Dynaiikka hu..3 Dynaiikan thtävä Lähdtään liikkll statiikan rusyhtälöstä K Q = F ( Hitausvoiariaattn ukaan yhtälö on voiassa yös dynaiikan onglassa, ikäli kuoritusvktoriin F sisällyttään lisäksi hitausvoiin kvivalnttist lauskkt, jotka kootaan tavallisn taaan sijoittlusuaaalla n lntittäin. Hitausvoia voidaan tulkita tilavuusvoiaksi, jonka tihys on ρ f = ρ uɺɺ ( Olttaalla, ttä lntin kunkin istn P kiihtyvyys voidaan lausua lntin solukiihtyvyysvktorin avulla uodossa uɺɺ = N qɺɺ (3 saadaan lntin vastaavat kvivalnttist soluvoiat H f = ρn N q dv = ρn N dv q = q V V ɺɺ ɺɺ ɺɺ (4 Kutsutaan dllä olvaa atriisia lntin (konsistntiksi li yhtnsoivaksi assaatriisiksi, ikäli käyttään saaa introlointiatriisia N kuin siirtyäkntän uodostaisssakin ρn N dv (5 = V Statiikan rusyhtälö saadaan nyt uotoon K Q " " H " " = F + f = F qɺɺ (6 Vastaavalla tavalla kuin koko laskntaallin jäykkyysatriisi saatiin lnttin jäykkyysatriisista sijoittlusuaukslla, saadaan yös koko laskntaallin assaatriisi M " " (7 = Massaatriisilla M on saa dinsio ja uolinauhanlvys kuin koko laskntaallin jäykkyysatriisilla K. Kontinuuirakntn linaarisn vaintaattoan liikonglan FEM-allin rusyhtälö saatiin nyt uotoon M Qɺɺ + K Q = F (8
Dynaiikka hu..3 Konsistntin assaatriisin consistnt ass atri otti tittävästi nsiäisnä käyttöön Archr v. 965. Aikaisin oli käyttty yksinkrtaisaa assaatriisia, jossa lntin assa oli jattu istassoiksi lnttin soluill. ällainn assaatriisi on lävistäjäatriisi, josta nglanninkilssä käyttään niitystä lud ass atri. Ylissti ottan konsistntin assaatriisin käyttö johtaa tarkiin tuloksiin kuin kskittyn assaatriisin käyttö. Joissain thtävätyyissä kuitnkin lävistäjätyyisn assaatriisin käyttö on huoattavasti thokkaaaa kuin nauhaaisn atriisin. Esirkiksi kääntisatriisin saa ottaalla lävistäjäalkioidn kääntisluvut. Sauvalntin assaatriisi y (,y q 4 q 3 q L (,y q Sauvan siirtyä voidaan lausua N 0 N 0 0 N 0 N u = q = Nq (9 issä introlaatiofunktiot ovat N = ξ = + ξ ( N ( jotn konsistntin assaatriisin lauskkksi saadaan (0
Dynaiikka hu..3 N 0 N N 0 N 0 ρ A L = ρ dv N N = N 0 0 N 0 N V ( ξ ξ ( ξ ( ξ ( + ξ 0 0 N 0 0 0 0 ρ A L 0 0 ξ 0 0 ρ A L = dξ 8 = 6 0 0 0 0 0 ξ 0 0 0 ( + ξ dξ ( Huoataan, ttä assaatriisi i riiu sauvan asnnosta. Kskittty assaatriisi saadaan laskalla kunkin rivin sua lävistäjäll 0 0 0 0 0 0 ρ A L k = ( 0 0 0 0 0 0 Palkkilntin assaatriisi Koln soluvaausastn alkkilntti Palkin siirtyät u ja v voidaan lausua q q u N 0 0 N 0 0 q 4 3 u = = v = 0 N N3 0 N5 N Nq (3 6q4 issä uotofunktioidn atriisi on q 5 q 6 / ( ξ 0 0 /( + ξ 0 0 N = (4 0 /4 3 ξ+ ξ3 L/8 ξ ξ + ξ3 0 /4 + 3 ξ ξ3 L/8 ξ+ ξ+ ξ3 Massaatriisi voidaan uodostaa yös liik-nrgian lauskksta, kutn suraavassa sityksssä. Palkin kinttinn nrgia on 3
Dynaiikka hu..3 = ρ uɺ ξ uɺ ξ dv (5 V ( ( Jos alkin oikkilikkaus on vakio, niin sn liik-nrgia voidaan kirjoittaa ρ AL ρ AL = d d qɺ N Nqɺ ξ = qɺ ξ = N N qɺ qɺ qɺ (6 suorittaalla intgroinnit saadaan assaatriisiksi (consistnt ass atri of 6-dof EB ba 40 0 0 70 0 0 0 56 L 0 54 3L 0 L 4L 0 3L 3L = (7 40 70 0 0 40 0 0 0 54 3L 0 56 L 0 3L 3L 0 L 4L Saatu assaatriisi uuntuu koordinaatiston kirrossa, kutn vastaava jäykkyysatriisi = L y ' L (8 Sijoittaalla alkin assa istassoiksi soluill uoliksi, saadaan koln soluvaausastn alkin kskittty assaatriisi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k = (9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Kahdn soluvaausastn alkkilntti Kahdn soluvaausastn alkkilntin assaatriisi saadaan oistaalla koln soluvaausastn alkkilntin assaatriisista nsiäinn ja nljäs rivi ja vastaavat sarakkt. Alla on yös kskittty assaatriisi k. 4
Dynaiikka hu..3 56 L 54 3L 0 0 0 ρ A L L 4L 3L 3L 0 0 0 0 ρ A L = k = (0 40 54 3L 56 L 0 0 0 3L 3L L 4L 0 0 0 0 Akslilntin assaatriisi Vääntöakslin lnttinä käyttään kuvan ukaista kohdn solun linaarisn introloinnin lnttiä. L Määrittään sn konsistntti assaatriisi. Elntin tihys on ρ oikkilikkauksn olaarinn nliöontti I, ituus L ja inta-ala on A. Elntin siirtyäsuurt (kirtokulat on havainnollistttu kuvassa q dv y q y r dy d dz z z Lausutaan lntin liik-nrgia solunouksin (kulanouksin avulla. 5
Dynaiikka hu..3 qɺ qɺ ɺ ϕ dj = = c V issä dj on -akslin suhtn laskttavan hitausontin diffrntiaali. Elntin alussa solunouksin aroksiointiin käyttään saoja introlaatiofunktioita kuin siirtyillkin q q ( = N q + N q = [ N N ] = Nq N = ( ξ ϕ ξ ( = N qɺ + N qɺ = Nqɺ N = ( + ξ ɺ ϕ ξ hitausontin diffrntiaali on (,, ( ( ( dj y z = ρr dv dj = y + z da ρd = I + I ρd = I ρd z y A issä r on diffrntiaalialkion täisyys -akslista ja I on oikkiinnan olaarinn nliöontti. Kulanoudn nliö saadaan ( ɺ ϕ ξ = ɺ ϕ ɺ ϕ = qɺ N Nqɺ Liik-nrgian lausk saadaan nyt uotoon = q N N ξqɺ L ɺ ρi d jotn konsistntti assaatriisi saadaan hoognisll alkill L L N NN c = ρi N Ndξ = ρi dξ NN N L ξ L = ρi d I ξ = ρ 4 ξ ( ξ 6 + krrointri saadaan tarvittassa vilä uotoon L AL I ρi I k 6 A6 6A 6 = ρ = = G issä k G on oikkiinnan hitaussäd (katso si. Dynaiikan rustt Oinaisvärähtly Kun liikyhtälössä (8 kuoritusvktori F on 0, saadaan oinaisvärähtlyjn yhtälö M Qɺɺ + K Q = 0 ( ää dustaa vainatonta oinaisvärähtlyä. Valitsalla aikaorigo soivasti, voidaan sn ylinn ratkaisu sittää uodossa 6
Dynaiikka hu..3 ( t = sin 0 Q Q ω t ( jotn kysssä on haroninn värähdysliik, jonka oinaiskulataajuus on ω ja alitudivktori Q 0. Värähdystaajuus f = ω / π ja värähdysaika = / f = π / ω. Sijoittaalla ratkaisu oinaisvärähtlyjn yhtälöön saadaan kahdn atriisin K ja M oinaisarvoyhtälö K Q =ω M Q (3 0 0 Yhtälö voidaan usin uuntaa yhdn atriisin oinaisarvoyhtälöksi, utta suurilla systillä uunnos i kannata. Vaihtaalla rkintöjä yhtälö saa uodon K = λ M (4 ällä yhtälöllä on triviaaliratkaisun = 0 lisäksi ratkaisuja vain, jos dtrinanttiyhtälö [ λ ] dt K M = 0 (5 totutuu. Dtrinanttiyhtälöllä on n juurta λ i, issä n on atriisin K ja M dinsio. N ovat yhtälön (4 oinaisarvot ja kutakin niistä vastaa oa oinaiskulataajuutnsa ωi = λi. Kun oinaisarvo λ i sijoittaan yhtälöön (4 saadaan tästä ratkaistua vastaava oinaisvktori i. S dustaa kysisn oinaisvärähtlyn oinaisuotoa (värähdysuotoa. Oinaisvktorin ituus i ratka yhtälöstä (4, sillä yhtälön ollssa hoogninn s totutuu yös vktorilla α i, issä α on ilivaltainn vakio. ästä suraa, ttä oinaisvktorit voidaan norrata. ällä kurssilla i riittää kun norrataan vktorin nsiäinn alkio =. Edllä sittty norraus i titysti i onnistu, jos nsiäinn alkio on 0, jolloin voidaan yrittää valita (sirkiksi toinn alkio =. avallissti oinaisarvot nuroidaan suuruusjärjstyksssä inästä suuraan, jolloin on voiassa (K ja M olttaan ositiivissti sidfiniitiksi 0 λ λ λ3 λn (6 Oinaisarvo 0 tul kyssn, jos systillä on jäykän kaaln liikahdollisuus. Vastaavasti oinaisarvo on ahdollinn, jos systillä on assattoia vaausastita, jolloin assaatriisi M on singulaarinn ja siis ositiivissti sidfiniitti. ää oinaisarvo voi tulla kyssn, kun käyttään kskitttyjä assaatriisja sitn, tti rotaatiovaausastill ol annttu hitautta. 7