11. Simulointi luento11.ppt S Liikenneteorian perusteet Kevät

Transkriptio

1 lueto.ppt S Liikeeteoria perusteet Kevät 2006

2 Sisältö Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 2

3 Tiedote Lueo tavoite Esitellää simuloiti yhteä liikeeteoria työkalua Käydää lyhyesti läpi simuloitii liittyvät eri osa-alueet Liikeeteoria syvetävä moduuli sisältää myös erillise kurssi aiheesta S Tietoverkkoje simuloiti Pakollie Teleliikeeteoria syvetävässä moduulissa Esitiedot: S ja C/C++ -kiele tutemus Lueoidaa vai joka toie vuosi (syytä huomioida opitoje suuittelussa!) Lueoidaa seuraava kerra syksyllä

4 Mitä simuloiti o? Simuloiti o (liikeeteoria kaalta) eräs tilastollie meetelmä tarkasteltava järjestelmä suorituskyvy arvioimiseksi Se sisältää eljä eri vaihetta: Järjestelmä (olemassa oleva tai kuvitteellise) mallius dyaamisea (ajassa kehittyvää) stokastisea prosessia Prosessi reaalisaatioide tuottamie ( todellisuude havaioiti ) tällaista reaalisaatiota kutsutaa usei simuloitiajoksi (simulatio ru) Tietoje keruu ( mittaus ) Kerättyje tietoje tilastollie aalyysi ja johtopäätöste teko 4

5 Vaihtoehto, mutta mille? Aiemmi olemme jo tutustueet toisee suorituskyvy arvioitimeetelmää, imittäi matemaattisee aalyysii Käsittelimme kaksi vaihetta Järjestelmä mallius ajassa kehittyvää stokastisea prosessia (tässä kurssissa rajoituimme sytymä-kuolema-prosesseihi) Malli aalyyttie ratkaisu Järjestelmä malliusvaihe o kummalleki yhteie Tosi malli tarkkuudella voi olla suuriaki eroja: toisi kui simuloiti, matemaattie aalyysi edellyttää yleesä hyviki rajoittavie oletuste tekoa 5

6 Liikeeteoreettise järjestelmä suorituskyvy arvioiti Todellie järjestelmä mallius Matemaattie malli (stokastisea prosessia) Suorituskyvy arvioiti malli validioiti Matemaattie aalyysi Simuloiti 6

7 Aalyysi vs. simuloiti () Matemaattise aalyysi edut: Tuloste tuottamie opeaa (aalyysi eli yhtälöide jälkee) Tulokset tarkkoja Ataa äkemystä Optimoiti usei mahdollista (vaikkaki saattaa olla vaikeaa) Matemaattise aalyysi haitat: Asettaa rajoittavia ehtoja malliuksee malli yleesä liia yksikertaie (esim. vai tasapaiotila huomioitu) moimutkaiste järjestelmie suorituskyvy arvioiti lähes mahdotota Rajoittavie ehtojeki vallitessa aalyysi itsessää yleesä vaikeaa 7

8 Aalyysi vs. simuloiti (2) Simuloii edut: Ei rajoittavia ehtoja malliusvaiheessa mahdollistaa moimutkaisteki järjestelmie suorituskyvy arvioii Mallius yleesä hyvi suoraviivaista Simuloii haitat: Tuloste tuottamie yleesä työlästä (simuloitiajot vaativat paljo prosessoriaikaa) Tulokset epätarkkoja (tosi tarketuvia: mitä eemmä ajoja, sitä tarkemmat tulokset) Kokoaisäkemykse saamie vaikeampaa Optimoiti mahdollista vai hyvi rajoitetusti (esim. muutama erilaise parametrikombiaatio tai ohjausperiaattee vertailu) 8

9 Stokastise prosessi simuloii vaiheet Järjestelmä mallius ajassa kehittyvää stokastisea prosessia tästä o jo puhuttu kurssi aiemmilla lueoilla jatkossa otamme lähtökohdaksi aetu malli (so. stokastise prosessi) lisäksi rajoitamme tarkastelu tällä lueolla yksikertaisii liikeeteoreettisii malleihi (vrt. aiemmat lueot) Prosessi reaalisaatioide tuottamie satuaislukuje geeroiti tapahtumaohjattu simuloiti usei simuloiilla tarkoitetaa pelkästää tätä vaihetta (liikeeteoria kaalta se o kuiteki simuloitia suppeammassa mielessä) Tietoje keruu trasietti vaihe vs. tasapaiotila Tilastollie aalyysi ja johtopäätökset piste-estimaattorit luottamusvälit 9

10 Simuloii toteutus Simuloiti toteutetaa yleesä tietokoeohjelmaa Simuloitiohjelma sisältää yleesä kaikki edellä maiitut vaiheet malliusta ja johtopäätöksiä lukuuottamatta, ts. järjestelmä malliksi valitu stokastise prosessi reaalisaatioide tuottamise, tietoje keruu sekä kerättyje tietoje tilastollise aalyysi Simuloitiohjelma voidaa toteuttaa kokoaisuudessaa jollaki yleiskäyttöisellä ohjelmoitikielellä esim. C tai C++ joustavaa mutta työlästä ja riskialtista mahdollisille ohjelmoitivirheille käyttäe hyväksi joitaki simuloitii erikoistueita ohjelmakirjastoja esim. CNCL erityisesti simuloiteja varte kehitetyillä simuloitiohjelmistoilla esim. OPNET, BONeS, NS (osittai perustuu o-kirjastoihi) opeaa ja luotettavaa (ohjelma laadusta riippue) mutta jäykkää 0

11 Muita simuloititapoja Edellä kuvattu diskreetti tapahtumapohjaie simuloiti kyseessä diskreetti, dyaamie ja stokastie simuloiti eli mite simuloidaa tarkasteltavaa järjestelmää kuvaava matemaattise malli (diskreettitilaise stokastise prosessi) kehitystä ajassa tavoittea saada jotai tietoa ko. systeemi käyttäytymisestä jatkossa rajoitumme tällaisee simuloitii Muita simuloititapoja: jatkuvassa simuloiissa tila-avaruus o jatkuva (tilamuuttujie riippuvuudet aetaa yleesä differetiaaliyhtälösysteemiä), esim. letokoee letorada simuloiti staattisessa simuloiissa aja kulumisella ei ole merkitystä (ei ole olemassa prosessia, jota luoehtisi erilaiset tapahtumat), esim. moiulotteiste itegraalie umeerie itegroiti s. Mote-Carlomeetelmällä determiistie simuloiti ei taas sisällä ollekaa satuaisia kompoetteja (esim. esimmäie esimerkki yllä)

12 Sisältö Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 2

13 Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Oletetaa, että olemme mallitaeet tarkasteltava järjestelmä stokastisea prosessia Seuraavaa tehtävää o prosessi reaalisaatioide tuottamie Se koostuu kahdesta osasta: kaikille prosessi kulkuu vaikuttaville satuaismuuttujille o arvottava arvot (yleesä reaaliluku) satuaisesti ko. sm: jakaumasta (sm:ie väliset riippuvuudet tietysti huomioide) äi saaduilla arvoilla kostruoidaa prosessi reaalisaatio ts. se kehittymie ajassa Nämä kaksi osaa eivät suikaa tapahdu peräkkäi eri vaiheissa, vaa imeomaa limittäi tai vuorotelle Satuaismuuttujie arvoje arvota perustuu s. (pseudo)satuaislukuje geeroitii (radom umber geeratio) Prosessi reaalisaatio kostruoiti tehdää yleesä tapahtumapohjaisesti (discrete evet simulatio) 3

14 Tapahtumapohjaie simuloiti () Idea: simuloiti eteee tapahtumasta tapahtumaa jos jollaki aikavälillä ei tapahdu mitää, voimme hypätä ko. aikaväli yli Tapahtuma vastaa (yleesä) systeemi tila muuttumista esim. yksikertaisessa liikeeteoreettisessa mallissa asiakkaide saapumiset ja poistumiset systeemistä tällaisia tapahtumia voidaa kutsua perustapahtumiksi ylimääräisiä tapahtumia aiheutuu esim. tietoje keruusta ja prosessi reaalisaatio geeroii lopetuksesta Tapahtuma karakterisoidaa kahdella parametrilla tapahtumahetki (so. milloi tapahtuma käsitellää) ja tapahtuma tyyppi (so. mite tapahtuma käsitellää) 4

15 Tapahtumapohjaie simuloiti (2) Tapahtumat orgaisoidaa yleesä tapahtumahetke mukaa järjestetyksi tapahtumalistaksi (evet list) Kärjessä o seuraavaksi sattuva tapahtuma (siis aikaisi tapahtumahetki). Listaa käydää läpi tapahtuma tapahtumalta (geeroide samalla uusia tapahtumia lista loppupäähä). Ku tapahtuma o käsitelty, se poistetaa listalta. Simuloitikello (simulatio clock) kertoo, mikä o käsiteltävää oleva tapahtuma hetki se siis eteee hyppäyksittäi Systeemi tila (system state) kertoo systeemi ykyise tila 5

16 Tapahtumapohjaie simuloiti (3) Algoritmi yhde simuloitiajo suorittamiseksi tapahtumapohjaisesti: Iitialisoiti aseta simuloitikello ollaksi aseta systeemi tila valittuu alkuarvoosa geeroi kuki tapahtumatyypi seuraava tapahtuma (mikäli mahdollista) liitä äi saadut tapahtumat tapahtumalistaa 2 Tapahtuma käsittely aseta simuloitiajaksi (tapahtumalista kärjessä oleva) seuraava tapahtuma tapahtumahetki käsittele tapahtuma ja geeroi samalla uusia tapahtumia ja liitä e tapahtumalistaa päivitä systeemi tila poista käsitelty tapahtuma tapahtumalistalta 3 Lopetusehdo testaus jos voimassa, lopeta tapahtumie geeroiti; muutoi palaa kohtaa 2 6

17 Esimerkki () Tehtävä: Simuloidaa M/M/-joo joopituude kehitystä ajassa hetkestä 0 hetkee T olettae, että systeemi o tyhjä hetkellä 0 Systeemi tila (hetkellä t) = joopituus X t alkuarvo: X 0 = 0 Perustapahtumat: asiakkaa saapumie systeemii asiakkaa poistumie systeemistä Muut tapahtumat: simuloii lopetus hetkellä T Huom. Tietoje keruuta ei ole sisällytetty tähä esimerkkii 7

18 Esimerkki (2) Iitialisoiti: asetetaa X 0 = 0 arvotaa esimmäise asiakkaa saapumishetki Exp(λ)-jakaumasta Tapahtuma käsittely uude asiakkaa saapuessa (hetkellä t) systeemi tilaa eli joopituutta kasvatetaa yhdellä: X t = X t + jos systeemi oli tyhjä asiakkaa saapuessa, geeroidaa ko. asiakkaa poistumishetki t + S, missä S o arvottu Exp(µ)-jakaumasta geeroidaa seuraava asiakkaa saapumishetki t + I, missä I o arvottu Exp(λ)-jakaumasta Tapahtuma käsittely asiakkaa poistuessa (hetkellä t) systeemi tilaa eli joopituutta väheetää yhdellä: X t = X t jos systeemii jäi asiakkaita, geeroidaa seuraavaksi palveltava asiakkaa poistumishetki t + S, missä S o arvottu Exp(µ)-jakaumasta Lopetusehto: t > T 8

19 Esimerkki (3) tapahtumie geeroiti asiakkaide saapumis- ja poistumishetket joopituus aika aika 0 T 9

20 Sisältö Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 20

21 Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Pohjaa s. (pseudo)satuaislukuje geeroiti Esimmäie askel Tuottaa riippumattomia välillä 0 ja tasajakautueita satuaismuuttujia (siis U(0,)-jakaumasta) käyttäe satuaislukugeeraattoria Haluttuu jakaumaa päästää U(0,)-jakaumasta esimerkiksi jollaki seuraavista meetelmistä: uudelleeskaalaaus ( U(a,b)) diskretoiti ( Beroulli(p), Bi(,p), Poisso(a), Geom(p)) kertymäfuktio kääös ( Exp(λ)) muut muuokset ( N(0,) N(µ,σ 2 )) hyväksymis-hylkäys-meetelmä (ku kyseessä rajoitetulla välillä määritelty jatkuva jakaumaa, jolla rajoitettu tiheysfuktio) tarvitaa kaksi riippumatota U(0,)-jakaumaa oudattavaa sm:aa 2

22 Satuaislukuje geeroiti Satuaislukugeeraattorilla (radom umber geerator) tarkoitetaa algoritmia, joka tuottaa sarja (äeäisesti) satuaisia kokoaislukuja Z i jollaki välillä 0,,,m tuotettu sarja o aia jaksollie (tavoitteea mahdollisimma pitkä jakso) geeroidut luvut eivät tiukasti ottae ole ollekaa satuaisia vaa täysi ealta arvattavissa (tästä imitys pseudosatuaie) jos satuaislukugeeraattori o huolellisesti suuiteltu ja toteutettu, ii se tuottamat pseudosatuaiset luvut kuiteki äyttävät ikää kui riippumattomilta ja samoi jakautueilta (IID) oudattae tasaista jakaumaa joukossa {0,,,m } Satuaislukugeeraattori geeroimie satuaislukuje satuaisuus o todeettava tilastollisi testei saadu empiirise jakauma tasaisuus joukossa {0,,,m } geeroituje satuaislukuje välie riippumattomuus (käytäössä korreloimattomuus) 22

23 Satuaislukugeeraattoreita Lieaariset kogruetiaaliset geeraattorit (liear cogruetial geerator). yksikertaisi uusi satuaisluku määräytyy algoritmisesti edellisestä, Z i+ = f(z i ) jakso voi olla korkeitaa m Näistä erikoistapauksea saadaa s. multiplikatiiviset kogruetiaaliset geeraattorit (multiplicative cogruetial geerator). Muita meetelmiä: additive cogruetial geerators, shufflig,... 23

24 Liear cogruetial geerator (LCG) Lieaarie kogruetiaalie satuaislukugeeraattori tuottaa satuaisia kokoaislukuja Z i joukosta {0,,,m } kaavalla: Z i + = ( azi + c) mod m parametrit a, c ja m ovat ei-egatiivisia kokoaislukuja (a < m, c < m) lisäksi tarvitaa s. siemeluku (seed) Z 0 < m Huom. Parametrit o valittava huolella; muutoi tuloksea kaikkea muuta kui satuaisia lukuja. Tietyi edellytyksi jaksoksi saadaa maksimiarvo m esim. ku m muotoa 2 b, c parito ja a muotoa 4k + (b usei 48) 24

25 Multiplicative cogruetial geerator (MCG) Multiplikatiivie kogruetiaalie satuaislukugeeraattori tuottaa satuaisia kokoaislukuja Z i joukosta {0,,,m } kaavalla: Zi + = ( az i ) mod m parametrit a ja m ovat ei-egatiivisia kokoaislukuja (a < m) lisäksi tarvitaa siemeluku Z 0 < m Huom. Kyseessä o siis LCG: erikoistapaus valialla c = 0. Parametrit o tässäki tapauksessa valittava huolella Mikää parametrikombiaatio ei tuota (maksimaalista) jaksoa m esim. jos m muotoa 2 b, ii jakso o korkeitaa 2 b 2 Kuiteki, jos m o alkuluku, jakso m o mahdollie PMMLCG = prime modulus multiplicative LCG esim. m = 2 3 ja a = 6,807 (tai a = 630,360,06) 25

26 U(0,)-jakautuee sm: geeroiti Olkoo Z joki satuaislukugeeraattori tuottama (pseudo)satuaie kokoaisluku välillä {0,,,m } Tällöi (approksimatiivisesti) U = m Z U(0,) 26

27 Tasajakaumaa oudattava sm: geeroiti Olkoo U U(0,) Tällöi X = a + ( b a) U U( a, b) Tätä saotaa uudelleeskaalausmeetelmäksi (rescalig method) 27

28 Diskreeti sm: geeroiti Olkoo U U(0,) Oletetaa lisäksi, että Y o diskreetti sm arvojoukolla S = {0,,,} tai S = {0,,2, } Merkitää F(x) = P{Y x}. Tällöi X = mi{ x S Tätä saotaa diskretoitimeetelmäksi (discretizatio method) Itse asiassa kyseessä o s. kertymäfuktio kääös -meetelmä eräs muoto Esim. Beroulli(p)-jakauma: X 0, =, josu josu > F( x) p p U} Y Beroulli( p) 28

29 Kertymäfuktio kääös -meetelmä Olkoo U U(0,) Oletetaa, että Y o sellaie jatkuva sm, jolle kertymäfuktio F(x) = P{Y x} o aidosti kasvava Merkitää F (y):llä kertymäfuktio F(x) kääteisfuktiota. Tällöi X = F ( U ) Y Tätä saotaa kertymäfuktio kääös -meetelmäksi (iverse trasform method) Tod. Koska P{U u} = u kaikilla u (0,), pätee P { X x} = P{ F ( U ) x} = P{ U F( x)} = F( x) 29

30 Ekspoettijakaumaa oudattava sm: geeroiti Olkoo U U(0,) seuraus: U U(0,) Olkoo Y Exp(λ) kff(x) = P{Y x} = e λx o selvästiki aidosti kasvava kf: kääteisfuktio o F (y) = (/λ) log( y) Näi olle ( kertymäfuktio kääös -meetelmä mukaa) X ( λ = F U ) = log( U ) Exp( λ) 30

31 N(0,)-jakautuee sm: geeroiti Olkoot U ja U 2 riippumattomia ja samoi jakautueita oudattae U(0,)-jakaumaa Tällöi, s. Box-Müller-meetelmä mukaa, alla aetut sm:t X ja X 2 ovat myöski riippumattomia ja samoi jakautueita oudattae N(0,)-jakaumaa: X = 2log( U) si(2πu 2) X 2 = 2log( U) cos(2πu 2) N(0,) N(0,) 3

32 Normaalijakaumaa oudattava sm: geeroiti Olkoo X N(0,) Uudelleeskaalausmeetelmällä saamme Y = µ + σx N( µ, σ 2 ) 32

33 Sisältö Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 33

34 Tilastotietoje keruu Johdaossa otettii lähtökohdaksi, että simuloii tavoitteea o tarkasteltava järjestelmä suorituskyvy arvioiti. Simuloimalla siis pyritää arvioimaa joki suorituskykyy liittyvä parametri arvo α. Tämä parametri voi liittyä joko järjestelmä trasiettii käyttäytymisee tai sitte s. tasapaiotilaa (steady state) Esim. ja 2 (trasietti käyttäytymie) k: esimmäise asiakkaa keskimääräie odotusaika M/M/-joossa olettae, että systeemi o aluksi tyhjä keskimääräie joopituus M/M/-joossa aikavälillä [0,T] olettae, että systeemi o aluksi tyhjä Esim. 3 (tasapaiotilae) keskimääräie odotusaika M/M/-joossa tasapaiotilateessa Yksittäie simuloitiajo tuottaa yhde havaio X, jokajollakilailla kuvaa arvioitavaa parametria Tilastolliste päätelmie tekemiseksi tarvitsemme kuiteki useita havaitoja X,,X (mielellää IID) 34

35 Trasiettie piirteide simuloiti () Esimerkki : Tarkastellaa k: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa M/M/-joossa olettae, että systeemi o aluksi tyhjä Simuloitia jatketaa, kues viimeieki äistä k asiakkasta o saapuut ja päässyt palveluu Yksittäisestä simuloitiajosta saatava havaito X o tässä tapauksessa äide k asiakkaa odotusaikoje W i keskiarvo ko. simuloitiajossa: k X = W k i i= Riippumattomia ja samoi jakautueita (IID) havaitoja X,,X voidaa tuottaa s. riippumattomie toistoje -meetelmällä (idepedet replicatios) ts. tekemällä useita samalaisia mutta toisistaa riippumattomia simuloitiajoja (toisistaa riippumattomilla satuaisluvuilla) 35

36 Trasiettie piirteide simuloiti (2) Esimerkki 2: Tarkastellaa keskimääräistä joopituutta M/M/-joossa aikavälillä [0,T] olettae, että systeemi o aluksi tyhjä Simuloitia jatketaa ealta määrättyy hetkee T asti Yksittäisestä simuloitiajosta saatava havaito X o tässä tapauksessa joopituude Q(t) aikakeskiarvo yli väli [0,T] ko. simuloitiajossa: X = T T Q( t) 0 Huom. Ko. itegraali o helposti laskettavissa, koska joopituus ei muutu tapahtumie välillä Riippumattomia ja samoi jakautueita (IID) havaitoja X,,X voidaa jällee tuottaa riippumattomie toistoje -meetelmällä dt 36

37 Tasapaiotilaa liittyvie piirteide simuloiti () Tilastotietoje keruu yksittäisestä simuloiista tapahtuu periaatteessa samalla tavalla kui trasietteja piirteitä simuloitaessa. Simuloii alussa o kuiteki tyypillisesti s. lämmittelyvaihe (warm-up phase), ee kui systeemi o likimai tasapaiossa, mikä aiheuttaa overheadia = turhaa simuloitia harhaisuutta estimaattii tarpee määritellä, kuika pitkä lämmittelyvaihe tarvitaa Riippumattomie ja samoi jakautueide (IID) havaitoje X,,X tuottamiseksi (aiaki likimai) o kaksi eri tapaa: riippumattomat toistot (idepedet replicatios) ja s. batch meas -meetelmä 37

38 Tasapaiotilaa liittyvie piirteide simuloiti (2) Riippumattomie toistoje meetelmä: tehdää useita samalaisia mutta toisistaa riippumattomia simuloitiajoja (so. sama systeemi simuloitia samasta lähtötilasta mutta toisistaa riippumattomilla satuaisluvuilla) kussaki ajossa tilastotietoje keruu aloitetaa vasta lämmittelyvaihee jälkee (kute saottu, oma ogelmasa o tämä lämmittelyvaihee pituude määräämie) havaiot IID Batch meas -meetelmä: yksi (erittäi) pitkä simuloitiajo, joka lämmittelyvaihee jälkeiseltä osalta (keiotekoisesti) jaetaa :ää yhtä pitkää jaksoo, joita tietoje keruu kaalta käsitellää omia simuloitiajoiaa tarvitaa vai yksi lämmittelyvaihe mutta havaiot eivät ole eää täysi riippumattomia (eivätkä tarkkaa ottae täysi samoi jakautueitakaa) mitä pitempi jakso (eli pieempi ), sitä riippumattomammat havaiot38

39 Sisältö Johdato Liikeeprosessi reaalisaatioide tuottamie Satuaismuuttuja arvota aetusta jakaumasta Tietoje keruu Tilastollie aalyysi 39

40 Parametrie estimoiti Kute edellisessä kohdassa todettii, simuloiilla pyritää arvioimaa joki suorituskykyy liittyvä parametri arvo α Yksittäie simuloitiajo tuottaa kyseisestä parametrista havaio X i, joka siis o satuaismuuttuja Havaitoa X i saotaa harhattomaksi (ubiased), jos E[X i ] = α Olet. että havaiot X i ovat IID keskiarvolla α ja variassilla σ 2 Tällöi otoskeskiarvo (sample mea) X : = = X o parametri α harhato ja tarketuva estimaattori, sillä E[ X D 2 [ X ] = ] = i= 2 E[ X i= i D [ X ] = α 2 i ] = i σ 2 i 0 (ku ) 40

41 Esimerkki Pyrimme arvioimaa simuloimalla 25: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa M/M/-joossa kuormalla ρ=0.9, ku systeemi hetkellä 0 o tyhjä. Teoreettie arvo: α =2.2 (ei triviaali) Havaiot X i kymmeestä simuloitiajosta ( = 0):.05, 6.44, 2.65, 0.80,.5, 0.55, 2.28, 2.82, 0.4,.3 Näi olle parametri α piste-estimaatti o X = = X = ( K+.3) =.98 i i 0 4

42 Estimaattori luottamusväli () Määr. Väliä (X y, X + y) saotaa parametri α luottamusväliksi (cofidece iterval) luottamustasolla (cofidece level) β, jos P{ X α y} = β Tulkita: parametri α kuuluu ko. välille t:llä β Oletetaa sitte, että havaiot X i, i =,,, ovat IID tutemattomalla keskiarvolla α mutta tuetulla variassilla σ 2 Keskeise raja-arvolausee mukaa (kts. Lueto 5, kalvo 48), aiaki suurilla : arvoilla pätee Z : = X α σ / N(0,) 42

43 Estimaattori luottamusväli (2) Merk. z p :llä N(0,)-jakauma p-fraktiilia ts. P{Z z p } = p, missä Z N(0,) esim. β=5% eli β = 95% z (β/2) = z Väite. Parametri α luottamusväli luottamustasolla β o X ± z 2 β σ Tod. Määritelmä mukaa pitää osoittaa, että P{ X α z σ β 2 } = β 43

44 44. Simuloiti α β = } { y X P y y y y y y y X y y X z y z x x x Z P x P P σ σ β σ σ σ σ σ σ σ α σ σ σ α β β β β β β = = = Φ Φ = Φ = Φ Φ = Φ = Φ Φ = = 2 2 / 2 / / / / / / / / / / ) ( )] ( ) ( [ )) ( ( ) ( }] { ) : ( [ ) ( ) ( } { } {

45 45. Simuloiti Estimaattori luottamusväli (3) Yleesä odotusarvo α lisäksi myös variassi σ 2 o tutemato Tällöi se pitää estimoida otosvariassista (sample variace) Voidaa osoittaa, että IID havaioille otosvariassi o todellise variassi σ 2 harhato ja tarketuva estimaattori: ) ( ) ( : i i i i X X X X S = = = = ) (ku 0 ] [ ] [ = S D S E σ

46 Estimaattori luottamusväli (4) Oletetaa yt, että havaiot X i, i =,,, ovat IID oudattae N(α,σ 2 )-jakaumaa tutemattomalla keskiarvolla α ja tutemattolla variassilla σ 2. Tällöi voidaa osoittaa, että T : = X α S / Studet( ) Merk. t,p :llä Studet( )-jakauma p-fraktiilia ts. P{T t,p } = p, missä T Studet( ) esim. : = 0 ja β=5% t, (β/2) = t 9, esim. 2: = 00 ja β=5% t, (β/2) = t 99, Näi olle otoskeskiarvo luottamusväli luottamustasolla β o X ± t β, 2 S 46

47 Esimerkki (jatkoa) Pyrimme arvioimaa simuloimalla 25: esimmäise asiakkaa keskimääräistä odotusaikaa M/M/-joossa kuormalla ρ=0.9, ku systeemi hetkellä 0 o tyhjä. X Teoreettie arvo: α =2.2 Havaiot X i kymmeestä simuloitiajosta ( = 0):.05, 6.44, 2.65, 0.80,.5, 0.55, 2.28, 2.82, 0.4,.3 Otoskeskiarvo o.98 ja otoshajota (eli otosvariassi eliöjuuri) o S 2 = ((.05.98) + K+ (.3.98) ) =.78 9 Näi olle parametri α luottamusväli 95%: luottamustasolla o ± t β, 2 S =.98 ± =.98 ±.27 = (0.7,3.25) 47

48 Havaitoja Simuloitikokee tulos tarketuu (so. piste-estimaati luottamusväli kapeee), ku simuloititoistoje eli riippumattomie havaitoje lukumäärää kasvatetaa, tai yksittäise havaio variassia σ 2 pieeetää esim. ajamalla pitempiä yksittäisiä simuloitiajoja muilla s. variassi reduktio -meetelmillä Jos aettua o haluttu simuloitituloste suhteellie tarkkuus (so. otoskeskiarvo hajoa ja odotusarvo välie suhde), voidaa dyaamisesti päättää, kuika mota riippumatota simuloititoistoa o tehtävä ko. tavoitteesee pääsemiseksi 48

49 Kirjallisuutta I. Mitrai (982) Simulatio techiques for discrete evet systems Cambridge Uiversity Press, Cambridge A.M. Law ad W. D. Kelto (982, 99) Simulatio modelig ad aalysis McGraw-Hill, New York 49

50 THE END 50