Antti Toppila sivu 1/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evolutiivinen stabiilisuus populaation määrittämisessä Antti Toppila 24.9.2008
Antti Toppila sivu 2/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Sisältö Pareittainen peli Evoluutio mutaation kautta Evolutiiviset tasapainot Yksilö vastaan Matti Meikäläinen Kotitehtävä
Antti Toppila sivu 3/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Pareittainen peli Ajatusmalli Äärettömän populaation P jäsenet kohtaavat symmetrisessä pelissä Kohtaaminen muuttaa elinkelpoisuutta W riippuen kohtaajien fenotyypeistä (strategioista) Jälkeläiset samaa fenotyyppiä kun vanhempansa Seuraavan sukupolven osuus omaa fenotyyppiä p noudattaa kvalitatiivisesti differentiaaliyhtälöä dp dt = p W W W (1) missä W on keskimääräinen elinkelpoisuus
Antti Toppila sivu 4/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Pareittainen peli Kuvaaminen matriisipelinä Järjestetään lopputulemat palkkiomatriisiksi A = matriisipeli puhtailla strategioilla Haukka-Kyyhky palkkiotaulukko Fenotyypit haukka H ja kyyhky D H D H 1 2 D 0 1
Antti Toppila sivu 5/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Pareittainen peli Dynamiikan analysointi Tutkitaan fenotyypin pärjäämistä alkupopulaatiossa P 0 Elinkelpoisuus keskimääräistä huonompi = Suhteellinen osuus pienenee Elinkelpoisuus keskimääräistä parempi = Suhteellinen osuus kasvaa Peli määrää dynamiikan fenotyyppien suhteellisille osuuksille Pelissä muuttumattomat alkupopulaatiot dp dt = 0 kaikilla p
Antti Toppila sivu 6/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evoluutio mutaation kautta Lähtökohta Puhdas strategia Ennaltamäärätystä toimenpidejoukosta valittavan toimenpiteen suorittaminen joka ei ole määritelty muiden pelin strategioiden suhteen Puhdas startegia vastaa jonkin pelissä oleellisen ja perinnöllisen toimenpiteen valitsemista
Antti Toppila sivu 7/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evoluutio mutaation kautta Mutaatio sekastrategioilla Sekastrategia Puhtaiden strategioiden i pelaaminen vakiotodennäköisyyksillä 0 p i 1, i p i = 1 Uskottava mutaatio, sillä kaksi olemassa olevaa ominaisuutta yhdistyy Voitaisiin mallintaa uutena sarakkeena pelimatriissa Matriisiin odotusarvoiset palkkiot Yleensä oletetaan että kaikki sekastrategiat voivat esiintyä mutaatioissa
Antti Toppila sivu 8/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evoluutio mutaation kautta Muutokset populaatiossa Yksilö taistelee aina satunnaista populaation jäsentä vastaan Startegia muita parempi Strategia yleistyy Strategia kamppailee useammin itseään vastaan Strategiaa I käyttävän yksilön näkökulmasta odotusarvoinen pärjääminen W (I ) = P J E(I, J) J missä P J on strategian J osuus populaatiosta ja E(I, J) pelin lopputulema pelaajalle joka pelaa I :tä kun vastustaja pelaa J:tä.
Antti Toppila sivu 9/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evoluutio mutaation kautta Mutantti puhtaassa populaatiosssa Mutantti J käyttää sekastrategiaa tai puhdasta strategiaa Populaatio vastaa sekastrategialla tai puhtaalla strategialla I Mutantti joutuu taistelemaan myös itseään vastaan Populaatio voittaa jos E(I, I ) > E(J, I ) tai E(I, I ) = E(J, I ) ja E(I, J) > E(J, J) Evolutiivisesti stabiilit strategia (ESS) on strategia joka estää mutanttien lisääntymisen kun (lähes) kaikki populaation jäsenet käyttävät kyseistä strategiaa. Olisi järkevää aina mainita millaisia mutantteja vastaan Voiko konstruoida puhtaiden strategioiden positiivisena lineaarikombinationa sarakkeen joka parempi kun ESS ehdokas?
Antti Toppila sivu 10/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evoluutio mutaation kautta Mutantti polymorfisessa populaatiosssa Mutantti J käyttää sekastrategiaa tai puhdasta strategiaa Populaatio vastaa useilla strategioilla joiden frekvenssi riippuu poulaation jakaumasta Mutantti joutuu taistelemaan muuttuvaa sekastrategiaa vastaan Evolutiivisesti stabiili tila on populaatiojakauma joka palautuu valinnan kautta pienen poikkeaman jälkeen Poikkeama on pieni määrä puhdasta strategiaa/puhtaiden strategioiden sekoitusta.
Antti Toppila sivu 11/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evolutiivisesti stabiilien strategioiden olemassaolo Kahden strategian pareittainen peli Kahdella strategialla aina ESS a > c H ESS d > b D ESS a > c, d > b D ja H ESS Muulloin sekastrategia PH+(1 P)D b d missä P = on ESS (b d) + (c a) Myös jakaumaa noudattava puhdas populaatio on evolutiivisesti stabiili tila H D H a b D c d
Antti Toppila sivu 12/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evolutiivisesti stabiilien strategioiden olemassaolo Usean strategian pareittainen peli ESS ei välttämättä ole olemassa eikä ESS:ää vastaava polymorfinen populaatio välttämättä stabiili ESS ei olemassa (ε < 0 ja pieni) ε > 0: I = 1 3 K + 1 3 P + 1 3 S on ESS ESS vastaava populaatiojakauma 1 3 K, 1 3 P, 1 3 S epästabiili (syklinen käytös) Kivi-Paperi-Sakset peli K P S K ε 1 1 P 1 ε 1 S 1 1 ε
Antti Toppila sivu 13/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Monimutkaisempia strategioita Haukka-Kyyhky-Kostaja peli 1/3 Kostaja R haukka haukkaa (H) ja kyyhky kyyhkyä (D) vastaan Kostajan strategia riippuu muiden valitsemasta strategiasta Voidaan mallintaa matriisipelinä (a) Pelissä (b) oletettu että Kostaja joskus haukka myös kyyhkyä vastaan H D R H 1 2 1 D 0 1 1 R 1 1 1 (a) H D R H 1 2 1 D 0 1 0.9 R 1 1.1 1 (b)
Antti Toppila sivu 14/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Monimutkaisempia stretegiota Haukka-Kyyhky-Kostaja peli 2/3 Bishop & Cannings (1978) Jos I on seka-ess jossa positiivisilla todennäköisyyksillä strategiat J 1, J 2,..., J n niin E(J 1, I ) = E(J 2, I ) =... E(J n, I ) Ehdot tarkistettava kaikille puhtaiden strategioiden permutaatioille jos halutaan löytää kaikki potentiaaliset ESS:t Sovelletaan ehtoja peliin (b) Kaksi ESS:ää: I = 1 2 H+ 1 2 D ja R Satulapiste S = 1 200 90 11H+ 319D+ 319 R
Antti Toppila sivu 15/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Monimutkaisempia stretegiota Haukka-Kyyhky-Kostaja peli 3/3 E(I, R) < E(R, R) kun I {H, D} eli R on ESS E(H, I ) = 1 2 + 1 2 2 = 1 2 ja E(D, I ) = 1 2 0 + 1 2 = 1 2 eli E(I, I ) = 1 2 I on ESS jos E(I, I ) > E(R, I ) = 1 2 + 1.1 1 Miten nähdään että S satula? E(H, H) < E(H, S) ja E(D, D) < E(D, S) mutta E(R, R) > E(R, S) ja E(I, I ) > E(I, S) 2 = 1 20 H I R S D
Antti Toppila sivu 16/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Yksilö vastaan Matti Meikäläinen Periaatteet Pelataan yhteisön ominaisuutta vastaan Kukat kaikkien ymäröivien kukkien kanssa W (I, J) straegiaa I käyttävän pärjääminen J populaatiossa P q,j,i on populaatio P = qj + (1 q)i I on ESS jos kaikille J I joko W (J, I ) < W (I, I ) { W (J, I ) =W (I, I ) tai W (J, P q,j,i <W (I, P q,j,i ) pienille q Polymorfismi ei välttämättä jakautunut strategioden suhteessa
Antti Toppila sivu 17/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Yksilö vastaan Matti Meikäläinen Sukupuolijakaumapeli 1/2 Naiset synnyttävät N kpl miehiä ja naisia suhteessa s : (1 s) Mitataan kelpoisuutta lapsenlapsien määränä populaatiossa jonka strategia s : [ W (s, s ) = W (s, s ) = N 2 1 s + s 1 ] s s Jos kaikissa suhteissa 0 s 1 voidaan synnyttää on s paras jos [ W (s, s ] ) = 0. s s=s Saadaan s = 0.5.
Antti Toppila sivu 18/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Yksilö vastaan Matti Meikäläinen Sukupuolijakaumapeli 2/2 Strategia s = 0.5 stabiili jos W (s, s ) < W (s, s ) kaikilla s s, s = qs + (1 q)s eli 1 s + s 1 s s < 1 s + s 1 s s kaikilla s s. Epäyhtälö on tosi strategia s stabiili Voisiko tämän tarkistaa toisen derivaatan perusteella? [ 2 W (s, s ] ) s 2 s=s.
Antti Toppila sivu 19/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Kotitehtävä Tehtävänanto Haukka-Kyyhky- Kostaja peli Haukka-Kyyhky peliin lisätään mutaatio M joka luulee 100τ % kyyhkyistä ja mutanteista haukoiksi. Mutantti on haukka oikeita tai uskottuja haukkoja vastaan, muulloin kyyhky. Haukkamutantti jota luullaan kyyhkyksi aiheuttaa paniikin jolloin paetaan kuten kyyhky. Kaksi mutanttikyyhkyä osaavat jakaa resurssin vain 100α % tehokkuudella. (a) Muotoile uusi peli! ( 1 2 p) (b) Etsi pelin seka-ess p = p 1 H + p 2 D + p 3 M kun p:ssä esiintyy kaikkia strategioita ja τ, α ]0, 1[. (1 p) (c) Milloin p:tä vastaava polymorfismi on stabiili? ( 1 2 p)
Antti Toppila sivu 20/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Kotitehtävä Vinkit Mathematica rulez Tehtävän ratkaisussa kannattaa ehdottomasti käyttää Mathematicaa tai muuta symbolista ratkaisinta. Mathematican Reduce ja Exists komennot voivat osoittautua kullanarvoisiksi kurssin aikana. Käyttöohjeet helpistä