Differentili- j integrlilskent 1: tiivistelmä j oheislukemist Pekk Alestlo 4. syyskuut 2014 Tähdellä merkityt kohdt on trkoitettu lähinnä oheislukemistoksi. Lisäksi mukn on joitkin lukiot kertvi kohti, joist kikki ei käsitellä luennoll. 1 Funktiot 1.1 Merkintöjä Relilukujen joukko R, symbolisesti ], [. Sen lkioit kutsutn usein pisteiksi. Avoin väli ], b[ ti ], [ ti ], b[ ti ], [. Suljettu väli [, b]. Puolivoimet välit: muoto [, b[ ti ], b]. 1.2 Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen joukon A lkioon täsmälleen yhden B:n lkion b. Merkitään b = f(). Tässä A = M f on f:n määrittelyjoukko j B on f:n mlijoukko. Funktion f rvojoukko (eli kuvjoukko) on B:n osjoukko f[a] = {f() A}. Esimerkiksi funktion f : R R, f(x) = x 2, mlijoukko on R, mutt sen rvojoukko on [0, [. Edellisen esimerkin funktio voidn toki määritellä suorn muodoss f : R [0, [, f(x) = x 2, jolloin rvojoukko on sm kuin mlijoukko. Näin voidn peritteess menetellä kikkien funktioiden kohdll, mutt se ei yleensä ole käytännöllistä. Esimerkki: Yritä tehdä sm funktiolle f : R R, f(x) = x 6 + x 2 + x, x R. Jos funktion määrittelyjoukko A R, niin kyseessä on yhden muuttujn funktio, joit tällä kurssill käsitellään. 1
Jos A R n, n 2, niin kyseessä on usen muuttujn funktio, joit käsitellään kursseill Differentili- j integrlilskent 2 3. 1.3 Funktion jtkuvuus Funktion jtkuvuus määritellään usein rj-rvon vull. Jtkuvuus on kuitenkin rj-rvo yksinkertisempi käsite, joten loitmme sillä. Muist: Jos, b R, niin luseke b on pisteiden j b välinen etäisyys. Olkoon A R j f : A R funktio. Funktio f on jtkuv pisteessä A, kun pätee: Jokist ε > 0 vst sellinen δ > 0, että f(x) f() < ε in kun x A j x < δ. Piirrä hvinnollinen kuv! Usein funktion määrittelyjoukko A on jokin väli. Tällöin jtkuvuutt voidn tutki määritelmän vull myös väliin kuuluvss päätepisteessä; ehto x A on olenninen. Jos f on jtkuv jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, niin se on jtkuv joukoss A (ti lyhyesti: jtkuv). Jtkuvi funktioit ovt esim. polynomit: P (x) = c n x n + c n 1 x n 1 + + c 1 x + c 0 ; rtionlifunktiot: R(x) = P (x)/q(x), kun P j Q ovt polynomej; juurifunktiot: f(x) = x p/q, kun x 0; trigonometriset funktiot sin, cos, tn j cot; jtkuvien funktioiden summt, tulot j osmäärät (määrittelyjoukko!); jtkuvien funktioiden yhdistetyt funktiot. 1.4 Jtkuvien funktioiden ominisuuksi Olkoon f : A R. Funktioll f on mksimi eli suurin rvo pisteessä 0 A, jos f() f( 0 ) kikill A. Vstvsti f:llä on minimi eli pienin rvo pisteessä 1 A, jos f() f( 1 ) kikill A. Muuttujn rvot 0 j 1 ovt funktion f äärirvokohti. Funktion rvot f( 0 ) j f( 1 ) ovt funktion äärirvot. I perustulos: Suljetull välillä määritellyllä jtkuvll funktioll on mksimi j minimi joisskin välin pisteissä. 2
II perustulos (Jtkuvien funktioiden välirvoluse): Suljetull välillä I määritelty jtkuv funktio s kikki rvot, jotk ovt sen minimin j mksimin välissä. Toisin snoen: funktion rvojoukko f[i] on myös väli. Tässä muodoss väite pätee myös voimille ti puolivoimille väleille I (jolloin mksimi ti minimiä ei in ole). Erityisesti: Jos f : [, b] R on jtkuv j f()f(b) < 0, niin funktioll f on nollkoht voimell välillä ], b[. Näitä sioit käsitellään yleisemmin kurssill MS-C1540 Euklidiset vruudet, joss ne myös todistetn. 1.5 Funktion rj-rvo Jos A R j f : A R, niin f:n käyttäytymistä pisteen x 0 R lähellä voidn tutki myös funktion rvost f(x 0 ) välittämättä; ei edes trvitse oll x 0 A. Tällöin puhutn funktion f rj-rvost pisteessä x 0. Määrittelemme rj-rvon vin sellisiss pisteissä x 0 R, joille jokinen väli [x 0 δ, x 0 + δ] sisältää äärettömän mont joukon A pistettä, vikk δ > 0 olisi kuink pieni thns. (Tällisi pisteitä x 0 kutsutn joukon A ksutumispisteiksi.) Funktioll f : A R on rj-rvo L pisteessä x 0 Jokist ε > 0 vst sellinen δ > 0, että Tällöin merkitään f(x) L < ε in kun x A j 0 < x x 0 < δ. lim x x 0 f(x) = L. R, jos pätee: Huom: Ehdon 0 < x x 0 ino trkoitus on rjt mhdollinen funktion rvo f(x 0 ) pois käsittelystä; ts. ehto tutkitn vin tpuksess x x 0. Vstvll tvll sdn myös toispuoleiset rj-rvot lim f(x) j lim x x 0 + f(x), x x 0 kun epäyhtälö 0 < x x 0 < δ korvtn epäyhtälöllä 0 < x x 0 < δ ti 0 < x 0 x < δ. Nämä voidn tulkit myös tvllisen rj-rvon erikoistpuksin, kun funktion määrittelyjoukoksi muutetn A ]x 0, [ ti A ], x 0 [. Tällöin on voimss: Rj-rvo on olemss täsmälleen silloin, kun lim f(x) = L x x 0 lim f(x) = lim f(x) = L. x x 0 + x x 0 3
Funktion rj-rvo toteutt seurvt lskusäännöt: Jos lim f(x) = j x x 0 lim g(x) = b, x x0 niin f(x) lim (f(x) + g(x)) = + b, lim f(x)g(x) = b, lim x x 0 x x0 x x0 g(x) = b ; viimeisen kohdll täytyy olett b 0 (jolloin g(x) 0 josskin pisteen x 0 ympäristössä). Jos funktion määrittelyjoukko on väli, niin jtkuvuus pisteessä x 0 M f on yhtäpitävää sen knss, että lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Jos f : A R on jtkuv, x 0 A j lim x x0 f(x) = L, niin voidn määritellä uusi funktio f : A R, A = A {x 0 }, settmll { f(x), kun x A, f(x) = L, kun x = x 0. Tällöin f on jtkuv. Usein merkitään hiukn epätäsmällisesti f = f. Tyypillinen esimerkki: f(x) = on jtkuv koko relikselill. { sin x x x 0, 1, x = 0, Myös seurvt käsitteet voidn määritellä täsmällisesti: lim f(x) = ±, x x 0 lim f(x) = L, lim x ± f(x) = ±, jne. x ± Esimerkiksi lim f(x) =, x x 0 jos pätee: Jokist M R vst sellinen δ > 0, että f(x) > M in kun x A j 0 < x x 0 < δ. 4
2 Derivtt 2.1 Määritelmä j perusominisuudet Erilisi lähestymistpoj: geometrinen (käyrän tngentti seknttien rjsenton) ti fysiklinen (jst riippuvn funktion hetkellinen muutosnopeus). Funktio f määritelty josskin pisteen x 0 R ympäristössä; sen derivtt on f(x 0 + h) f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) lim = lim, h 0 h x x0 x x 0 jos rj-rvo olemss. Funktio on derivoituv, jos sillä on derivtt jokisess määrittelyjoukon (= voin väli) pisteessä. Merkintöjä: f (x) = Df(x) = df dx. Derivtn määritelmä joht pproksimtioon f (x 0 ) f(x) f(x 0) x x 0 f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Oiken puoleinen luseke on funktion f linerisointi eli differentili pisteessä x 0. Sille käytetään merkintää df. Linerisoinnin kuvj y = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) on funktion kuvjn pisteeseen (x 0, f(x 0 )) setettu tngenttisuor. Fysiklinen tulkint: x = x(t) kppleen yksiulotteisen liikeen pikkkoordintti hetkellä t, sen hetkellinen nopeus on v(t) = x (t) = ẋ(t). Näistä viimeinen on tvllinen merkintä fysiikss. Lskusääntöjä: Linerisuus D(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) D(cf(x)) = cf (x), kun c R on vkio Tulon derivoimissääntö D(f(x)g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x) Osmäärän derivoimissääntö ( ) f(x) D = f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) g(x) 2 Yhdistetyn funktion derivoiminen (Chin Rule = ketjusääntö; nimen tust liittyy osittisderivttoihin, joist lisää kurssill Differentilij integrlilskent 2) D(f(g(x)) = f (g(x))g (x) 5
Eräitä derivttoj: D(vkiofunktio) = 0, D(x r ) = rx r 1, r 0, D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x Välirvoluse: Olkoon f : [, b] R jtkuv j lisäksi derivoituv välillä ], b[. Tällöin on olemss sellinen piste c ], b[, että f (c) = f(b) f(), ts. f(b) f() = f (c)(b ). b Seurus: Jos f (x) = 0 kikiss voimen välin pisteissä x, niin funktio f on vkio tällä välillä Seurus: Jos f (x) 0 jollkin välillä, niin f on ksvv; jos f (x) 0 jollkin välillä, niin f on vähenevä Jos edellisen kohdn lisäksi f (x) = 0 inostn yksittäisissä pisteissä, niin f on idosti ksvv/vähenevä. Esim: f(x) = x 3. 2.2 L Hospitlin sääntö Rj-rvojen lskeminen derivtn vull; erilisi versioit mm. tyyppiä "0/0" ti " / " oleville rj-rvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tpus: Oletetn, että f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 j funktiot f, g ovt derivoituvi. Jos f (x) lim x x 0 g (x) on olemss, niin 2.3 Äärirvotehtävät f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Pikllinen äärirvo = pikllinen mksimi ti minimi; voi esiintyä myös määrittelyvälin päätepisteessä. Pikllinen äärirvo voi tull (i) derivtn nollkohdss (ii) määrittelyvälin päätepisteessä, ti (iii) kohdss joss funktio ei ole derivoituv. Jos tiedetään etukäteen, että funktioll on mksimi/minimi, niin etsitään kikki mhdolliset piklliset äärirvokohdt (vrt. edellinen), lsketn niissä funktion rvot j vlitn näistä suurin/pienin. 6
2.4 Kuperuus* Kuper eli konveksi lue D R 2 : jos x, y D, niin myös niiden välinen yhdysjn [x, y] D Välillä I R määritelty funktio on konveksi, jos sen kuvjn yläpuolinen tsolue on konveksi; tähän riittää se että kuvjlle piirretyt sekntit ovt in kuvjn yläpuolell, kvn f((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y) kikill x, y I j kikill t [0, 1]. Erityisesti: jos f (x) 0 koko välillä, niin f on konveksi Funktion käännepiste: koht, joss kuvjll on tngentti j funktion kuperuussuunt vihtuu. Esimerkiksi, jos f (x) viht merkkiä. Kuperuutt tutkimll päädytään seurvn tulokseen: jos funktion f derivtn nollkohdss x 0 on f (x 0 ) < 0, niin kyseessä on pikllinen mksimi; jos f (x 0 ) > 0, niin kyseessä on pikllinen minimi. Tpuksess f (x 0 ) = 0 tilnnett täytyy tutki trkemmin (esimerkiksi korkemmn kertluvun derivttojen vull). 3 Tylor-polynomit 3.1 Tylor-polynomi Tylor-polynomi P n (x; x 0 ) = funktion prs n-steinen polynomipproksimtio (derivoinnin knnlt) pisteen x 0 lähellä. Mclurin-polynomi: tpus x 0 = 0. Jos f on n kert derivoituv pisteessä x 0, niin polynomill P n (x) = P n (x; x 0 ) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n 2! n! n f (k) (x 0 ) = (x x 0 ) k k! k=0 on pisteessä x 0 smt derivtt kuin f:llä kertlukuun n skk. Tylorin kv: Jos derivtt f (n+1) on olemss j se on jtkuv funktio, niin f(x) = P n (x; x 0 ) + E n (x) j virhetermille E n (x) pätee E n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1 7
josskin pisteessä ξ [x 0, x] (ti [x, x 0 ]). Jos on olemss indeksistä n riippumton vkio M, jolle f (n+1) (x) M jollkin välillä, niin tällöin kun n j x on kiinteä. E n (x) M (n + 1)! x x 0 n+1 0, Eräitä Mclurin-polynomipproksimtioit: 1 1 x 1 + x + x2 + + x n e x 1 + x + 1 2! x2 + 1 3! x3 + + 1 n! xn ln(1 + x) x 1 2 x2 + 1 3 x3 + ( 1)n 1 x n n sin x x 1 3! x3 + 1 5! x5 + ( 1)n (2n + 1)! x2n+1 3.2 Newtonin menetelmä cos x 1 1 2! x2 + 1 4! x4 + ( 1)n (2n)! x2n Ensimmäisen steen Tylor-polynomi P 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) on sm kuin funktion f linerisointi pisteen x 0 suhteen. Sitä voidn käyttää erilisiss rvioiss j numeerisiss menetelmissä. Newtonin menetelmä: Yhtälö f(x) = 0 rtkistn likimääräisesti vlitsemll lkupiste x 0 (esimerkiksi kuvion perusteell) j määrittelemällä x n+1 = x n f(x n) f (x n ), kun n = 0, 1, 2,... Näin sdn lukujono (x 0, x 1, x 2,... ), jonk termit yleensä ntvt yhä prempi likirvoj funktion f nollkohdlle. Plutuskv perustelln geometrisesti etsimällä funktion nollkoht sen linerisoinnin (eli tngentin) vull. 3.3 Tylor-srj* Jos Tylorin kvn virhetermi E n (x) lähestyy noll, kun n ksv, sdn Tylor-polynomin rj-rvon funktion f Tylor-srj (ti Mclurinsrj, jos x 0 = 0). Tylor-srj on siis muoto f (k) (x 0 ) n (x x 0 ) k = lim k! n k=0 k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! Tämä on esimerkki yleisestä potenssisrjst, joit käsitellään kurssin lopuss. Niitä esiintyy kuitenkin monien lkeisfunktioiden yhteydessä, joten jo tässä lyhyt yhteenveto. 8
Potenssisrj on muoto n c k (x x 0 ) k = lim c k (x x 0 ) k n k=0 olev srj. Piste x 0 on srjn keskus j luvut c k srjn kertoimi. Srj suppenee rvoll x, jos yllä olev rj-rvo on määritelty. Tämän suhteen on vin kolme erilist tpust: srj suppenee vin rvoll x = x 0 (jolloin srjss esiintyy vin vkiotermi c 0 ) srj suppenee kikill x R srj suppenee jollkin välillä ]x 0 R, x 0 + R[ (j mhdollisesti yhdessä ti molemmiss päätepisteissä) mutt hjntuu muill x:n rvoill. Viimeisessä kohdss esiintyvä luku R on potenssisrjn suppenemissäde; sovitn lisäksi, että R = 0 ti R = muiss tpuksiss. Suppenemisvälillä I tulee siis määriteltyä funktio f : I R, f(x) = c k (x x 0 ) k, k=0 jok on nimeltään srjn summfunktio. Potenssisrjn summfunktio f on välillä ]x 0 R, x 0 + R[ jtkuv j derivoituv. Lisäksi derivtn f (x) voi lske derivoimll srj termeittäin: f (x) = kc k (x x 0 ) k 1. k=0 Esimerkkejä (joist osn pltn myöhemmin): 1 1 x = x k, x < 1 k=0 e x 1 = k! xk, x R k=0 ( 1) k sin x = (2k + 1)! x2k+1, x R k=0 ( 1) k cos x = (2k)! x2k, x R k=0 (1 + x) r r(r 1)(r 2)... (r k + 1) = 1 + x k, x < 1 k! 9
Viimeinen on nimeltään binomisrj j se on voimss kikill r R. Jos r N, niin srjn kertoimet ovt nolli summusindeksistä k = r + 1 lähtien j tuloksen on binomikv. 4 Alkeisfunktiot 4.1 Käänteisfunktio Funktio f : A B on injektio, jos eri pisteissä sdn eri rvot, ts. x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), ts. f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. surjektio, jos rvojoukko on sm kuin mlijoukko, ts. fa = B. bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom: Funktiost tulee surjektio, kun mlijoukko kutistetn mhdollisimmn pieneksi, eli jätetään pois kikki ne pisteet, jotk eivät ole funktion rvoj. Toinen tp määritellä nämä käsitteet perustuu yhtälön rtkisujen lukumäärän tutkimiseen: Jos y B on kiinteä, niin yhtälöllä y = f(x) on korkeintn yksi rtkisu x A, jos f on injektio inkin yksi rtkisu, jos f on surjektio täsmälleen yksi rtkisu, jos f on bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin sillä on käänteisfunktio f 1 : B A, jok määräytyy ehdost y = f(x) x = f 1 (y). Käänteisfunktiolle pätee f 1 (f()) = kikill A j f(f 1 (b)) = b kikill b B. Käänteisfunktion kuvj on lkuperäisen kuvjn peilikuv suorn y = x suhteen. Perustelu: piste (, b) on funktion f kuvjll b = f() = f 1 (b) piste (b, ) on funktion f 1 kuvjll. Lisäksi opertion (, b) (b, ) geometrinen tulkint on peilus suorn y = x suhteen. Jos A R j f : A R on idosti monotoninen, niin funktioll f : A f[a] on käänteisfunktio. Jos yllä A on väli j f on jtkuv, niin myös f 1 on jtkuv joukoss f[a]. Käänteisfunktion derivtt: f : ], b[ ]c, d[ idosti monotoninen surjektio, jolloin f:llä on käänteisfunktio f 1 : ]c, d[ ], b[. Tällöin kuvjt y = f(x) j y = f 1 (x) ovt toistens peilikuvi suorn y = x suhteen j ( f 1 ) (x) = 1 f (f 1 (x)), 10
jos f (f 1 (x)) 0. Huom: f (f 1 (x)) = funktion f derivtt lskettun pisteessä f 1 (x). 4.2 Trigonometriset funktiot Kulmn yksikkö rdini = rd: kulm vstvn yksikköympyrän osn krenpituus. π rd = 180 stett, ts. 1 rd = 180/π 57,3 stett Funktiot sin x, cos x määritellään yksikköympyrän vull niin, että (cos x, sin x), x [0, 2π], on yksikköympyrän prmetrisointi krenpituuden x vull. Jksollisuus: Ominisuuksi: tn x = sin x cos cot x = cos x sin x (x π/2 + nπ), (x nπ) sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x, tn(x + π) = tn x sin 0 = 0, sin(π/2) = 1, cos 0 = 1, cos(π/2) = 0, sin( x) = sin x, cos( x) = cos x, tn( x) = tn x, Yhteenlskukvt: sin 2 x + cos 2 x = 1, sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y Derivtt: D(sin x) = cos x, D(cos x) = sin x Edellisestä seur, että molemmt funktiot y(t) = sin ωt j y(t) = cos ωt toteuttvt differentiliyhtälön y (t) + ω 2 y(t) = 0, jok kuv ns. hrmonist värähtelyä. Tässä muuttuj t on ik j vkio ω > 0 on värähtelyn kulmtjuus. Kuten myöhemmin nähdään, differentiliyhtälön kikki rtkisut ovt muoto y(t) = A cos ωt + B sin ωt, joss A, B ovt vkioit. Ne määräytyvät yksikäsitteisesti, jos tunnetn esimerkiksi lkutil y(0) j lkunopeus y (0). Kikki rtkisut ovt jksollisi j niiden jksonik on T = 2π/ω. 11
4.3 rcus-funktiot Trigonometrisill funktioill on käänteisfunktio, jos funktioiden määrittelyj mlijoukkoj rjoitetn sopivll tvll. Sini-funktio on idosti ksvv bijektio. Kosini-funktio on idosti vähenevä bijektio. Tngentti-funktio on idosti ksvv bijektio. Käänteisfunktiot: Siis: sin: [ π/2, π/2] [ 1, 1] cos: [0, π] [ 1, 1] tn: ] π/2, π/2[ R rctn x ] π/2, π/2[, kun x R, rcsin x [ π/2, π/2], kun x [ 1, 1], rccos x [0, π], kun x [ 1, 1] x = tn α α = rctn x, kun α ] π/2, π/2[ x = sin α α = rcsin x, kun α [ π/2, π/2] x = cos α α = rccos x, kun α [0, π] Huom: rc nnetn rdineiss, ellei kyseessä ole geometrinen sovellus. Käänteisfunktioiden derivtt D rctn x = D rcsin x = D rccos x = 1 1 + x, x R 2 1, 1 < x < 1 1 x 2 1 1 x 2, 1 < x < 1 12
4.4 Eksponentti- j logritmi Neperin luku e = ( lim 1 + 1 ) n = 1 + 1 + 1 n n 2! + 1 3! + 1 4! +... 2,718281828459... Eksponenttifunktio f(x) = e x = lim (1 + x ) n x n = n n n! n=0 Määritelmä perustuu ominisuuteen f (x) = f(x), jonk vuoksi eksponenttifunktio on tärkeä differentiliyhtälöiden rtkisemisess. Yhteys erilisten määritelmien välillä on suorviivinen, mutt pitkähkö lsku, jok sivuutetn tällä kurssill. Ominisuuksi: e 0 = 1, e x > 0 kikill x, D(e x ) = e x, e x = 1/e x, (e x ) y = e xy, e x e y = e x+y Logritmifunktio = eksponenttifunktion käänteisfunktio: Ominisuuksi ln x, x > 0 e ln x = x, ln(e x ) = x, ln 1 = 0, ln e = 1, ln( b ) = b ln, ln(b) = ln + ln b, D ln x = 1/x, x 0 Eksponenttifunktion vull voidn rtkist täydellisesti differentiliyhtälö y = ky, kun k on vkio: Kikki funktiot y = y(x), joille on voimss y (x) = ky(x) kikill x R, ovt muoto y(x) = Ce kx, joss C on vkio. Vkio C kiinnittyy, jos funktion y rvo tunnetn josskin pisteessä x 0. Tällöin differentiliyhtälön rtkisu on yksikäsitteinen. 4.5 Eulerin kv Imginriyksikkö i: luku, jok toteutt i 2 = 1. Kompleksiluvut muoto z = x + iy, joss x, y R. Ktso trkemmin erillistä monistett kompleksiluvuist. 13
Kun ensponenttifunktion srjkehitelmään sijoitetn muuttujn piklle ix j ryhmitellään termit sopivll tvll, niin sdn Eulerin kv e ix = cos x + i sin x. Seuruksen on kv e iπ + 1 = 0, jot jotkut pitävät mtemtiikn hienoimpn kvn. Se sitoo toisiins tärkeimmät luvut 0, 1, i, e j π sekä kolme lskutoimitust. 4.6 Hyperboliset funktiot Hyperbolinen sini sinus hyperbolicus sinh, hyperbolinen kosini cosinus hyperbolicus cosh j hyperbolinen tngentti tnh: sinh x = 1 2 (ex e x ) cosh x = 1 2 (ex + e x ) tnh x = sinh x cosh x Ominisuuksi: cosh 2 x sinh 2 x = 1; kikill trigonometrisill kvoill on hyperbolinen vstine, jok seur yhteyksistä sinh(ix) = i sin x, cosh(ix) = cos x. Kvoiss sin 2 -termien merkki vihtuu, muut pysyvät smoin. Derivtt: D sinh x = cosh x, D cosh x = sinh x. Käänteisfunktiot; lyhenne r viitt snn re, sillä käänteisfunktioill on geometrinen tulkint eräänä hyperbeliin liittyvänä pint-ln: sinh 1 x = r sinh x = ln(x + 1 + x 2 ), x R cosh 1 x = r cosh x = ln(x + x 2 1), x 1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k }, 14
j lsumm s = n m k (x k x k 1 ), m k = min{f(x) x k 1 x x k }. Ain pätee: (i) s S, (ii) Kun jko tihenee, niin s ksv j S pienenee. Funktio f on integroituv välillä [, b], jos jokist ε > 0 vst sellinen jko, joss S s < ε. Funktion f integrli I R on tällöin se yksikäsitteinen luku, jolle s I S kikiss joiss; merkitään f(x) dx = I. Pätee: integrli on määritelty kikille jtkuville funktioille j se voidn lske rj-rvon n f(x k ) x lim n käyttämällä tsvälisiä jkopisteitä x k = + k x, joss x = (b )/n on skelpituus j 0 k n. Määritelmä yleistyy myös ploittin jtkuville funktioille (j vieläkin yleisempään tilnteeseen) Sopimus: f(x) dx = 0, b f(x) dx = f(x) dx Ominisuuksi: Linerisuus b (i) (c 1 f(x) + c 2 g(x)) dx = c 1 f(x) dx + c 2 g(x) dx (ii) b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx kikill, b, c järjestyksestä riippumtt. (iii) f(x) g(x) f(x) dx Erityisesti ±f(x) f(x), joten g(x) dx f(x) dx f(x) dx 15
Keskirvoperite: jos f on jtkuv, niin toisin snoen f(x) dx = f(c)(b ) jollkin c [, b], f(c) = 1 b f(x) dx = funktion f keskirvo välillä [, b] Anlyysin perusluse: Jos f : [, b] R on jtkuv, niin kikill x ], b[. d dx x f(t) dt = f(x) Seurus: Jos F (x) = f(x) kikill x, ts. F on funktion f integrlifunktio, niin f(x) dx = / b F (x) = F (x) x=b x= = F (b) F (). Integrlifunktio ei ole yksikäsitteinen, mutt eri integrlifunktiot poikkevt toisistn inostn vkioll; merkitään f(x) dx = F (x) + C, C R vkio, jos F (x) = f(x) Kikill jtkuvill funktioill on integrlifunktio, mutt sitä ei in void esittää lkeisfunktioiden vull, vikk f olisi lkeisfunktio; esim. f(x) = e x2 5.2 Epäoleellinen integrli Kksi eri perustyyppiä: Tyyppi I: Integroimisvälinä [, [ ti ], b] ti koko R Tyyppi II: Funktio f : ], b[ R ei ole rjoitettu ti sillä ei ole toispuoleisi rj-rvoj päätepisteissä Tyyppi I: Esim. f : [, [ R jtkuv. Tällöin jos rj-rvo olemss j äärellinen. R f(x) dx = lim f(x) dx, R 16
Jos f : R R jtkuv, niin f(x) dx = 0 f(x) dx + jos molemmt oiken puolen integrlit suppenevt Jos f(x) 0 kikill x R, niin pätee R f(x) dx = lim f(x) dx R R 0 f(x) dx, Tyyppi II: poistetn ongelmkoht j tutkitn rj-rvon; esim. f : ], b] R jtkuv, mutt sillä ei äärellistä rj-rvo, kun x +. Tällöin f(x) dx = lim f(x) dx, ε 0+ +ε jos rj-rvo on olemss j äärellinen. Tällöin snotn: epäoleellinen integrli suppenee; muuten se hjntuu. Jos ongelmi molemmiss päätepisteissä ti välin sisällä, jetn [, b] niin moneen osn, että kusskin osss vin yksi ongelmkoht: vditn, että jokinen erikseen nt äärellisen tuloksen, jolloin koko integrli = osien summ 6 Integroinnin sovelluksi 6.1 Geometrisi sovelluksi Jos f(x) 0, niin f(x) dx on funktion kuvjn j x-kselin rjoittmn tsolueen pint-l välillä [, b] Yleisemmin: jos 0 g(x) f(x), niin (f(x) g(x)) dx on kuvjien y = f(x) j y = g(x) väliin jäävän lueen pint-l Funktion kuvjn y = f(x) krenpituus välillä [, b] on l = 1 + f (x) 2 dx Kun funktion f kuvj y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri, niin sdun pyörähdyspinnn pint-l on A = 2π f(x) 1 + f (x) 2 dx 17
Jos kpplett leiktn yz-tson suuntisell tsoll kohdss x j poikkileikkuksen pint-l on A(x), kun x [, b], niin kppleen tilvuus on V = A(x) dx. Kun funktion f kuvj y = f(x) pyörähtää x-kselin ympäri, se rj pyörähdyskppleen, jonk tilvuus on V = π f(x) 2 dx Yleisemmin: Jos 0 g(x) f(x) j kuvjien y = g(x) j y = f(x) välinen lue pyörähtää x-kselin ympäri, niin sdun kppleen tilvuus on V = π (f(x) 2 g(x) 2 ) dx Huom: Tulos ei ole sm kuin π (f(x) g(x))2 dx Kun käyrä y = f(x) pyörähtää y-kselin ympäri, niin vstv tilvuus on V = 2π xf(x) dx 6.2 Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälöt Integroinnin vull voidn rtkist mm. seurvt 1. kertluvun differentiliyhtälöt: Linerinen differentiliyhtälö y + (x)y = r(x), joss (x) j r(x) ovt jollkin voimell välillä jtkuvi funktioit. Rtkisu sdn kertomll yhtälö puolittin integroivll tekijällä e A(x), joss A (x) = (x). Yleiseksi rtkisuksi sdn y(x) = Ce A(x) + e A(x) e A(x) r(x) dx, joss C on vkio. Seproituv differentiliyhtälö y = f(x)g(y) voidn rtkist muuntmll se (formlisti) muotoon dy g(y) = f(x) dx j integroimll. Menetelmän trkempi perustelu vtii sijoitusmenetelmän käyttöä, jost myöhemmin lisää. 18
Differentiliyhtälöistä on erillinen moniste, joss rtkisumenetelmiä selitetään trkemmin. Monien differentiliyhtälöiden rtkisemiseksi trvitn myös uusi integroimismenetelmiä. 7 Integroimismenetelmiä Perusongelm: Derivointi on helppo, siihen on kvt, joill kikki funktio voidn derivoid. Integrointi on usein vike: vikk kikill jtkuvill funktioill on integrlifunktio, on sen määrittäminen usein käytännössä hnkl ti jop mhdotont (lkeisfunktioiden vull). 7.1 Osittisintegrointi Osittisintegrointi: ti ilmn rjoj f (x)g(x) dx = / b f(x)g(x) f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx f(x)g (x) dx 7.2 Sijoitusmenetelmä Sijoitusmenetelmä: f(g(x))g (x) dx = Käytännössä: Sijoitus u = g(x), jolloin g(b) g() f(u) du du dx = g (x) du = g (x) dx Rjojen muutos: x = u = g(), x = b u = g(b) Muunnos voidn kirjoitt myös käänteisfunktion vull: x = g 1 (u) dx = (g 1 ) (u) du = (1/g (x)) du, joten tulos on sm kuin ikisemmin. (Admsin kirjss nämä käsitellään erikseen kohdiss 5.6 j 6.3, mikä on tvlln turh) 7.3 Osmurtohjotelm* Osmurtohjotelm: Rtionlifunktiot voidn integroid hjottmll ne yksinkertisempiin osiin. Tyypillinen esimerkki:, b R vkioit, x + b (x 1)(x 2) = A x 1 + B x 2, 19
joss kertoimet A, B sdn selville kertomll puolittin lusekkeell (x 1)(x 2) j sijoittmll vuorotellen x = 1 ti x = 2. Toinen tp: verrtn x-termien kertoimi yhtälön eri puolill. Tämän vull voidn lske x + b dx = A ln x 1 + B ln x 2 + C (x 1)(x 2) 7.4 Numeerinen integrointi* Numeerinen integrointi: Yksinkertisin tp on puolisuunniks- eli trpetsisääntö: ( 1 f(x) dx T n = h 2 f(x 0) + f(x 1 ) + f(x 2 ) + + f(x n 1 ) + 1 ) 2 f(x n), joss h = (b )/n on skelpituus, n N jkovälien lukumäärä j x k = + kh, 0 k n, ovt jkopisteet. Muit pproksimtioit ovt mm. keskipistesääntö f(x) dx M n = h(f(m 1 )+f(m 2 )+ +f(m n )), m k = (x k 1 +x k )/2, j Simpsonin sääntö f(x) dx S n = h 3 (f(x 0)+4f(x 1 )+2f(x 2 )+4f(x 3 )+2f(x 4 )+ +4f(x n 1 )+f(x n )), joss funktiot interpoloidn 2. steen polynomill khdell peräkkäisellä jkovälillä; luvun n täytyy oll prillinen. 8 Toisen kertluvun linerinen differentiliyhtälö Toisen kertluvun linerinen j vkiokertoiminen differentiliyhtälö on muoto y + py + qy = r(x), joss p, q ovt vkioit j r(x) on (inkin ploittin) jtkuv funktio. Differentiliyhtälö on homogeeninen, jos r(x) = 0 kikill x; muuss tpuksess se on epähomogeeninen. Yhtälön rtkisumenetelmä on esitetty erillisessä monisteess. 20
9 Lukujonot 9.1 Induktioperite* Todistettvn jokin ominisuus (esim. kv) P n, jonk väitetään olevn voimss kikill n = 0, 1, 2, 3,... Induktiotodistus tekee tämän khdess viheess: Osoitetn, että P 0 on tosi. Tämä on yleensä helppo. Lähdetään oletuksest, että P k on tosi jollkin k, j päätellään sen vull, että myös P k+1 on tosi. Näistä seur, että P n on tosi kikill n. Induktiotodistus voi lk myös rvost n = 1 tms. Binomikv: Jos, b R j n N 0, niin ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k. k ( ) n n! Tässä esiintyy binomikerroin =. Kvn todistus perustuu induktioon j siinä trvitn binomikerrointen ominisuutt k k!(n k)! ( ) ( ) ( ) n n n + 1 + =, k k + 1 k + 1 jonk perusteell binomikertoimet sdn ns. Psclin kolmiost. 9.2 Lukujonot Lukujonoll trkoitetn ääretöntä jono relilukuj n R, kun indeksi n N. Merkitään ( n ) n N = ( n ) n=1 = ( 1, 2, 3,... ). Lukujono täsmällinen tulkint on funktio f : N R, jolle f(n) = n. Tämä selventää esimerkiksi lusekkeiden n+1 = f(n + 1) j n 1 = f(n 1) tulkintoj (indeksin siirrot). Jonon indeksöinti voi lk myös jostkin muust rvost kuin 1. Jos indeksin lkurvo ei ole tärkeä ti tilnne on muuten selvä, voidn käyttää merkintää ( n ). Lukujonoj voidn määritellä ntmll yleisen termin luseke: esim. n = 2 n, kun n N lukujono (2, 4, 8, 16,... ) 21
rekursiivisesti plutuskvojen vull: f 0 = 0, f 1 = 1, f n = f n 2 + f n 1, kun n 2 Fibonccin lukujono (0, 1, 1, 2, 3, 5,... ) tekemällä mittuksi jostkin systeemistä, esim. äänen voimkkuus tsisin ikvälein (idelisoitun äärettömäksi jonoksi). Ongelmi: Miten plutuskvst sdn yleisen termin luseke? Mitä jonon ominisuuksi sdn selville yleisen termin ti plutuskvojen vull? Jonojen ominisuuksi: Lukujono ( n ) on ylhäältä rjoitettu, jos on olemss sellinen C R, että n C kikill n lhlt rjoitettu, jos on olemss sellinen c R, että n c kikill n rjoitettu, jos se on sekä ylhäältä että lhlt rjoitettu nousev, jos n+1 n kikill n lskev, jos n+1 n kikill n monotoninen, jos se on nousev ti lskev jksollinen, jos on olemss sellinen k N, että n+k = n kikill n. 9.3 Lukujonon suppeneminen Lukujono ( n ) suppenee kohti rj-rvo L, jos lusekkeen n L rvo lähestyy noll, kun n ; täsmällisemmin: jokist ε > 0 vst sellinen indeksi n ε N, että n L ε in kun n n ε. Tällöin merkitään lim n n = L. Jos lukujono ei suppenee, niin se hjntuu. Suppenevien jonojen ominisuuksi: suppenev jono on rjoitettu jos lim n n = j lim n b n = b, niin lim n ( n + b n ) = + b, lim n ( n b n ) = b, lim n (c n ) = c, lim n ( n /b n ) = /b, jos b 0 (jolloin myös b n 0 jostkin indeksistä lken). 22
Esimerkkejä: Geometrinen jono (q n ) suppenee, jos suhdeluku 1 < q 1, jolloin sen rj-rvo on joko 0 ti 1. Muiss tpuksiss geometrinen jono hjntuu. Jonon suppenemist kohti noll voi tutki lusekkeen n+1 / n vull: jos jostkin indeksistä lken on n+1 / n q, joss 0 q < 1, niin lim n n = 0. Suppiloperite: Jos n b n c n jostkin indeksistä lken j lim n = lim c n, n n niin jono (b n ) suppenee j lim n b n = lim n n. lim n n = 1, kun > 0 lim n n n = 1 lim n ( 1 + 1 n) n = e = Neperin luku 2,7182818... Tähän pltn myöhemmin. Seurvist ominisuuksist ensimmäinen on ksiom, ominisuus jot ei todistet, vn se otetn päättelyn lähtökohdksi. Jälkimmäinen ominisuus seur ensimmäisestä trkstelemll sm jono vstkkisell etumerkillä. Nousev j ylhäältä rjoitettu jono suppenee. Lskev j lhlt rjoitettu jono suppenee. Reliluvull trkoitetn desimliluku n,d 1 d 2..., joss kokonisos n on kokonisluku j desimlit d 1, d 2, {0, 1, 2,..., 9}. Edellisestä kohdst seur, että tällinen luku on järkevä käsite monotonisen rtionlilukujonon rj-rvoksi tulkittun. Krenpituus yksikköympyrällä x 2 + y 2 = 1 määritellään seurvll tvll: jetn tutkittv kri tsvälisesti 2 n :ään osn j lsketn vstvn murtoviivn pituus n. Näin sdn nousev j ylhäältä rjoitettu jono, jonk rj-rvo on kyseessä olevn kren pituus. Määritelmä: Luku π on yksikköympyrän puolikkn krenpituus. Krenpituuden vull määritellään kulmn yksikkö rdini (lyh. rd), jok on dimensioton. Trigonometriset funktiot sin x j cos x määritellään yksikköympyrän krenpituuden vull kikille x R. Myös käsitteet lim n = j lim n = voidn määritellä tsmällisesti. n n Esimerkiksi lim n = jokist luku M vst sellinen indeksi n M, n että n M in kun n n M. Tällöin snotn, että jono hjntuu kohti ääretöntä (ti vst. ääretöntä). 23
9.4 Jtkuvuus j jonot Funktion jtkuvuus voidn määritellä myös jonojen vull. Seurv määritelmä on yhtäpitävä kurssin luss esitetyn ε δ-määritelmän knss. Jos f : A B j A, niin funktio f on jtkuv pisteessä, kun pätee: Jos jonolle ( n ) on voimss n A kikill n j lim n n =, niin silloin lim n f( n ) = f(). Lyhyesti kirjoitettun jtkuvuus trkoitt yhtälöä 10 Srjt 10.1 Srjn suppeneminen lim f( n) = f( lim n ). n n Tässä luvuss tutkimme kysymystä, kuink voidn lske yhteen ääretön määrä lukuj. Kosk tätä ei void käytännössä tehdä "yhdellä kert", niin ongelm lähestytään rj-rvon kutt. Lukujonost ( n ) n N voidn muodost sen ossummien jono (s n ): s 1 = 1, s 2 = 1 + 2, s 3 = 1 + 2 + 3,..., s n = n k. Jos ossummien jonoll (s n ) on rj-rvo s R, niin snotn, että jonost ( k ) muodostettu srj suppenee j sen summ on s. Tällöin merkitään k = s. Jos srj ei suppene, niin se hjntuu. Huomutuksi: Ossummt indeksöidään smll tvll kuin jono ( k ); esim. jonon ( k ) k=3 ossummt ovt s 3 = 3, s 4 = 3 + 4 jne. Suppenevn srjn voidn tehdä summusindeksin siirtoj: esim. Geometrinen srj summ on k = k+1 = k=0 k 1. k=2 q k suppenee, jos q < 1 (ti = 0), jolloin sen k=i qi. Jos q 1, niin srj hjntuu. 1 q 24
Suppenevien srjojen ominisuuksi: ( k + b k ) = k + b k (c k) = c k, jos c R jos k suppenee, niin lim k k = 0; ts. jos lim k k 0, niin srj k hjntuu. Esimerkki. Hrmoninen srj hjntuu, vikk srjn yleisen termin rj-rvo on noll. 10.2 Positiiviset srjt 1 k Srj p k on positiivinen (ti positiiviterminen), jos p k 0 kikill k. Positiivisille srjoille suppenemisen tutkiminen on suorviivist: Positiivinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono on ylhäältä rjoitettu. Syy: Positiivisen srjn ossummien jono on nousev. Esimerkiksi srj 1 k 2 suppenee, kosk s n < 2 kikill n (luennot). Srj k suppenee itseisesti, jos vstv positiivinen srj k suppenee. Pätee: srjn itseisestä suppenemisest seur (tvllinen) suppeneminen, j tällöin k k. 10.3 Suppenemistestejä Yleistyksenä sdn ns. mjorntti- j minornttiperitteet: Jos k p k j p k suppenee, niin myös k suppenee. Jos 0 p k k j p k hjntuu, niin myös k hjntuu. Käytännössä tärkein tp suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. suhdetestiin, joss srjn termejä verrtn sopivn geometriseen srjn: 25
Jos jostkin indeksistä lken on voimss k+1 k Q < 1, niin srj k suppenee (j "suppenemisnopeus" vst geometrist srj Q k ti on vieläkin suurempi). Edellisen kohdn käytännöllisempi versio on: Jos on olemss rj-rvo lim k+1 k k = q, niin srj suppenee, jos 0 q < 1, k hjntuu, jos q > 1, voi oll suppenev ti hjntuv, jos q = 1. Viimeisessä kohdss ei siis sd mitään tieto suppenemisest. 10.4 Vuorottelevt srjt* Jos p k > 0 kikill k, niin muoto ( 1) k+1 p k olev srj on vuorottelev. ti ( 1) k p k Suhdetestin lisäksi vuorottelevn srjn suppenemist voidn tutki Leibnizin luseen vull: Jos vuorottelevss srjss ( 1)k+1 p k pätee (i) p k+1 < p k, j (ii) lim p k = 0, niin srj suppenee. Jos lisäksi srj ktkistn kohdst n, niin vstvlle jäännöstermille r n+1 = s s n = k=n+1 ( 1) k+1 p k on voimss r n+1 < p n+1. ( 1) k+1 Leibnizin luseen perusteell esim. srj k ikisemmn perusteell se ei suppene itseisesti. suppenee, vikk 10.5 Potenssisrjt Tämän jälkeen onkin hyvä käydä uudelleen läpi potenssisrjoj koskevt sit kohdst 3.2. 26