MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Transkriptio

1 MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

2 Stabiilisuus Systeemin stabiilisuus on sovelluksissa usein päävaatimuksia. Määritelläänkin, mistä oikein on kyse. Piste p R n on systeemin x (t) = F(x(t)) tasapainotila, jos F(p) = 0. Tällöin vakio x(t) = p t on alkuarvotehtävän x(0) = p ratkaisu. Lineaarisella homogeenisella systeemillä x (t) = A(t) x(t) origo on aina tasapainotila: x(0) = 0 = x(t) = 0 kaikilla t. 2 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

3 Stabiilisuus On oleellista tarkastella, miten muut ratkaisut käyttäytyvät. Pakenevatko ne pois tasapainopisteen läheisyydestä, pysyvätkö rajoitetulla etäisyydellä vai lähestyvätkö sitä? Määritellään lineaarisen systeemin stabiilisuus seuraavasti: Origo on stabiili tasapainotila, jos kaikille ratkaisuille pätee: sup t 0 x(t) <. Origo on asymptoottisesti stabiili, jos kaikille ratkaisuille pätee: lim t x(t) = 0. 3 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

4 Stabiilisuus Esimerkki 1 Tarkastellaan edellisen kalvosarjan tyyppitapauksia. Nielulle ja stabiilille fokukselle origo on asymptoottisesti stabiili tasapainopiste. Keskukselle origo on stabiili tasapainopiste, mutta ei asymptoottisesti stabiili. Muissa tapauksissa (lähde, epästabiili fokus, satula) origo on epästabiili tasapainopiste. 4 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

5 Stabiilisuus Yleisesti: Tasapainopistettä p kutsutaan stabiiliksi, jos jokaiselle ɛ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että u B δ (p) = ψ(t, s, u) B ɛ (p) kaikilla t > 0. Ratkaisut siis pysyvät mielivaltaisen lähellä stabiilia tasapainopistettä, kunhan alkupiste on sitä riittävän lähellä. Tasapainopiste p on asymptoottisesti stabiili, jos edellisen lisäksi on olemassa p :n ympäristö B d (p) siten, että v B d (p) = lim ψ(t, s, v) = p, t eli kun riittävän läheltä lähtevät ratkaisut lähestyvät pistettä p. 5 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

6 Epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen käyttäytymistä voidaan tarkastella linearisoimalla ne tasapainopisteiden ympäristössä. Perusajatus on yksinkertainen: korvataan F(x(t)) sen ensimmäisen kertaluvun approksimaatiolla F(x p) DF(p)(x p), kun F(p) = 0. Tässä on F:n Jacobin matriisi. F 1 x 1 DF(p) =.... F n x n... F 1 x n F n x n R n n 6 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

7 Nyt kuvauksen F : U R n jatkuvasta derivoituvuudesta seuraa, että linearisoitu systeemi y (t) = Ay(t), A = DF(p), y(t) = x(t) p, käyttäytyy origon lähellä suurin piirtein samalla tavalla kuin alkuperäinen systeemi tasapainopisteen p lähellä. 7 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

8 Lause 2 Olkoon F : U R n jatkuvasti derivoituva ja olkoon p U systeemin x (t) = F(x(t)) tasapainopiste. Jos matriisin DF(p) kaikki ominaisarvot ovat reaaliosaltaan negatiivisia, niin p on asymptoottisesti stabiili. Jos matriisilla DF(p) on reaaliosaltaan positiivinen ominaisarvo, niin p on epästabiili. Muissa tapauksissa DF(p):n tarkastelu ei riitä, koska vektorikentän F(x) Taylorin kehitelmän korkeamman asteen termit ratkaisevat tilanteen. 8 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

9 Esimerkki 3 Systeemillä [ x1 ] [ 2 x1 + x = 2 2 ] x 2 x 1 + x 2 on origon p = (0, 0) lisäksi tasapainopiste q = (2, 2). Nyt Df(x) = [ ] [ 2 2x Origossa Df(p) = 2 0 ] 1 1 ja tällä on ominaisparit ( 2, [ 1 3 ]) ja (1, [ 0 1 ]).Täten ratkaisut lähestyvät origoa likipitäen suunnasta ± [ 1 3 ] ja poistuvat likipitäen x 2 akselia pitkin. Pisteessä q = (2, 2) saadaan linearisointi matriisilla Df(q) = [ ] , jolla on kompleksiset ominaisarvot 1 2 ± i 7 Täten q on asymptoottisesti stabiili ja ratkaisut lähestyvät sitä pyörien. 9 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista 2.

10 Edellisen esimerkin vektorikenttä f sekä muutamia ratkaisukäyriä. q p 10 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

11 Linearisoinnin avulla voidaan siis hahmotella systeemin globaalia kvalitatiivista käytöstä. Ajatuksena on piirtää tasapainopisteiden lähelle vastaavien linearisoitujen systeemien ratkaisukäyriä ja sovittaa nämä yhteen tasapainopisteiden välimaastossa siten, että ratkaisukäyrät eivät leikkaa toisiaan. 11 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

12 Systeemin x = f(x) tasapainopisteen tyyppi ei aina selviä Jacobin matriisin Df(x) ominaisarvoista. Erityisesti tapauksessa { Re(λ) = 0 jollekin λ Λ(Df) Re(λ) 0 muille λ Λ(Df) ei aiempien lauseiden perusteella osata sanoa mitään. Sovelluksissa ja tutkimuksessa toiveena on usein tasapainoipsteen stabiilius. Muistutus: Stabiilin tasapainopisteen x 0 lähellä x(t) x 0 pysyy pienenä, kun t. 12 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

13 Ljapunovin idea (1892): Normin tilalle etsitään sopiva energiafunktio. Olkoon x (t) = f(x(t)), missä x : R R n, f : R n R, ja olkoon x 0 R n tasapainopiste (ts. f(x 0 ) = 0). Olkoon V : R n R määritelty pisteen x 0 ympäristössä. Merkitään V (x) = V (x) f(x), jolloin d dt V (x(t)) = V (x(t)) x (t) = V (x(t)) f(x(t)) = V (x(t)), ja tasapainopisteessä V (x 0 ) = / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

14 Lause 4 (Ljapunovin stabiilisuuslause) Jos edellä a) x x 0 V (x) > V (x 0 ), b) V (x) 0 pisteen x 0 ympäristössä, niin x 0 on stabiili. ( Energia V ei kasva x 0 :n ympäristössä.) Jos lisäksi c) V (x) < 0, kun x x 0, niin x 0 on asymptoottisesti stabiili. Ehdot a) ja b) toteuttavaa V :tä kutsutaan tasapainopisteeseen x 0 liittyväksi Ljapunov-funktioksi. Erityisesti siis: jos Ljapunov-funktio löytyy, tasapainopiste on stabiili. 14 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

15 Esimerkki 5 [ ] [ x Origo on systeemin 1 2x1 + 3x x 2 = 1 x2 3 ] 2x1 2x 2 2 x 2 3 tasapainopiste. [ Linearisoidun systeemin matriisi 2 0 ] 0 0 ei kerro mitään stabiilisuudesta.yritetään systeemille Ljapunovin funktiota muodossa V (x) = a 1 x1 2 + a 2x2 2, a 1, a 2 > 0. Tällöin ainakin a) toteutuu. Nyt V (x) f(x) = 2a 1 x 1 ( 2x 1 + 3x 1 x 3 2 ) + 2a 2 x 2 ( 2x 2 1 x 2 2 x 3 2 ) = 4a 1 x (6a 1 4a 2 )x 2 1 x 3 2 2a 2 x 4 2, joten valitsemalla a 1 = 2, a 2 = 3 saadaan V (x) f(x) = 8x1 2 6x 2 4, eli V (x) = 2x x 2 2 funktio ja origo on asymptoottisesti stabiili. on Ljapunovin 15 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

16 Gradienttisysteemit Monet systeemit ovat muotoa: x = f(x) = V (x), x U, missä V on reaaliarvoinen C 2 funktio. Tällaisia kutsutaan gradienttisysteemeiksi. Näille V itse on luonnollinen ehdokas Ljapunov-funktioksi. Huom. Tilanteessa x = f(x) = V (x) funktio V on siis vektorikentän f potentiaali, eli f on konservatiivinen. Potentiaalin lokaalit minimit ovat stabiileja, sillä V (x) = V V = V (x) / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

17 Gradienttisysteemit Lause 6 Systeemille x = V (x) pätee: a) V :n arvot vähenevät pitkin ratkaisuja, paitsi tasapainopisteissä. b) Jos p on V :n aito paikallinen minimi, niin se on asymptoottisesti stabiili tasapainopiste. c) Systeemin ratkaisukäyrät leikkaavat V :n tasa arvopinnat kohtisuorasti. d) Jos V on ei-negatiivinen, niin ratkaisuille pätee 0 x (τ) 2 dτ V (x(0)). 17 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

18 Gradienttisysteemit Esimerkki 7 Tutki, onko systeemi [ ] [ x f1 (x = f(x) = 1, x 2 ) cos(x1 )[x = 2 1 sin(x 1 )] 1 2 sin(x ] 1) f 2 (x 1, x 2 ) 1 + sin(x 1 ) x 2 gradienttisysteemi. Ratkaisu: Jotta f olisi jonkun skalaarifunktion gradientti, on f oltava: 1 x 2 = f 2 x 1. Näinhän on: molemmat derivaatat ovat cos(x 1 ). 18 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

19 Gradienttisysteemit Koska f 2 = V x 2, saadaan: Toisaalta V x 1 V (x 1, x 2 ) = x2 0 (1 + sin(x 1 ) ξ) dξ + g(x 1 ) = x 2 (1 + sin(x 1 )) x g(x 1 ) = f 1, josta g:lle x 2 cos(x 1 ) g (x 1 ) = x 2 cos(x 1 ) (1 + sin(x 1 )) cos(x 1 ) 1 2 sin(x 1) eli g(x 1 ) = x1 0 [(1 + sin(ξ)) cos(ξ) + 1 sin(ξ)] dξ 2 = 1 2 (1 + sin(x 1)) cos(x 1). 19 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

20 Gradienttisysteemit Näin ollen V (x 1, x 2 ) = 1 2 (x 2 1 sin(x 1 )) cos(x 1). Tällä on tasapainopisteet (x 1, x 2 ) = (kπ, 1). Parilliset k :t vastaavat V :n minimejä, parittomat satulapisteitä. Oheisessa kuvassa on joitakin V :n tasa-arvokäyriä ja muutama ratkaisukäyrä. x x 1 20 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

21 Heiluri Tarkastellaan vielä yhtä esimerkkiä, itse asiassa sitä, josta aloitimme koko differentiaaliyhtälösysteemien osuuden: Esimerkki 8 Tutki heilurisysteemin x (t) = käyttäytymistä. [ 1 L x ] 2(t) g sin(x 1 (t)) ratkaisuiden 21 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

22 Heiluri Ratkaisu: Systeemin tasapainopisteet ovat (x 1, x 2 ) = (kπ, 0), k Z. Parillista k:ta vastaavat tasapainopisteet merkitsevät fysikaalisesti kaikki samaa: heiluri roikkuu levossa alaspäin. Parittomat k:t vastaavat pystysuoraan ylöspäin tasapainoilevaa heiluria. 2π-erot laskevat vain pyörähdyskierroksia. [ Nyt DF(x) = DF(2jπ, 0) = 0 1 L g cos(x 1 ) 0 [ ] 0 1 L g 0 ], joten tasapainopisteissä ja DF((2j + 1)π, 0) = [ ] 0 1 L. g 0 22 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

23 Heiluri Ominaisarvot ovat vastaavasti λ 1,2 = ±i g L ja λ 1,2 = ± g L. Paritonta k:n arvoa vastaavissa tasapainopisteissä Jacobin matriisilla on siis reaaliosaltaan positiivinen ominaisarvo, joten nämä tasapainopisteet ovat epästabiileja. Kun k on parillinen, ominaisarvot ovat puhtaasti imaginaariset. Tuloksemme ei siis riitä vielä sanomaan stabiilisuudesta mitään. Tarkastelemalla energian säilymistä ala-asento voidaan kuitenkin osoittaa stabiiliksi, mutta ei asymptoottisesti stabiiliksi (harjoitustehtävä). Nämä tasapainopisteet käyttäytyvät siis keskuksen tavoin. 23 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

24 Heiluri Alla on esitetty muutamia ratkaisukäyriä. Huomaa erityisesti epästabiilista tasapainopisteestä toiseen kulkevat ratkaisut. 24 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

25 Heiluri Jos otamme myös ilmanvastuksen huomioon voimana, joka on verrannollinen nopeuteen, systeemi saa muodon eli f(x) = θ (t) = 1 L v(t), v (t) = g sin(θ(t)) αv(t), [ 1 L x ] 2. Nyt tasapainopisteissä g sin(x 1 ) αx 2 [ ] 0 1 DF(2jπ, 0) = L g α [ ] 0 1 ja DF((2j + 1)π, 0) = L. g α ( Ominaisarvot ovat nyt vastaavasti λ 1,2 = α 2 ± α 2 ( λ 1,2 = α 2 ± α ) g L. ) 2 g L ja 25 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

26 Heiluri Täten paritonta k:n arvoa vastaavat tasapainopisteet ovat edelleen epästabiileja, kun taas parillista k:ta vastaa reaaliosiltaan negatiiviset ominaisarvot, ja nämä tasapainopisteet ovat asymptoottisesti stabiileja. Itse asiassa tälle systeemille pätee, että kaikki ratkaisut lähestyvät jotakin tasapainopistettä, ja suurin osa ratkaisuista päätyy stabiiliin tasapainopisteeseen. 26 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

27 Heiluri Alla on esitetty muutamia ilmanvastuksen huomioivan heilurisysteemin ratkaisukäyriä. Suurin osa ratkaisuista päätyy stabiiliin tasapainopisteeseen. 27 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

28 Matlab-esimerkki Pelataan lopuksi vielä vähän diffisyhtälösysteemin avulla toteutettua marmorikuulapeliä Matlabilla. **** Kurssi päättyy tähän, kiitos kaikille! 28 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista