MAA 6 Numeeriet integroinnit Numeerien integroimien (numericl integrtion) intuitiivien kulmkivenä on pint-l. Kikki menetelmät lähtevät tätä jtuket, jok on määrätyn integrlin enimmäinen pprokimtio. On kuitenkin huomttv, että vikk oiken geometrien lueen pint-l on in noll ti uurempi, määrätty integrli voi oll myö negtiivinen. Silti pint-ln jtteleminen utt hhmottmn tilnnett. On vin pidettävä vrn. Eimerkki 44 Lke määrätty integrli 3 x dx. 3 x dx= 3 x x= A. Vtu: Integrlin rvo on. Eimerkki 45 Lke määrätty integrli 3 xdx. A 3 xdx= 3 x x= I Vtu: Integrlin rvo on. Eimerkki 46 Lke määrätty integrli 5 x 3dx. I ()
MAA 5 x 3dx= 5 x 3x=0 I Vtu: Integrlin rvo on 0. Muit: b f xdx= b f xdx. Kert muutkin määrätyn integrlin lkuäännöt. Suorkideääntö Oletetn, että funktio f(x):n määrätty integrli on olem välillä [;b] j rvoltn A. Silloin yki krke A:n rvio on f b. Toinen, yhtä krke rvio, on f bb. Nämä ovt uorkideäännön (rectngle rule) kki eri eitytä. Käytännöä tämä onkin tällien liin krke rvio. Prempi tulo dn, kun väli [;b] jetn pieniin oväleihin j käytetään kunkin välin päätepiteen ijt ovälin kekipitettä rvion lkemieen. Tätä notn kekipiteäännöki. ()
MAA Olkoon A kuten edellä. Jo ii väli jetn n kppleeeen välejä [ x i - ; x i ],i...n ; x 0 =, x n =b j h= b n 0 niin määrätyn integrlin rvolle dn rvio A h x x 0 h x x...h x n x n =h[ f x 0 f x... f x n] n =h f x i i=0 Lyhyeti nottun: Kekipiteääntö (uorkideäännön ovellu) n A h f x i () i=0 Kekipiteääntö on monetkin yytä uoiteltvmpi menetelmä kuin mikään muu yllä eitelty ykinkertiempi keino, mutt jtko eittelen vielä prempi. Se opii hyvin myö tietokoneell ti lkimell ohjelmoitvki. Lken kikki tähän kppleeeen liittyvät eimerkit kekipiteäännön vull j ivuutn uorkideäännön ykinkertiimmn verion kokonn. Jo hlut, voit ite kokeill niitten lkemieen jotin yllä minituit muit keinoit. Eimerkki 47 Lke normlijkumn tiheyfunktion integrli rjoin j f x= x e, kun tiheyfunktion prmetrein ovt noll j yki. Piirtäköön kone kuvn t! Aik tutun näköinen iitä tuli. 3()
MAA Symmetriyitä nyt on voim yhtälö f xdx= 0 f xdx. Lken tämän koneell käyttämällä kekipiteääntöä n:n rvoill 0 j 00. Merkiten kummkin tpuke tvoiteltv, m integrlin trkk rvo I:llä. Aloitn n:n rvot 0. Kunkin uorkiteen levey on nyt 0, j korkeu tiheyfunktion rvo kunkin välin päätepiteen kekipiteeä. Edellä olevn yhtälön () mukn on I n h f x i i=0 4()
MAA = 0, 9 i=0 0,6889. e 0,05i 0, Tämä ei ole kovin lähellä koneen trkn kvn peruteell ntm 9 - deimlit rvo I = 0,68 689 5. Kokeilen itten n:n rvo 00. I = 0,0 99 i=0 0,68 69. e 0,005i 0,0 Tämä on jo prempi! Toin käytännön tilnteit jtellen enimmäinenkin rvio on trkk. Vtu: Integrlin rvo on noin 0,68 69. Puoliuunnikääntö (;f()) A (b;f(b)) b Kun uorkideääntöä kehitetään eteenpäin, niin enimmäinen mieleen tulev mhdolliuu on tehdä juuri niin kuin puoliuunnikääntöä (trpezoidl rule) käytettäeä tehdään: edetään uorkiteet puoliuunnikkeen j pprokimoidn integrli illä. Teen ii niin. Puoliuunnikkn ln kvt dn, kun käytetään kuvion merkintöjä: A= b [ f f b] b f xdx 5()
MAA Tämä on puoliuunnikäännön perumuoto. Eimerkki 48 Lke määrätyn integrlin puoliuunnikäännön perumuoto.,5 e x dx rvo vähintään kolmen deimlin trkkuudell. Käytä 0,5 Arvio on,833. e0,5 e,5,5 0,5 3,065. Trkn kvn vull lkettu integrli rvo on Vtu: Arvo on noin 3,065. 6()
MAA Trkennetn puoliuunnikmenetelmää. Ajtelln rvioitv l jetuki ueiiin puoliuunnikkiiin kuten yllä olev kuv. Siinä ininen viiv eittää trkteltv funktiot eli on käyrän y = f(x) kuvj. Puniet pytyviivt ovt eri x:n rvojen kutt kulkevi uori. Kun näiden leikkupiteet inien kuvjn kn yhditetään, yntyy murtoviiv, jonk ojnoit etittävät puoliuunnikkt dn. b Olkoon rvioitv integrli I = f x dx, miä f(x) on yllä minittu funktio. Jo yllä olevn kuvn tpn kht peräkkäitä x:n rvo merkitään x i :llä j x i :llä, niin oveltmll puoliuunnikäännön perumuoto kuhunkin o-ln, dn I h [ f x 0 f x ] h [ f x f x ] h [ f x f x 3 ]...... h [ f x n f x n ] h [ f x n f x n ] 7()
MAA Tää x 0 = j x n = b j h= b n. Otetn tää vielä h tekijäki, niin dn Puoliuunnikääntö I h [ f x 0 f x f x... f x n- f x n- f x n ] Eimerkki 49 Arvioi määrätyn integrlin eitemään oväliin. Arvioi tuloken trkkuutt. in xdx rvo puoliuunnikäännön vull. J väli 0 Kok nyt h= 7 in x dx 0, niin puoliuunnikäännön vull dn 7 [ 6 in 0 in i 7 in ]=,84. i= Tulo on trkempi kuin minä oliin intuitiivieti, menetelmän tekniikk jtellen odottnut. Trkk rvo on nimittäin promille. in co,89, jolloin uhteellinen virhe on noin neljä Vtu: Integrlin rvo on noin,89. Eimerkki 50 Tutkij mitti veden virtunopeutt putke in yhtä pitkin ikvälein. Se vihteli oheien tulukon mukieti. Lke mittupiteen ohi virrnneen veden määrä koko mittuikn. 0 h h h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h 0,5 m3 0,6 m3 0,35 m3 0,36 m3 0,30 m3 0,5 m3 0,8 m3 0,0 m3 Jo mittupiteitä piirretään murtoviiv, tämän murtoviivn j ik-kelin väliin jäävä pint-l rvioi virrnneen veden määrää, kok veden määrä on virtunopeu kert ik. Arvioidn tätä 8()
MAA l puoliuunnikäännöllä. Edellä käytettyjen merkintöjen mukieti dn (eimerkiki [;b] = [0;7], h = ) I h [ f x 0 f x f x... f x n f x n f x n] = [ 0,50,60,350,360,300,50,8 0,0 ] =,85 Toki vei virti ennen mittuten loittmit j myö niitten jälkeen, mutt itä ei kyytty. Vtu: Vettä virti noin,8 m 3. Simponin ääntö Kehitän nyt hyväki lopuki vielä puoliuunnikääntöä eteenpäin. Approkimoin funktiot äärelliellä välillä elliell toien teen polynomill, jok mt rvot välin päätepiteiä j kekipiteeä kuin pprokimoitv funktio. Tätä n itten pprokimointikvt määrätylle integrlille. Menetelmää notn Simponin äännöki (Simpon' rule) ti Simponin menetelmäki. En uorit yhtälöitten johtmit tää, vn nnn ne vlmiin. Ooittutuu, että tällä tvll tv pprokimtio riippuu inotn funktion tunnetuit kolmet rvot ekä välin pituudet. Trktelen enin Simponin äännön perumuoto eli minittu tekniikk kerrll koko integrointiväliin. Vrininen Simponin ääntö ovelt tätä peritett integrointivälin oväleihin vtvll tvll kuin puoliuunnikäännön tpuke. Aloitn eimerkit lkemll yhden integrlin pelkän perumuodon vull. Jo pprokimoitv funktio on y = f(x) j integroitv väli on [;b], niin Simponin äännön perumuodon mukn on Eimerkki 5 b f xdx b b [ f 4 f 6 f b]. Arvioi määrätyn integrlin väli eitemään oväliin. Arvioi tuloken trkkuutt. 0,5 in xdx rvo Simponin äännön perumuodon vull. J 0,5 9()
MAA Kvn ijoittmll. kun = 0,5, b = 0,5 j f(x) = in (x): 0,5 in xdx 0,5 [ 0,5 0,5] [ f 0,54 f 0,50,5 f 0,5]=7,66 0-6 Lketn virheen rvioimieki tämä vielä lkukoneen integroimitoiminnoll trjomll koneelle trkk kv. Sdn tulo kvn ntm boluuttinen virhe on 0,7 0 - verrttun iempiin eimerkkeihin! 0,5 in xdx=7,93 0-0,5. Tällä peruteell Simponin. Tämä on kolme proentti. Ei kovin pljon Jetn integroimiväli nyt n kppleeeen ovälejä. Kun Simponin ääntöä ovelletn niin, että integroimiväli jetn oväleihin, e jetn prillieen määrään ovälejä. Nytkin ii n on prillinen. Oheie kuv ovälejä on khdekn eli n = 8. =x 0 x... b=x n Merkitään tvllieen tpn = x 0, b = x n, h= b j n on jkovälien lukumäärä. Seurv n yhtälöä Simponin äännöä knntt huomt, että termien kertoimin ovt vuorotellen j 4 muuten piti enimmäien j viimeien termin kertoimin ovt ykköet. 0()
MAA Simponin ääntö b f xdx h 3 [ f x 04f x f x 4f x 3 f x 4...4f x n - f x n ] Eimerkki 5 Lke integrlin kymmeneen oväliin.,0 e in x dx likirvo Simponin äännön vull. J integroimiväli 0,5 Nyt h =,5, f x=e in x, f x 0 = f 0,5=e in0,5, f x = f 0,500,5=e in 0,65 j niin edelleen, joten,0 e inx dx 0,5,0 0,5 3 0 [ e in0,5 4e,0-0,5,0-0,5 in0,5+ in0,5+ 0 e 0 4e 4e in0,5 +3,0-0,5 0 = 3,59 668. Vtu: Integrlin rvo on 3,59. [in 0,5+ 4,0-0,5 ] [ in0,5+5 e 0 4e,0-0,5,0-0,5 [ in0,5 +7,0-0,5] [in 0,5 +8 ] [in 0,5+ 9 0 e 0 4e 0,0-0,5,0-0,5 ] [in 0,5+ 6 ] 0 e 0 ] [in0,5+ 0,0-0,5 ] e 0 ] Jo vertt tätä huiken trkn lkimen ntmn rvoon 3,59 650, huomt, että kukn ei oll. Jo inull ei ii ole ohjelmito, jok integroi, käytä Simponin kv. Tulukkolkentohjelmi on Simponin kv trvittvt funktiot. Jo inull on ohjelmoitv lkin, lkimei on luultvti myö numeerien integroinnin toiminto. Se käyttää jotin numeerien integroimien pprokimointikv. Eimerkki 53 Lke integrlin 3,0 in x dx likirvo Simponin äännön vull. Käytä kymmentä oväliä.,5 Tällä kert h =,5, f x=e in x, f x 0 = f 0,5=e in0,5, f x = f 0,500,5= ()
MAA e in0,65 3,0 in x dx,5 j niin edelleen, joten,0 0,5 3 0 [ in 0,5 4,0-0,5 in 0,5+ in 0,5+,0-0,5 0 0 4 4,0-0,5,0-0,5 in 0,5+3 in 0,5 + 4 in 0,5+5,0-0,5 0 0 0 in0,5+ 6,0-0,5 0 4 4 in 0,5+7,0-0,5 in 0,5 +8,0-0,5 in0,5+ 9,0-0,5,0-0,5 in 0,5+0 0 0 0 0 ],73 97. Erään lkimen numeerien integroinnin toiminto ntoi tuloken,77 3 pyöritettynä eitemään merkitevään numeroon. Vtu: Kyytyn integrlin rvo on noin,73. ()