Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa

Ajankohtaista

FuksiProffaBuffa Järjestetään tiistaina kello 16:00 11.10. TUAS-talo, Maarintie 8 aula Pelaa Proffabingoa ja saat FuksiProffaBuffa-haalarimerkin! Ilmoittautuminen aukeaa pian oman kiltasi nettisivuilla. Viimeinen päivä ilmoittautua mukaan on 3.10.

Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa

Suhteellinen liike Nopeusmittauksista suhteellinen nopeus (relative speed) = nopeus suhteessa johonkin koordinaatistoon (frame of reference) Tarkastellaan suoraviivaista liikettä Kaksi havaitsijaa A ja B, jotka liikkuvat toistensa suhteen nopeudella ~v AB Havaitsijoiden koordinaatistojen origot pisteissä O ja O 0 Paikkavektori pisteeseen P havaitsijasta A on ~r = OP ja havaitsijasta B on ~r 0 = O 0 P, jolloin ~r = ~r 0 + ~r AB, missä ~r AB on vektori, joka osoittaa A:sta B:hen Oletetaan, että havaitsija B ei ole kiihtyvässä liikkeessä A:han nähden

Suhteellinen liike y Tarkasteltava piste P O ~r AB ~r ~v O 0 ~r 0 ~v 0 ~v ~v 0 ~v AB x

= Galilein koordinaatistomuunnos Galilein koordinaatistomuunnos Derivoidaan ajan suhteen d~r = d~r 0 + d~r AB =) ~v = ~v 0 + ~v AB, Derivoimalla uudestaan ajan suhteen saadaan d~v = ~a = ~a 0 Jos valitaan A ja B samaan pisteeseen ajanhetkellä t = 0, saadaan muunnoskaavat ~r 0 = ~r ~v AB t ~v 0 = ~v ~v AB ~a 0 = ~a t B = t A

Harjoitus Hahmottele parin kanssa ratkaisua Lentokone lentää nopeudella 240 km h 1 suhteessa ilmaan. Ilman nopeus on 100 km h 1 itään. 1. Mihin suuntaan lentokoneen on lennettävä, jotta se kulkisi pohjoiseen? 2. Mikä on lentokoneen nopeus suhteessa maahan?

Ratkaisu

Konseptitesti 1 Kysymys Mikä seuraavista koordinaatistoista on inertiaalinen (tai lähes inertiaalinen) koordinaatisto? 1. Jyrkkää mäkeä laskeva autoon sidottu koordinaatisto 2. Laukaisualustalta juuri lähteneeseen rakettiin sidottu koordinaatisto 3. Mäkeä ylittävään vuoristoradan vaunuun sidottu koordinaatisto 4. Rajanopeuden saavuttanut laskuvarjohyppääjä 5. Ei yksikään edellisistä

Inertiaalikoordinaatisto (inertial frame of reference) Tasaisella nopeudella liikkuva koordinaatisto Galilein muunnoksen keskeisin ominaisuus on että molemmat havaitsijat mittaavat saman kiihtyvyyden Seuraus: kiihtyvyys invariantti koordinaatistomuunnoksessa, kunhan molemmat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja Merkitys: kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat yhdenvertaisia Koordinaatisto, joka liikkuu tasaisella nopeudella johonkin inertiaalikoordinaatistoon nähden myös inertiaalikoordinaatisto Ei-inertiaalinen koordinaatisto kiihtyvässä liikkeessä Myös normaalikiihtyyys kiihtyvää liikettä Normaalikiihtyvyys muuttaa koordinaatiston liikesuuntaa

Kulmasuureet Kertausta Ympyräradalla kulkevaa kappaletta kuvataan kulmasuureilla Hiukkasen paikka ympyräradalla paikkavektorin ja x-akselin välinen kulma Kulmanopeus! ja ratanopeus v y! = d ja v = ds = d(r ) = R! Kulmakiihtyvyys R = d! = d 2 2 x

Kiihtyvyyden komponentit Kiihtyvyyden tangentiaalikomponentti Normaalikomponentti a T = dv a N = v 2 = R d! = R R = (!R)2 R = R!2

Pyörimisliikkeen vektorisuureet Kertaus Kulmanopeusvektori ~! Kohtisuorassa pyörimisliikkeen tasoa vastaan Suunta määrätään oikean käden säännöllä ~! ~, >0 Kulmakiihtyvyysvektori ~ ~! Samansuuntainen kuin ~! jos >0 Vastakkaissuuntainen jos <0

Pyörimisliikkeen vektorisuureista tarkemmin z Tarkastellaan z-akselin ympäri (vakio)etäisyydellä R, kulmanopeudella! tapahtuvaa ympyräliikettä Säde R voidaan esittää myös paikkavektorin ~r pituuden r ja kulman avulla R = r sin Tällöin ratanopeus v =!r sin R r

Nopeus- ja kiihtyvyysvektorit v =!r sin vektorimuodossa: ~v = ~! ~r Kulmanopeusvektori ~! pyörimistasoa vastaan kohtisuora vektori Suunta oikean käden säännöllä Tasaisessa ympyräliikkeessä vakio ~! Kiihtyvyydellä vain normaalikomponentti Eli ~a = d~v = ~! d~r = ~! ~v ~a = ~! ~v = ~! (~! ~r)! Pätevät tässä muodossa vain kun r ja vakioita

Pyörivät koordinaatistot johtavat fiktiivisiin kiihtyvyyksiin Tarkastellaan suhteellista liikettä kahdesta toistensa suhteen pyörivästä eri koordinaatistosta Toinen koordinaatistoista on inertiaalinen, pyörivä ei ole (miksi?) Tarkoituksena on osoittaa että koordinaatistomuunnoksen seurauksena saadaan ei-inertiaalisessa koordinaatistossa fiktiivisiä kiihtyvyystermejä Saadaan keskipakokiihtyvyys ja corioliskiihtyvyys Molemmat seurauksia pyörivästä koordinaatistosta!

Pyörivät koordinaatistot Kaksi toistensa suhteen pyörivää koordinaatistoa Koordinaatistojen origot O ja O 0 samassa pisteessä O 0 pyörii kulmanopeudella! inertiaalikoordinaatiston O suhteen Mielivaltainen vektori ~ A(t) Koordinaatistossa O Koordinaatistossa O 0 ~A = A x î + A y ĵ + A z ˆk ~ A 0 = A 0 x î 0 + A 0 yĵ0 + A 0 z ˆk 0 Origot samat ~A = A x î + A y ĵ + A z ˆk = A 0 x î 0 + A 0 yĵ0 + A 0 z ˆk 0 = ~ A 0

Aikaderivaatat Tarkkana pilkullisten ja pilkuttomien suureiden suhteen! Inertiaalikoordinaatistossa O Pyörivässä koordinaatistossa O 0 d~ A = da x O î + da y ĵ + da z ˆk 0 d~ A O 0 = da0 x î0 + da0 y ĵ0 + da0 z ˆk 0 Vain yksikkövektorit î, ĵ ja ˆk vakioita inertiaalikoordinaatistossa, joten d~ A 0 O = da0 x î0 + da0 y ĵ0 + da0 z ˆk 0 + A 0 dî 0 x + A 0 dĵ 0 0 y + A 0 d ˆk z

Pyörivän koordinaatiston yksikkövektorit Koordinaatisto O 0 (ja sen yksikkövektorit) pyörii vakiokulmanopeudella! =) dî0 = ~! î, dĵ 0 = ~! ĵ, d ˆk 0 = ~! ˆk =) A 0 dî 0 x + A 0 dĵ 0 0 y + A 0 d ˆk z = A 0 x(~! î)+a 0 y(~! ĵ)+a 0 z(~! ˆk) = ~! A 0 xî + ~! A0 yĵ + ~! A0 ˆk 0 z = ~! A ~ = ~! A ~ Seuraa yleinen aikaderivoimisääntö d~ A O = d ~ A O 0 + ~! ~ A

Paikka- ja nopeusvektorit Sovelletaan derivoimissääntöä paikkavektoreihin d~r = d~r O O 0 + ~! ~r Merkitsemällä saadaan ~v = d~r O ja ~v 0 = d~r O 0 ~v = ~v 0 +! ~r

Kiihtyvyysvektori Kiihtyvyysvektoria muunnettaessa huomattava, että molemmat derivoinnit suoritettava samassa koordinaatistossa ~a = d 2 ~r 2 O Tästä saadaan tulokseksi = d O d~r O ~a 0 = d 2 ~r 2 O 0 = d O 0 ~a = ~a 0 + 2~! ~v {z } 0 + ~! (~! ~r) {z } Coriolis keskipako d~r O 0 Esimerkki siitä, miksi Galilein muunnos menee rikki ei-inertiaalisessa koordinaatistossa kiihtyvyys ei enää invariantti

Maapallon pyörimisen aiheuttama kiihtyvyys Maapallo pyörii kulmanopeudella 7.3 10 5 rad s 1, jonka suunta maapallon keskustasta pohjoisnavalle päin Jos maapallo ei pyörisi, vapaasti putoavalle kappaleelle mitattaisiin kiihtyvyys g 0 Pyörimisen takia maan mukana pyörivä havaitsija näkee kappaleella kiihtyvyyden ~a 0 = ~g 0 2~! ~v 0 ~! (~! ~r)

Keskipakokiihtyvyys maan pinnalla Maan pyöriminen muuttaa maan pinnalla olevien kappaleiden kokemaa maan vetovoiman kiihtyvyyttä Jos kappale paikallaan, Coriolis-termi häviää Efektiivinen vetovoiman kiihtyvyys ~g = ~g 0 ~! (~! ~r) Vetovoiman kiihtyvyys riippuu korkeusasteesta (latitude): Korjaustermin suuruus ~! (~! ~r) =! 2 r cos 2 = 3.34 10 2 cos m/s 2 Korjaustermin suuruus pieni verrattuna g 0 :n arvoon 9.81 m s 2 N ~! ~r ~g 0 ~! (~! ~r)

Pohdintaa Pohdi vierustoverin kanssa ja vastaa Presemoon Tehtävänanto Oletetaan, että eräs kappale liikkuu maanpinnan suuntaisesti eteläisellä pallonpuoliskolla. Miten Corioliskiihtyvyys vaikuttaa kappaleen liiketilaan? Vinkki: Maa pyörii vastapäivään kun katsotaan pohjoisnavalta etelänavalle. Mihin osoittaa kulmanopeusvektori? Luennoijan muistisääntö: kiinalaisille Japani on nousevan auringon maa.

Corioliskiihtyvyys Vaikuttaa kaikkiin maapallon suhteen putoaviin kappaleisiin Esim. vapaasti putoava kappale kaartuu pohjoisella pallonpuoliskolla itään Corioliskiihtyvyyden vaikutuksesta Vastaavasti pohjoisella pallonpuoliskolla maanpinnan suuntaisesti liikkuva kappale kääntyy oikealle Eteläisellä pallonpuoliskolla vasemmalle Fiktiivinen kiihtyvyys! seuraus maapallon pyörimisestä

Corioliskiihtyvyys yleisessä tapauksessa Yleisessä tapauksessa Corioliskiihtyvyydellä myös pystysuora komponentti Esim. matalapaineen keskuksen ympärillä pyörivät ilmamassat kiertävät pohjoisella pallonpuoliskolla vastapäivään koska matalapainetta kohti tulevat ilmavirtaukset poikkeavat keskilinjasta oikealle Eteläisellä pallonpuoliskolla päinvastoin

Karteesinen koordinaatisto z (x, y, z) r dz dx dy Tilavuuselementti dv = dx dy dz x y

Karteesinen koordinaatisto Karteesisen koordinaatiston paikkavektori Nopeusvektori Kiihtyvyys Yleinen vektori ~v = d~r ~a = d~v ~r = xî + yĵ + z ˆk = dx î + dy ĵ + dz ˆk = dv x î + dv y ĵ + dv z ˆk ~A = A x î + A y ĵ + A z ˆk

Napakoordinaatisto Sylinterikoordinaatiston erikoistapaus 2D:ssä y Koordinaatit Etäisyys origosta ' Paikkavektorin ja positiivisen x-akselin kulma Muuntoyhtälöt ' ~r x x(, ') = cos '; (x, y) = p x 2 + y 2 y(, ') = sin '; '(x, y) =arctan y x Huomaa, että 0 ja ' 2 [0, 2 ]

Yksikkövektorit Koordinaattisysteemien koordinaatteja vastaa yksikkövektorit y ~A Yksikkövektori osoittaa kasvavien arvojen suuntaan Tyypillisesti yksikkövektorien suunta riippuu tarkastelupisteestä Napakoordinaatiston paikkavektori ê ' ' ~r ê x ~r(, ') = ê Yleinen vektorisuure napakoordinaatistossa ~A = A ê + A ' ê '

Napakoordinaatiston yksikkövektorit Napakoordinaatiston yksikkövektorit kytketty karteesisen koordinaatiston yksikkövektoreihin apple appleî appleê cos ' sin ' = (Rotaatiomatriisi) ê ' sin ' cos ' ĵ Napakoordinaatiston yksikkövektorit riippuvat ':stä! Lasketaan niiden derivaatat ajan suhteen: dê dê ' = d cos ' î + d sin ' ĵ + dî = d cos ' d' d' î + d sin ' d' = d' ê cos ' + dĵ sin ' d' ĵ = d' ê'

Nopeus ja kiihtyvyys napakoordinaatistossa y Nopeusvektori ~v = d~r ê 0 ' d' ' ~a = d~v ~r 0 ê ' ~r = d ê 0 ê x = d ( ê )= d ê + dê Nopeus h d ê + d' i ê' =... d 2 = 2 ~v = d~r = d ( ê )= d ê + dê = d ê + d' ê' Kiihtyvyys saadaan nopeuden aikaderivaatasta h d' i 2 ê + 2 d d' + d 2 ' 2 ê '

Sylinterikoordinaatisto (x, y, z) =(,, z) z r dz d d Tilavuuselementti dv = d d x y d dz

Sylinterikoordinaatisto Napakoordinaatiston yleistys kolmeen ulottuvuuteen Täydennetty karteesisella z-komponentilla z Muuntoyhtälöt x(, ', z) = cos ' (x, y, z) = p x 2 + y 2 y(, ', z) = sin ' '(x, y, z) =arctan y x z(, ', z) =z z(x, y, z) =z ' z y x

Yksikkövektorit sylinterikoordinaatistossa Paikkavektori ~r = ê + z ˆk Nopeus ~v = d ê + d' ê' + dz ˆk Kiihtyvyys ~a = 2 d d 2 2 d' h d' i 2 ê + d 2 ' 2 ê ' + d 2 z ˆk Yleinen vektori ~ A = A ê + A ' ê ' + A z ˆk z ~r ˆk ê ' ê y x

Pallokoordinaatisto z (x, y, z) =(r,, ) r sin r dr rd d y d r sin d x Tilavuuselementti dv = r 2 sin dr d d

Pallokoordinaatisto Koordinaatteina etäisyys origosta r ja kulmat, ' Muuntoyhtälöt z x(r,', )=r sin cos ' ê r y(r,', )=rsin sin ' z(r,', )=rcos (x, y, z) = p x 2 + y 2 + z 2 p x 2 + y (x, y, z) 2 =arctan z x ' r ê ê ' y '(x, y, z) =arctan y x