Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa, ii X N(μ, 2 ). Haluamme lakea atuaieti valittuje aukkaide kekitulo X odotuarvo. Otamme perujoukota : riippumattoma havaio otoke (X 1,X 2,..., X ). Valittuje aukkaide kekitulo X o amalla otokekiarvo, ii X = 1 X X i Tilae o muute ama kui Mellii moitee ivuje 124-125 ekä 140-141 eitykeä, paite että me tiedämme perujouko jakauma parametrit: μ = 2250 ja = ja haluamme äide pohjalta lakea luottamuväli X:lle. Mellii eitykeä (ja uei muuteki tilatotieteeä) tilae o päivataie: μ o tutemato ja ille laketaa otoke peruteella luottamuväli. Ero äide kahde tapauke välillä o lähiä tulkiallie, lakut ujuvat amaa tapaa lakieamme luottamuväli X:lle kui jo lakiimme e μ :lle. Mellii ivu 124 ekä aiempie harjoituteojalla: E( X) =μ, D 2 ( X) = 2 μ. X i :t ovat yt ormaalijakautueita, jolloi myö otokekiarvo X oormaalijakautuut (ilma approkimaatiotaki), ii i=1 X N(μ, 2 ) Vataava tadardoitu ormaalijakautuut muuttuja o Z = X μ r 2 = X μ, ii Z N(0, 1). Luottamuväli o ymmetrie, eli 95%: luottamuväli alarajaa pieemmä arvo todeäköiyy o 0.025 ja vataavati luottamuväli ylärajaa uuremma arvo todeäköiyy o 0.025. Taulukota äemme, että P ( 1.96 < Z < 1.96) = 0.95. Sijoitetaa Z : paikalle X μ : 1
P ( 1.96 P (μ 1.96 P ( 1.96 < X μ < 1.96) = 0.95, eli < X μ<1.96 )=0.95, eli < X <μ+1.96 )=0.95. Voimme yt ijoittaa lukuarvot: 1a) μ = 1850, =, = 200: P (μ 1.96 < X <μ+1.96 )=0.95, eli P (1850 1.96 < X <1850 + 1.96 )=0.95, eli 200 200 P (1829.2 < X <1870.8) = 0.95. Sii 200 atuaie aluee A aukkaa kekitulo 95%: luottamuväli o (1829, 1871). 1b) Tehtävä o muute ama kui a-kohta, mutta yt μ = 1900 ja =.Sii P (1900 1.96 < X <1900 + 1.96 )=0.95, eli P (1862 < X <1938) = 0.95. Sii atuaie aluee B aukkaa kekitulo 95%: luottamuväli o (1862, 1938). 1c) Edellee μ = 1900 ja =. Tuloje hajotaa ei kuitekaayt tiedetä, jote e ijaa käytetää otoke peruteella arvioitua hajotaa, = 200. Mellii moitee ivulla 141 todetaa, että tää tilateea käytetää tadardoitua muuttujaa t = X μ, joka oudattaa Studeti t jakaumaa vapauateilla 59 (eli -1). Vapauateide määrää 59 ei ole taulukoitu, jote, jote käytetää lähitä taulukoitua vapauateide määrää () ja luetaa Studeti t-jakauma taulukota että vapauatei t 0.025 =2.000. (Huomautu: t jakauma ja e tauluko tulkitaa voi helpottaa vertailu Z tauluko arvoihi: t jakauma o lähellä Z-jakaumaa, itä lähempää mitä uurempi o vapauateide lukumäärä.) 2
P ( 2.000 < t < 2.000) = 0.95, eli ijoittamalla P ( 2.000 P (μ 2.000 P ( 2.000 < X μ < X μ<2.000 < 2.000) = 0.95, jota voidaa lakea )=0.95, eli < X <μ+2.000 )=0.95. Sijoitetaa lukuarvot luottamuväli rajoihi: μ 2.000 = 1900 2.000 200 = 1848. 4, μ +2.000 = 1900 + 2.000 200 = 1951. 6 aukkaa tuloje kekiarvo eli X: 95 %: luottamuväli o tää tapaukea ii (1848, 1952) 2) Tilae vataa yt täyi Mellii ivuje 141-142 eitytä. Tiedämme että perujouko jakauma X oudattaa (tutkittava omiaiuude eli paio uhtee) ormaalijakaumaa X N(μ, 2 ).Parametrit μ ja 2 ovat tutemattomia, ja haluamme otoke peruteella lakea μ:lle luottamuväli. Mittaamme ii toiitaa riippumatta : eri tuottee paiot (X 1,X 2,..., X ) ja aamme tulokea, että otokekiarvo o X = 1 X X i = 2250,, i=1 ja otokekihajota o v u = t 1 X (X i 1 X) =. Mellii moitee ivu 141 peruteella tadardoitu muuttuja i=1 t = X μ oudattaa Studeti t-jakaumaa vapautatei ( 1). 3
Tällöi P ( t 0.025 < X μ <t 0.025 ), jota euraa, että P ( X t 0.025 <μ< X + t 0.025 (Vertaa edellie tehtävä c-kohtaa.) )=0.95. a) =10,vapauateita o ii yhdekä, jolloi t 0.025 =2.262. Näi olle P ( X t 0.025 <μ< X + t 0.025 ) = P (2250 2.262 <μ<2250 + 2.262 ). 9 9 Lakemalla aadaa luottamuväli rajoille umeeriet arvot: 2250 2.262 = 2136. 9, 9 2250 + 2.262 = 2363. 1 9 μ : 95%: luottamuväli o ii (2137, 2363) b) =40,vapauateita o ii 39. Valitemme lähimmä taulukoide vapauateide määrä eli 40, jolloi t 0.025 =2.021 P ( X t 0.025 <μ< X + t 0.025 )= P (2250 2.021 <μ<2250 + 2.021 ). 40 40 2250 2.021 = 2202. 1, 40 2250 + 2.021 = 2297. 9 40 μ : 95%: luottamuväli o ii (2202, 2298). c) = 100,vapauateita o ii 99. Valitemme lähimmä taulukoide vapauateide määrä eli 100, jolloi t 0.025 =1.984 P ( X t 0.025 <μ< X + t 0.025 ) = P (2250 1.984 <μ<2250 + 1.984 ) 100 100 2250 1.984 = 2220. 2, 100 2250 + 1.984 = 2279. 8,eli 100 μ : 95%: luottamuväli o ii (2220, 2280). d) = 1000,vapauateita o ii 999. Valitemme lähimmä taulukoide vapauateide määrä eli 500, jolloi t 0.025 =1.965 4
<μ< X + t 0.025 P ( X t 0.025 2250 + 1.965 ) 1000 2250 1.965 = 2240. 7, 1000 2250 + 1.965 = 2259. 3,eli 1000 μ : 95%: luottamuväli o ii (2241, 2259). )=P (2250 1.965 1000 <μ< 3a) Olkoo X ikotiiipitoiuu (ykikköä milligrammat). Tiedämme että X: kekihajota =5. Merkitää X: odotuarvoa μ :llä. Mellii ivu 147 ja aiempie tehtävie peruteella tiedämme, että μ : 95%: luottamuväli o X ± 1.96. Tää ii 1.96 = z 0.025 Kyeie luottamuväli aa olla eitää X ± 1.Tämä toteutuu, ku 1.96 1.96 1, eli ku 5 1, eli ku µ 2 1.96 5 =96. 04 1 Otokoko o kokoailuku, otokoo tulee ii olla vähitää 97. b) Taulukota voimme arvioida, että z 0.025 =2.575. Vaatimu ii o, että µ 2 2.575 5 = 165.77 1 Otokoo tulee olla vähitää 166. 4) Tiedämme, että umopaiijoide paio (ykikköä kilogrammat) oudattaa ormaalijakaumaa odotuarvolla 245 ja variailla 400. Sii X (i) N(245, 400). OlkooY yhdekä atuaie umopaiija paio umma, ii Y = X 1 + X 2 +... + X 9,joaX i :t ovat riippumattomia ja amoi jakautueita. Mm. harjoitutehtävä 6.5 : tulote peruteella voimme aoa uoraa, että E(Y )=9 E(X) = 2205, D 2 (Y )=9 D 2 (X) = 30 = 2, ja Y N(2205, 2 ). 5
O hyvä huomioida, että Y o atuaimuuttujie umma, ei kekiarvo. Vataava tadardoitu muuttuja o Z = Y 2205 a) Muitamme tai äemme taulukota, että P ( 1.96 < Z < 1.96) = 0.05. Sijoitetaa Z : paikalle Y 2205 ja laketaa: P ( 1.96 < Y 2205 < 1.96) = P (2205 1.96 <Y <2205 + 1.96 ) = P (2087. 4 <Y <2322. 6) Yhdekä umopaiija kokoaipaio 95%: luottamuväli o ii (2087, 2323). b)hiieitoimi,joy>2250. 2250 2205 P (Y > 2250) = P (Z > )=P(Z >0.75) = 1 P (Z <0.75) = 1 0.7734 0.23 5) Mellii ivu 149 tuloki ja merkiöi:puakukkaite kavie uhteellie ouu otokea o P = X = 1 =0.340 43. Tällöi Q =1 P =1 0.340 43 = 0.659 57 Olkoo p puakukkaite kavie todellie ouu, joka o tutemato. Otoke peruteella rvoimme approkimoida ille 95%: rluottamuväli: (0.34043 1.96, 0.34043 + 1.96 ). Lakemalla äemme, että luottamuväli alaraja o r 0.34043 1.96 = 0.294 04. Yläraja puoletaa o r 0.34043 + 1.96 = 0.386 82. p: 95% luottamuväli o ii (0.294, 0.387).Tuottaja ilmoittama puakukkaite kavie ouu eli 0.3 mahtuu ii juuri ja juuri luottamuvälille. 6