Solmu /25 Summi arvioiti itgraali avulla A-Maria Ervall-Hytö Matmatiika ja tilastotit laitos, Hlsigi yliopisto Johdato Molaisia summia voi arvioida itgraali avulla. Itgraalilla saavutttava hyöty o s, ttä usi o paljo hlpompi laska itgraali arvo kui krtoa mikä joki summa arvo o. Esimrkkiä otttakoo summa = + + +, 2 N joka suuruudsta voi olla hakala saoa mitää kovi kokrttista, mutta jota vastaavasta itgraalista x o hlppo saoa paljoki. Tämä simrkki o tksti lopussa harjoitusthtävää. Tarkkoja arvoja tämä mtlmä i ylsä aa, mutta varsi usi täysi riittäviä. Nyrkkisäätö o s, ttä kuha fuktio käyttäytyy suhtllis kiltisti, arvioiti toimii mlko hyvi. Yksikrtaisuudssaa kys o siitä, ttä valitaa sopiva fuktio, joka itgraali sopivalla välillä o varmasti suurmpi, ja joki fuktio, joka itgraali sopivalla välillä o varmasti pimpi kui attu summa. Jotta arvioiissa olisi järkä, vaaditaa luoollisstiki, ttä suuruusluokka i saa hittää kovikaa paljo. Tämä o yksi simrkki ylismmästä s. voilipäpriaattsta, li siitä, ttä litisttää tarkastltava fuktio joidki muid, hyvi tuttuj fuktioid välii. Tarkastltava fuktio o siis kuvittlli juusto, ja vrtailukohtia toimivat fuktiot ovat kuvittllis sämpylä puolt. Yksikrtaisuud vuoksi olttaa kaikkialla, ttä N o positiivi kokoaisluku. Tämä i ol rajoittava oltus, mutta yksikrtaistaa hima otaatiota ja tarkastluj yksityiskohtia. Pruspriaat Halutaa tarkastlla summaa f(), N missä f(x) o (positiivisilla) raaliluvuilla määritlty positiivi fuktio. Yksikrtaisuud vuoksi olttaa lisäksi, ttä f(x) o kasvava tai laskva (li s arvo i saa hittlhtiä, vaa s o mootoi). Jokai summattava voidaa ajatlla muodossa f(), li sllais suorakulmio alaa, joka yksi sivu o ja kohtisuora sivu o f().
2 Solmu /25 Jos halutaaki laska summa f() + f(2) + f(3), vastaa s suraava kuvio ala laskmista: Tätä summaa voidaa arvioida alaspäi itgroimalla fuktiota f(x) väli [, 4] yli, kut suraavasta kuvasta huomataa: ja toisaalta, summaa voidaa arvioida ylöspäi itgroimalla fuktiota f(x) väli [, 3] yli, kut suraavasta kuvasta huomataa: Koska simrkkifuktio o laskva tällä välillä, saadaa summaa mioroitua itgroid summa lähtöpiststä yhdllä lisättyy loppupists. Sitä voidaa majoroida itgroimalla piststä, joka o yksi vähmmä kui summa alkupist, pists, joka o summa loppupist. Tämä voidaa muotoilla suraavaksi lausksi: Laus. Jos raaliluvuilla määritlty itgroituva fuktio f(x) o laskva, ii + f() Jos fuktio o puolstaa ousva, ii + f(x) f() Todistus. Todistus o samalai skä ousvall ttä laskvall fuktioll, jot kskitytää laskva fuktio tarkastluu. Koska fuktio o laskva, pät ku y x, jot + f(y) f() f(x), ja vastaavasti myös f() + = f() f() + = f(), fuktio arvoa yhdssä pistssä voidaa arvioida suraavasti ylös- ja alaspäi: + f() Summaamalla päyhtälöktju saadaa + f() f(x),
Solmu /25 3 ja koska ja saadaa + + f(x) = f(x) = + f() f(x) f(x), kut väitttiiki. Laus o todistttu. Siirrytää yt tarkastlmaa simrkkjä. Harmoi sarja Harmoisksi sarjaksi kutsutaa summaa =. f(x), Tämä sarja hajaatuu, li toisi sao, osasummat lähstyvät äärtötä, ku N kasvaa. Tätä sarjaa o käsitlty simrkiksi Alstalo kirjoituksssa []. Sarja hajaatumi o hlppo todistaa. Käsitllää s si, ja aalysoidaa s jälk osasummi käytöstä hima tarkmmi. Laus. Harmoi sarja hajaatuu. = Todistus. Jaotllaa sarja osiksi ii, ttä tidtää kaikki osi olva suurmpia kui joki attu vakio. Jos tällaisia osia o äärtö määrä, o summa suuruudki pakko olla äärtö., kirjoittaa sarja uusiksi: = =. k= 2 k <2 k+ Tarkastllaa pikkusummia 2 k <2 k+. Huomataa, ttä summassa o 2 k trmiä. Lisäksi jokais trmi suuruus o > 2 k+, sillä 2 k < 2 k+. Nyt summaa o hlppo arvioida: 2 k <2 k+ > 2k = 2k+ 2 k+ = 2. 2 k <2 k+ Tät koko summaa voidaa arvioida = = Todistus o valmis. k= 2 k <2 k+ > k= 2 =. Yllä olva todistus o alklli ja yksikrtai, mutta s i krro juuri mitää summa kasvuvauhdista. Tidämm, ttä summa kasvaa rajatta, mutta hyvi vähä mitää muuta. Jos haluamm titää, mit summa oikasti käyttäytyy, o hyödyllistä käyttää yllä sitltyä priaattta. Laus. Harmois sarja osasummill pät missä < g(n) <. = l N + g(n), Todistus. Hataa summall itgraali avulla hyvä ylä- ja alaraja. Aloittaa alarajasta. Edtää kut dllä sitty priaatt mukaa pitääki. Kuva alku äyttää tältä: Alaraja o siis N+ > = [l x]n+ = l(n + ). x Katsotaa suraavaksi ylärajaa. Kuva alku äyttää tällä krtaa tältä: Ylärajaksi tul siis N < x,
4 Solmu /25 mutta äi arvioimi o harviais huoo ida, sillä x =. Tämä arvio i siis krro mitää. Oglma voidaa kuitki kirtää poistamalla simmäi trmi, li arvoa = vastaava trmi, sillä silloi summaa 2 N vastaava ylärajaitgraali oki Tidämm yt, ttä = + l(n + ) < x = l N. 2 N < + l N. < + l N. Logaritmi summa Arvioidaa suraavaksi summaa l. O slvää, ttä jos N, ii summaki läh äärtötä, sillä myös summattavat kasvavat rajatta. Kiiostavaa oki siis slvittää, kuika opasti tällaist summat kasvavat. Laus. Logaritmisummill pät l = N l N N + h(n), missä < h(n) < l N 2 l 2 + 2. Todistus. Tila o yt hima rilai kui aimmi: logaritmi o kasvava, i laskva fuktio. Tämä i kuitkaa paljo vaikuta laskuihi. Aioa roavaisuus o s, ttä aimmi yläraja atat itgraalit atavatki yt alaraja, ja aimmi alaraja atat itgraalit atavat yläraja. Aloittaa alaraja määrittämisllä. Kuva äyttää tällaislta: Lähdtää muokkaamaa alarajaa: l(n + ) = l N + (l(n + ) l N) > l N. l N < Tämä todistaa väitt. < + l N. Näi saatu arvio o jo rittäi hyvä. Tidämm, ttä pitä vakiota vaill summa käyttäytyy kui l N. Luoolli jatkokysymys titki o: Voidaako saoa jotai rotukssta l N, ku N lähstyy äärtötä? Its asiassa voidaa, ja tämä rotuks raja-arvo tutaa Eulri tai Eulri ja Maschroi vakioa, ja s suuruuski o hyvi tuttu: lim N l N,5772. Tarkastllaa suraavaksi toista simrkkiä. Kaattaa huomioida, ttä l =, jot summa simmäisstä trmistä i tarvits välittää. Tämä o its asiassa riomai asia, sillä jos itgroisimm ollasta alka fuktiota l, olisimm arvioid kassa pulassa (logaritmi vaihtaa mrkkiää ykkösssä, ja lähstyy miius äärtötä olla lähisyydssä). Alaraja o l = l > l x. 2 N Suraavaksi o itgroitava l x. Tämä oistuu hlposti osittaisitgroitia käyttä (jos osittaisitgroiti o viras käsit, voi kaava tarkistaa drivoimalla): l x = x l x = x l x x + C. Itgraali arvoksi siis saadaa jot l x = N l N N +, l > N l N N +. Määrittää yt yläraja. Kuva äyttää tällä krtaa tällaislta:
Solmu /25 5 missä < h(n) < l N 2 l 2 + 2, li < N! < 2 N 4. Laskuj hlpottamisksi kirjoittaa l = l = l N + 2 N Ylärajaksi saadaa yt l = l N + < l N + ja itgraali arvoksi saadaa 2 ja Tät 2 N + 2 2 N l l x l x = N l N 2 l 2 N + 2. l. l < N l N N 2 l 2 + 2 + l N l > N l N N +. l = N l N N + h(n), missä < h(n) < l N 2 l 2 + 2, kut väitttiiki. Todistus o valmis. Tämä arvio o its asiassa jossai milssä jopa hämmästyttävä, sillä pät l N = N l N, li o mlki sama, summataako logaritmit luvuista, 2,..., N yht vai käyttääkö plkästää suurita arvoa, li arvoa l N. Suoraa surauksa saadaa myös N! = N = N = l = = N l N N+h(N) = h(n), Stirligi kaava ataa täll tuloll vilä tarkmma arvio N! 2π, missä tarkoittaa, ttä kaava virh o slvästi pimpi kui attu trmi, li virhtrmi ja atu trmi osamäärä lähstyy ollaa luvu N lähstyssä äärtötä. Suuruusluokka o kuitki jo alkllisi tarkastlui saamassamm kaavassa oiki. Harjoitusthtäviä Thtävä. Suppko vai hajaatuuko sarja =? Thtävä 2. Mitä voit saoa osasummista? Thtävä 3. Rimai ζ-fuktioksi kutsutaa sarjaa ζ(s) = = s, ku Rs > (raaliluvuilla s tämä hto yksikrtaissti vai tarkoittaa s > ). Tidtää simrkiksi, ttä ζ(2) = π2 6. Kuika hyviä arvioita Rimai ζ-fuktio arvoista saadaa tarkastlmalla katkaistuja summia, li osasummia s? Vihj: tarkastl arvio virhttä, li rotusta Viittt ζ(s) s = s. >N [] P. Alstalo, Harmoi sarja. Solmu 3/24.