4/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 4: Yhden vaausaseen vaieneva akkvärähely, harninen kuriusheräe LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa n esiey visksisi vaienneun yhden vaausaseen harnisen akkvärähelijän erusalli. Siihen kuuluu jusi k, assa, vaiennin c sekä assaan vaikuava harninen akkvia F() = sin. Kuvasa (c) saadaan liikeyhälö k ( + ) g + c & F() = & () (a) g jusen leiuus k c k (b) k( (c) + ) c& saainen asaain F() g & & & g F() Yhälösä () seuraa edelleen & + c & + k = sin () Oaalla huin inaiskulaaajuuden ω ja vaiennussuheen ζ äärielä saadaan yhälö () kirjieua sandardiun F & 0 + ζ ω& + ω = sin (3) Yhälön (3) yleinen rakaisu n ua Kuva. Visksisi vaienneu värähelijä. = h +, issä h n hgeenisen yhälön & + ζ ω& + ω = 0 yleinen rakaisu ja äydellisen yhälön (3) jkin yksiyisrakaisu. Osa h n sessin VMS09 kaavan (7) ukaan alikriiisen vaiennuksen aauksessa h = Ce ζ ω sin( ω d + ψ ) (4) Osa h n inaisvärähelyä, jka häviää vaiennuksen ansisa neasi. Yksiyisrakaisu n akkvärähelyä ja se vidaan löyää yriefunkiilla
4/ = B sin + B cs ai = Xsin( φ ) (5) issä B ja B sekä X ja φ va vakiia. Yrieisä jälkiäinen n hiean käeväi, jen käyeään siä. Vaki X ja φ saadaan selville sijiaalla yrie liikeyhälöön (3). Neudelle ja kiihyvyydelle ulee derivialla lausekkee & = Xcs( φ ) & = Xsin( φ ) (6) jen sijius liikeyhälöön (3) anaa aluksi ( ω ) Xsin( φ ) + ζ ω Xcs( φ ) = sin (7) Käyäällä kaavassa (7) sinin ja csinin vähennyslaskukaavja saadaan edelleen ( ω ) X( sin csφ cs sinφ ) + + ζ ω X(cs cs φ + sin sinφ ) = sin (8) cs ker- Merkiseällä edellä levan yhälön eri ulilla esiinyvien erien ie uliain saiksi saadaan yhälöari sin ja ( ω ) Xcsφ + ζ ω Xsinφ = ( ω ) Xsinφ ζ ω Xcsφ = 0 (9) jisa saadaan rakaisua yksiyisrakaisussa leva vakiille X ja φ lausekkee ζ / k X = φ = arcan ω (0) + ζ ω ω ω Vaki X ja φ va akkvärähelyn = Xsin( φ) aliudi ja vaihekula. Liikeyhälön (3) yleinen rakaisu n alikriiisen vaiennuksen aauksessa näin llen () = C e ζ ω sin ( ω d + ψ ) + X sin( φ ) ()
4/3 jhn vaki X ja φ saadaan kaavasa (). Vaki C ja ψ ääräyyvä värähelijän alkuehdisa, ua eivä le sessin VMS09 kaavan (8) ukaise, sillä yksiyisrakaisu vaikuaa yös niiden arvihin. Rakaisuksi ulee ässä aauksessa C = & + ζω + ω ζ ω ζ ψ = arcan & + ζ ω () jssa = + Xsinφ ja & = & 0 Xcsφ. 0 VAHVISTUSKERROIN JA SIIRTYVYYS Kun erkiään d = / k ja r = / ω, va vahvisuskerrin M ja vaihekula φ X ζ r M = = φ = arcan (3) d ( r ) + ( ζ r) r Kuvassa n kaavan (3) vahvisuskerien M ja vaihekulan φ kuvaajia aajuussuheen r funkina uuailla vaiennussuheen ζ arvilla. Vahvisuskerien M käyräsösä nähdään, eä kaikki käyrä va nllavaiennusa vasaavan käyrän alaulella. Vaiennus ienenää akkvärähelyn aliudia ja eriyisesi resnanssin läheisyydessä ää ieneneinen n viakasa. Nähdään yös, eä käyrien aksii eivä le khdassa = ω. Ne eivä le yöskään khdassa = ωd = ω ζ, vaan hiean ään vasealla ulella khdassa = ωr = ω ζ, kuen kaavasa (3) vidaan dea esiällä vahvisuskerien M derivaaan nllakha. Arva ω r sanaan resnanssikulaaajuudeksi. Vaienevalla värähelyllä va siis inaiskulaaajuus ω, vaienneu inaiskulaaajuus ω d ja resnanssikulaaajuus ω r Kuva. Vahvisuskerrin.
4/4 erisuuria. Js vaiennussuhde ζ n ieni, va ne kuienkin hyvin lähellä isiaan ja rajaaauksessa ζ = 0 ne va saa. Maksiialiudiksi khdassa = ωr ulee X a / k = (4) ζ ζ ikä n lähes saa kuin inaiskulaaajuua ω vasaava aliudi X ω / k = ζ (5) Kuva 3. Vaihekula. Tisinaan yös inaiskulaaajuua ω sanaan resnanssiaajuudeksi, kska er va käyännössä hyvin ieniä. Vaihekulan φ käyräsösä nähdään, eä vaieneaassa aauksessa ζ = 0 vaihekula φ = 0 resnanssin alaulella ja φ = 80 resnanssin yläulella, jllin siis viaheräe ja siiryävase va vasaavasi saassa ai vasakkaisessa vaiheessa. Kun = ω, n φ = 90 riiuaa vaiennussuheen ζ arvsa. Tarkasellaan seuraavaksi viaa, jka kuvan allissa siiryy alusaan akkvian vaikuuksesa. Tään vian lauseke n kuvan (c) ja kaavjen (5) ja (6) eruseella F () = k + c & = k Xsin( φ) + c Xcs( φ) (6) a Vidaan helsi siaa, eä vian F a () suurin arv n F ( k X) + ( c X) = k X + ( ζ ω) = (7) A / jssa aliudi X saadaan kaavasa (0). Siiryvyydeksi T = FA / ulee lauseke T 0 ( ζ r) ( r ) + ( ζ r) FA + = = (8) F
4/5 Kuva 4. Vaienevan akkvärähelyn siiryvyys. Siiryvyys T n esiey kuvassa 4 aajuussuheen r funkina uuaalla vaiennussuheen ζ arvilla. Kaavasa 8 nähdään, eä T > alueella r < kaikilla vaiennussuheen ζ arvilla, jllin jusen käyö suurenaa siiryvää viaa. Alueessa r > n T <, ja jusen käyö ienenää siiryvää viaa. Huaaan yös, eä alueessa r > vaiennuksen lisääinen suurenaa siiryvää viaa, sillä käyrä enevä khdassa r = risiin. ESIMERKKI VMS4E A L d G θ M 0 sin I 0 c θ Kuvan väänövärähelysyseeissä yörän hiauseni n I0 = 0kg ja yöriisliikeä vasusavan vaienien vaiennusvaki c θ = 300N s. Akseli n eräsä ja sen iuus n L = ja halkaisija d 0 = 40. Teräksen liukuduuli n G = 80GPa. Pyörään vaikuaa harnisesi vaiheleva kuriuseni M 0 sin, jnka aliudi M 0 = kn. Pyörän akkvärähelyn kula-aliudin havaiaan ällöin levan. Määriä kuriusenin kula- aajuus ja suurin ukeen A siiryvä eni. Rakaisu: Akselin väänöneliöeniksi saadaan Iv = π d0 / 3 5,33 0 ja väänöjusivakiksi k = GIv /L 0,06kN. Oinaiskulaaajuudeksi ulee näin llen θ c θ ω = k θ /I0 44,840rad/ s. Vaiennussuheeksi saadaan ζ = 0, 335. I ω Pakkvian aliudia vasaava saainen kulanuus n d = M0 / k θ 0,04974rad ja vahvisuskerrin M = Θ / d 0, 7084. Kaavasa (3) seuraa yhälö 4 0 4 4 ( r ) + ( ζ r) = M r, 433 = r ω 64,6rad/ s Siiryvyydeksi ulee kaavasa (8) T 0, 973 ja siiryvän enin aksiiarv n M T M M A 97,34N A = 0
4/6 HARJOITUS VMS4H Kuvan ukaisen syseein araeri va = 0kg, c = 0Ns / ja k = 4kN/. Pakkvian aliudi n F 0 = 00N ja kulaaajuus = 0rad/ s. Syseein alkuehd va 0 = 0,04 ja & 0 = 0,5 / s. Esiä kaavan () ukainen liikeyhälön yleinen rakaisu ja iirrä sen kuvaaja. Tarkisa ulkse liieenä levalla Mahcad-dkuenilla, jka iirää lisäksi syseein neuden ja kiihyvyyden kuvaaja. Vas. C 0,0578 ψ 33, X 0,0333 φ 3,8 Vihjee: HARJOITUS VMS4H Sähköri n asenneu erisinkaaleen äälle kuvan ukaisesi. Mrin assa n = 68kg ja erisinkaaleen assa M = 00kg. Syseein inaisaajuus n f =,67Hz ja vaiennussuhde n ζ = 0, 0. Rrin eäasaainsa synyy akkvia F () = (00N)sin(3,4 / s). Määriä syseein akkvärähelyn aliudi ja alusaan siiryvä via. Vas. X 0, F 4, N Vihjee: HARJOITUS VMS4H3 Jusi-assa-vaiennin syseeiin khdisuu akkviaheräe F() = sin. Syseein aliudiksi resnanssissa ω = ωr iaaan 5,8. Heräeen aajuuden llessa 80 % resnanssiaajuudesa ω r aliudiksi iaaan 4,6. Määriä syseein vaiennussuhde ζ. Vas. ζ 0, 7 Vihjee: Liieieds: Dkueni laskee ja iirää kaavan () siiryän () kuvaajan. Lisäksi iirreään kuvaaja neudesa v() ja kiihyvyydesä a().