S-38.145 Liikeeteoria perusteet K-99 lect8.ppt 1 Sisältö Johdato Prosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 2 1
Mitä simuloiti o? Simuloiti o (liikeeteoria kaalta) eräs tilastollie meetelmä tarkasteltava järjestelmä suorituskyvy arvioimiseksi Se sisältää eljä eri vaihetta järjestelmä (olemassa oleva tai kuvitteellise) mallius dyaamisea (ajassa kehittyvää) stokastisea prosessia prosessi reaalisaatioide tuottamie ( todellisuude havaioiti ) tietoje keruu ( mittaus ) kerättyje tietoje tilastollie aalyysi ja johtopäätöste teko Aiemmi olemme jo tutustueet toisee suorituskyvy arvioitimeetelmää, imittäi matemaattisee aalyysíi Se sisältää vai kaksi vaihetta järjestelmä mallius ajassa kehittyvää stokastisea prosessia (tässä kurssissa rajoituimme sytymä-kuolema-prosesseihi) malli aalyyttie ratkaisu Järjestelmä malliusvaihe o kummalleki yhteie tosi malli tarkkuudella voi olla suuriaki eroja: toisi kui simuloiti, matemaattie aalyysi edellyttää yleesä hyviki rajoittavie oletuste tekoa 3 Liikeeteoreettise järjestelmä suorituskyvy arvioiti Todellie järjestelmä Matemaattie malli (stokastisea prosessia) mallius ja malli validioiti Suorituskyvy arvioiti Matemaattie aalyysi Simuloiti 4 2
Suorituskyvy arvioiti: aalyysi vs. simuloiti Matemaattise aalyysi haitat Asettaa rajoittavia ehtoja malliuksee => malli yleesä liia yksikertaie => moimutkaiste järjestelmie suorituskyvy arvioiti lähes mahdotota Rajoittavie ehtojeki vallitessa aalyysi itsessää yleesä vaikeaa Matemaattise aalyysi edut Tuloste tuottamie opeaa Tulokset tarkkoja Ataa äkemystä Optimoiti usei mahdollista (vaikkaki saattaa olla vaikeaa) Simuloii edut Ei rajoittavia ehtoja malliusvaiheessa => mahdollistaa moimutkaisteki järjestelmie suorituskyvy arvioii Mallius yleesä hyvi suoraviivaista Simuloii haitat Tuloste tuottamie yleesä työlästä (simuloitiajot vaativat paljo prosessoriaikaa) Tulokset epätarkkoja (tosi tarketuvia: mitä eemmä ajoja, sitä tarkemmat tulokset) Kokoaisäkemykse saamie vaikeampaa Optimoiti mahdollista vai hyvi rajoitetusti (esim. muutama erilaise parametrikombiaatio tai ohjausperiaattee vertailu) 5 Stokastise prosessi simuloii vaiheet Järjestelmä mallius ajassa kehittyvää stokastisea prosessia tästä o jo puhuttu kurssi aiemmilla lueoilla jatkossa otamme lähtökohdaksi aetu malli (so. stokastise prosessi) lisäksi rajoitamme tarkastelu tällä lueolla yksikertaisii liikeeteoreettisii malleihi (vrt. aiemmat lueot) Prosessi reaalisaatioide tuottamie satuaislukuje geeroiti tapahtumaohjattu simuloiti usei simuloiilla tarkoitetaa pelkästää tätä vaihetta (liikeeteoria kaalta se o kuiteki simuloitia suppeammassa mielessä) Tietoje keruu trasietti vaihe vs. tasapaiotila Tilastollie aalyysi ja johtopäätökset piste-estimaattorit luottamusvälit 6 3
Simuloii toteutus Simuloitiohjelma sisältää yleesä kaikki edellä maiitut vaiheet malliusta ja johtopäätöksiä lukuuottamatta, ts. järjestelmä malliksi valitu stokastise prosessi reaalisaatioide tuottamise, tietoje keruu sekä kerättyje tietoje tilastollise aalyysi Simuloitiohjelma voidaa toteuttaa kokoaisuudessaa jollaki yleiskäyttöisellä ohjelmoitikielellä, esim. C tai C++, käyttäe hyväksi joitaki simuloitii erikoistueita ohjelmakirjastoja, esim. CNCL (Commuicatio Networks Class Library, C++) erityisesti simuloiteja varte kehitetyillä simuloitiohjelmistoilla, esim. OPNET (OPtimized Network Egieerig Tool) Esiksi maiittu o tietysti joustavi mutta vaatii eite työtä samalla se o tietysti hyvi riskialtista mahdollisille ohjelmoitivirheille => vaatii erittäi huolellise simuloitiohjelma verifioii Vastaavasti viimeksi maiittu ataa raamit, joide mukaa o elettävä, mutta tarjoaa samalla paljo valmista koodia opeuttae site työsketelyä huomattavasti samalla myös mahdolliste ohjelmoitivirheide riski pieeee (olettae, että käytetty simuloitiohjelmisto o riittävä luotettava) 7 Muita simuloiteja Edellä kuvattu: mite simuloidaa tarkasteltavaa järjestelmää kuvaava matemaattise malli (diskreettitilaise stokastise prosessi) kehitystä ajassa tavoittea saada jotai tietoa ko. systeemi trasietista tai s. tasapaiotilaa (steady state) liittyvästä käyttäytymisestä kyseessä diskreetti, dyaamie ja stokastie simuloiti jatkossa rajoitumme tällaisee simuloitii Muita simuloititapoja: jatkuvassa simuloiissa tila-avaruus o jatkuva (tilamuuttujie riippuvuudet aetaa yleesä diffretiaaliyhtälösysteemiä), esim. letokoee letorada simuloiti staattisessa simuloiissa (josta käytetää myös imeä Mote-Carlo-tyyppie simuloiti) aja kulumisella ei ole merkitystä (ei ole olemassa prosessia, jota luoehtisi erilaiset tapahtumat), esim. moiulotteiste itegraalie umeerie itegroiti s. Mote-Carlo-meetelmällä determiistie simuloiti ei taas sisällä ollekaa satuaisia kompoetteja 8 4
Sisältö Johdato Prosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 9 Prosessi reaalisaatioide tuottamie Oletetaa, että olemme mallitaeet tarkasteltava järjestelmä stokastisea prosessia Seuraavaa tehtävää o prosessi reaalisaatioide tuottamie (eli järjestelmä simuloiti suppeassa mielessä). Se koostuu kahdesta osasta: kaikille prosessi kulkuu vaikuttaville satuaismuuttujille o arvottava arvot (yleesä reaaliluku) satuaisesti ko. sm: jakaumasta (sm:ie väliset riippuvuudet tietysti huomioide) äi saaduilla arvoilla kostruoidaa prosessi reaalisaatio ts. se kehittymie ajassa Simuloiissa ämä kaksi osaa eivät suikaa tapahdu peräkkäi eri vaiheissa, vaa imeomaa limittäi: välillä o siis arvottava jolleki satuaismuuttujalle arvo, jota sitte käytetää (yhdessä aiemmi arvottuje sm:ie kassa) prosessi reaalisaatio kostruoitii jollaki lyhyehköllä aikavälillä simuloii ykyhetkestä eteepäi Satuaismuuttujie arvoje arvota perustuu s. (pseudo)satuaislukuje geeroitii Prosessi reaalisaatio kostruoiti tehdää yleesä tapahtumapohjaisesti (discrete evet simulatio) 10 5
Tapahtumapohjaie simuloiti (1) Idea: simuloiti eteee tapahtumasta tapahtumaa jos jollaki aikavälillä ei tapahdu mitää, voimme hypätä ko. aikaväli yli Tapahtuma vastaa (yleesä) aia systeemi tila muuttumista esim. yksikertaisessa liikeeteoreettisessa mallissa mahdollisia tapahtumia ovat aiaki asiakkaide saapumiset ja poistumiset systeemistä prosessi reaalisaatio geeroii lopetus o kuiteki oma tapahtumasa samoi tietoje keruu voi aiheuttaa joitaki ylimääräisiä tapahtumia Tapahtuma karakterisoidaa kahdella parametrilla tapahtumahetki (so. milloi tapahtuma käsitellää) ja tapahtuma tyyppi (so. mite tapahtuma käsitellää) Tapahtumat orgaisoidaa yleesä tapahtumahetke mukaa järjestetyksi tapahtumalistaksi (evet list), joka kärjessä o seuraavaksi sattuva tapahtuma (siis piei tapahtumahetki) Listaa käydää läpi tapahtuma tapahtumalta (geeroide samalla uusia tapahtumia lista loppupäähä). Ku tapahtuma o käsitelty, se poistetaa listalta. Simuloitikello kertoo, mikä o käsiteltävää oleva tapahtuma hetki Se siis eteee hyppäyksittäi 11 Tapahtumapohjaie simuloiti (2) 1. Iitialisoiti aseta simuloitikello ollaksi aseta systeemi tila valittuu alkuarvoosa geeroi kuki tapahtumatyypi seuraava tapahtuma (mikäli mahdollista) ja liitä äi saadut tapahtumat tapahtumalistaa 2. Tapahtuma käsittely aseta simuloitiajaksi (tapahtumalista kärjessä oleva) seuraava tapahtuma tapahtumahetki käsittele tapahtuma (mahdollisesti geeroide samalla uusia tapahtumia ja liittäe e tapahtumalistaa tapahtumahetkesä mukaisee järjestyksee) sekä päivitä systeemi tila poista käsitelty tapahtuma tapahtumalistalta 3. Lopetusehto jos lopetusehto o voimassa, lopeta prosessi reaalisaatio geeroiti; muutoi palaa kohtaa 2 12 6
Esimerkki: M/M/1- FIFO joo simuloiti Simuloidaa M/M/1-joo joopituude kehitystä ajassa hetkestä 0 hetkee T olettae, että systeemi o tyhjä hetkellä 0. Systeemi tilaa hetkellä t kuvaa siis joopituus X t. Tapahtumia ovat asiakk. saapumiset ja poistumiset sekä simuloii lopetus Iitialisoiti: asetetaa X 0 = 0 arvotaa esimmäise asiakkaa saapumishetki Exp(λ)-jakaumasta Tapahtuma käsittely uude asiakkaa saapuessa (hetkellä t) systeemi tilaa eli joopituutta kasvatetaa yhdellä: X t = X t + 1 jos systeemi oli tyhjä asiakkaa saapuessa, geeroidaa ko. asiakkaa poistumishetki t + S, missä S o ko. asiakkaa palveluaika (arvottu Exp(µ)-jakaumasta) geeroidaa seuraava asiakkaa saapumishetki t + I, missä I o saapumiste väliaika (arvottu Exp(λ)-jakaumasta) Tapahtuma käsittely asiakkaa poistuessa (hetkellä t) systeemi tilaa eli joopituutta väheetää yhdellä: X t = X t - 1 jos systeemii jäi asiakkaita, geeroidaa seuraavaksi palveltava asiakkaa poistumishetki t + S, missä S o ko. asiakk. palveluaika (arvottu Exp(µ)-jakaumasta) Lopetusehto: t > T 13 Joopituude kehitys M/M/1-FIFO joossa tapahtumie geeroiti aika asiakkaide saapumis- ja poistumishetket joopituus 4 3 2 1 0 aika 0 T 14 7
Sisältö Johdato Prosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 15 Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Pohjaa s. (pseudo)satuaislukuje geeroiti tavoitteea o tuottaa riippumattomia Tas(0,1)-jakautueita satuaismuuttujia Haluttuu jakaumaa päästää Tas(0,1)-jakaumasta esimerkiksi jollaki seuraavista meetelmistä: diskretoiti (=> Beroulli(p), Bi(,p), Poisso(a), Geom(p)) uudellee skaalaamalla (=> Tas(a,b)) kertymäfuktio kääös (=> Exp(λ)) muut muuokset (=> N(0,1) => N(µ,σ 2 )) Huom. Rajoitetulla välillä määriteltyä mielivaltaista jatkuvaa jakaumaa (jolla rajoitettu tiheysfuktio) oudattava sm voidaa aia geeroida s. hylkäysmeetelmällä (rejectio method) kahdesta riippumattomasta tasaista jakaumaa oudattavasta sm:sta 16 8
Satuaislukuje geeroiti Satuaislukugeeraattorilla tarkoitetaa algoritmia, joka tuottaa sarja (äeäisesti) satuaisia kokoaislukuja Z i jollaki välillä 0,1,,m-1 tuotettu sarja o aia jaksollie (tavoitteea mahdollisimma pitkä jakso) geeroidut luvut eivät tiukasti ottae ole ollekaa satuaisia vaa determiistisiä (siis pseudosatuaisia) käytäössä homma kuiteki toimii, kuha luvut geeroidaa huolella Satuaislukugeeraattori geeroimie satuaislukuje satuaisuus o testattava tilastollisi testei saadu empiirise jakauma tasaisuus joukossa {0,1,,m-1} geeroituje satuaislukuje välie riippumattomuus (käytäössä korreloimattomuus) Yksikertaisimpia ovat s. lieaariset kogruetiaaliset geeraattorit (liear cogruetial geerator). Näistä erikoistapauksea saadaa s. multiplikatiiviset kogruetiaaliset geeraattorit (multiplicative cogruetial geerator). Kummassaki tapauksessa uusi satuaisluku määräytyy algoritmisesti välittömästi edellisestä, ts. Z i+1 = f(z i ) (=> jakso korkeitaa m). Muita meetelmiä: additive cogruetial geerators, sekoitukse lisäys geeraattorii (shufflig), salausalgoritmie hyödytämie,... 17 Liear cogruetial geerator (LCG) Lieaarie kogruetiaalie satuaislukugeeraattori tuottaa satuaisia kokoaislukuja Z i joukosta {0,1,,m-1} seuraavalla kaavalla: Zi + 1 = ( azi + c) mod m Tällaie geeraattori siis määritellää atamalla parametrit a, c ja m Lisäksi tarvitaa s. siemeluku Z 0 Parametrit o valittava huolella; muutoi tuloksea kaikkea muuta kui satuaisia lukuja Tietyi edellytyksi jaksoksi saadaa maksimiarvo m esim. m muotoa 2^b, c parito, a muotoa 4*k +1 18 9
Multiplicative cogruetial geerator (MCG) Multiplikatiivie kogruetiaalie satuaislukugeeraattori tuottaa satuaisia kokoaislukuja Z i joukosta {0,1,,m-1} seuraavalla kaavalla: Zi + 1 = ( azi ) mod m Kyseessä o siis LCG: erikoistapaus valialla c = 0. Tällaie geeraattori määritellää atamalla parametrit a ja m Lisäksi tarvitaa siemeluku Z 0 Parametrit o tässäki tapauksessa valittava huolella; muutoi tuloksea kaikkea muuta kui satuaisia lukuja Valialla m = 2^b (millä tahasa b) jaksoksi saadaa korkeitaa 2^(b-2) Parhaimmillaa jaksoksi saadaa kuiteki m - 1 esim. m alkuluku (prime) ja a valitaa sopivasti 19 Tas(0,1)-jakautuee sm: geeroiti Jos (pseudo)satuaislukugeeraattori tuottaa (pseudo)satuaise kokoaisluvu I joukosta {0,1,,M-1}, ii ormeerattu muuttuja U = I/M oudattaa likimai Tas(0,1)-jakaumaa 20 10
Diskreeti sm: geeroiti Olk. U ~ Tas(0,1) Olk. X diskreetti sm arvojoukolla S = {0,1,2,,} tai S = {0,1,2,...} Merk. F(i) = P{X i} Tällöi sm Y, missä Y = mi{ i S F( i) U} oudattaa samaa jakaumaa kui X (Y ~ X). Tätä kutsutaa diskretoitimeetelmäksi. Itse asiassa kyseessä o diskreeti jakauma kertymäfuktio kääös Esim. Beroulli(p)-jakauma: Y = U p U p = 0, 1 1{ > 1 } 1, U > 1 p 21 Tasajakautuee sm: geeroiti Olk. U ~ Tas(0,1) Tällöi X = a + (b - a)u ~ Tas(a,b) Mielivaltaisee tasajakaumaa päästää siis skaalauksella 22 11
Kertymäfuktio kääös -meetelmä Olk. U ~ Tas(0,1) Olk. X jatkuva sm arvojoukolla S = [0, ) Oletetaa, että X: kf F(x) = P{X x} o aidosti kasvava, jolloi sillä o kääteisfuktio F -1 (y) Tällöi sm Y, missä Y = F 1 ( U) oudattaa samaa jakaumaa kui X (Y ~ X). Tätä kutsutaa kertymäfuktio kääös -meetelmäksi (iverse trasformatio) Todistus: Koska P{U z} = z kaikilla z välillä [0,1], ii pätee 1 P{ Y x} = P{ F ( U) x} = P{ U F( x)} = F( x) Näi olle Y ~ X. 23 Ekspoetiaalise sm: geeroiti Olk. U ~ Tas(0,1) Olk. X ~ Exp(λ) X: kf F(x) = P{X x} = 1 - exp(-λx) o aidosti kasvava, jote sillä o kääteisfuktio F -1 (y) = -(1/λ) l(1 - y) Koska U ~ Tas(0,1), myös 1 - U ~ Tas(0,1) Näi olle (kertymäfuktio kääös -meetelmä mukaa) Y = 1 F ( 1 U ) = ( 1/ λ )l( U ) oudattaa samaa jakaumaa kui X, ts. Y ~ Exp(λ). 24 12
Normaalijakautuee sm: geeroiti Olk. U ja V riippumattomia Tas(0,1)-jakautueita sm:ia Ns. Box-Müller -meetelmä mukaa sm:t X ja Y, missä X = 2l( U) si( 2πV) Y = 2l( U) cos( 2πV) ovat riippumattomia N(0,1)-jakautueita sm:ia Mielivaltaisee ormaalijakaumaa päästää skaalaamalla: µ + σx ~ N(µ,σ 2 ) 25 Hylkäysmeetelmä (1) Oletetaa, että sm: X tiheysfuktio f(x) o aettu. Valitaa referessifuktio g(x) site, että g(x) f(x) kaikilla x. Lisäksi vaaditaa, että g rajoittaa äärellise pita-ala ja että g: määrätty itegraali ja se kääteisfuktio ovat aalyyttiset g ( t) dt = A < G(x) = g( t) dt Arvotaa tasajakautuut sm U ~ Tas(0,A) Asetetaa Y=G -1 (U) Arvotaa tasajakautuut sm V ~ Tas(0,1) Hyväksytää Y, jos f(x)/g(x)<v, hylätää Y muutoi Hyväksyttyje sm:ie Y joukko o jakautuut kute X x 26 13
290 Chapter 7. Radom Numbers } } while (rsq >= 1.0 rsq == 0.0); ad if they are ot, try agai. fac=sqrt(-2.0*log(rsq)/rsq); Now make the Box-Muller trasformatio to get two ormal deviates. Retur oe ad save the other for ext time. gset=v1*fac; iset=1; Set ag. retur v2*fac; } else { We have a extra deviate hady, iset=0; so uset the ag, retur gset; ad retur it. } See Devroye [1] ad Bratley [2] for may additioal algorithms. CITED REFERENCES AND FURTHER READING: Devroye, L. 1986, No-Uiform Radom Variate Geeratio (New York: Spriger-Verlag), x9.1. [1] Bratley, P., Fox, B.L., ad Schrage, E.L. 1983, A Guide to Simulatio (New York: Spriger- Verlag). [2] Kuth, D.E.1981, Semiumerical Algorithms, 2d ed.,vol.2of The Art of Computer Programmig (Readig, MA: Addiso-Wesley), pp. 116ff. 7.3 Rejectio Method: Gamma, Poisso, Biomial Deviates The rejectio method is a powerful, geeral techique for geeratig radom deviates whose distributio fuctio p(x)dx (probabilityof a value occurrig betwee x ad x + dx) is kow ad computable. The rejectio method does ot require that the cumulative distributio fuctio [idefiite itegral of p(x)] be readily computable, much less the iverse of that fuctio which was required for the trasformatio method i the previous sectio. The rejectio method is based o a simple geometrical argumet: Draw a graph of the probability distributio p(x) that you wish to geerate, so that the area uder the curve i ay rage of x correspods to the desired probability of geeratig a x i that rage. If we had some way of choosig a radom poit i two dimesios, with uiform probability i the area uder your curve, the the x value of that radom poit would have the desired distributio. Now, o the same graph, draw ay other curve f(x) which has fiite (ot ifiite) area ad lies everywhere above your origial probability distributio. (This is always possible, because your origial curve ecloses oly uit area, by defiitio of probability.) We will call this f(x) the compariso fuctio. Imagie ow that you have some way of choosig a radom poit i two dimesios that is uiform i the area uder the compariso fuctio. Wheever that poit lies outside the area uder the origial probability distributio, we will reject it ad choose aother radom poit. Wheever it lies iside the area uder the origial probability distributio, we will accept it. It should be obvious that the accepted poits are uiform i the accepted area, so that their x values have the desired distributio. It Sample page from NUMERICAL RECIPES IN C: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN 0-521-43108-5) Copyright (C) 1988-1992 by Cambridge Uiversity Press. Programs Copyright (C) 1988-1992 by Numerical Recipes Software. Permissio is grated for iteret users to make oe paper copy for their ow persoal use. Further reproductio, or ay copyig of machiereadable files (icludig this oe) to ay server computer, is strictly prohibited. To order Numerical Recipes books, diskettes, or CDROMs visit website http://www.r.com or call 1-800-872-7423 (North America oly), or sed email to trade@cup.cam.ac.uk (outside North America). first radom deviate i 7.3 Rejectio Method: Gamma, Poisso, Biomial Deviates 291 A 0 x 0 f(x)dx f(x) p(x) x0 reject x0 accept x0 f(x0) 0 secod radom deviate i Figure 7.3.1. Rejectio method for geeratig a radom deviate x from a kow probability distributio p(x) that is everywhere less tha some other fuctio f (x). The trasformatio method is first used to geerate a radom deviate x of the distributio f (compare Figure 7.2.1). A secod uiform deviate is used to decide whether to accept or reject that x. If it is rejected, a ew deviate of f is foud; ad so o. The ratio of accepted to rejected poits is the ratio of the area uder p to the area betwee p ad f. should also be obvious that the fractio of poits rejected just depeds o the ratio of the area of the compariso fuctio to the area of the probability distributio fuctio, ot o the details of shape of either fuctio. For example, a compariso fuctio whose area is less tha 2 will reject fewer tha half the poits, eve if it approximates the probability fuctio very badly at some values of x, e.g., remais fiite i some regio where x is zero. It remais oly to suggest how to choose a uiform radom poit i two dimesios uder the compariso fuctio f(x). A variat of the trasformatio method (x7.2) does icely: Be sure to have chose a compariso fuctio whose idefiite itegral is kow aalytically, ad is also aalytically ivertible to give x as a fuctio of area uder the compariso fuctio to the left of x. Now pick a uiform deviate betwee 0 ad A, wherea is the total area uder f(x), ad use it to get a correspodig x. The pick a uiform deviate betwee 0 ad f(x) as the y value for the two-dimesioal poit. You should be able to covice yourself that the poit (x; y) is uiformly distributed i the area uder the compariso fuctio f(x). A equivalet procedure is to pick the secod uiform deviate betwee zero ad oe, ad accept or reject accordig to whether it is respectively less tha or greater tha the ratio p(x)=f(x). So, to summarize, the rejectio method for some give p(x) requires that oe fid, oce ad for all, some reasoably good compariso fuctio f(x). Thereafter, each deviategeeratedrequirestwouiformradomdeviates, oeevaluatioof f (to get the coordiate y), ad oe evaluatio of p (to decide whether to accept or reject the poit x; y). Figure 7.3.1 illustrates the procedure. The, of course, this procedure must be repeated, o the average, A times before the fial deviate is obtaied. Gamma Distributio The gamma distributio of iteger order a>0 is the waitig time to the ath evet i a Poisso radom process of uit mea. For example, whe a =1,itisjust the expoetial distributio of x7.2, the waitig time to the first evet. 27 Sample page from NUMERICAL RECIPES IN C: THE ART OF SCIENTIFIC COMPUTING (ISBN 0-521-43108-5) Copyright (C) 1988-1992 by Cambridge Uiversity Press. Programs Copyright (C) 1988-1992 by Numerical Recipes Software. Permissio is grated for iteret users to make oe paper copy for their ow persoal use. Further reproductio, or ay copyig of machiereadable files (icludig this oe) to ay server computer, is strictly prohibited. To order Numerical Recipes books, diskettes, or CDROMs visit website http://www.r.com or call 1-800-872-7423 (North America oly), or sed email to trade@cup.cam.ac.uk (outside North America). Sisältö Johdato Prosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 28 14
Tilastotietoje keruu Johdaossa otettii lähtökohdaksi, että simuloii tavoitteea o tarkasteltava järjestelmä suorituskyvy arvioiti. Simuloimalla siis pyritää arvioimaa joki suorituskykyy liittyvä parametri arvo α Tämä parametri voi liittyä joko järjestelmä trasiettii käyttäytymisee esim. 25 esimmäise asiakkaa kokema keskimääräie odotusaika M/M/1-joossa tietyllä kuormalla, ku oletetaa, että systeemi o alussa tyhjä tai sitte s. tasapaiotilaa (steady-state) esim. asiakkaa keskimäärie odotusaika M/M/1-joossa tietyllä kuormalla Ko. suorituskykyparametri voi toisaalta kuvata tilaetta järjestelmä asiakkaide kaalta (diskreetisti) esim. asiakkaa keskimääräie odotusaika M/M/1-joossa tietyllä kuormalla tai sitte systeemi kaalta (jatkuvasti) esim. keskimääräie joopituus M/M/1-joossa tietyllä kuormalla Joka tapauksessa yksittäie simuloitiajo tuottaa yhde havaio, joka jollaki lailla kuvaa arvioitavaa parametria Tilastolliste päätelmie tekemiseksi tarvitsemme useita havaitoja (mielellää riippumattomia ja samoi jakautueita) 29 Trasiettie piirteide simuloiti (1) Jos kyseessä o asiakkaide kokemaa palvelu laatuu liittyvä parametri yksittäie simuloiti päättyy, ku o saatu tietty määrä asiakkaita käsiteltyä esim. oltaessa kiiostueita k: esimmäise asiakkaa odotusajasta M/M/1-joossa, simuloitia jatketaa, kues viimeieki äistä k asiakkasta o saapuut ja päässyt palveluu yksittäisestä simuloiista saatava havaito X o tässä tapauksessa äide k: asiakkaa odotusaikoje W i keskiarvo ko. simuloiissa: k X = 1 W k i i = 1 keskeise raja-arvolausee perusteella ko. keskiarvoa voidaa pitää aiaki likimai ormaalijakaumaa oudattavaa (sitä paremmi, mitä eemmä havaitoja) Tilastolliste päätelmie tekemiseksi tarvitsemme riippumattomia ja samoi jakautueita havaitoja. Näitä saadaa tekemällä useita samalaisia mutta toisistaa riippumattomia simuloitiajoja (toisistaa riippumattomilla satuaisluvuilla) 30 15
Trasiettie piirteide simuloiti (2) Jos taas kyseessä o systeemi suorituskykyy liittyvä suure, jota seurataa jatkuvasti, yksittäie simuloiti päättyy ealta määrätyllä ajahetkellä T esim. oltaessa kiiostueita keskimääräisestä joopituudesta aikavälillä [0,T], (tapahtumapohjaista) simuloitia jatketaa esimmäisee hetke T jälkee tapahtuvaa tapahtumaa asti yksittäisestä simuloiista saatava havaito X o tässä tapauksessa joopituude Q(t) aikakeskiarvo yli väli [0,T] X = 1 Q() t dt T 0 koska joopituus ei muutu tapahtumie välillä, ko. itegraali o helposti laskettavissa elikulmioide summaa (huomaa viimeise tapahtumaväli erityiskäsittely) Tilastolliste päätelmie tekemiseksi tarvitsemme riippumattomia ja samoi jakautueita havaitoja. Näitä saadaa tekemällä useita samalaisia mutta toisistaa riippumattomia simuloitiajoja (toisistaa riippumattomilla satuaisluvuilla) T 31 Tasapaiotilaa liittyvie piirteide simuloiti (1) Tilastotietoje keruu yksittäisestä simuloiista tapahtuu periaatteessa samalla tavalla kui trasietteja piirteitä simuloitaessa. Simuloii alussa o kuiteki s. lämmittelyvaihe (ee kui systeemi o likimai tasapaiossa), mikä aiheuttaa harhaisuutta. Simuloititoistoje tuottamiseksi o tässä tapauksessa aiaki kolme eri tapaa: riippumattomat toistot, s. batch meas -meetelmä ja regeeratiivie meetelmä 32 16
Tasapaiotilaa liittyvie piirteide simuloiti (2) Riippumattomie toistoje meetelmässä tilastotietoje keruu aloitetaa vasta lämmittelyvaihee jälkee. oma ogelmasa o, mite pitkäksi lämmittelyvaihe pitäisi tehdä Batch meas -meetelmässä tehdää yksi pitkä simuloitiajo, joka (keiotekoisesti) jaetaa osii, joita tietoje keruu kaalta käsitellää omia simuloitiajoiaa. tarvitaa vai yksi lämmittelyvaihe, mutta havaiot eivät ole eää täysi riippumattomia Regeeratiivisessa meetelmässä vaaditaa, että simuloitava prosessi o regeeroituva. Tällöi kuiteki saadaa riippumattomia ja samoi jakautueita havaitoja peräkkäisiltä regeeroitumisjaksoilta. ogelmaa o, että jaksoje pituudet voivat satuaisesti kasvaa hyviki pitkiksi esim. G/G/1-joo regeeroituu aia uude asiakkaa saapuessa tyhjää systeemii kaikki Markov-prosessit ovat regeeroituvia 33 Sisältö Johdato Prosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 34 17
Parametrie estimoiti Kute edellisessä kohdassa todetrtii, simuloiilla pyritää arvioimaa joki suorituskykyy liittyvä parametri arvo α (esim. asiakkaide keskimääräie systeemissäoloaika tai keskimääräie joopituus M/M/1-joossa) Yksittäie simuloiti tuottaa kyseisestä parametrista havaio X i, joka siis o satuaismuuttuja. Havaitoa X i saotaa harhattomaksi, jos E[X i ] = α. Oletetaa, että olemme saaeet simuloimalla kpl riippumattomia ja samoi jakautueita havaitoja. Tällöi iide keskiarvo X = 1 X i i = 1 o parametri α harhato ja tarketuva estimaattori, sillä E[ X ] = 1 E X [ i ] = α i = 1 2 D [ X ] = 1 2 D [ Xi ] = 1 2 D [ X] = σ2 2 0 i = 1 35 Esimerkki Pyrimme arvioimaa simuloimalla 25: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa M/M/1-joossa kuormalla ρ = 0.9, ku systeemi hetkellä 0 o tyhjä. Teoreettie arvo: α = 2.124 Kymmee simuloitiajoa ovat tuottaeet seuraavat havaiot X i (so. keskimääräiset systeemissäoloajat kyseisissä simuloieissa): 1.051, 6.438, 2.646, 0.805, 1.505, 0.546, 2.281, 2.822, 0.414 ja 1.307 Näide keskiarvo X = 1 1 X i = (1.051 + 6.438+ +1.307) = 1.982 i = 1 10 o simuloitikokee atama (25: esimmäise asiakkaa) keskimääräise odotusaja estimaatti. 36 18
Estimaattori luottamusväli (1) Edellä o todettu, että simuloitikokeissa saadut havaiot X i ovat aiaki likimai ormaalijakautueita Jos simuloitikokee atamat havaiot X i oudattaisivat tarkasti ormaalijakaumaa N(α,σ 2 ) ja yksittäise havaio variassi σ 2 = D 2 [X] tuettaisii, oudattaisi : toisto keskiarvo ormaalijakaumaa N(α,σ 2 /). Tästä saadaa piste-estimaattoria käytety havaitoje keskiarvo luottamusväliksi (luottamustasolla 1 - β): X ± z σ 1 β/ 2 missä kerroi z p tarkoittaa stadardi ormaalijakauma N(0,1) p-fraktiilia, ts. P{Z z p } = p, missä Z ~ N(0,1) Tulkita: estimoitava parametri α o t:llä 1 - β kyseisellä välillä. Esimerkiksi 95%: luottamustasoa vastaa kerroi z 0.975 1.960 37 Estimaattori luottamusväli (2) Yleesä emme kuitekaa tue yksittäise havaio variassia σ 2 = D 2 [X]. Sitä voidaa kuiteki puolestaa estimoida s. otosvariassilla 2 S = 1 X X i 1 ( ) 2 i = 1 joka o (riippumattomie ja samoi jakautueide havaitoje tapauksessa) variassi harhato estimaattori. Otoshajota o otosvariassi eliöjuuri: S = 2 S 38 19
Estimaattori luottamusväli (3) Jos simuloitikokee atamat havaiot X i oudattaisivat tarkasti ormaalijakaumaa N(α,σ 2 ), oudattaisi otoshajoalla sopivasti ormeerattu otoskeskiarvo s. Studeti t-jakaumaa vapausastei -1. Tästä saadaa piste-estimaattoria käytety havaitoje keskiarvo luottamusväliksi (luottamustasolla 1 - β): X ± t 11, β/ 2 missä kerroi t -1,p tarkoittaa t-jakauma (vapausastei -1) p-fraktiilia, ts. P{T t -1,p } = p, missä T oudattaa ko. t-jakaumaa Tulkita: estimoitava parametri α o t:llä 1 - β kyseisellä välillä. Esimerkiksi 95%: luottamustasoa vastaa 10 havaio tapauksessa kerroi t 9,0.975 2.262 ja 101 havaio tapauksessa kerroi t 100,0.975 1.984 S 39 Esimerkki (jatkoa) Pyrimme arvioimaa simuloimalla 25: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa M/M/1-joossa kuormalla ρ = 0.9, ku systeemi hetkellä 0 o tyhjä. Teoreettie arvo: α = 2.124 Kymmee simuloitiajoa ovat tuottaeet seuraavat havaiot X i (so. keskimääräiset systeemissäoloajat kyseisissä simuloieissa): 1.051, 6.438, 2.646, 0.805, 1.505, 0.546, 2.281, 2.822, 0.414 ja 1.307 Otoskeskiarvoksi saatii 1.982 ja otoshajoaksi tulee S = 1 2 + + 2 (( 1.051-1.982 )... ( 1. 307 1. 982 ) ) = 1. 781 9 Simuloitikokee atama 25: esimmäise asiakkaa keskimääräise odotusaja piste-estimaati luottamusväli 95%: luottamustasolla o siis X S ± t 11 2 = 1 982 ± 2 262 1. 781, β /.. = 1. 982 ± 1. 274 10 40 20
Havaitoja Simuloitikokee tulos tarketuu (so. piste-estimaati luottamusväli kapeee), ku simuloititoistoje eli riippumattomie havaitoje lukumäärää kasvatetaa yksittäise havaio variassia pieeetää (esim. ajamalla pitempiä yksittäisiä simuloitiajoja tai muilla s. variassi reduktiomeetelmillä) Jos o aettu haluttu simuloitituloste suhteellie tarkkuus (so. luottamusväli puolikkaa suhde otoskeskiarvoo), voidaa dyaamisesti seurata, kuika mota riippumatota simuloititoistoa o tehtävä ko. tavoitteesee pääsemiseksi 41 Kirjallisuutta I. Mitrai (1982) Simulatio techiques for discrete evet systems Cambridge Uiversity Press, Cambridge A.M. Law ad W. D. Kelto (1982) Simulatio modelig ad aalysis McGraw-Hill, New York 42 21