ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 21. marraskuuta 2016
Tasoaaltojen heijastus ja läpäisy (Ulaby 8.1 8.5) Kohtisuora heijastus ja läpäisy Tehon heijastus ja läpäisy Snellin laki Kokonaisheijastus Tulotaso ja ominaispolarisaatiot Fresnelin kertoimet Brewsterin kulma 2 (22)
Tasoaallon kohtisuora heijastus x Aineessa 1 on tuleva (i) ja heijastunut (r) aalto Ẽ i Ẽ t Ẽ i + Ẽ r = x E i 0 e jk 1z + x E r 0 e+jk 1z H i Ẽ r k i H t k t z Aineessa 2 on läpäissyt aalto (t) Ẽ t = x E t 0 e jk 2z k r H r aine 1 (ε 1, µ 1 ) aine 2 (ε 2, µ 2 ) Ẽ:n referenssisuunta säilyy Ẽ:n tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnalla z = 0 E i 0 + Er 0 = Et 0 3 (22)
Heijastus- ja läpäisykertoimet H:n tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnalla z = 0 H i 0 Hr 0 = Ht 0 Ei 0 η 1 Er 0 η 1 = Et 0 η 2 = Ei 0 η 2 + Er 0 η 2 Eliminoimalla E0 t tai Er 0 saadaan heijastus- ja läpäisykertoimet Γ = Er 0 E i 0 = η 2 η 1 η 2 + η 1, τ = Et 0 E i 0 = 1 + Γ η i = µi ε i (Tämä pätee myös häviöllisessä tapauksessa, mutta silloin väliaineimpendanssi on kompleksinen.) [Notaatiosta: η on kreikkalainen eeta (η n)] 4 (22)
Heijastus johteesta (aine 1 = ilma, aine 2 = johde) Ideaalijohteessa sähkökenttä on nolla, joten selvästi E t 0 = 0, Er 0 = Ei 0, Γ = 1, τ = 0 Tämä pätee likimain myös hyvälle johteelle, jos johteen kompleksinen väliaineimpedanssi η c (1 + j) πf µ σ on riittävän pieni eli η c η 0 377 Ω. 5 (22)
Tehon heijastus ja läpäisy Teho on verrannollinen Ẽ 2 ja heijastunut aalto etenee samassa aineessa kuin tuleva aalto, joten tehon heijastuskerroin on R = Γ 2 = heijastuvuus Läpäissyt aalto etenee eri aineessa, mutta tehon säilymisen takia voidaan tehon läpäisykertoimeksi kirjoittaa T = 1 R = läpäisevyys (Toki tämän voi johtaa kenttien avulla hieman pidemmän kaavan mukaan, kuten oppikirjan kappaleessa 8-5.) 6 (22)
Siirtojohtoanalogia Kohtisuoran heijastuksen tapauksessa tasoaaltojen ja siirtojohtojen välillä on yksi yhteen vastaavuus: E 0 V 0 H 0 I 0 k β η Z 0 Esim: Heijastus monikerrosrakenteesta voidaan ratkaista käyttämällä sisäänmenoimpedanssin kaavaa [Luento 7, kalvo 23] toistuvasti. (Vinon heijastuksen tapauksessa analogia on hieman monimutkaisempi, eikä sitä käsitellä tällä kurssilla.) 7 (22)
Vino heijastus 8 (22)
Vino heijastus k i x k t k r θ r θ t θ i z aine 1 aine 2 θ i = tulokulma θ r = heijastuskulma θ t = läpäisykulma Tuleva, heijastunut ja läpäissyt aalto: Ẽ i = E i e jk 1(x sin θ i +z cos θ i ) Ẽ r = E r e jk 1(x sin θ r z cos θ r ) Ẽ t = E t e jk 2(x sin θ t +z cos θ t ) Rajapinnalla sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva ẑ (Ẽi + Ẽ r) = ẑ Ẽ t, kaikilla x, kun z = 0. 9 (22)
Vaihesovitusehto ja Snellin lait Jatkuvuusehtona vaaditaan kaikilla x, että ẑ E i e jk 1x sin θ i + ẑ E r e jk 1x sin θ r = ẑ E t e jk 2x sin θ t. Tämä on mahdollista jos ja vain jos k 1 sin θ i = k 1 sin θ r = k 2 sin θ t (vaihesovitusehto) mistä seuraa θ i = θ r, n 1 sin θ i = n 2 sin θ t (Snellin lait) missä n i = µ ri ε ri on aineen i = 1, 2 taitekerroin. [Notaatiosta: n on tavallinen än-kirjain (n η).] 10 (22)
Kokonaisheijastus Jos n 1 > n 2, löytyy tulokulma θ i = θ c, jolla θ t = π/2: n 1 sin θ c = n 2 sin π 2 sin θ c = n 2 n 1 Jos θ i > θ c, tapahtuu kokonaisheijastus (100% tehosta heijastuu) ja θ c on kokonaisheijastuksen rajakulma. Rajapinta ei kuitenkaan ole ideaalisen ohut peili, vaan läpäissyt aalto on olemassa aineessa 2. Snellin laki toimii tässäkin tapauksessa, mutta läpäisykulman tulkinta on haastavampi. 11 (22)
Kokonaisheijastus Valitaan esimerkiksi n 1 = 2, n 2 = 1 ja θ i = π/3 > θ c = π/4, jolloin Snellin laki antaa θ t π/2 ± j 0.658. [Suunta??] Toisaalta sin θ t = n 1 n 2 sin θ i = 3 2, cos θ t = ± 1 sin 2 θ t = j 1, 2 joten (kun valittiin miinusmerkki) saadaan Ẽ t = E t e jk 2(x sin θ t +z cos θ t ) = E t e j ( k 2 3/2 ) x e (k 2 / 2)z, joka on epähomogeeninen tasoaalto, joka etenee +x-suuntaan etenemiskertoimella β = k 2 3/2 ja vaimenee +z-suuntaan vaimennuskertoimella α = k 2 / 2. (Kulmien sijaan olisi kenties ollut parempaa käsitellä kompleksista aaltovektoria k t = β x jα ẑ, k t k t = k 2 2 ja β = x k i.) 12 (22)
Tulotaso ja ominaispolarisaatiot Ẽ i x aine 1 aine 2 z θ i Kuvassa zx-taso on tulotaso, ja tuleva aalto jaetaan tason suhteen kahteen komponenttiin: Kohtisuorapolarisaatio Ẽ i (TE = Transverse Electric) Ẽ i k i Yhdensuuntaispolarisaatio Ẽ i (TM = Transverse Magnetic) Mikä tahansa tasoaalto voidaan jakaa TE- ja TM-osaan. Ominaispolarisaatiot TE ja TM säilyvät heijastuksessa ja läpäisyssä. 13 (22)
Kohtisuorapolarisaatio (TE) x H r k t Tuleva aalto: k r Ẽ i Ẽ t Ẽ r θ r θ t θ i k i H i aine 1 aine 2 H t z Ẽ i = ŷ Ei 0 e jk 1 k i R H i = ( x cos θ i + ẑ sin θ i ) Ei 0 η 1 e jk 1 k i R Kaikilla aalloilla on sama vaihetekijä (e j... ) rajapinnalla ( Snellin laki). Ẽ:n referenssisuunta säilyy 14 (22)
Kohtisuorapolarisaatio (TE) Ẽ:n tangentiaalikomponetti (y-komponentti) on jatkuva E i 0 + Er 0 = Et 0 H:n tangentiaalikomponetti (x-komponentti) on jatkuva cos θ i E i 0 η 1 + cos θ i E r 0 η 1 = cos θ t E t 0 η 2 Eliminoimalla E 0 t tai Er 0 saadaan heijastus- ja läpäisykertoimet, eli Fresnelin kertoimet: Γ = Er 0 E i 0 = η 2/ cos θ t η 1 / cos θ i η 2 / cos θ t + η 1 / cos θ i, τ = Et 0 E i 0 = 1 + Γ (Tulkinta: η/ cos θ = kohtisuora impedanssi = Ẽ y / H x ) 15 (22)
Yhdensuuntaispolarisaatio (TM) x k r Ẽ r Ẽ t k t Tuleva aalto: Ẽ i = ( x cos θ i ẑ sin θ i ) H r θ r θt H t z E i 0 e jk 1 k i R Ẽ i θ i k i H i = ŷ Ei 0 η 1 e jk 1 k i R H i aine 1 aine 2 Ẽ:n referenssisuunta säilyy (kun θ i 0) Kaikilla aalloilla on sama vaihetekijä (e j... ) rajapinnalla ( Snellin laki). 16 (22)
Yhdensuuntaispolarisaatio (TM) Ẽ:n tangentiaalikomponetti (x-komponentti) on jatkuva E i 0 cos θ i + E r 0 cos θ r = E t 0 cos θ t H:n tangentiaalikomponetti (y-komponentti) on jatkuva E i 0 η 1 E r 0 η 1 = E t 0 η 2 Eliminoimalla E 0 t tai Er 0 saadaan heijastus- ja läpäisykertoimet, eli Fresnelin kertoimet: Γ = Er 0 E i 0 = η 2 cos θ t η 1 cos θ i η 2 cos θ t + η 1 cos θ i, τ = E t 0 E 0 i = ( 1 + Γ ) cos θ i cos θ t (Tulkinta: η cos θ = kohtisuora impedanssi = Ẽ x / H y ; toimii heijastuskertoimelle muttei läpäisykertoimelle) 17 (22)
Esimerkki (jossa µ = µ 0 ) Heijastuskerroin Γ 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 Dielektriset aineet, TE tai TM ja eri ǫ 1 /ǫ 2 TE, 2/1 TE, 1/3 TM, 2/1 TM, 1/3 0.6 0.8 1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Tulokulma θ i (Huomaa erityisesti kohdat, jossa Γ = 0 tai Γ = 1)
Brewsterin kulma θ B Määritelmä: Brewsterin kulma on tulokulma, jolla heijastuskerroin on nolla. Jos molemmat aineet (1 ja 2) ovat ideaalieristeitä, saadaan Γ = 0 ja Snellin laki k r k t, tan θ B = n 2 n 1 (θ B vaatisi µ 1 µ 2, joten useimmiten Brewsterin kulma löytyy vain yhdensuuntaispolarisaatiolle.) 19 (22)
TE-polarisaation sähkökenttä E y (t) ε r1 = 1, ε r2 = 3, θ i = 60, θ t = 30, Γ = 1/2, τ = 1/2 ωt = 0
TM-polarisaation magneettikenttä H y (t) ε r1 = 1, ε r2 = 3, θ i = 60, θ t = 30, Γ = 0, τ = 1/ 3 ωt = 0
TE-polarisaation sähkökenttä E y (t) ε r1 = 2, ε r2 = 1, θ i = 50 > θ c = 45, Γ = 1 49.3, τ = 1.82 24.6 ωt = 0