D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio, Negatiivinen binomijakauma, Odotusarvo, Otanta, Otanta palauttaen, Otanta palauttamatta, Otantasuhde, Pistetodennäköisyysfunktio, Poissonjakauma, Standardipoikkeama, Varianssi Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja, jonka mahdolliset arvot ovat x, x 2,, x n Oletetaan, että satunnaismuuttujan mahdollisiin arvoihin x, x 2,, x n liittyvät todennäköisyydet ovat yhtä suuria: Pr( = xi ) =, i =,2,, n n Tällöin satunnaismuuttuja noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa, jonka pistetodennäköisyysfunktio on f ( xi) = Pr( = xi) = pi =, i=,2,, n n Diskreetin tasaisen jakauman tunnusluvut Odotusarvo: 2. momentti: Varianssi: n E( ) = µ = x = xi n E( ) Standardipoikkeama: n 2 2 = xi n i = i= D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] n 2 2 2 2 2 = = σ = xi x = n i= n D( ) = σ = ( xi x) n i= 2 TKK @ Ilkka Mellin (2008) /27

Bernoulli-jakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon Pr(A) = p Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (= tapahtuma A ei satu) A c todennäköisyys on Pr(A c ) = p = q Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja seuraavalla tavalla:, jos tapahtuma A sattuu = 0, jos tapahtuma A ei satu Tällöin satunnaismuuttujan jakauma on Pr( = ) = p Pr( = 0) = p = q ja satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on f x p q p q p x x x ( ) =,0< <, =, = 0, Sanomme, että satunnaismuuttuja noudattaa Bernoulli-jakaumaa parametrilla p ja käytämme tästä merkintää: Bernoulli( p) Bernoulli-kokeet ja diskreetit todennäköisyysjakaumat Toistetaan toisistaan riippumatta samaa Bernoulli-koetta ja tarkastellaan tapahtuman A sattumista toistojen aikana. (i) Binomijakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu x kertaa, kun koetta toistetaan n kertaa. (ii) Geometrinen jakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu ensimmäisen kerran x:ssä koetoistossa. (iii) Negatiivinen binomijakauma saadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma A sattuu r. kerran x:ssä koetoistossa. (iv) Poisson-jakauma voidaan johtaa binomijakauman raja-arvona, kun koetoistojen lukumäärän annetaan tiettyjen ehtojen vallitessa kasvaa rajatta. Siten Poisson-jakauma kuvaa harvinaisten tapahtumien todennäköisyyksiä pitkissä toistokoesarjoissa. Binomijakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon Pr(A) = p Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (A ei tapahdu) A c todennäköisyys on Pr(A c ) = p = q Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa n kertaa, n on kiinteä (ei-satunnainen), ennen koetoistojen tekemistä päätetty luku. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia. TKK @ Ilkka Mellin (2008) 2/27

Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärää koetoistojen joukossa. Tällöin satunnaismuuttuja noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p: Bin( np, ) ja sen pistetodennäköisyysfunktio on n x n x f ( x) = Pr( = x) = p q, 0 < p<, q= p, x= 0,, 2,, n x Binomijakauman tunnusluvut Odotusarvo: E( ) = µ = np Varianssi: 2 2 D( ) = Var( ) = σ = npq Standardipoikkeama: D( ) = σ = npq Binomijakauma ja Bernoulli-jakauma Olkoot, 2,, n ovat riippumattomia, samaa Bernoulli-jakaumaa Bernoulli(p) noudattavia diskreettejä satunnaismuuttujia:, 2,, n Bernoulli( p), i =, 2,, n Tällöin diskreetti satunnaismuuttuja i n = i= noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p: Bin( np, ) i Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot, 2,, n ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat binomijakaumia parametrein (n, p), (n 2, p),, (n k, p):, 2,, k Bin( n, p), i =, 2,, k i i TKK @ Ilkka Mellin (2008) 3/27

Tällöin diskreetti satunnaismuuttuja k = i= i noudattaa binomijakaumaa parametrein n = n + n 2 + + n k ja p: Bin( np, ) Geometrinen jakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon Pr(A) = p Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (A ei tapahdu) A c todennäköisyys on Pr(A c ) = p = q Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa kunnes tapahtuma A havaitaan. kerran. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia. Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tehtyjen koetoistojen lukumäärää, kun tapahtuma A havaitaan. kerran. Tällöin satunnaismuuttuja noudattaa geometrista jakaumaa parametrilla p: Geom( p) ja sen pistetodennäköisyysfunktio on x f( x) = Pr( = x) = q p,0< p<, q= p, x=,2,3, Satunnaismuuttujan kertymäfunktio on [ ] F( x) = Pr( x) = ( p) x [x] = suurin kokonaisluku, joka x Komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan mukaan Pr( > x) = Pr( x) = F( x) = ( p) x Geometrisen jakauman tunnusluvut Odotusarvo: Varianssi: E( ) = µ = p 2 2 q D( ) = Var( ) = σ = p 2 [ ] TKK @ Ilkka Mellin (2008) 4/27

Standardipoikkeama: D( ) = σ = q p Negatiivinen binomijakauma Olkoon A otosavaruuden S tapahtuma ja olkoon Pr(A) = p Tällöin tapahtuman A komplementtitapahtuman (A ei tapahdu) A c todennäköisyys on Pr(A c ) = p = q Toistetaan sitä satunnaiskoetta, jonka tulosvaihtoehtoja otosavaruus S kuvaa kunnes tapahtuma A havaitaan r. kerran. Oletetaan lisäksi, että koetoistot ovat toisistaan riippumattomia. Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa tehtyjen koetoistojen lukumäärää, kun tapahtuma A havaitaan r. kerran. Tällöin satunnaismuuttuja noudattaa negatiivista binomijakaumaa parametrein r ja p: NegBin( r, p) ja sen pistetodennäköisyysfunktio on x x r r f ( x) = Pr( = x) = q p,0< p<, q= p r r =, 2, 3, ; x= r, r+, r+ 2, Negatiivisen binomijakauman tunnusluvut Odotusarvo: r E( ) = µ = p Varianssi: 2 2 rq D( ) = Var( ) = σ = 2 p Standardipoikkeama: D( ) = σ = rq p Hypergeometrinen jakauma Olkoon perusjoukon S alkioiden lukumäärä n(s) = N TKK @ Ilkka Mellin (2008) 5/27

Tarkastellaan perusjoukon S ositusta joukkoon A ja sen komplementtiin A c ja olkoon n(a) = r n(a c ) = N r Valitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B ja olkoon n(b) = n Perusjoukon S ositus joukoiksi A ja A c indusoi joukon B osituksen joukoiksi B A ja B A c ; ks. kuvaa oikealla. Olkoon diskreetti satunnaismuuttuja, joka kuvaa joukossa B olevien joukon A (eli joukon B A) alkioiden lukumäärää. Tällöin satunnaismuuttuja noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n: HyperGeom( Nrn,, ) ja sen pistetodennäköisyysfunktio on r N r x n x f ( x) = Pr( = x) =,max[0, n ( N r)] x min( n, r) N n Hypergeometrisen jakauman tunnusluvut Odotusarvo: Varianssi: r E( ) = µ = n N 2 2 r r N n D( ) = Var( ) = σ = n N N N Standardipoikkeama: r r N n D( ) = σ = n N N N Hypergeometrisen jakauman ja binomijakauman yhteys Hypergeometrista jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla, jos otantasuhde n/n n = n(b) = otoskoko N = n(s) = perusjoukon koko on kyllin pieni. Näin on käytännössä, jos TKK @ Ilkka Mellin (2008) 6/27

n/n < 0.05 Huomaa, että jos perusjoukon S koko N lähestyy on ääretöntä, otantasuhde konvergoi nollaa kohden ja siten hypergeometrinen jakauma lähestyy binomijakaumaa. Otanta takaisinpanolla ja ilman takaisinpanoa Poimitaan perusjoukosta satunnaisesti otos (osajoukko) arpomalla alkiot perusjoukosta otokseen yksi kerrallaan. Otoksen poiminta voidaan toteuttaa joko palauttamalla (eli takaisinpanolla) tai palauttamatta (ilman takaisinpanoa): (i) Otannassa palauttaen perusjoukon alkiot arvotaan otokseen yksi kerrallaan niin, että alkiot palautetaan välittömästi jokaisen arpomisen jälkeen takaisin perusjoukkoon, jolloin sama alkio voi tulla poimituksi otokseen useita kertoja. (ii) Otannassa palauttamatta alkiot arvotaan otokseen yksi kerrallaan niin, että alkioita ei palauteta arpomisen jälkeen takaisin perusjoukkoon, jolloin sama alkio voi tulla poimituksi otokseen vain kerran. Olkoon perusjoukon S koko N = n(s) Tarkastellaan perusjoukon S osajoukkoa A, jonka koko on r = n(a) Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B, jonka koko on n = n(b) Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja = A-tyyppisten alkioiden lukumäärä otoksessa B Jos otos poimitaan perusjoukosta palauttaen eli takaisinpanolla, satunnaismuuttuja noudattaa binomijakaumaa parametrein n ja p: Bin( np, ) Jos otos poimitaan perusjoukosta palauttamatta eli ilman takaisinpanoa, satunnaismuuttuja noudattaa hypergeometrista jakaumaa parametrein N, r ja n: HyperGeom( Nrn,, ) Poisson-jakauma Toistetaan samaa satunnaiskoetta ja oletetaan, että toistot ovat toisistaan riippumattomia. Tarkastellaan jonkin tapahtuman A sattumista toistojen aikana. Oletetaan, että tapahtuman A tapahtumaintensiteetti eli keskimääräinen lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden on λ. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja : = Tapahtuman A esiintymisten lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden Tietyin oletuksin satunnaismuuttuja noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λs: Poisson(λs) TKK @ Ilkka Mellin (2008) 7/27

s = ajanjakson pituus aikayksiköissä (tilavuusyksiköiden lukumäärä) λ = tapahtuman A esiintymisten keskimääräinen lukumäärä aika- (tai tilavuus-) yksikköä kohden ja sen pistetodennäköisyysfunktio on λs x e ( λs) f( x) = Pr( = x) =, x = 0,,2, x! Poisson-jakauman tunnusluvut Odotusarvo: E( ) = µ = λs Varianssi: 2 2 D( ) = Var( ) = σ = λs Standardipoikkeama: D( ) = σ = λs Poisson-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma Olkoot, 2,, n ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat Poisson-jakaumia parametrein λ, λ 2,, λ k :, 2,, k Poisson( λ ), i =,2,, k Tällöin diskreetti satunnaismuuttuja i k = i= i noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λ = λ + λ 2 + + λ k : Poisson( λ) Poisson-jakauma ja eksponenttijakauma Olkoon Oletetaan, että ja olkoon i = tapahtumien lukumäärä aikayksikköä kohden Poisson(λ) Y = odotusaika. tapahtumalle (tai tapahtumien väliaika) Tällöin Y on jatkuva satunnaismuuttuja, joka noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla λ (ks. 5. harjoitukset): jolloin Y Exp(λ) TKK @ Ilkka Mellin (2008) 8/27

E(Y) = /λ Voidaan osoittaa, että jakaumien välinen yhteys toimii molempiin suuntiin: ts. jos satunnaismuuttuja = odotusaika. tapahtumalle (tai tapahtumien väliaika) noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla λ: Exp(λ) niin satunnaismuuttuja Z = tapahtumien lukumäärä aikayksikköä kohden noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla λ: Z Poisson(λ) TKK @ Ilkka Mellin (2008) 9/27

Tehtävä 4.. Pelaaja heittää virheetöntä noppaa kymmenen kertaa. (Virheettömässä nopassa jokaisella silmäluvulla i =, 2, 3, 4, 5, 6 on sama todennäköisyys tulla tulokseksi.) (a) Laske silmälukujen summan odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama. (b) Pelaaja saa voittona silmälukujen summan euroina kymmenkertaisena. Mikä on voiton odotusarvo ja standardipoikkeama? Kannattaako peliin osallistua, jos osallistuminen maksaa 400 euroa? Tehtävä 4.. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan diskreettiä tasaista jakaumaa. Tehtävä 4.. Ratkaisu: Pelaaja heittää virheetöntä noppaa. Koska noppa oletettiin virheettömäksi, voidaan olettaa, että nopanheiton tulos on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa. Satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio: f(x) = Pr( = x) = /6, x =, 2, 3, 4, 5, 6 Satunnaismuuttujan odotusarvo: 6 + 2+ 3+ 4+ 5+ 6 2 E( ) = xpr( = x) = = = 3.5 x= 6 6 Satunnaismuuttujan 2. momentti: 6 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 9 E( ) = x Pr( = x) = = 5.7 x= 6 6 Satunnaismuuttujan varianssi: 2 2 2 2 9 2 05 [ ] D ( ) = E( ) E( ) = 2.97 6 = 6 36 Satunnaismuuttujan standardipoikkeama: D( ) = 2.97.708 Kun noppaa heitetään n kertaa, jokaisen heiton tulos i, i =, 2,, n on satunnaismuuttuja, joka noudattaa edellä määriteltyä diskreettiä tasaista jakaumaa. Lisäksi voimme olettaa, että heittojen tulokset ovat toisistaan riippumattomia. (a) Heittotulosten summa 0 Z = i= i TKK @ Ilkka Mellin (2008) 0/27

on diskreetti satunnaismuuuttuja, joka on riipputtomien, samaa (edellä määriteltyä) diskreettiä tasaista jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien i, i =, 2,, 0 summa. Summan Z odotusarvo on ( i i) 0 0 = i= E( Z ) = E = E( ) = 0 3.5 = 35 i Huomaa, että satunnaismuuttujien summan odotusarvo on satunnaismuuttujien odotusarvojen summa, vaikka ko. satunnaismuuttujat eivät olisi riippumattomia. Summan Z varianssi on ( i i) 2 2 0 0 2 = i= D ( Z ) = D = D ( ) 0 2.97 = 29.7 Huomaa, että satunnaismuuttujien summan varianssi on satunnaismuuttujien varianssien summa vain, kun ko. satunnaismuuttujat ovat riippumattomia. Summan Z standardipoikkeama on D( Z ) = 29.7 5.40 i Huomaa, että D(Z) 0 D( k ) ts. satunnaismuuttujien summan standardipoikkeama ei ole satunnaismuuttujien standardipoikkeamien summa. Tämä johtuu siitä, että (positiivisten lukujen) summan neliöjuuri ei ole ko. lukujen neliöjuurien summa. (b) Pelaajan saama voitto Y = 0 Z on diskreetti satunnaismuuttuja. Voiton odotusarvo: E(Y) = 0 E(Z) = 350 Voiton varianssi: D 2 (Y) = 0 2 D 2 (Z) 297 2 Voiton standardipoikkeama: D(Y) 54.0 Koska peliin osallistuminen maksaa 400, pelaajat kärsivät jokaisessa pelissä tappion, jonka suuruus on keskimäärin 400 E(Y) = 400 350 = 50 TKK @ Ilkka Mellin (2008) /27

Tehtävä 4.2. Kone tekee viallisia tuotteita todennäköisyydellä 0.2. Eräänä päivänä kone tekee 0 tuotetta. (a) Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy täsmälleen 2 kpl? (b) Mikä on todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy vähintään kpl? (c) Mikä on odotusarvo viallisten tuotteiden lukumäärälle? Tehtävä 4.2. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa. Tehtävä 4.2. Ratkaisu: Tuotteita valmistava kone tekee viallisia tuotteita todennäköisyydellä 0.2. Päivän aikana tehtyjen viallisten tuotteiden lukumäärä on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa: Bin(n, p) n = 0 p = 0.2 Satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on 0 x 0 x f( x) = Pr( = x) = p ( p), p= 0.2, x= 0,, 2,,0 x (a) Todennäköisyys, että viallisia tuotteita löytyy täsmälleen 2 kpl on 0 2 2 8 Pr( = 2) = 0.2 0.8 = 0.302 (b) Tapahtumana se, että viallisia tuotteita löytyy vähintään kpl voidaan esittää tapahtumana seuraavassa muodossa: { > 0} = { = } { = 2} { = 0} Määrätään todennäköisyys tälle tapahtumalle soveltamalla komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavaa: 0 0 0 Pr( > 0) = Pr( = 0) = 0.2 0.8 = 0.07 = 0.893 0 (c) Odotusarvo viallisten ruuvien lukumäärälle on E() = np = 0 0.2 = 2 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 2/27

Tehtävä 4.3. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tietyllä välillä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen. Kuulien laadunvalvonta on toteutettu niin, että joka sadas valmistettu kuula mitataan. Jos mitatun kuulan halkaisija ei ole ko. välillä, koneen toiminta keskeytetään tarkistusta varten. Oletetaan, että koneen valmistamista kuulista keskimäärin /0 on käyttökelvottomia. (a) Mikä on todennäköisyys, että joudumme tutkimaan vähintään 0 kuulaa ensimmäisen käyttökelvottoman löytämiseksi? (b) Oletetaan, että olemme tutkineet 9 kuulaa löytämättä yhtään käyttökelvotonta kuulaa. Mikä on todennäköisyys, että joudumme tutkimaan vähintään 4 kuulaa lisää ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi? (c) Mikä on odotettavissa oleva lukumäärä kuulille, jotka joudumme tutkimaan ennen ensimmäisen käyttökelvottoman löytymistä? Tehtävä 4.3. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan geometrista jakaumaa. Tehtävä 4.3. Ratkaisu: Poimitaan kuulia tutkittaviksi yksi kerrallaan. Ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan järjestysnumero on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa geometrista jakaumaa: Geom(p) p = 0. on todennäköisyys löytää käyttökelvoton kuula. Satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on x f( x) = Pr( = x) = q p, p= 0., q= p, x=,2,3, (a) Todennäköisyys, että joudutaan tutkimaan vähintään 0 kuulaa ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi on Pr( 0) = Pr ( > 9) = Pr( 9) = F(9) 9 = ( p) 9 = ( p) 9 = 0.9 = 0.387 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 3/27

(b) Oletetaan, että olemme tutkineet 9 kuulaa löytämättä yhtään käyttökelvotonta tuotetta. Tällöin ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan järjestysnumeron on oltava 0 tai suurempi. Se, että joudumme tutkimaan vähintään 4 kuulaa lisää ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi merkitsee sitä, että joudumme kaikkiaan tutkimaan vähintään 3 kuulaa. Siten kysytty todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys Pr( 3 ja 0) Pr ( 3 0) = Pr( 0) Pr( 3) = A B B Pr( 0) F(2) = F(9) 2 0.9 3 = = 0.9 = 0.729 9 0.9 Toisaalta todennäköisyys, että joudutaan tutkimaan vähintään 4 kuulaa ensimmäisen käyttökelvottoman löytämiseksi on 3 Pr( 4) = Pr( > 3) = Pr( 3) = F(3) = 0.9 = 0.729 Se, että Pr( 3 0) = Pr( 4) ei ole sattumaa, vaan tulos voidaan yleistää seuraavaan muotoon: Jos satunnaismuuttuja noudattaa geometrista jakaumaa, niin Pr( a+ b a) = Pr( + b) Tulos merkitsee sitä, että geometrisella jakaumalla on ns. unohtamisominaisuus: Todennäköisyys joutua tutkimaan vähintään b kuulaa lisää ensimmäisen käyttökelvottoman kuulan löytämiseksi ei riipu siitä, kuinka monta kuulaa on jouduttu tutkimaan löytämättä yhtään käyttökelvotonta. Voimme ilmaista tämän sanomalla, että prosessi on unohtanut oman historiansa. (c) Odotettavissa oleva lukumäärä kuulille, jotka joudutaan tutkimaan ennen ensimmäisen käyttökelvottoman löytymistä, on E() = /p = /0. = 0 Tehtävä 4.4. Tehdas valmistaa tuotetta, jolla on erittäin korkeat laatukriteerit. Keskimäärin vain 60 % tuotteista täyttää kriteerit. Valitaan tuotteita satunnaisesti yksi kerrallaan tarkastettavaksi, kunnes on löydetty 3 kelvollista tuotetta. (a) Mikä on todennäköisyys, että joudutaan tarkastamaan enemmän kuin 4 tuotetta? (b) Kuinka monta tuotetta joudutaan keskimäärin tarkastamaan? TKK @ Ilkka Mellin (2008) 4/27

Tehtävä 4.4. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan negatiivista binomijakaumaa. Tehtävä 4.4. Ratkaisu: Poimitaan tuotteita tarkastettavaksi satunnaisesti yksi kerrallaan. Kolmannen kelvollisen tuotteen järjestysnumero on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa negatiivista binomijakaumaa: NegBin(r, p) r = 3 p = 0.6 Satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on x x 3 3 f( x) = Pr( = x) = q p, p= 0.6, q= p, x= 3,4,5, 2 (a) Todennäköisyys joutua tarkastamaan enemmän kuin 4 tuotetta on ( ) Pr > 4 = Pr( 4) = Pr( = 3) Pr( = 4) 3 = 0.6 0.4 0.6 2 = 0.26 0.2592 = 0.5248 3 3 (b) Odotettavissa oleva tuotteiden lukumäärä, jotka joudutaan tarkastamaan ennen kolmannen kelvollisen tuotteen löytämistä on r 3 E( ) = = = 5 p 0.6 Tehtävä 4.5. Pakkauksessa on 00 tuotetta, joista 30 on viallista. (a) Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on viallinen tuote? (b) Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on viallinen tuote? TKK @ Ilkka Mellin (2008) 5/27

Tehtävä 4.5. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa ja hypergeometrista jakaumaa otantaan takaisinpanolla (palauttaen) ja ilman takaisinpanoa (palauttamatta). Tehtävä 4.5. Ratkaisu: Poimitaan pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja = Viallisten lukumäärä tarkastettujen 5:n tuotteen joukossa. Satunnaismuuttujan jakauma riippuu siitä poimitaanko otos ilman takaisinpanoa (palauttamatta) tai takaisinpanolla (palauttaen): Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa, noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos otos poimitaan takaisinpanolla, noudattaa binomijakaumaa. Huomaa, että tehtävän tapauksessa otantasuhde n/n = 0.05 joten binomijakauman pitäisi melko hyvin approksimoida hypergeometrista jakaumaa. (a) Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa, HyperGeom(N, r, n) N = 00 r = 30 n = 5 Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on viallinen on 30 00 30 5 f() = Pr( = ) = = 0.365 00 5 Vertaa tulosta (b)-kohdan tulokseen. (b) Jos otos poimitaan takaisinpanolla, Bin(n, p) n = 5 p = r/n = 0.3 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 6/27

Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on viallinen on f 5 4 () = Pr( = ) = 0.3 0.7 = 0.360 Vertaa tulosta (a)-kohdan tulokseen. Tehtävä 4.6. Tehdas väittää, että korkeintaan % sen tuotteista on viallisia. Ostat 000 tuotetta ja poimit satunnaisesti ilman takaisinpanoa ostamiesi tuotteiden joukosta 25 tuotetta tarkastettavaksi. Mikä on todennäköisyys, että löydät tarkastettujen tuotteiden joukosta enemmän kuin 2 viallista, jos valmistajan väite on oikeutettu? Tehtävä 4.6. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan hypergeometrisen jakauman todennäköisyyksien approksimoimista binomitodennäköisyyksillä. Tehtävä 4.6. Ratkaisu: Poimitaan ostettujen tuotteiden joukosta 25 tuotetta tarkastettavaksi ilman takaisinpanoa. Viallisten lukumäärä tarkastettujen tuotteiden joukossa on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa hypergeometrista jakaumaa: HyperGeom(N, r, n) N = 000 n = 25 Koska otantasuhde r = 000/00 = 0 n/n = 25/000 = 0.025 < 0.05 niin hypergeometrista jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla: a Bin(n, p) n = 25 p = 0.0 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 7/27

Siten todennäköisyys löytää enemmän kuin 2 viallista on (approksimatiivisesti) ( ) Pr > 2 = Pr( 2) = Pr( = 0) Pr( = ) Pr( = 2) = f(0) f() f(2) 25 25 25 = 0.0 0.99 0.0 0.99 0.0 0.99 0 2 = 0.0095 0 25 24 2 23 Tehtävä 4.7. Puhelinkeskukseen tulee keskimäärin 3 puhelua minuutissa. (a) Mikä on todennäköisyys, että 30 sekunnissa ei tule yhtään puhelua? (b) Mikä on todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 4 puhelua? (c) Mikä on todennäköisyys, että seuraavan minuutin aikana ei tule yhtään puhelua, jos edellisenä minuuttina puheluita oli 4? (d) Mikä on odotettavissa olevien puheluiden lukumäärä yhden tunnin aikana? Tehtävä 4.7. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan Poisson-jakaumaa. Tehtävä 4.7. Ratkaisu: Oletetaan, että ajanjaksona, jonka pituus on s minuuttia, puhelinkeskukseen tulevien puheluiden lukumäärä on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa: Poisson(λs) s = ajanjakson pituus minuutteina λ = minuutissa keskukseen tulevien puheluiden keskimääräinen lukumäärä = 3 Satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on 3 s x e (3 s) f( x) = Pr( = x) =, x= 0,,2, x! (a) Nyt s = 0.5 min joten λs = 3 0.5 =.5 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 8/27

Siten todennäköisyys, että /2 minuutissa ei tule puheluita, on.5 0 e (.5) Pr( = 0) = = 0.223 0! (b) Nyt s = min joten λs = 3 = 3 Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 4 puhelua, on Pr( 4) = Pr( = x) = 4 x= 0 4 x= 0 e λs ( λs) x! x 0 2 3 4 3 3 3 3 3 3 = e + + + + 0!! 2! 3! 4! = 0.0498 ( + 3+ 4.5 + 4.5 + 3.375) = 0.0498 6.375 = 0.853 (c) Olkoon i = minuutin i aikana tulleiden puheluiden lukumäärä, i =, 2. Satunnaismuuttujia ja 2 voidaan pitää riippumattomina ja lisäksi kumpikin noudattaa Poisson-jakaumaa: i Poisson(λs) s = min λ = 3 Riippumattomuuden nojalla e 3 0! 3 0 3 Pr ( = 0 2 = 4) = Pr( = 0) = = e = 0.0498 (d) Nyt s = 60 min joten λs = 3 60 = 80 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 9/27

Siten odotettavissa oleva puheluiden määrä tunnin aikana on E() = λs = 80 Tehtävä 4.8. Pikkupullaan käytetään dl taikinaa. Kuinka monta rusinaa 0 litraan taikinaa on vähintään sekoitettava, jotta satunnaisesti valitussa pullassa olisi vähintään rusina suuremmalla todennäköisyydellä kuin 0.95? Tehtävä 4.8. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan Poisson-jakaumaa. Tehtävä 4.8. Ratkaisu: Oletetaan, että hyvin sekoitetussa taikinaerässä, jonka koko on s dl, rusinoiden lukumäärä on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa: Poisson(λs) s = taikinaerän koko desilitroina λ = rusinoiden keskimääräinen lukumäärä desilitrassa taikinaa Todennäköisyys, että taikinassa on vähintään rusina tilavuusyksikössä on ( ) 0 λ λ λ Pr = Pr( < ) = Pr( = 0) = e = e 0! Asetetaan tälle todennäköisyydelle ehto ( ) Pr = e λ 0.95 joka toteutuu, jos log(0.05) λ = 2.996 log( e) 0 litrassa taikinaa on 00 dl. Koska 00 2.996 = 299.6 taikinaan pitää sekoittaa vähintään 300 rusinaa, jotta satunnaisesti valitussa pullassa olisi vähintään rusina suuremmalla todennäköisyydellä kuin 0.95. Tehtävä 4.9. Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Poimitaan korkeakoulun opiskelijoiden joukosta satunnaisesti 20 opiskelijaa. (a) Mikä on todennäköisyys, että poimituksi tulee vähintään 5 naisopiskelijaa? (b) Mikä on odotettavissa oleva naisopiskelijoiden lukumäärä? TKK @ Ilkka Mellin (2008) 20/27

Tehtävä 4.9. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan hypergeometrisen jakauman todennäköisyyksien approksimoimista binomitodennäköisyyksillä. Tehtävä 4.9. Ratkaisu: Oletetaan, että otokseen poimitut 20 opiskelijaa poimitaan kaikkien korkeakoulun opiskelijoiden joukosta satunnaisesti ilman takaisinpanoa. Tällöin naisopiskelijoiden lukumäärää otoksessa on diskreetti satunnaismuuttuja, jonka noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos korkeakoulun opiskelijoiden lukumäärä on kyllin iso, satunnaismuuttujan jakaumaa voidaan approksimoida binomijakaumalla: a Bin(n, p) n = 20 p = 0.2 (a) Todennäköisyydeksi, että valituiksi tulee vähintään 5 naisopiskelijaa, on komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla (approksimatiivisesti): Pr( > 4) = Pr( 4) 4 = Pr( = i) i= 0 4 20 i 20 i = 0.2 0.8 i= 0 i = 0.0529 0.057646 0.36909 0.205364 0.2899 = 0.629648 = 0.370352 Esimerkiksi: 20 20 20! 9 Pr( = ) = 0.2 0.8 = 0.2 0.8 = 0.057646!9! (b) Odotettavissa oleva naisopiskelijoiden lukumäärä on E() = np = 20 0.2 = 4 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 2/27

Tehtävä 4.0. Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Oletetaan, että opiskelijat tulevat koulun opiskelijaravintolaan täysin satunnaisesti. (a) Mikä on todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 5 opiskelijaa ennen ensimmäistä naisopiskelijaa? (b) Mikä on ensimmäisen ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo? Tehtävä 4.0. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan geometrista jakaumaa. Tehtävä 4.0. Ratkaisu: Ravintolaan ensimmäisenä tulevan naisopiskelijan järjestysnumero on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa geometrista jakaumaa: Geom(p) p = 0.2 (a) Todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 5 opiskelijaa ennen ensimmäistä naisopiskelijaa on Pr( > 5) = Pr( 5) = F(5) 5 = ( p) 5 = ( p) 5 = 0.8 0.328 (b) Ensimmäisen ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo on E() = /p = /0.2 = 5 Tehtävä 4.. Korkeakoulun opiskelijoista 20 % on naisia. Oletetaan, että opiskelijat tulevat koulun opiskelijaravintolaan täysin satunnaisesti. (a) Mikä on todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 0 opiskelijaa ennen toista naisopiskelijaa? (b) Mikä on toisena ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo? TKK @ Ilkka Mellin (2008) 22/27

Tehtävä 4.. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan negatiivista binomijakaumaa. Tehtävä 4.. Ratkaisu: Ravintolaan toisena tulevan naisopiskelijan järjestysnumero on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa negatiivista binomijakaumaa: NegBin(r, p) r = 2 p = 0.2 (a) Todennäköisyys, että ravintolaan on tullut vähintään 0 opiskelijaa ennen toista naisopiskelijaa on komplementtitapahtuman todennäköisyyden kaavan ja toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännön nojalla: Pr > 0 = Pr( 0) ( ) 0 = Pr( = i) i= 2 0 i i 2 2 = 0.8 0.2 i= 2 2 = 0.04 0.064 0.0768 0.0892 0.0892 0.78643 0.0734 0.06709 0.060398 = 0.6249 = 0.3758 Esimerkiksi: 4 4 2 2 3! 2 2 Pr( = 4) = 0.8 0.2 = 0.8 0.2 = 0.0768 2 2!! (b) Toisena ravintolaan tulleen naisopiskelijan järjestysnumeron odotusarvo on r 2 E( ) = = = 0 p 0.2 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 23/27

Tehtävä 4.2. Pakkauksessa on 00 tuotetta, joista 30 on viallista. (a) Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi käyttämällä poimintaa takaisinpanolla. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista tuotetta? (b) Mikä on odotettavissa oleva viallisten lukumäärä? Tehtävä 4.2. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan binomijakaumaa. Tehtävä 4.2. Ratkaisu: Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja = Viallisten lukumäärä tarkastettujen 6:n tuotteen joukossa Satunnaismuuttujan jakauma riippuu siitä poimitaanko otos ilman takaisinpanoa (palauttamatta) tai takaisinpanolla (palauttaen): Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa, noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos otos poimitaan takaisinpanolla, noudattaa binomijakaumaa. (a) Koska otos poimittiin takaisinpanolla, Bin(n, p) n = 6 p = r/n = 30/00 = 0.3 Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista on Pr( < 2) = Pr( = 0) + Pr( = ) 6 6 = 0.3 0.7 + 0.3 0.7 0 = 0.8 + 0.303 = 0.42 Vertaa tulosta tehtävän 4.3. tulokseen. 0 6 5 (b) Koska otos poimittiin takaisinpanolla, E() = np = 6 0.3 =.8 Vertaa tulosta tehtävän 4.3. tulokseen. TKK @ Ilkka Mellin (2008) 24/27

Tehtävä 4.3. Pakkauksessa on 00 tuotetta, joista 30 on viallista. (a) Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi käyttämällä poimintaa ilman takaisinpanoa. Mikä on todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista tuotetta? (b) Mikä on odotettavissa oleva viallisten lukumäärä? Tehtävä 4.3. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan hypergeometrista jakaumaa. Tehtävä 4.3. Ratkaisu: Poimitaan pakkauksesta 6 tuotetta tarkastettavaksi. Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja = Viallisten lukumäärä tarkastettujen 6:n tuotteen joukossa Satunnaismuuttujan jakauma riippuu siitä poimitaanko otos ilman takaisinpanoa (palauttamatta) tai takaisinpanolla (palauttaen): Jos otos poimitaan ilman takaisinpanoa, noudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos otos poimitaan takaisinpanolla, noudattaa binomijakaumaa. (a) Koska otos poimittiin ilman takaisinpanoa, HyperGeom(N, r, n) N = 00 r = 30 n = 6 Siten todennäköisyys, että tarkastettujen joukossa on vähemmän kuin 2 viallista on Pr( < 2) = Pr( = 0) + Pr( = ) 30 00 30 30 00 30 0 6 0 6 = + 00 00 6 6 = 0.0 + 0.305 = 0.45 Vertaa tulosta tehtävän 4.2. tulokseen. (b) Koska otos poimittiin ilman takaisinpanoa, r 30 E( ) = n = 6 =.8 N 00 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 25/27

Vertaa tulosta tehtävän 4.2. tulokseen. Tehtävä 4.4. Palvelujonoon tulee keskimäärin 3 asiakasta minuutissa. (a) Mikä on todennäköisyys, että 30 sekunnissa tulee täsmälleen yksi asiakas? (b) Mikä on todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 2 asiakasta? (c) Mikä on todennäköisyys, että seuraavan minuutin aikana tulee korkeintaan 2 asiakasta, jos edellisenä minuuttina asiakkaita oli 3? (d) Mikä on odotettavissa olevien asiakkaiden lukumäärä 30 minuutin aikana? Tehtävä 4.4. Mitä opimme? Tehtävässä sovelletaan Poisson-jakaumaa. Tehtävä 4.4. Ratkaisu: Oletetaan, että ajanjaksona, jonka pituus on s minuuttia, palvelujonoon tulevien asiakkaiden lukumäärä on diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa Poisson-jakaumaa: Poisson(λs) s = ajanjakson pituus minuutteina λ = minuutissa jonoon tulevien asiakkaiden lukumäärä keskimäärin = 3 (a) Nyt s = 0.5 min joten λs = 3 0.5 =.5 Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee asiakas, on.5 e (.5) Pr( = ) = = 0.335! (b) Nyt s = min joten λs = 3 = 3 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 26/27

Siten todennäköisyys, että minuutissa tulee korkeintaan 2 asiakasta, on Pr( 2) = Pr( = x) = 2 x= 0 2 x= 0 e λs ( λs) x! 0 2 3 3 3 3 = e + + 0!! 2! = 0.0498 ( + 3+ 4.5) = 0.0498 8.5 = 0.423 x (c) Olkoon i = minuutin i aikana tulleiden asiakkaiden lukumäärä, i =, 2. Koska satunnaismuuttujat ja 2 ovat riippumattomia, vastaus on sama kuin (b)- kohdassa. (d) Nyt s = 30 min joten λs = 3 30 = 90 Siten odotettavissa oleva puheluiden määrä 30 minuutin aikana on E() = λs = 90 TKK @ Ilkka Mellin (2008) 27/27