessa. Lause Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos ja vain jos fx = Y. Todistus. : Oletetaan, että f : X æ Y on surjektio. Tavoitteena on näyttää, että fx = Y. Tehdään tämä osoittamalla sisältyminen molempiin suuntiin. µ : Oletetaan, että b œ fx. Tällöin kuvan määritelmän mukaan b = f(x) jollakin x œ X. Koska kuvauksen f maali on Y,niinf(x) œ Y. Koska b = f(x), niinb œ Y. : Oletetaan, että y œ Y. Oletuksen mukaan f : X æ Y on surjektio, joten on olemassa sellainen x œ X, jolla f(x) = y. Siis y œ f X kuvan määritelmän nojalla. : Oletetaan, että fx = Y. Tavoitteena on näyttää, että f : X æ Y on surjektio. Oletetaan, että y œ Y. Oletuksen mukaan Y = fx, joten y œ fx. Tällöin kuvan määritelmän mukaan on olemassa sellainen x œ X, ettäf(x)= y. 65

6 Esimerkeissä 5.4., 5.4.5, 5.5. ja havaittiin, että kuvauksen x æ x x injektiivisyys ja surjektiivisuus riippuuvat siitä, mitä kuvauksen lähtö- ja maalijoukko ovat. Tämän vuoksi kuvausten sanotaan olevan samoja vain siinä tapauksessa, että niiden lähtö- ja maalijoukot ovat samat. Määritelmä Oletetaan, että f ja g ovat kuvauksia X æ Y. Kuvaukset f ja g ovat samat eli f = g, jos f(x)=g(x) kaikilla x œ X. Esimerkki Tarkastellaan kuvauksia f : R æ [0, Œ[, g : Z æ N ja h: N æ N, joilla kaikilla x æ x +. Niiden kuvaajat on piirretty kuvaan 5.5. Kuvaukset f, g ja h ovat kaikki eri kuvauksia, sillä niiden lähtö- ja maalijoukot eivät ole samoja. y = f(x) y = g(x) y = h(x) Kuva 5.5: Kuvaukset f, g ja h ovat eri kuvauksia. 66